>>414 関連

下記、”一点で微分可能であるが、それ以外の点で連続でない関数　[微分] ねこ騙し数学”
面白いなと思った。例によって、数式と図が綺麗なのだが
原点 x=0でのみ微分可能（即ち連続）で、それ以外の点で連続でない関数の例だと

とすると、連続な点はGδ集合で、不連続点はFσ集合になるという理論と合わないのではないかと、暫く考え込んでしまった
考え込んでしまったが、結局よく分からないまま、貼っておきます。わかる人？
（後のyahooのkousaku2038さんのコメントが適切なのかな？）

http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/archive/c2306116896-2
一点で微分可能であるが、それ以外の点で連続でない関数　[微分] ねこ騙し数学 2017-06-07
(抜粋)
関数の定義域の一点で微分可能であるが、それ以外の定義域の点すべてで不連続な関数の一例。
f(x)
= x^2 (xは無理数)
= -x^2 (xは有利数)

このとき、f(x)は、x=0で微分可能で連続であるが、それ以外の点すべてで連続でない。
x=0で微分可能であることは、例えば、次のように証明されるだろう。
(引用終わり)

似た例を探すと下記がヒットしたね
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1168625526
(抜粋)
chihiro_piano8987さん2011/8/11 06:01:27 yahoo
x = 0 の近傍で定義された微分可能な関数f(x)ってどういう意味でしょうか？

ベストアンサー以外の回答
kousaku2038さん 2011/8/111

f(x)= x^2 （xが有理数）
f(x)= 0 （xが無理数）
のように定義された関数f(x)です。
この関数はx=0で微分可能ですが、x=0以外では微分不可能です。

「x=0で微分可能な関数f(x)」と表記すると思いますので、
この問題を解くにあたっては、
①x=0を含むある開集合で定義されている
②①の開集合のすべての点で微分可能
と考えて良いのではないかと思います。

(引用終わり)