現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む51
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） >>386
＞ Bf連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α ?1)
この部分も間違っている。B_f連続だからと言ってαヘルダー連続とは限らない。
g(x)＝0 (x＝0), x^2 cos(πe^{1/x^2}) (x≠0)
と置くと、g は R 上の各点で微分可能なので、特に (-1,1)⊂B_g が成り立っている。
従って、お前に言わせれば、g は (-1,1) 上で B_g連続である。
しかし、0＜α≦1 のとき、g は (-1,1)上でαヘルダー連続にならないことが確認できる。従って、
＞ Bf連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α ?1)
こんなことは言えない。
すなわち、ある開区間の上でB_f連続だからといって、
その開区間の上でαヘルダー連続とは限らない。 文字フォントの都合上、一応注意しておくが、
＞ g(x)＝0 (x＝0), x^2 cos(πe^{1/x^2}) (x≠0)
cos の中にある π という記号は「パイ」のつもりである。 ＞数学科で頭の固いのはだめだが、普通の柔らかさでAIやITに詳しいという人は、アピールできるかも
数学はからっきしで頭も固いスレ主は社会のゴミ >>365 >>369 ＜まず証明書き直し＞
(引用開始)
Example 2. The function f : R → R,
f(x) =x^3/2 sin(1/x) , x ≠ 0 ,
=0 , x = 0 ,
is not Lipschitz near x = 0, but it possesses a Lipschitz weakened derivative f^w(0, v) = 0.
To show that the function f in this example is not Lipschitz near x = 0 put
xn = 1/(2n - 3/2)π, yn =1/(2nπ).
Then xn → 0, yn → 0 and
{f(xn) - f(yn)}/(xn - yn) = 4n/{(3π)^(1/2)(2n - 3/2)^(1/2)}→ ∞ as n → ∞.
(引用終り)
ここで、
f(x) =x^3/2 sin(1/x) を微分して
f｀(x) =3/2 x^1/2 sin(1/x) -(1/x^1/2) cos(1/x)となる
1)
xn =1/(2nπ)とおくと、sin(1/xn)=0, cos(1/xn)=1なので
f｀(xn) = -√(2nπ) → -∞ as n → ∞.
2)
xn =1/(2nπ+π)とおくと、sin(1/xn)=0, cos(1/xn)=-1なので
f｀(xn) = √(2nπ+π) → ∞ as n → ∞.
3)
いずれにせよ
xn → 0, | f｀(xn) | → ∞ as n → ∞
であり、微分係数はx → 0で、f｀(x)→±∞に発散する数列が作れる
なので、ある関数f(x)が微分可能なことと、微分係数がある値（例えばx=0）で∞に発散することとは、矛盾しない >>339 訂正
あと、重箱の隅だが、下記で”閉区間 [0,1] へ制限”とあるよ。
分るかな？ 分数べきの分母が偶数のとき、ｘ<0はまずい。
ｘ<0の例を考えるなら、分母は偶数でないと。
↓
あと、重箱の隅だが、下記で”閉区間 [0,1] へ制限”とあるよ。
分るかな？ 分数べきの分母が偶数のとき、ｘ<0はまずい。
ｘ<0の例を考えるなら、分母は”奇数”でないと。
（補足）
ケアレスミスが多いな
息をするようにケアレスミスだな（＾＾
すまんな
>>391
x^{3/2} =√（x^3）とかける
f : R → R だったら
(-1,1) でｘ<0は、まずかろう
あと、>>395もご参照ください（＾＾ おっちゃんです。
定理1.7ではB_f は G_δ 集合かつ R－B_f は F_σ 集合なることが仮定されている。 それで、仮定に過ぎないから、スレ主が幾ら具体的な反例を構成して反論しようとしてもムダ。 >>395
＞x^{3/2} =√（x^3）とかける
＞f : R → R だったら
＞(-1,1) でｘ<0は、まずかろう
言われてみればそうだな。すまん。
f(x)＝0 (x≦0), x^{3/2} sin(1/x) (x＞0)
とでもすればよかろう。この f は R 上で微分可能なので、特に (-1,1)⊂B_f が成り立つが、
しかし f は(-1,1)上の全体ではリプシッツ連続ではない。もしくは、>>392 の
g(x)＝0 (x＝0), x^2 cos(πe^{1/x^2}) (x≠0)
の関数でもよい。この g は R 上で微分可能なので、特に (-1,1)⊂B_g が成り立つが、
しかし g は(-1,1)上の全体でリプシッツ連続ではない。
また、0＜α≦1に対して、g は(-1,1)上の全体でαヘルダー連続でもない。 >>395
＞微分係数はx → 0で、f｀(x)→±∞に発散する数列が作れる
それは「 sup_{x∈(-1,1)}｜f'(x)｜が有限値として存在しない」ということに過ぎない。
＞なので、ある関数f(x)が微分可能なことと、微分係数がある値（例えばx=0）で∞に発散することとは、矛盾しない
その言い方では｜f'(0)｜＝＋∞ と言っていることになるが、実際には｜f'(0)｜＝0 である。よって、正確には
(1)「 f が(-1,1)上で微分可能なことと、lim[x→0]｜f'(x)｜＝＋∞ が成り立つこととは 矛盾しない」
と書くべきである。ここで、lim[x→0]｜f'(x)｜＝＋∞ が成り立つなら
f は(-1,1)上でリプシッツ連続にならないことに注意せよ。従って、(1)は
(2)「 f が(-1,1)上で微分可能なことと、f が(-1,1)上の全体でリプシッツ連続にならないこととは 矛盾しない」
と言っているのと同じことである。そして、f が(-1,1)上で微分可能なら (-1,1)⊂B_f が成り立つので、(2)は
(3)「 (-1,1)⊂B_f が成り立つことと、f が(-1,1)上の全体でリプシッツ連続にならないこととは 矛盾しない」
と言っているのと同じことである。そして、この(3)は俺が言っていた主張と同じことであり、
なおかつ、スレ主が当初言っていた
「 (a,b)⊂B_f が成り立つなら、f は(a,b)上の全体でリプシッツ連続だ 」
という主張と正反対の主張である。今回、スレ主の方からそのような正反対の主張が出たわけである。
一体何がしたいのか意味不明。 さて、話を整理する。スレ主の当初の主張は、大まかに言えば次の3つだったはずである。
(1) 定理1.7は間違っている。
(2) (a,b)⊂B_f が成り立つなら、f はある開区間の上で自明にリプシッツ連続である。
(3) もっと言えば、(a,b)⊂B_f が成り立つなら、f は(a,b)上の全体で自明にリプシッツ連続である。
(1)については、俺が「 定理F 」を持ち出してから すっかりフェードアウトしており、
スレ主は定理1.7の真偽について黙ってしまった。
(2)については、スレ主は未だに(2)を証明できていない。それもそのはず、
(2)はちっとも自明ではなく、>>110の方針を使わなければ(2)は証明できないからだ。
(3)については、俺が何度も反例を挙げているのに、スレ主はロクな返答をせず、ついには
「 (-1,1)⊂B_f が成り立つことと、f が(-1,1)上の全体でリプシッツ連続にならないこととは 矛盾しない」
という、俺と同じ主張をするようになった。言い換えれば、スレ主が言い出した(3)と正反対の主張を、
スレ主の方から言い出すようになった。もはや何がしたいのか意味不明である。
・ (1)について、定理1.7が本当は正しいことは理解したのか？
・ (2)について、(2)はちっとも自明ではなく、>>110の方針を使わなければ(2)は証明できないことは理解したのか？
・ (3)について、(a,b)⊂B_f が成り立つからと言って f は(a,b)上の全体でリプシッツ連続とは限らないことは理解したのか？ ＞一体何がしたいのか意味不明。
スレ主の存在自体が意味不明 >>397-398
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>定理1.7ではB_f は G_δ 集合かつ R－B_f は F_σ 集合なることが仮定されている。
>それで、仮定に過ぎないから、スレ主が幾ら具体的な反例を構成して反論しようとしてもムダ。
言っている意味がわからんし
そもそも、暗黙に”B_f は G_δ 集合かつ R－B_f は F_σ 集合なることが仮定されている”なら
それこそ、数学としてはおかしな話だ
むしろ暗黙に仮定されているのは、Ｂｆ内における開区間(a,b)の存在でしょ？ >>397
>定理1.7ではB_f は G_δ 集合かつ R－B_f は F_σ 集合なることが仮定されている。
ああ～？
ひょっとして、おっちゃんは、私スレ主の間違いを指摘してくれたのかな？
いま検索すると・・
>>242
(引用開始)
まあ、普通の連続・不連続で、R中の部分集合として連続がFσ、不連続がGδとして存在するの類似かな？と
つまり、「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」が連続に相当しFσ
補集合 R－Bf が、不連続に相当しGδだろうと
(引用終り)
これFσとGδとの当てはめが、全く逆だな。
お恥ずかしい次第だ。
息をするようにケアレスミスしているな～（＾＾；
正しくは
”まあ、普通の連続・不連続で、R中の部分集合として連続がGδ、不連続がFσとして存在するの類似かな？と
つまり、「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」が連続に相当しGδ
補集合 R－Bf が、不連続に相当しFσだろうと”
です
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/F%CF%83%E9%9B%86%E5%90%88
Fσ集合
(抜粋)
Fσ-集合とは、位相空間の部分集合で、閉集合の可算和に書けるようなものを言う。由来としては、F が閉（集合）を意味するフランス語の ferme から、σ が合併を意味するフランス語の somme からそれぞれとられている。
