0315現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
2018/02/21(水) 00:17:38.99ID:a52Ma5wE(引用開始)
(>>204より)
1)定理1.7の条件;lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ ( lim supが有限)
↓↑
3)定理1.7の結論;リプシッツ連続 (”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より)(k 有限)
3)が見かけ一番強い条件で、3)→1)を見るのは易しい(>>205に書いた)
だから、1)→3)が言えれば良い
(引用終り)
<経過報告2>
・1)→3)を主張する文献は見つかっていない。というか、命題1)があまり無い。3)のリプシッツ連続は山ほどある(^^
・背理法より、対偶証明で行けるのではと思う
・つまり、¬3)→ ¬1)が言えるだろう
¬1):”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”
つまり、ある開区間(a,b)内で、リプシッツ連続でない点x0があるとして、
x0では、実数y→x0 に対し |f(x0)-f(y)/(x0-y)| →∞ を満たすことになり
↓
lim sup y→x |(f(y) − f(x0))/(y − x0)|= +∞ となる
QED
かな?(^^
・証明? なんか書けるだろう。例えば、ここで背理法で
lim sup y→x |(f(y) − f(x0))/(y − x0)|=k < +∞ にも関わらず、 |f(x0)-f(y)/(x0-y)| →∞ は矛盾とか・・
結局、背理法かも・・
・あんまり進んでないな・・(^^