>>213
ご苦労さまです

（引用）
「> ３）その条件は、補集合R−BfがR中稠密な場合は、使えないでしょ
ですので
R-BfがRで稠密な場合は定理の条件を満たすfは存在しないということになります」
(引用終わり)

いやいや、流石にそれは強引な主張では？（下記ご参照）

>あなたが定理を``間違っている''と主張する場合
>R-Bfが稠密でかつ可算個の疎な閉集合で被覆できるfの例を作れなければ
>説得力は皆無ですよ

私の主張は逆で、
定理1.7で、補集合R−BfがR中稠密な場合は、
きちんと、条件設定”補集合R−BfがR中稠密”を付加した上で、そういう関数ｆが存在しないというなら、
それを筋道立てて、証明すべきであると。それをやらないと説得力なしです。

以前も書いたように
ケース１
f : R → R で、Rの部分集合Bfがfの連続な点の集合で、補集合R−Bfが不連続な点の集合の場合

ケース２（上記の逆で）
f : R → R で、Rの部分集合Bfがfの不連続な点の集合で、補集合R−Bfが連続な点の集合の場合

この２つの場合で
ケース１では、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆でき、R中稠密” な関数ｆは存在します。例としては、トマエ関数です
ケース２では、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆でき、R中稠密” な関数ｆは存在しせん。理由は、下記の”不連続性の分類”をご参照ください

なので、問題の定理1.7のR−BfがR中稠密な場合は、きちんとした別証明が必要と思いますよ（みそくそ一緒の定理1.7の証明でなく）
そして、
ケース１のように、そのような「関数ｆ」が存在するなら、系1.8へ定理1.7を適用して矛盾を導くことはできません
ケース２のように、そのような「関数ｆ」が存在しないなら、系1.8の証明は、開区間の存在を経由することはありません

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
不連続性の分類
(抜粋)
関数の不連続点の集合
函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。
(引用終わり)

以上