性質
Fσ-集合の補集合は Gδ-集合である。
可算個の Fσ-集合の合併はまた Fσ-集合であり、有限個の Fσ-集合の交わりはふたたび Fσ-集合を成す（Fσ-集合の可算交叉は Fσδ-集合という）。
例と反例
・任意の閉集合は明らかに Fσ-集合である。
・有理数全体の成す集合 Q は実数全体の成す集合 R の Fσ-集合である。無理数全体の成す集合 P = R ? Q は R の Fσ-集合ではない。
・距離化可能空間においては、任意の開集合が Fσ-集合になり、また任意の閉集合が Gδ-集合になる。
(引用終り)
つづき >>404 つづく
https://ja.wikipedia.org/wiki/G%CE%B4%E9%9B%86%E5%90%88
Gδ集合
(抜粋)
Gδ-集合あるいは内極限集合 (inner limiting set) とは、位相空間の部分集合で開集合の可算交叉となっているものを言う。
由来については、G というのが開集合を意味するドイツ語の Gebiet から、δ というのが交わりを意味するドイツ語の Durchschnitt からそれぞれとられたものである。
Gδ-集合（およびその双対であるFσ-集合）は、ボレル階層（英語版）において二階 (second level) の集合であり、より正確には Gδ-集合の全体はちょうど Π02-階集合である。
例と反例
・任意の開集合は明らかに Gδ-集合である。
・無理数の全体 P は実数直線 R の Gδ-集合である。実際 P は、q が任意の有理数を亙るときの一点集合 {q} の R における補集合すべての交わりとして表せる。
・有理数の全体 Q は実数直線 R の Gδ-集合ではない。実際、Q が開集合列 An の交わりに書けるとすると、各 An は（Q が R において稠密ゆえ）何れも R において稠密でなければならないが、
上でやったように無理数全体の集合 P は稠密開集合の可算交叉として書けるから、P と Q との交わりをとれば R の稠密開集合の可算交叉が空集合となるものが存在することとなり、ベールの範疇定理に反する。
つづき >>405 つづく
Gδ-集合の重要な性質は、位相空間から距離空間への連続写像がその上で定義され得るということにある。厳密に言えば、そのような写像 f が連続となるような点全体の成す集合は {\displaystyle G_{\delta }} G_{\delta }-集合を成すということである。これは、点 p における連続性というのが Π02-式で定義されることによる。
具体的に書けば、任意の正整数 n に対して p を含む開集合 U で任意の x, y ∈ U について d(x, y) < 1/n を満たすようなものが取れるが、
一旦 n の値を固定して対応する部分集合 U が取れるような点 p の全体を考えるとそれ自身が（開集合の和として）開集合であり、ここで n に対して普遍量化子を附すことは得られた開集合たちの可算交叉をとることに対応するから、所期の結論を得る。実数直線においてはこの逆も成り立つ：
実数直線の任意の Gδ-部分集合 A に対し、適当な函数 f: R → R が存在して、f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
このことから、無理数全体の成す集合が連続点集合であるような函数は存在する（トマエの函数（英語版）などを参照）が、有理数の上でのみ連続な函数というのは構成不可能であることが帰結される。
基本的な性質
・Gδ-集合の補集合はFσ-集合である。
・可算個の Gδ-集合の交わりはやはり Gδ-集合である。また、有限個の Gδ-集合の合併はふたたび Gδ-集合となる（可算個の Gδ-集合の合併は Gδσ-集合と呼ばれる）。
・距離化可能空間において、任意の閉集合は Gδ-集合であり、双対的に任意の開集合は Fσ-集合になる。
・稠密開集合の可算族の交わりを含むような集合は残留的 (comeagre, residual) であるという。残留的集合は函数の成す位相空間の生成的性質（英語版）を定義するのに用いられる。
(引用終り)
以上 >>404 関連
そうすると
>>254
(引用開始)
――――――――――――――――――――――――――――――
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R－A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
――――――――――――――――――――――――――――――
(引用終り)
これは、ミスを誘導したかも・・？
Aが、Bf相当で、Gδ集合
R－Aが、R－Bf相当で、Fσ集合（∵Gδ集合の補集合である）
では？
もし、ミスを誘導したなら、ゆるしてたもれ（＾＾； >>404-407
逆ではない。連続・不連続とは違って、B_f がFσ集合になり、R－B_f がGδ集合になる。
定理Fは正しい。 >>407 補足
下記より
「Q は第1類集合で，また，第1類集合2 つの合併はまた第1類集合であるから，R － Q は第2類集合である。
A ⊂ R を疎集合とすると，R － A は開かつ稠密である。」
とあることにご注意。
Q は第1類集合、R － Q は第2類集合
このどちらも、開区間 (a,b) は存在しない
（>>298より)
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/16isoukuukan.pdf
位相空間 川崎徹郎 学習院 2016
(抜粋)
P21
（参考）ベールのカテゴリー定理
数直線の部分集合A ⊂ R について，A が疎であるとは閉包A が開区間(α， β) を含まないときをいう。
疎集合可算個の合併で表される集合を第1 類集合といい，そうでないものを第2類集合という。
定理 (ベール(Baire) のカテゴリー定理 ) R は第2類集合である。
Q は第1類集合で，また，第1類集合2 つの合併はまた第1類集合であるから，R － Q は第2類集合である。
A ⊂ R を疎集合とすると，R － A は開かつ稠密である。したがって，前定理 は次のようにもいいかえられる。
定理 R において，可算個の開かつ稠密集合の共通部分は稠密である。
定義 開集合可算個の共通部分で表される集合をGδ 集合という。閉集合可算個の和集合で表される集合をFσ 集合という。
Gδ 集合の補集合はFσ 集合である。また，Fσ 集合の補集合はGδ 集合である。
例3.38 Q はR のFσ 集合で閉集合でない。したがって，R － Q はR のGδ集合で開集合でない。
定理 Q はR のGδ 集合でない。したがって，R－Q はR のFσ 集合でない。
(引用終り) >>407
>逆ではない。連続・不連続とは違って、B_f がFσ集合になり、R－B_f がGδ集合になる。
>定理Fは正しい。
うーんと
(引用開始)
（>>13より）
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
これで、従来の数学理論では、
「Q は第1類集合、R － Q（無理数） は第2類集合
このどちらも、開区間 (a,b) は存在しない」>>409より
「有理数全体の成す集合 Q は実数全体の成す集合 R の Fσ-集合である。」>>404より
「無理数の全体 P は実数直線 R の Gδ-集合である。」>>405より
だった
”B_f がFσ集合になり、R－B_f がGδ集合になる”のなら
系1.8で
無理数の点で微分可能→無理数の点がB_fになる
有理数の点で不連続→有理数の点がR－B_fになる
だから
従来の数学理論では、
B_f→無理数→Gδ集合
R－B_f→有理数→Fσ集合
だけど
定理Fは逆かい？ >>386 補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
実数直線の有界閉集合上で定義される函数に関して、以下のような包含関係の鎖が知られている[2]:
連続的微分可能 ⊆ リプシッツ連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α <=1) ⊆ 一様連続 ⊆ 連続函数
￢連続的微分可能 ⊇ ￢リプシッツ連続 ⊇ ￢α-ヘルダー連続 (0 < α <=1) ⊇ ￢一様連続 ⊇ ￢連続函数
リプシッツ連続 ⊆ 絶対連続 ⊆ 有界変動 ⊆ 殆ど至る所微分可能
￢リプシッツ連続 ⊇ ￢絶対連続 ⊇ ￢有界変動 ⊇ ￢殆ど至る所微分可能
(引用終わり)
で、（>>13）”定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする．”
だけど、ある閉区間I（a,b）（台）に限定して、 f : I → R で考えても、一般性はほとんど失われない
なお、”連続的微分可能”は、連続的微分可能かつ微分係数が有限にしておく方がすっきりしていると思う
（∵微分係数が∞になると、リプシッツ連続が言えないから）
その上で、「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : I → R は存在しない.」（>>13）
について考えてみると、不連続と微分可能の間の関数の特性として考えられるのは
微分不可能だが、連続であり、それぞれ、リプシッツ連続やα-ヘルダー連続 (0 < α <=1)、一様連続を満たす関数などが考えられる
従来の数学理論が教えるところは、前スレ50の222-223より、下記で
系1.8 の証明は、こちらの数理なんだよね、開区間(a,b)が取れるじゃなく（”each dense”なんだから、開区間(a,b)などとれない）
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006
(抜粋)
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
つづく >>411 つづき
(Each co-meager set has c points in every interval.)
REMARK BY RENFRO:
The last theorem follows from the following stronger and more general result.
Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below.
