>>626-627
どうも。スレ主です。

そこらは、私も不得意科目なので・・、一緒に勉強しよう（＾＾
えーと、図があるといいね・・、と・・、下記に図二つあるが、これどう？

あと、”ｆ：Ｘ→Ｙ を連続写像とする。
Ａ を Ｘ の開集合とする。
このとき、ｆ（Ａ）が Ｙ の開集合になるとは限らない。
例えば、次のように定める。
ｆ：R→R、f(x) ＝ x^2
このとき、開区間（－１、１）の像は ｆ（－１、１）＝[０、１）となって開区間ではない。”

の例示はどうかな？　分り易いんじゃないかな？

http://rikei-index.blue.coocan.jp/syugou/syazourenzokusei.html
連続写像（距離空間ｖｅｒ） 理系インデックス
(抜粋)
参考
なぜ、Ｂ２１（１）～（３）が写像の連続性を表していることになるのだろうか？
そこで、とくに（２）に注目してみよう。
点 ａ で連続な写像を図示すると、
・・
不連続の場合、δをどのようにとっても ｆ（Ｓ（ａ、δ））⊂Ｓ（ｆ（ａ）、ε）となるようにできない。

Ｂ２２ （ 連続性に対する同値条件～その２ ）
（Ｘ，ｄＸ）、（Ｙ，ｄＹ）を距離空間とする。
ｆ：Ｘ→Ｙ を写像とする。
このとき、次は同値である。
（１）　ｆ は連続写像である。
（２）　任意の開集合 Ｏ⊂Ｙ に対し、ｆ^-1（Ｏ）は Ｘ の開集合になる。
・・
（（４）（５）略す）

参考
ｆ：Ｘ→Ｙ は連続写像でないとする。
このとき、次が成り立つとは限らない。
（式と図略す）

参考
次のような関数を 『 ディリクレの関数 』 という。
略
このとき、開区間（１/２、３/２）の逆像は有理数全体である。
しかし、有理数全体は開集合でない。
実際、点 ｑ∈Ｑ に対し、ε近傍（ｑ－ε、ｑ＋ε）をとると、必ずここには無理数が属する。
これは Ｑ が開集合でないことを意味する。（※Ｂ７）

参考
ｆ：Ｘ→Ｙ を連続写像とする。
Ａ を Ｘ の開集合とする。
このとき、ｆ（Ａ）が Ｙ の開集合になるとは限らない。
例えば、次のように定める。
ｆ：R→R、f(x) ＝ x^2
このとき、開区間（－１、１）の像は ｆ（－１、１）＝[０、１）となって開区間ではない。
(引用終り)