>>630-631

>原点0は端点で、それ以外の点とは扱いが違うのでは？

[0, +∞）∈R のような端点を持つときは
下記の”（３）　任意の閉集合 Ｆ⊂Ｙ に対し、ｆ^-1（Ｆ）は Ｘ の閉集合になる。”と、閉集合（閉区間）の方が相性がよさそうかな
つまり端点を扱うためには、[0,+δ]と閉区間で扱う方が、すっきりしている

（>>628より）
http://rikei-index.blue.coocan.jp/syugou/syazourenzokusei.html
連続写像（距離空間ｖｅｒ） 理系インデックス
(抜粋)

Ｂ２２ （ 連続性に対する同値条件〜その２ ）
（Ｘ，ｄＸ）、（Ｙ，ｄＹ）を距離空間とする。
ｆ：Ｘ→Ｙ を写像とする。
このとき、次は同値である。
（１）　ｆ は連続写像である。
（２）　任意の開集合 Ｏ⊂Ｙ に対し、ｆ^-1（Ｏ）は Ｘ の開集合になる。
（３）　任意の閉集合 Ｆ⊂Ｙ に対し、ｆ^-1（Ｆ）は Ｘ の閉集合になる。

(引用終り)