(引用終り)
以上 おっちゃんです。
>>403-404
あ～、間違えた。
まあ、そもそも正しい証明が書かれた pdf. を読んでなく、
口出しせずに議論の推移を見守ることにする。 >>413
おっちゃん、どうも、スレ主です。（＾＾
コメントありがとう（＾＾
>まあ、そもそも正しい証明が書かれた pdf. を読んでなく、
>口出しせずに議論の推移を見守ることにする。
「正しい証明が書かれた pdf. を読んでないが」と
一言断ってくれれば、問題ないのだが
もとPDFを読んでないことを表明せずに、”正しい”とか”間違っている”というとおかしくなるよね >>414 関連
下記、”一点で微分可能であるが、それ以外の点で連続でない関数 [微分] ねこ騙し数学”
面白いなと思った。例によって、数式と図が綺麗なのだが
原点 x=0でのみ微分可能（即ち連続）で、それ以外の点で連続でない関数の例だと
とすると、連続な点はGδ集合で、不連続点はFσ集合になるという理論と合わないのではないかと、暫く考え込んでしまった
考え込んでしまったが、結局よく分からないまま、貼っておきます。わかる人？
（後のyahooのkousaku2038さんのコメントが適切なのかな？）
http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/archive/c2306116896-2
一点で微分可能であるが、それ以外の点で連続でない関数 [微分] ねこ騙し数学 2017-06-07
(抜粋)
関数の定義域の一点で微分可能であるが、それ以外の定義域の点すべてで不連続な関数の一例。
f(x)
= x^2 (xは無理数)
= -x^2 (xは有利数)
このとき、f(x)は、x=0で微分可能で連続であるが、それ以外の点すべてで連続でない。
x=0で微分可能であることは、例えば、次のように証明されるだろう。
(引用終わり)
似た例を探すと下記がヒットしたね
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1168625526
(抜粋)
chihiro_piano8987さん2011/8/11 06:01:27 yahoo
x = 0 の近傍で定義された微分可能な関数f(x)ってどういう意味でしょうか？
ベストアンサー以外の回答
kousaku2038さん 2011/8/111
f(x)= x^2 （xが有理数）
f(x)= 0 （xが無理数）
のように定義された関数f(x)です。
この関数はx=0で微分可能ですが、x=0以外では微分不可能です。
「x=0で微分可能な関数f(x)」と表記すると思いますので、
この問題を解くにあたっては、
①x=0を含むある開集合で定義されている
②①の開集合のすべての点で微分可能
と考えて良いのではないかと思います。
(引用終わり) >>410
＞従来の数学理論では、
＞B_f→無理数→Gδ集合
＞R－B_f→有理数→Fσ集合
キチガイ。問題外。お前がそこでやっているのは、
「系1.8 の関数 f に対して B_f と R－B_f を調べ上げ、B_f がGδ集合になることを確認した」
ということである。しかし、系1.8 の関数 f は実際には存在しないのだから、
そのような f に対して B_f がGδ集合になっていていも何の意味もない。
存在しない関数を調べるのではなく、実在する関数を調べてみよ。
たとえば、お前の大好きなトマエ関数 f に対して、f^2 という関数を考えると、
・ B_{f^2} はGδ集合に な り え な い
ということが証明できる。もうこの時点で、「 B_f は必ずGδ集合だろう 」という
お前の予想は崩壊することになる。
実際には、B_f は必ずFσ集合なのである。連続・不連続の場合とは逆なのである。 ちなみに、系1.8 の関数が存在しないことを言うには、
B_fがFσ集合であることを用いる方法もある。次のようにすればよい。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
一般論として、B_f は必ずFσ集合であり、R－B_f は必ずGδ集合である。
もし系1.8 の関数 f が存在するなら、R－B_f ＝ Q となるので、
R－B_f がGδ集合であることから、Q はGδ集合ということになるが、
Q はGδ集合になりえないので矛盾する。よって、系1.8 の関数は存在しない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――― >>410
＞定理Fは逆かい？
まず、定理Fそのものは「B_f」とは無関係に一般的に記述された定理であることに注意せよ。
B_fのことは一旦忘れて、定理Fのみをきちんと読み返してみよ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。もし R－A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
証明：
STEP1：A は Fσ 集合だから、高々可算無限個の閉集合 A_k が存在して A ＝ ∪_k A_k と書ける。
一方で、R－A は第一類集合だから、高々可算無限個の、内点を持たない閉集合 F_k が存在して
R－A ⊂ ∪_k F_k と書ける。結局、R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) …(★) ということになる。
STEP2：A_k, F_k はどれも閉集合だから、これと(★)から、ベールのカテゴリ定理が使えて、
ある A_k もしくはある F_k は内点を持つ。F_k は内点を持たないのだから、
ある A_k が内点を持つしかない。その A_k に対して、(a,b)⊂A_k なる開区間が取れるので、
A ＝ ∪_k A_k に注意して、(a,b) ⊂ A となる。従って、定理F が成り立つ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑この証明の一体どこが間違っているというのだね？
さすがのスレ主も、この程度の証明は今すぐ読めるだろ？今すぐ読めよ。 >>414 関連抜粋
http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/archive/c2306116896-2
第１９回 リプシッツ連続と一様連続 [微分] ねこ騙し数学
(抜粋)
一様連続の定義から、関数f(x)が区間Iで一様連続であればIで連続であることは明らか。そして、リプシッツ連続であれば一様連続であるので、次のような関係がある。
リプシッツ連続⇒一様連続⇒連続
一般に、逆は成立しない。
一様連続に関しては、重要な次の定理があるが、証明なしで定理だけを紹介しておく。
定理
関数fが有界閉区間Iで連続ならば、fはIで一様連続である。
上のは、有界閉区間でなければ、一般には成立しない。
問題 区間Iで微分可能な関数f(x)が、任意のx、y∈Iに対して
|f(x)-f(y)| <= K |x-y|^(1+α) (K>0,α>0の定数)
を満たせば、関数f(x)は定数である。
【解】
任意のx、y∈I（x≠y）とする。
|f(x)-f(y)| <= K |x-y|^(1+α)
|f(x)-f(y)|/|x-y| <= K |x-y|^α → （x→y）
∴f’(y)=0
したがって、fはIで定数である。
（解答終）
(引用終わり) >>410
あと、>>333 にも書いたように、定理F から派生する定理 F1,F2,F3 について考えてみると、
「定理F3」を使っていると思しき pdf が1件だけだが見つかる。
このことからも、定理F, F1,F2,F3 は全て正しいと分かる。
別の言い方をすると、もし定理Fに難癖をつけるなら、
>>333で引用した pdf は一体どういうことになるのだね？
まさか「 >333 の pdf は間違っている」なんて言わないだろうな？ >>411-412
＞従来の数学理論が教えるところは、前スレ50の222-223より、下記で
＞系1.8 の証明は、こちらの数理なんだよね、開区間(a,b)が取れるじゃなく（”each dense”なんだから、開区間(a,b)などとれない）
矛盾を導くための理屈は何を採用してもよい。
それぞれの定理を使った場合の矛盾の導き方は、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7を使った場合の背理法：
(1) 系1.8 の関数 f がもし存在するなら、R－B_f＝Q であるから、B_f の中に開区間が取れるはずがない。
(2) しかし、定理1.7により、B_f の中に開区間が取れてしまい、矛盾する。
(3) よって、そのような関数は存在しない。
抜粋したTHEOREMを使った場合の背理法：
(1) 系1.8 の関数 f がもし存在するなら、R－B_f＝Q であるから、R－B_f は co-meager set になるはずがない。
(2) しかし、抜粋したTHEOREMにより、R－B_f は co-meager set になってしまい、矛盾する。
(3) よって、そのような関数は存在しない。
――――――――――――――――――――――――――――――――
それぞれの(1),(2),(3)が、矛盾を導くための論理として完全に対応していることに注意せよ。
[続く] [続き]
ここで、スレ主の従来の屁理屈によれば、次のような難癖が始まるのである。
――――――――――――――――――――――――――――――――
スレ主：
系1.8 の関数 f がもし存在するなら、(1)により、開区間など取れるはずがない。
よって、(2)で定理1.7を適用しているのは間違っており、定理1.7は適用できない。
――――――――――――――――――――――――――――――――
だったら、同じ屁理屈により、次のように言えてしまう。
――――――――――――――――――――――――――――――――
スレ主：
系1.8 の関数 f がもし存在するなら、(1)により、co-meager set になるはずがない。
よって、(2)でTHEOREMを適用しているのは間違っており、THEOREMは適用できない。
――――――――――――――――――――――――――――――――
これは一体どういうことだね？ >>420
>|f(x)-f(y)| <= K |x-y|^(1+α) (K>0,α>0の定数)
>を満たせば、関数f(x)は定数である。
(>>411より)
α-ヘルダー連続 (0 < α <=1)で、αを１以下に限定しているのと符合しているね >>416
＞http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/archive/c2306116896-2
＞一点で微分可能であるが、それ以外の点で連続でない関数 [微分] ねこ騙し数学 2017-06-07
＞(抜粋)
＞関数の定義域の一点で微分可能であるが、それ以外の定義域の点すべてで不連続な関数の一例。
＞f(x)
＞= x^2 (xは無理数)
＞= -x^2 (xは有利数)
余談だが、今さらその関数が「面白い」とは意味不明である。
なぜなら、その関数は俺が何度も挙げた関数と同じものだからだ(符号は逆転しているが)。
たとえば、>>344で俺が既に挙げているし、その前にも3,4回は同じ関数を挙げているはずである。 ＞キチガイ。問題外。
ID:p0MOfC8Xさんに賛成です（＾＾
＞さすがのスレ主も、この程度の証明は今すぐ読めるだろ？今すぐ読めよ。
スレ主は証明はおろか教科書すら読まない主義ｗ 証明を理解したらスレが止まっちゃうからねぇ・・・（ニヤニヤ） 将棋の順位戦を見てた。大変なことになりましたね（＾＾
http://www.hochi.co.jp/entertainment/20180303-OHT1T50062.html
前代未聞の大激戦 将棋Ａ級順位戦で史上最多６人プレーオフで名人挑戦権目指す 2018年3月3日1時24分 スポーツ報知
(抜粋)
将棋の順位戦Ａ級最終１１回戦の５局が２日、静岡市の「浮月楼」で同時に行われ、１１人中６人が６勝４敗で並び、史上最多となる６人のプレーオフによって佐藤天彦名人（３０）への挑戦権を目指す前代未聞の事態となった。
(引用終り) 11人リーグで、上位６人が同じ６勝４敗で並ぶとは
もし、三浦弘行９段が深浦９段に勝っていたら、上位７人が同じ星だった。これが理論上の限界かな？ Meagre setについて、Oxtoby先生のテキストPDFが落ちていた（下記）ので、読んでいたんだ
定理F類似の記述がないかな？と
どうも、見つからないんだな・・（＾＾；
https://en.wikipedia.org/wiki/Meagre_set
Meagre set
Notes
