>>248 準備

＜リプシッツ連続まとめ＞

１）いろいろ調べているが、文献が多いのは、圧倒的に”リプシッツ連続”に関すること
２）次が、ディニ微分。ディニ微分に関する和文の文献は数えるほどだ。英文はかなりあるが、本格的な論文か、出版された実解析の教科書がほとんどだな
３）”定理1.7の条件；lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ （ lim supが有限）”は、あまりなさそう。まあ、名前もついていないしね
４）で、”リプシッツ連続”が下記だが、「連続的微分可能 ⊆ リプシッツ連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α <= 1) ⊆ 一様連続 ⊆ 連続函数」で
５）上記１）〜３）は、どれも、「連続的微分可能以上、α-ヘルダー連続 (0 < α <= 1)以下」ってことなので、実関数の同じような性質（傾きがある有限値）を規定しているってことですな

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
直観的には、リプシッツ連続函数は変化の速さが制限される。即ち、適当な有限値の実数が存在して、その函数のグラフ上の任意の二点を結ぶ直線の傾きの絶対値はその実数を超えない。この上界をその函数の「リプシッツ定数」
（あるいは一様連続度（英語版））
https://en.wikipedia.org/wiki/modulus_of_continuity
と呼ぶ。例えば一階微分が有界な任意の函数はリプシッツである[1]。

微分方程式論において、リプシッツ連続性は初期値問題の解の存在と一意性を保証するピカール-リンデレフの定理（英語版）
https://en.wikipedia.org/wiki/Picard%E2%80%93Lindel%C3%B6f_theorem
の中心的な条件である。リプシッツ連続性の特別な場合で、縮小性はバナッハの不動点定理において用いられる。

実数直線の有界閉集合上で定義される函数に関して、以下のような包含関係の鎖が知られている[2]:

連続的微分可能 ⊆ リプシッツ連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α <= 1) ⊆ 一様連続 ⊆ 連続函数.
また、
リプシッツ連続 ⊆ 絶対連続 ⊆ 有界変動 ⊆ 殆ど至る所微分可能
も成り立つ。

つづく