>>24 つづき

（前スレ >>578より（一部修正））具体例で考えてみよう
ここで、ある性質Gで：　f：R → R BfをRの部分集合で、Bf上関数ｆが連続とする
R−Bf上では、ｆは不連続
R−Bfが、ベールの第一類集合で、R中稠密である。このような関数の例として、有名なトマエ関数およびその類似関数がある
上記２）の場合のトマエ関数およびその類似関数においては、無理数で連続だが、ｆが連続な”開区間（a,b）⊂Bf”は、決して存在しない
だから、この場合、”定理1.7のさらに言い換え版”で性質Gを、連続 or 不連続に取った場合、トマエ関数およびその類似関数が反例になる

さて、ある性質G：　f：R → R BfをRの部分集合で、Bf上ｆが不連続として
R−Bf上では、ｆは連続で
R−Bfが、ベールの第一類集合で、R中稠密であるこのような関数。
このような関数は存在しない。つまり、空集合。
∵函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）であり、また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）であるから。（後述wikipediaより）
但し、このような場合は、例外である。

多くの場合は、”補集合 R−BfがR中で稠密“な場合が可能であり、補集合 R−Bfは空集合ではない。

（なお、おそらく、リプシッツ連続とリプシッツ不連続についても、Gδ−Fσ理論が当てはまるように思うが、寡聞にして、そのような記述はまだ知らない。
がもし、これが正しければ、連続・不連続と同じように、リプシッツ不連続点で稠密で可算無限個の存在が可能ということになる。）

つづく