1.^ Oxtoby, John C. (1980). "The Banach Category Theorem". Measure and Category (Second ed.). New York: Springer. pp. 62?65. ISBN 0-387-90508-1. https://books.google.com/books?id=wUDjoT5xIFAC&;pg=PA62
＜上記のPDF＞
http://math.rice.edu/~michael/teaching/426_Spr14/Banach_Mazur.pdf
Measure and Category (Second ed.) Oxtoby, John C. (1980)
（参考）
http://math.rice.edu/~michael/
Michael Boshernitzan's Home Page
Dept. of Mathematics, MS-136
Rice University, P. O. Box 1892
Houston, TX 77251
Professor of Mathematics >>421
定理Fは、こういうこと（下記）かな？
(>>254 より)
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R－A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
(引用終り)
（>>409より)
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/16isoukuukan.pdf
位相空間 川崎徹郎 学習院 2016
(抜粋)
P21
（参考）ベールのカテゴリー定理
数直線の部分集合A ⊂ R について，A が疎であるとは閉包A が開区間(α，β) を含まないときをいう。
疎集合可算個の合併で表される集合を第1類集合といい，そうでないものを第2類集合という。
定理 (ベール(Baire) のカテゴリー定理 ) R は第2類集合である。
Q は第1類集合で，また，第1類集合2 つの合併はまた第1類集合であるから，R － Q は第2類集合である。
A ⊂ R を疎集合とすると，R － A は開かつ稠密である。したがって，前定理 は次のようにもいいかえられる。
定理 R において，可算個の開かつ稠密集合の共通部分は稠密である。
定義 開集合可算個の共通部分で表される集合をGδ 集合という。閉集合可算個の和集合で表される集合をFσ 集合という。
Gδ 集合の補集合はFσ 集合である。また，Fσ 集合の補集合はGδ 集合である。
例3.38 Q はR のFσ 集合で閉集合でない。したがって，R － Q はR のGδ集合で開集合でない。
定理 Q はR のGδ 集合でない。したがって，R－Q はR のFσ 集合でない。
(引用終り)
つづく >>433 つづき
ポイント
１）第1類集合2 つの合併はまた第1類集合であるから、R－A が第一類集合ならばAは第2類集合である。
２）Gδ 集合の補集合はFσ 集合である。
３）R 中の閉集合は、閉区間[a,b] | a<b 、又は１点からなる集合 [a,a] 、あるいは それらの有限個の和集合である
定理Fの前提条件：
”A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R－A が第一類集合ならば”
↓
１）A ⊂ R は Fσ集合かつ第2類集合
２）R － A は Gδ集合かつ第1類集合
ならば
と書き直せる
これについて
１）Fσ集合の定義：閉集合可算個の和集合で表される集合である
２）もしこの閉集合がすべて、１点からなる集合 であれば、Aが第1類集合になってしまうから
３）この閉集合の中に、少なくとも一つ閉区間[a,b] が存在しなければならない
４）この閉区間[a,b]に、開区間(a,b)が取れる
ということかな？
つづく >>434 つづき
しかしながら・・
>つまり、Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のときに
>「 R－B_f は R の中で稠密 」
>なんてのは最初から起こりようが無いのである。
(>>13 より)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
１）系1.8で、「Q はR のFσ 集合で第1類集合」，「R － Q はR のGδ集合で第2類集合」（川崎徹郎）であるから
２）定理1.7で、”Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のとき”とは、整合しない。だから、”定理1.7 が使えて”は、言えないと思うよ
以上 >>425
>余談だが、今さらその関数が「面白い」とは意味不明である。
>なぜなら、その関数は俺が何度も挙げた関数と同じものだからだ(符号は逆転しているが)。
>たとえば、>>344で俺が既に挙げているし、その前にも3,4回は同じ関数を挙げているはずである。
そうだったね
すまんかった
見た例示だとおもったんだ（＾＾
あなたは、そういう例示については、すごく実力あるね。そこは感心するよ（＾＾ ＞あなたは、そういう例示については、すごく実力あるね。そこは感心するよ（＾＾
「そこは感心するよ」という言い方は、言外に「他はたいしたことない」という意味を匂わしている
一年生用教科書すら分かってないお前が言っていい言葉ではない、分を弁えよ >>333 戻る
>定理F2：
>A ⊂ R は、R－A がGδ集合とする。もし R－A が第一類集合ならば、R－A は nowhere dense である。
>
>ここまで来ると、「 R－A 」を1文字にした方がキレイなので、そうすると次のようになる。
>
>定理F3：
>A ⊂ R は、A がGδ集合とする。もし A が第一類集合ならば、A は nowhere dense である。
>
>これに関しては、"Gδ set of first category" で検索すると、
> 1件だけだが上記の 定理F3 を使っていると思しき pdf が見つかる。
>
>http://fm.math.uni.lodz.pl/artykuly/12/ww.pdf
>
>＞ Observe that ∩[m＝1～∞] ∪[n≧m] A_n as Gδ set of first category is
>＞ easily seen to be nowhere dense.
ここら、下記の「太ったカントール集合」の話かな？
（下記和文の「太ったカントール集合の測度は・・・=1/2」の箇所は、後の英文” http://www.se16.info/hgb/nowhere.htm ”では、「0.535・・」となっているようだが）
http://fibonacci-freak.hatenablog.com/entry/2017/08/17/120148
痩せた集合・太った集合 2017-08-17 fibonacci_freak
(抜粋)
まずは痩せた集合の定義をしましょう。
定義. Xを位相空間、Aをその部分集合とする。
(1) Aが稀薄であるとは、Aの閉包が内点を持たないことをいう。
(2) Aが痩せた集合（または第1類集合）であるとは、高々可算個の稀薄な集合の合併として表せることをいう。
(3) Aが太った集合（または第2類集合）であるとは、痩せた集合でないことをいう。
今回は位相空間と言ったら実数Rや区間[0,1]などのことだと思っても差し支えありません。また太った集合というのはここだけのネーミングで、一般的ではありません。
つづく >>438 つづき
定理(Baireの範疇定理). 完備距離空間の痩せた部分集合は内点を持たない。特に完備距離空間は（それ自身の部分集合として）太った集合である。
もう一つ痩せた集合の代表としてカントール集合が挙げられます。これは[0,1]から始めて「つながった区間を3等分して真ん中の開区間を取り除く」という操作を無限回繰り返して得られる集合です。開区間を取り除いているので出来上がる集合は閉集合になります。
真ん中を取り除くごとに連結成分1つ分の長さは1/3になるので、内点を持たない（区間を含まない）、つまり痩せた集合であることがわかります。また真ん中を取り除くごとに測度（長さの合計）は2/3 になるので、カントール集合は測度0です。
さて、今回伝えたいのは「痩せた集合も結構すごい」という事実です。具体的には[0,1]の部分集合で、痩せた集合にもかかわらず正の測度を持つものが存在するのです！
それが「太ったカントール集合」です。「太った」と付いていますが、これは「カントール集合に比べたら太っている」という意味で、実態は痩せた集合です。
太ったカントール集合の構成は簡単です。まず区間[0,1]から始めて、中央から長さ1/4の開区間を取り除きます。次に残った2つの区間それぞれの中央から長さ1/16の開区間を取り除きます。次は1/64、その次は1/256,・・・と、1/4nの開区間を次々に取り除いてきます。これを無限回繰り返したとき残る集合が太ったカントール集合です。
これも区間を取り除くごとに連結成分1つ分の長さが半分以下になるので、内点を持たず、痩せた集合であることがわかります。
つづく >>439 つづき
太ったカントール集合の測度は
1?1/4?2/16?464?・・・?2n/4n+1?・・・
=1?(1/4+1/8+1/16+・・・)
=1/2
となり、確かに正の測度1/2を持ちます！人は見かけで判断してはいけないのです。
さらに、太った集合にもかかわらず測度が0の雑魚集合も存在します。これは次のように作ります。
まず太ったカントール集合Sを用意します。Sにはたくさんの「開区間の穴」が空いていますが、その全てに「Sを相似縮小したもの」を詰め込みます。
こうして得られたものをS1とします。さらにS1の全ての穴にSを詰め込んだものをS2とし、S3,S4,・・・と順に気持ち悪い集合を作っていきます。そして最後に
T= ? n=1～∞ Sn
とします。Sを詰め込むたびに空白の部分の測度は半分ずつになるので、Tの測度は1になります。また各Snは稀薄な集合なのでTは痩せた集合です。するとTの補集合は太った集合で*1、かつ測度0になります。
*1:補集合も痩せているとすると[0,1]も痩せていることになりBaireの範疇定理に矛盾します。
(引用終り)
つづく >>440 つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Smith%E2%80%93Volterra%E2%80%93Cantor_set
Fat Cantor set Smith?Volterra?Cantor set
(抜粋)
In mathematics, the Smith?Volterra?Cantor set (SVC), fat Cantor set, or ε-Cantor set[1] is an example of a set of points on the real line ? that is nowhere dense (in particular it contains no intervals), yet has positive measure.
(引用終り)
http://www.se16.info/hgb/nowhere.htm
Some nowhere dense sets with positive measure and a strictly monotonic continuous function with a dense set of points with zero derivative Henry Bottomley. May 2005.
(抜粋)
If there were no overlaps, the total measure of the intervals removed would be 1/2, but as there are overlaps, the measure removed is less, leaving a set of positive measure of more than 1/2 which turns out to be 0.5355736804357782247533428...,
(引用終り)
つづく >>441 つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Nowhere_dense_set
Nowhere dense set
(抜粋)
The union of countably many nowhere dense sets, however, need not be nowhere dense. (Thus, the nowhere dense sets need not form a sigma-ideal.) Instead, such a union is called a meagre set or a set of first category. The concept is important to formulate the Baire category theorem.
