>>263 つづき

例 （主にリプシッツ連続でない）

連続だが（大域的）リプシッツ連続でない
　・閉区間 [0,?1] 上定義された函数 f(x) = √x はリプシッツ連続でない。この函数は x → 0 の極限で、導函数が無限大に発散するから、いくらでも傾きが急になる。にも拘らずこの函数は一様連続[3]であり、かつ α <= 1/2 に対して C0,α-級ヘルダー連続である。

可微分だが（大域）リプシッツ連続でない
　・函数 f(x) = x^3/2sin(1/x) (x ≠ 0) かつ f(0) = 0 を閉区間 [0,?1] へ制限したものは、コンパクト集合上微分可能だが局所リプシッツでない函数の例を与える。実際、その導函数は有界でない。

解析的だが（大域）リプシッツでない
　・指数函数は x → ∞ でいくらでも傾きがおおきくなるから、大域リプシッツ函数とはならないが、それにもかかわらず解析函数になる。
　・実数全体で定義された函数 f(x) = x^2 はリプシッツでない（x → ∞ でいくらでも傾きが大きくなる）。しかしこれは局所リプシッツである。

つづく