>>278 追加引用

http://fuchino.ddo.jp/articles/winterreise2016ex.pdf
冬の旅 ? ポーランドとチェコへの数学の旅11 渕野昌 201712
(抜粋)
P22

A.3 測度とカテゴリー(ただし，ここで言うカテゴリーとは，カテゴリー理
論のそれではなく，第１種(first category) および第２種(second category) の集合に関す
る議論のことである．)

ゼロ集合は測度の意味で小さい集合であるのに対し，第１類の集合はカテゴリーの意味で
小さな集合である． なお，第１類の集合は最近の文献ではmeager set と呼ばれることの
方が多いようである． “meager” は「痩せこけた」という意味である．
可算集合は，ゼロ集合，かつ，第１類の集合である．また，カントル集合も，ゼロ集合，
かつ，第１類の集合であるような例の一つである．しかし，ゼロ集合は，必ずしも第１類
の集合であるとは限らないし，逆に，第１類の集合も，必ずしもゼロ集合とは限らない:

定理A.2 第１類の集合M で，R ＼ M がゼロ集合になるようなものが存在する． 特に，
M はゼロ集合ではなく，R ＼M は第１類の集合でない．

上の定理でのM は，カテゴリーの意味では，小さい集合だが，測度の意味では，ほと
んどすべての実数を含んでいることになる．
先に，連続体仮説の仮定のもとで，ゼロ集合と第１類の集合の間に強い形の双対性が成
立すると書いたが，このことは正確に言うと次のようになる:

定理A.3 (シェルピンスキーの双対原理) 連続体仮説を仮定する．この時，全単射f : R →
R で，任意のR の部分集合E に対し，E がゼロ集合であることとf(E) が第１類の集合
であることが同値になるようなものが存在する．

つづく