Nowhere dense sets with positive measure
A nowhere dense set is not necessarily negligible in every sense. For example, if X is the unit interval [0,1], not only is it possible to have a dense set of Lebesgue measure zero (such as the set of rationals), but it is also possible to have a nowhere dense set with positive measure.
For one example (a variant of the Cantor set), remove from [0,1] all dyadic fractions, i.e. fractions of the form a/2n in lowest terms for positive integers a and n, and the intervals around them: (a/2n ? 1/22n+1, a/2n + 1/22n+1).
Since for each n this removes intervals adding up to at most 1/2n+1, the nowhere dense set remaining after all such intervals have been removed has measure of at least 1/2 (in fact just over 0.535... because of overlaps) and so in a sense represents the majority of the ambient space [0,1].
This set is nowhere dense, as it is closed and has an empty interior: any interval (a, b) is not contained in the set since the dyadic fractions in (a, b) have been removed.
Generalizing this method, one can construct in the unit interval nowhere dense sets of any measure less than 1, although the measure cannot be exactly one (else its complement would be a nonempty open set with measure zero, which is impossible).
(引用終り)
以上 >>441 関連
Fat Cantor set にVolterra's functionのリンクがあったので、貼っておきます（＾＾
ここに面白い図が載っているよ
https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra%27s_function
Volterra's function
(抜粋)
Definition and construction
The function is defined by making use of the Smith?Volterra?Cantor set and "copies" of the function defined by f(x)=x^{2}sin(1/x) for x ≠ 0 and f(0)=0. The construction of V begins by determining the largest value of x in the interval [0, 1/8] for which f ′(x) = 0.
Once this value (say x0) is determined, extend the function to the right with a constant value of f(x0) up to and including the point 1/8. Once this is done, a mirror image of the function can be created starting at the point 1/4 and extending downward towards 0.
This function will be defined to be 0 outside of the interval [0, 1/4]. We then translate this function to the interval [3/8, 5/8] so that the resulting function, which we call f1, is nonzero only on the middle interval of the complement of the Smith?Volterra?Cantor set.
To construct f2, f ′ is then considered on the smaller interval [0,1/32], truncated at the last place the derivative is zero, extended, and mirrored the same way as before, and two translated copies of the resulting function are added to f1 to produce the function f2.
Volterra's function then results by repeating this procedure for every interval removed in the construction of the Smith?Volterra?Cantor set; in other words, the function V is the limit of the sequence of functions f1, f2, ...
(引用終り)
以上 >>434
＞これについて
＞１）Fσ集合の定義：閉集合可算個の和集合で表される集合である
＞２）もしこの閉集合がすべて、１点からなる集合 であれば、Aが第1類集合になってしまうから
＞３）この閉集合の中に、少なくとも一つ閉区間[a,b] が存在しなければならない
＞４）この閉区間[a,b]に、開区間(a,b)が取れる
＞ということかな？
話の流れは合っているが、(2)は微妙に間違っている。正しくは
(2) もしこの閉集合がすべて、内点を持たないならば、Aが第1類集合になってしまうから
と書くべきである。なぜスレ主がこのように書かないのかというと、スレ主は
「内点を持たない閉集合の高々可算無限和は1点集合の高々可算無限和に書き直せる」
と勘違いしているからである。そして、この勘違いは数スレ前から何度も指摘している勘違いである。
たとえば、カントール集合は内点を持たない閉集合1つで表せるが、
カントール集合を1点集合の高々可算無限和で書くことはできない。
ちなみに、いちいち(1)～(4)のように書き直す必要すらない。
>>419の証明をそのまま読めばよいからだ。 >>435
＞１）系1.8で、「Q はR のFσ 集合で第1類集合」，「R － Q はR のGδ集合で第2類集合」（川崎徹郎）であるから
＞２）定理1.7で、”Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のとき”とは、整合しない。だから、”定理1.7 が使えて”は、言えないと思うよ
息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
系1.8 の関数 f に対して、 R－B_f＝Q が成り立つので、Q が第一類集合であることから
「 R－B_f は第一類集合 」ということになり、よって定理1.7の仮定である
「 R－B_f が第一類集合ならば」
という条件に合致するので、ゆえに定理1.7が適用可能である。なぜかお前は、(2)において
「 Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のとき 」という条件を持ち出しているが、
それは定理1.7の仮定ではなく、定理Fの仮定に A＝B_f を代入した文章であるから、
お前の主張は話の前提からして滅茶苦茶である。 ちなみに、B_f は必ず Fσ 集合なので、系1.8の関数 f は、
話の前提からして滅茶苦茶であるはずの
「 Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のとき 」
という条件にも実際には合致しているｗｗ
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
・ 一般論として、B_f は必ず Fσ 集合である。
・ 今の場合、R－B_f＝Q だから、Q が第一類集合であることから、R－B_f は第一類集合である。
・ ゆえに、「 Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のとき 」という条件に合致している。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑これで文句は無いだろ。 さらに補足しておくと、B_f が必ず Fσ 集合であることから、R－B_f は必ず Gδ 集合となる。
今の場合 R－B_f＝Q だったから、Q は Gδ 集合ということになる。
しかし、Q は Gδ 集合には なり得ないのだった。
よって、実際にはこの時点で既に矛盾が生じている。よって、この時点で既に
「ゆえに、系1.8 の関数 f は存在しない」
と書いてもよい(このことは>>418で既に述べている)。
しかし、だからと言って、定理1.7が使えないということにはならない。
定理1.7の仮定は「 R－B_f が第一類集合ならば 」というものであり、
今の場合 R－B_f＝Q は第一類集合なのだから、定理1.7は適用できるのである(そして矛盾が生じる)。 カントール集合は面白いね（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Smith%E2%80%93Volterra%E2%80%93Cantor_set#cite_ref-2
Smith?Volterra?Cantor set
(抜粋)
In mathematics, the Smith?Volterra?Cantor set (SVC), fat Cantor set, or ε-Cantor set[1] is an example of a set of points on the real line ? that is nowhere dense (in particular it contains no intervals), yet has positive measure.
The Smith?Volterra?Cantor set is named after the mathematicians Henry Smith, Vito Volterra and Georg Cantor.
The Smith-Volterra-Cantor set is topologically equivalent to the middle-thirds Cantor set.
References
1^ Aliprantis and Burkinshaw (1981), Principles of Real Analysis
(引用終り)
この参考文献のPDFが、下記に落ちていたのでご紹介
https://huynhcam.files.wordpress.com/2013/07/aliprantis_c-d-principles_of_real_analysis_third_edition-academic_press1998.pdf
Aliprantis_C.D.-Principles_of_Real_Analysis,_Third_Edition-Academic_Press(1998)
（関連）
https://huynhcam.files.wordpress.com/2013/07/aliprantis-and-burkinshaw-problems-in-real-analysis1.pdf
Aliprantis and Burkinshaw, Problems in Real analysis A Workbook with Solutions 1999
https://huynhcam.wordpress.com/?s=aliprantis
Thang B?y 6, 2013 このyamyamtopoさんて方がどういう方か知らないが
カントール集合と、W ⊂ R で稠密なGδ 集合との関係についての記述があるね
これが正しいかどうか、不明だがご紹介
https://yamyamtopo.wordpress.com/
PLトポロジーの基礎（暫定版） 2017年10月14日
https://yamyamtopo.files.wordpress.com/2017/07/ukeru_gene_topo.pdf
PDF「位相空間論における反例と線形順序」 yamyamtopo 投稿日: 2017年7月8日
(抜粋)
補題3.2. W ⊂ R が稠密なGδ 集合であるならば、W は非可算なコンパクト集合を含む。
証明. W に含まれるようにカントール集合を構成しよう。W は稠密なGδ 集合だから、
稠密な開集合Gn ⊂ R が存在して
略
連結成分にもIn のちょうど2 個の連結成分が含まれ、かつIn ⊂ Gn となるように帰納
的に構成する。このとき、カントール集合 ∩ n=1～∞ In はW に含まれる非可算なコンパクト集合である。
(引用終わり) カントール集合は面白いね2
http://concious4410.hatenablog.com/entry/2016/11/13/181103
基本的な0次元距離空間の特徴づけの話 電波通信 2016-11-13
(抜粋)
「空間の位相的な特徴づけ」というものがあります。位相的な情報だけで特定の空間を特徴づけようということです。
例えば簡単な例だと任意の点が孤立点（その点が開集合ということ）である空間は離散距離空間です。
位相的な特徴づけがよく知られている空間がいろいろあるのですが、この記事ではそれなりに有名なやつをつらつらと紹介していこうと思います。
つづく >>450 つづき
カントール集合
位相的な特徴づけがよく知られているのがこのカントール集合でしょう。
以下ではカントール集合をCで書きます。
定理1：完全（孤立点が存在しないということ）で完全不連結なコンパクト距離空間はＣに同相である。
また、カントール集合から一点を取り除いた空間も上の定理１を用いて特徴づけが出来ます。
以下ではカントール集合から一点を取り除いた空間をLで書きます。
定理2：ノンコンパクトで完全、かつ完全不連結でσコンパクトな局所コンパクト距離空間はLと同相である。
この定理2の仮定を充たす空間を一点コンパクト化して定理１を用いれば簡単に証明できます。
さて上の二つの定理を合わせて次のように統合できます。
定理３：完全、かつ完全不連結な第二可算局所コンパクトハウスドルフ空間はC、もしくはLに同相である。
これを用いるとCのクロープン集合について次が分かります。
系4：Cの非空なクロープン集合はC、もしくはLに同相である。どちらに同相であるかは、コンパクトかノンコンパクトかに応じて変わる。
この定理は
L.E.J. Brouwer, On the structure of perfect sets of points, in: KNAW, Proceedings, 12, 1909-1910, Amsterdam, 1910, pp785-794
により発表されたようです。証明が載っている本としてはWillard著作のGeneral topologyや、北田韶彦著作の「位相空間とその応用」にあります。
つづく >>451 つづき
有理数
以下では有理数全体をQで書きます。もちろん順序による標準的な位相が入っているとします。
定理5：集合としての濃度が可算で完全（孤立点がないということ）な距離空間はQと同相ある。
この定理の系としてQ^n（nは自然数）がQと同相であることが分かります。
この定理は
W.Sierpi?ski, Sur une propriete topologique des ensembles denombrables denses en soi, 1920, Fund.Math.1, pp11-16
で発表されたようです。Fund.Math.の創刊号ですね。
この定理の証明が載っている本は知りませんが、ネット上になんかあるんじゃないかな
0次元空間ってカントール集合に埋め込めるんですが、可算空間はカントール集合の”端点”を含まないように埋め込むことが出来て、
すると上の仮定を充たす空間はカントール集合の順序で見ると自己稠密な最大値最小値を持たない集合になり、
しかも自己稠密性から順序位相と相対位相が一致し、
そして自己稠密な最大値最小値を持たない可算な順序集合は有理数と順序同型になるので
～～～
みたいな感じの証明だった気がします。
つづく >>452 つづき
無理数
以下では無理数全体をPで書きます。もちろん順序による標準的な位相が入っているとします。
定理6：0次元(クロープンな開基が存在するということ)でかつNowhere Compact(任意のコンパクト集合が内点を持たないということ)な可分完備距離空間はPと同相
この定理からPとN^Nが同相であることが分かります。(Ｐが完備な距離をadmitすることは、Rという完備距離空間のGδ集合になってることからわかります。)
ちなみにPとN^Nの間の同相写像として、連分数展開というものが有名です。
更にP^NがＰと同相であることもわかります。
この定理は
P.Alexandroff and P.Urysohn, Uber nulldimensionale Punktmengen, Mathematische Annalen, Vol 98, 1928, pp89-106
により発表されたようです。ドイツ語なんでぼかぁ読めません。調べてみるとオープンアクセスのようです。証明が載ってる本としては
A.S.Kechris著のClassical Descriptive set theory があります。
結びの言葉
別に0次元空間はこれだけではないのですが基本的な空間の特徴づけを紹介しました。
原論分をみて分かる通り、これらはすべて位相空間論の黎明期に判明しています。このような結果があったからこそ位相空間論の重要性が認識されたのかもしれません。
(引用終わり)
以上 なにをやっているのか？って（＾＾
いや、カントール集合がFσ集合かどうか
それを調べているんだが・・
>>453
>P.Alexandroff and P.Urysohn, Uber nulldimensionale Punktmengen, Mathematische Annalen, Vol 98, 1928, pp89-106
>原論分をみて分かる通り、これらはすべて位相空間論の黎明期に判明しています。
100年くらい前は、「カントール集合とは～、・・うんぬん・・」というのが、当時の研究の最先端だったみたいね
>>451 再録
カントール集合をC、カントール集合から一点を取り除いた空間をL
定理1：完全（孤立点が存在しないということ）で完全不連結なコンパクト距離空間はＣに同相である。
定理2：ノンコンパクトで完全、かつ完全不連結でσコンパクトな局所コンパクト距離空間はLと同相である。
定理3：完全、かつ完全不連結な第二可算局所コンパクトハウスドルフ空間はC、もしくはLに同相である。
系4：Cの非空なクロープン集合はC、もしくはLに同相である。どちらに同相であるかは、コンパクトかノンコンパクトかに応じて変わる。
(引用終り)
か・・（＾＾
ずばりがなかなかないね（＾＾ >>454
＞なにをやっているのか？って（＾＾
＞いや、カントール集合がFσ集合かどうか
＞それを調べているんだが・・
カントール集合は閉集合なので、カントール集合はFσ集合である。
ttps://ja.wikipedia.org/wiki/F%CF%83%E9%9B%86%E5%90%88
＞ 例と反例
＞ ・ 任意の閉集合は明らかに Fσ-集合である。 >>455-457
いやー、不勉強でお恥ずかしい（＾＾
だが、良いヒントを貰ったね
検索すると・・
下記はどう？ 「カントール集合Cは閉集合であり、これは閉区間の加算個の和で表せない」だって（＾＾
ちなみに、だいありーさんは、ブログを読むと、数学科で今年４年で卒業みたいだが
なお、これ下記”杉浦光夫(1980)『解析入門Ⅰ』東京大学出版会”にこれ書いてあるのかな？ 分かる人教えて
なので、閉区間は閉集合だが、用語の使い分けが必要かもね
>>455のFσ集合の記事は、１次元のR限定じゃないから”閉区間”でなく”閉集合”と書いてあるけど、
”可算和”しばりを入れるとき、
そのこころは、”閉集合”＝多次元”閉区間”じゃないかな？
どう？
http://fujidig.hatenablog.com/entry/2015/08/15/132653
(抜粋)
R上の閉集合はすべて閉区間の加算個の和で表せるか？ だいありー 2015-08-15
答え: No.
カントール集合が反例となる。
カントール集合の性質
カントール集合は無限個の閉集合の共通部分なので閉集合である。
（略）
主張の反証
以上のことより、カントール集合Cは閉集合であり、これは閉区間の加算個の和で表せないので主張が反証された。
参考文献
・杉浦光夫(1980)『解析入門Ⅰ』東京大学出版会
(引用終わり)
ちなみに
http://fujidig.hatenablog.com/
だいありー
(抜粋)
おわりに
充実した1年になった。あと少しで愛媛を離れることになる。残りの3か月も頑張っていこう。
(引用終わり) >>455 補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/F%CF%83%E9%9B%86%E5%90%88
＞ 例と反例
＞ ・ 任意の閉集合は明らかに Fσ-集合である。
この部分は、おそらく下記原文の英語版では
冒頭”countable union of closed sets.”と複数形
例示”Each closed set is an Fσ set.”と単数形
となっている
私は、英語弱いけど・・（＾＾
・ 任意の閉集合は明らかに Fσ-集合である。
↓
・ 個々の閉集合は明らかに Fσ-集合である。
と訳した方が良いのかもね（＾＾
なお、closed setsとclosed setとの違いをきっちり定義しないと、
（closed setに連続無限和を含めて１つと数えると）
”可算和”しばりの意味が曖昧になる気がするのは私だけか？
（英語版）
https://en.wikipedia.org/wiki/F%CF%83_set
(抜粋)
Fσ set
In mathematics, an Fσ set (said F-sigma set) is a countable union of closed sets.
Examples
Each closed set is an Fσ set.
(引用終わり) >>459
ああ、なんか意味わからんことを書いてしまったな
とりあえず、これ英語版の訳の話はキャンセルな
だいありーさんのブログとの関連だけ見てください
英語版自身もおかしいのかも・・・（＾＾； >>450
"clopen クロープン"補足
https://eow.alc.co.jp/search?q=clopen
(抜粋)
clopen クロープン 英辞郎
【形】
《位相幾何》開かつ閉の、開集合かつ閉集合の◆【語源】closed + open
(引用終わり)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%8B%E3%81%8B%E3%81%A4%E9%96%89%E9%9B%86%E5%90%88
開かつ閉集合
(抜粋)
普通の意味の開 と閉 とは対義語であるから、開かつ閉集合 というものが有り得るということは直観に反するように見えるかもしれない。
しかし、数学的に定義された開 と閉 とは相互排他的な概念ではない。
一般に、X を位相空間、A を X の部分集合とするとき、A とその補集合 X?A とがいずれも X の開集合であるならば、それらはいずれも X の開かつ閉集合である。
英語では、closed-open set を clopen set ともいう。clopen set という語は closed-open set という語から作られたかばん語である。
(引用終わり) >>458-459
カントール集合とσ代数関連引用
もうひとつストンと納得できない（むつかしい）記述ですが（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E6%B8%AC%E5%BA%A6
完備測度
(抜粋)
例
実数直線の開区間によって生成されるボレル σ-集合代数上で定義されるボレル測度は完備でなく、したがって完備ルベーグ測度を定義するためには上述の完備化の手順が必要となる。
このことは、実数に対するすべてのボレル集合の集まりは実数と同じ濃度を持つという事実によって示される。
カントール集合はボレル集合であるが、測度ゼロであり、そのベキ集合の濃度は実数の濃度よりも厳密に大きい。
したがってカントール集合には、ボレル集合に含まれないような部分集合が存在する。すなわち、ボレル測度は完備ではない。
(引用終わり) >>462 関連
”カントール集合には、ボレル集合に含まれないような部分集合が存在する”が正しいとすると
カントール集合自身はボレル集合ではない
そして、下記”Fσ-集合やGδ-集合はボレル集合である．”（渕野）が、正しいとすると、
カントール集合自身はFσ-集合ではない
参考（>>336より）
渕野昌 (2002) (PDF), 実数の集合論の基礎の基礎
http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf
P5
(抜粋)
1.2 ボレル集合
O から生成されるσ-代数^9 をあらわす．
（略）
として帰納的に定義する10．可算個の閉集合の和集合としてあらわせるような集合をFσ-集
合とよび，可算個の開集合の共通部分としてあらわせるような集合をGδ-集合とよぶ．Fσ-
集合とGδ-集合はS1 に含まれる集合となっている．特にFσ-集合やGδ-集合はボレル集合
である．
注）^9 X の部分集合の族S がX 上のσ-代数である，とは，S が，補集合をとる操作と，可算個の元の和集合
をとる操作に関して閉じていることである．
(引用終り)
以上
注：
Fσ-集合とGδ-集合はS1 に含まれる集合となっている．
↓
Fσ-集合とGδ-集合はS に含まれる集合となっている．
の誤植かもしれない。S1はここにしか現れず、定義がないので >>458
>なお、これ下記”杉浦光夫(1980)『解析入門Ⅰ』東京大学出版会”にこれ書いてあるのかな？ 分かる人教えて
おーい、実解析に詳しい おっちゃん～
杉浦光夫(1980)『解析入門Ⅰ』を知らないか～？ >>455 お礼
ID:o+awSec8さん、ヒントありがとう
おかげで、なんとなく答えが見つかった気がするよ（＾＾ お久しぶりです、おっちゃんです。
>>464
杉浦 解析入門Ⅰは持ってなく読んでもいないけど、多分これには、
カントール集合が直線R上至る所稠密でルベーグ測度が0の非可算集合なることは
書いていないだろう。
付録の集合だが、行間を殆ど埋めて出来たような4ページ「だけ」の内容では、
濃度とかまで含めて集合論は展開出来ないだろう。
だが、杉浦 解析入門Ⅰ にはカントール集合は載っているようで、
その付録でも一応連続体濃度や可算集合を扱っているようだから、>>458のサイトの
>そのような数列全体の濃度は明らかに 2^{ℵ_0} である。
>三進表示が一意でないものは可算個しかないのでカントール集合の濃度も 2^{ℵ_0} である。
の部分を付録に専ら委ねれば、杉浦 解析入門Ⅰ だけを参考にして>>458も書けるだろう。 >>458
＞なので、閉区間は閉集合だが、用語の使い分けが必要かもね
＞>>455のFσ集合の記事は、１次元のR限定じゃないから”閉区間”でなく”閉集合”と書いてあるけど、
＞”可算和”しばりを入れるとき、
＞そのこころは、”閉集合”＝多次元”閉区間”じゃないかな？
＞どう？
何が言いたいのか意味不明。お前の言い分によれば、まるで
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
一般の場合は、閉区間ではなく閉集合という言葉にせざるをえないが、R に限定した場合は、
しかも可算和のしばりを入れた場合は、閉集合ではなく「閉区間」という言葉にしてよい。
なぜなら、R の閉集合は R の閉区間の可算和で表せるからだ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
とでも言っているように見える。しかし、
「 R の閉集合は R の閉区間の可算和で表せるからだ 」
という部分は間違っている。なぜなら、カントール集合は R の閉集合であるにも関わらず、
R の閉区間の可算和では表せないからだ。 >>458
＞http://fujidig.hatenablog.com/entry/2015/08/15/132653
＞(抜粋)
＞R上の閉集合はすべて閉区間の加算個の和で表せるか？ だいありー 2015-08-15
＞答え: No.
＞カントール集合が反例となる。
お前が抜粋したとおり、カントール集合は閉区間の可算和では表せないので、
「 R の閉集合は R の閉区間の可算和で表せる 」
という主張は成り立たない。そして、このことから、「閉集合」という言葉は
R の時点で既に「 閉区間の可算和 」よりも広い意味を持っていることになる。
ということは、お前が書いた
「 ”閉集合”＝多次元”閉区間”」
という直観も、R の時点で既に間違っていることになる。
そのような間違った直観を書いた直後に、その直観が間違っていることを
明示するリンクを挙げるとは全く意味不明である。キチガイ。 >>463
＞”カントール集合には、ボレル集合に含まれないような部分集合が存在する”が正しいとすると
＞カントール集合自身はボレル集合ではない
息をするように間違えるゴミクズ。お前の言い分が効力を発揮するためには、
「ボレル集合の部分集合は全てボレル集合」
という主張が成り立っていなければならない。しかし、こんなことは実際には言えないし、
お前の言い分も間違っている。すなわち、カントール集合の部分集合でボレル集合でないものが
存在するのだとしても、カントール集合はボレル集合のままである。
あるいは、次のように言ってもよい。
お前の言い分がもし正しいなら、次のように言えてしまう。
――――――――――――――――――――――――――――――
R はボレル集合であることが知られている。
ここで、もし R の部分集合でボレル集合でないものが存在するなら、
R 自身はボレル集合でないことになって矛盾する。
よって、R の部分集合は全てボレル集合である。
――――――――――――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることである。
しかし、ご存知の通り、選択公理がある場合には
ルベーグ可測ですらない R の部分集合が存在するので、
お前の言い分はこの点においても間違っている。 >>458
＞いやー、不勉強でお恥ずかしい（＾＾
＞だが、良いヒントを貰ったね
＞検索すると・・
検索で不勉強は補えないよ >459
＞私は、英語弱いけど・・（＾＾
得意気にbuzzの解説をしている当たりから見て言わなくてもわかる >>462
＞もうひとつストンと納得できない（むつかしい）記述ですが（＾＾
何でwikipediaで納得しようとするの？
wikipediaで数学が理解できるなら教科書なんて要らないよね バカなの？ ＞お前が抜粋したとおり、カントール集合は閉区間の可算和では表せないので、
ワロタ
スレ主は自分がコピペしたことさえ全然理解できてないじゃんｗ
一体何のためのコピペなんだよｗ 頭良さげに見せるため？ｗ ＞という直観も、R の時点で既に間違っていることになる。
スレ主の直観は大抵間違っている
そしてスレ主は教科書よりも自分の直観を信じるｗ おっちゃんです。
見に来ただけ。
じゃ、おっちゃん寝る。 >>471
”buzz”は、種本があってね（＾＾
https://natalie.mu/music/news/267771
乃木坂46白石麻衣、「Pen」“バズる美女”特集号表紙に登場 ナタリー 2018年2月1日 ネタがマンネリ化してなかい？
誰かスレ主が飛びつきそうネタをプリーズ >>467-469
ほんとだな・・、おれ発狂してるね（＾＾
（自分の引用>>462より）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E6%B8%AC%E5%BA%A6
完備測度
カントール集合はボレル集合であるが、測度ゼロであり、そのベキ集合の濃度は実数の濃度よりも厳密に大きい。
したがってカントール集合には、ボレル集合に含まれないような部分集合が存在する。すなわち、ボレル測度は完備ではない。
(引用終り)
ここが、自分で引用していながら、全く読めてなかったな・・・
えーと、ボレル集合は下記か・・。ほんと勉強不足で、分ってないね～
”ボレル集合族は空間の開集合から、 G → G_δσ なる操作を最小の非可算順序数回反復的に適用して「生成」することができる。”か
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88
ボレル集合
(抜粋)
数学におけるボレル集合（ボレルしゅうごう、英: Borel set）は、位相空間の開集合系（あるいは閉集合系）から可算回の合併、交叉、差を取ることによって得られる集合の総称である。
ボレル集合族の生成
言わんとすることは、「ボレル集合族は最小の非可算順序数 ω1 に対する Gω1 に他ならない」ことである。
即ち、ボレル集合族は空間の開集合から、
G → G_δσ
なる操作を最小の非可算順序数回反復的に適用して「生成」することができる。
(引用終り)
つづく >>480 つづき
関連１
http://www.yasuhisay.info/entry/20080605/1212640012
ボレル集合体とはなんぞや yasuhisa's blog 2008-06-05
(抜粋)
ボレル集合体
上のはルベーグ積分から確率論 (共立講座 21世紀の数学)を読んでいたんだけど、以下はルベーグ積分30講 (数学30講シリーズ)を読んだして書いてる。
可算個の開集合の共通部分として表わされる集合をGδ集合と言う。可算個の閉集合の和集合として表わされる集合をFσ集合と言う。
ん。上のからいくとGδとかFσは必ずしも開集合であるとか閉集合であるとは言えない集合のことなんだな。で、GδとかFσに対して色々な操作をしていくことでまた集合を作り出していく。どういう操作かと言えば。
Gδ集合の可算個の和集合を取ると、この集合は一般的には、Gδ集合でもFσ集合でもない。このような集合をGδσ集合という。同様に、Fσ集合の可算個の共通部分として表わされる集合をFσδ集合という。
こんな操作。
積集合を取った集合がいくつかあって、その和集合を考えるもの
和集合を取った集合がいくつかあって、その積集合を考えるもの
という風になっているんっだね。で、前回にやった逆の操作(積なら和、和なら積)という操作をどんどんどんどん繰り返していく。すると部分集合族の系列から新しいタイプの集合が次々と得られる。そしてこの操作をやって得られるRkの部分集合のことをRkのボレル集合と言う。おお、ボレル集合が登場した!!
ボレル集合は、すでに可測であるということが知られている開集合と閉集合から、可算個の和と共通部分と取るという操作を高々加算回繰り返して得られるのだから、これらはすべて可測な集合である、ということが分かる。これから「Rkのボレル集合はすべて可測である」という定理が導ける。これは便利そうな性質というか定理だなー。
(引用終り)
つづく >>481 つづき
関連２
http://rikei-index.blue.coocan.jp/rubeg/syotobore.html
可測集合、ボレル集合 理系インデックス
(抜粋)
定義 （ ボレル集合 ）
∪ｎ を開集合とする。
Ｆｎ を閉集合とする。
次のような集合を考える。
（＊１）∪n=1～∞ Un , ∩n=1～∞ Fn
（＊２）∪m=1～∞ ∩n=1～∞ Un,m , ∩n=1～∞ ∪m=1～∞ Fn,m
（＊３）∩p=1～∞ ∪m=1～∞ ∩n=1～∞ Un,m,p , ∩p=1～∞ ∩n=1～∞ ∪m=1～∞ Fn,m,p
・
・
・
上記のような各集合を 『 ボレル集合』 という。
とくに、（＊１）の集合で、１つ目を 『 Ｇδ集合 』 といい、２つ目を 『 Ｆσ集合 』 という。
また、（＊２）の集合で、１つ目を 『 Ｇδσ集合 』 といい、２つ目を 『 Ｆσδ集合 』 という。
また、（＊３）の集合で、１つ目を 『 Ｇδσδ集合 』 といい、２つ目を 『 Ｆσδσ集合 』 という。
他も同様である。
Ａ７
（１） 開区間は可測である。
（２） 任意の開集合と閉集合はボレル集合に属する。
（３） ボレル集合は可測である。
(引用終り)
つづく >>482 つづき
関連３
http://toodifficult.seesaa.net/article/430734949.html
ボレル集合の理解 世の中わからないことだらけ posted by 無知の人 2015年12月05日
(抜粋)
概説
実数のσ-加法族を考えてみる。
σ-加法族は、確率空間の理解で出てきたものと同じ。定義は、
集合Aのσ-加法族Fとは、Aの部分集合族で以下の性質を満たすもの。
１．Φ∈F
２．P∈F → Pc∈F
３．Pk∈F (k∈N) → ? k=1～∞ Pk∈F
であった。
このA=Rとしたときσ-加法族Fを、実数のボレルσ-加法族と呼びB(R)と表記する。
そして、B(R)に含まれる集合をボレル集合と呼ぶ
どんな集合なのか？
では、実数のボレルσ-加法族はどのような集合で構成されているのかについてみてみる。
１．まずすべての閉区間[a,b]∈Rは含まれている。
２．すべての開区間も含まれる。なぜなら(a,b) = ?k=1～∞[a+1/k,b?1/k]と表現できるから。(定義の3.を適用できる)
３．すべての開集合も含まれる。なぜならすべての開集合は開区間の列の可算個の和集合で表現されるから。(定義の3.を適用できる)
４．すべての閉集合も含まれる。なぜならすべての閉集合は開集合の補集合で表現されるから。(定義の2.を適用できる)
と思いつくようなものは全部含まれている。
つづく >>483 つづき
カントール集合について
上記の4.はわざわざ3.を経由しなくてもいいのではないの？と思わなくもない。
つまり、「すべての閉集合は閉区間の列の可算個の和集合で表現される」でよい気もする。
しかし、「すべての閉集合は閉区間の列の可算個の和集合で表現される」は間違いである。
まず区間C0=[0,1]を3等分する。
真ん中の開区間(1/3,2/3)をくりぬいたC1=[0,1/3]∪[2/3,1]を作る。
さらに残っている区間をさらに3等分して真ん中の開区間をそれぞれくりぬく。
この操作を無限回行ってできた集合C∞をカントール集合という。
くりぬかれた部分全体はいくつもの開区間の和集合であるので開集合である。
開集合の補集合は閉集合であるため、C∞は閉集合である。
このカントール集合にはどのような数が含まれるかを考えてみる。
C0には3進小数表示したときに0.xxxx...となる数がすべて含まれる。
C1には3進小数表示したときに0.0xxx...となる数と0.2xxx...がすべて含まれる。(3進小数表示したらすべての小数は0と1と2で構成される。真ん中をくりぬいたので0.1xxx...は含まれない)
というように考えていくとC∞には3進小数表示したときに1を含まないすべての数をとびとびに含む。
とすると、カントールの対角線論法を使ってC∞の要素数は非可算無限個の和集合であることがわかる。
つまりC∞は閉集合だが閉区間の列の可算個の和集合で表現できない集合となる。
コンパクト性について
同様に、「すべての開集合は開区間の列の可算個の和集合で表現される」は間違いなのではないか？と思うが、これは誤りではない。
「すべての開集合は開区間の列の可算個の和集合で表現される」は実数の性質であり、この性質は実数のコンパクト性から導くことができる。(詳細は略)
(引用終わり)
つづく >>484 つづき
関連４
http://toodifficult.seesaa.net/article/430778352.html
確率変数の理解 世の中わからないことだらけ posted by 無知の人 2015年12月06日
(抜粋)
概説
(Ω,F,P) を確率空間とする。
確率変数は写像X:Ω→Rで、任意のA∈B(R)においてX?1(A)∈Fを満たすもの。
つまり、「Ωのσ-加法族」というよくわからないものから、「実数のσ-加法族」というわかりやすいものに移す写像ということである。
なぜ逆像で定義するのか
「Ωのσ-加法族」というよくわからないものから、「実数のσ-加法族」というわかりやすいものに移す写像ならば、「任意のω∈FにおいてX(ω)∈B(R)となる写像」を考えればいいような気もする。
これらの事象もなんらかボレル集合に割り当てなくてはいけないとなると、これは相当悩ましいし、そんなことで悩むのは無意味である。
なので、あえて逆像で定義して、そういったどうでもいいことが必ずしもボレル集合に割り当たってなくてもいいようにしてある。
じゃあ、ボレル集合側の微妙な要素はどのように処理するかである。
Fはσ-加法族であるので要素にΦを必ずもっているのだから、Φに割り当ててしまえばいい。
先のサイコロの例でいえば[3.1,3.9]というボレル集合について、X?1([3.1,3.9])=Φということになる。
(引用終わり)
以上 >>483 訂正
３．Pk∈F (k∈N) → ? k=1～∞ Pk∈F
↓
３．Pk∈F (k∈N) → ∪ k=1～∞ Pk∈F
(a,b) = ?k=1～∞[a+1/k,b?1/k]
↓
(a,b) = ∪k=1～∞[a+1/k,b-1/k]
文字化けしているな～（＾＾ アクション ポルノスタ カネ ボレル 数式だれかつけて。 どうもスレ主です。
ご無沙汰です。（＾＾
年度末で公私ともに多忙で、アク禁にしていました
読むと書きたくなるし、書くと時間がかかるし、その上レスが付くとそれにまたレスをしてと・・
時間が足りなくなりますので（＾＾ ホーキング博士が死去か
ご冥福をお祈りします・・
（キリスト教ではこういう言い方はしないかもしれませんが）
https://www.nikkei.com/article/DGXMZO28103240U8A310C1MM0000/
ホーキング博士が死去 宇宙論、車いすの天才科学者 日経 2018/3/14
(抜粋)
【ワシントン＝川合智之】複数の米欧メディアは14日、「車いすの天才科学者」として知られる英ケンブリッジ大の宇宙物理学者、スティーブン・ホーキング博士が死去したと報じた。76歳だった。
同氏はＡＬＳ（筋萎縮性側索硬化症）患者として知られ、宇宙論の入門書「ホーキング、宇宙を語る」が世界的なベストセラーになった。
同氏の家族が声明で明らかにした。同氏は宇宙創成やブラックホールのなぞなどを追究。最近では急速に発展する人工知能（ＡＩ）の危険性も指摘していた。
(引用終わり) ホーキング博士のブラックホールの研究
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E6%83%85%E5%A0%B1%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ブラックホール情報パラドックス
(抜粋)
目次
1 原理
2 ホーキング放射
3 パラドックスの解決に向けた主なアプローチ
3.1 情報は失われ回収不能[9][10]
3.2 ブラックホールの蒸発の間、情報は徐々に漏れ出す[9][10]
3.3 ブラックホールの蒸発の最終段階で、情報は突然逃げ出す[9][10]
3.4 情報は、プランクサイズの残骸に保存される[9][10]
3.5 情報は、我々の宇宙から切り離された赤ちゃん宇宙に保存される[10]
3.6 情報は、過去と未来の相関の中で符号化される[12][13]
3.7 情報は失われるのではなく、事象の地平面でファイアウォールから輻射される。[14]
4 関連項目
5 出典
6 外部リンク
1970年代から、スティーブン・ホーキングとヤコブ・ベッケンシュタインは、一般相対性理論と量子場理論に基づき、情報の保存に矛盾するように見えるブラックホール熱力学を創始した。
特に、ホーキングの計算[3]は、ホーキング放射によるブラックホールの蒸発が情報を保存しないことを示した。
今日では、多くの物理学者が、ホログラフィック理論(特にAdS/CFT対応)がホーキングの誤りを示し、情報は実際は保存されると信じている[4]。
2004年、ホーキング自身も賭けに負けたことを認め、ブラックホールの蒸発は、実際は情報を保存していることに同意している。
関連項目
・AdS/CFT対応
・ブラックホールの相補性（英語版）
・宇宙検閲官仮説
・ファイアウォール
・ファズボール（英語版）
・ホログラフィック理論
・マクスウェルの悪魔
・ソーン・ホーキング・プレスキルの論争（英語版）
・ブラックホール脱毛定理（無毛定理，ノーヘア定理）
(引用終わり) 関連
https://japanese.engadget.com/2016/08/17/7/
7年かけて作った「人工ブラックホール」でホーキング放射を初観測。ブラックホールが完全にブラックではない証拠になるか Munenori Taniguchi 2016年8月17日
(抜粋)
イスラエルの科学者ジェフ・スタインハウアーが人工的なブラックホールを製作し、その振る舞いからスティーブン・ホーキング博士が1974年に発表した理論「ホーキング放射」に似た現象を観測したと発表しました。
スタインハウアーが作った人工的なブラックホールは本物のブラックホールのように光を含めて何でも吸い込むというものではなく試験用のチューブ内に流体を流し、
ある地点でそれを音速以上に加速させることで音響的な事象の地平面を生み出すというもの。
本物のブラックホールでは光が逃げられなくなる位置で事象の地平面が発生しますが、この人工ブラックホールでは音が逃げられなくなる位置を事象の地平面とします。
もしかするとこの実験を発端として、ホーキング博士がノーベル賞を受賞するというストーリーもありえるかもしれません。
論文はNature Physics 「Observation of quantum Hawking radiation and its entanglement in an analogue black hole : Jeff Steinhauer」
http://www.nature.com/nphys/journal/vaop/ncurrent/full/nphys3863.html
(引用終わり) ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
