現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む50

2018/01/21(日) 10:58:57.30

“現代数学の系譜物理工学雑談古典ガロア理論も読む”

数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。

皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾）

このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾

話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾

High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。）

2018/02/09(金) 22:03:27.30

>>624 つづき

性質[編集]
関数 f : X → Y が開であることとすべての x ∈ X と x のすべての（いくらでも小さい）近傍 U に対して f(x) のある近傍 V が存在して V ⊂ f(U) であることは同値である。

X の基底について開かどうかを調べれば十分である。つまり、関数 f : X → Y が開であることと f が基本開集合を開集合に写すことは同値である。

開および閉写像の定理[編集]
いつ写像が開あるいは閉であるかを決定するための条件を持っていることは有用である。以下はこれらのラインに沿ったいくつかの結果である。

閉写像補題 (closed map lemma) は次のように述べている。コンパクト空間 X からハウスドルフ空間 Y へのすべての連続関数 f : X → Y は閉かつ proper （すなわちコンパクト集合の逆像はコンパクトである）である。この結果の変種は次のように述べている。局所コンパクトハウスドルフ空間の間の連続関数が proper であれば閉でもある。

関数解析において、開写像定理は次のように述べている。バナッハ空間の間のすべての全射連続線型作用素は開写像である。

複素解析において、同じ名前の開写像定理は次のように述べている。複素平面の連結開部分集合上定義されたすべての非定数正則関数は開写像である。

定義域の不変性（英語版）定理は次のように述べている。2 つの n-次元位相多様体の間の連続かつ局所単射関数は開でなければならない。

(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/09(金) 22:10:57.11

>>624
連続が単に定義であるなら、開写像かつ逆写像が連続であるではなぜいけないんだろう
元の連続の定義よりより強くていいと思うんだけど
一方向だげ満たすというのがどうも気持ち悪い

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/09(金) 22:12:23.69

訂正
開写像かつ逆写像が開を連続である

2018/02/11(日) 00:09:07.77

>>626-627
どうも。スレ主です。

そこらは、私も不得意科目なので・・、一緒に勉強しよう（＾＾
えーと、図があるといいね・・、と・・、下記に図二つあるが、これどう？

あと、”ｆ：Ｘ→Ｙを連続写像とする。
ＡをＸの開集合とする。
このとき、ｆ（Ａ）がＹの開集合になるとは限らない。
例えば、次のように定める。
ｆ：R→R、f(x) ＝ x^2
このとき、開区間（－１、１）の像はｆ（－１、１）＝[０、１）となって開区間ではない。”

の例示はどうかな？　分り易いんじゃないかな？

http://rikei-index.blue.coocan.jp/syugou/syazourenzokusei.html
連続写像（距離空間ｖｅｒ）理系インデックス
(抜粋)
参考
なぜ、Ｂ２１（１）～（３）が写像の連続性を表していることになるのだろうか？
そこで、とくに（２）に注目してみよう。
点ａで連続な写像を図示すると、
・・
不連続の場合、δをどのようにとってもｆ（Ｓ（ａ、δ））⊂Ｓ（ｆ（ａ）、ε）となるようにできない。

Ｂ２２（連続性に対する同値条件～その２）
（Ｘ，ｄＸ）、（Ｙ，ｄＹ）を距離空間とする。
ｆ：Ｘ→Ｙを写像とする。
このとき、次は同値である。
（１）　ｆは連続写像である。
（２）　任意の開集合Ｏ⊂Ｙに対し、ｆ^-1（Ｏ）はＸの開集合になる。
・・
（（４）（５）略す）

参考
ｆ：Ｘ→Ｙは連続写像でないとする。
このとき、次が成り立つとは限らない。
（式と図略す）

参考
次のような関数を『ディリクレの関数』という。
略
このとき、開区間（１/２、３/２）の逆像は有理数全体である。
しかし、有理数全体は開集合でない。
実際、点ｑ∈Ｑに対し、ε近傍（ｑ－ε、ｑ＋ε）をとると、必ずここには無理数が属する。
これはＱが開集合でないことを意味する。（※Ｂ７）

参考
ｆ：Ｘ→Ｙを連続写像とする。
ＡをＸの開集合とする。
このとき、ｆ（Ａ）がＹの開集合になるとは限らない。
例えば、次のように定める。
ｆ：R→R、f(x) ＝ x^2
このとき、開区間（－１、１）の像はｆ（－１、１）＝[０、１）となって開区間ではない。
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/11(日) 10:54:30.13

>>628
ｆ：R→R、f(x) ＝ x^2
の例についてはよく挙がるけど、
g：R→R、g(x) ＝ √x
とすると、これは同じ理由で逆写像が開にならないと思うんだけど、
どう考えたらいいだろう。

2018/02/11(日) 12:56:12.78

>>629

どうも。スレ主です。
いやー、難しい質問だね

>ｆ：R→R、f(x) ＝ x^2
>の例についてはよく挙がるけど、
>g：R→R、g(x) ＝ √x
>とすると、これは同じ理由で逆写像が開にならないと思うんだけど、
>どう考えたらいいだろう。

それ、考えている世界が、ｆ：R→R の一価の実関数でしょ
だから、それ実は、ｆ：[0, +∞） → [0, +∞）∈R という”始域→終域”で考えているわけかな
（全体集合が、 [0, +∞）∈Rだと）
だから、原点0は端点で、それ以外の点とは扱いが違うのでは？

2018/02/11(日) 12:58:06.32

>>630 つづき

あと、これどうかな？
これも、端点0は、別扱いだ
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11132416991
(抜粋)
yawara1312さん2014/7/2614:07:19 yahoo
√xが[0,∞)で連続であることを示せ
ε-δ論法を用いて証明する問題なのですが考え方がわかりません。

ベストアンサーに選ばれた回答
macchingnさん 2014/7/2619:04:47

[1]まず、√x→√a (x→a) (a>0)を示します。
つまり、∀ε>0, ∃δ>0 s.t. |x-a|<δ ⇒ |√x-√a|<εを証明します。

δ=ε√aとすると上手くいきます。

|√x-√a|=|x-a|/(√ｘ+√a)
<δ/(√ｘ+√a) （|x-a|<δより）
<δ/√a
=ε （δ=ε√aより）
したがって、 |√x-√a|<ε

[2]次に、√x→0 (x→+0)を示します。
∀ε>0, ∃δ>0 s.t. 0≦x<δ ⇒ √x<εを証明します。

δ=ε^2とすれば、0≦x<ε^2 ⇒ √x<ε となるので、
[0,∞)で連続であることが証明できました。
(引用終り)

2018/02/11(日) 17:24:15.87

>>630-631

>原点0は端点で、それ以外の点とは扱いが違うのでは？

[0, +∞）∈R のような端点を持つときは
下記の”（３）　任意の閉集合Ｆ⊂Ｙに対し、ｆ^-1（Ｆ）はＸの閉集合になる。”と、閉集合（閉区間）の方が相性がよさそうかな
つまり端点を扱うためには、[0,+δ]と閉区間で扱う方が、すっきりしている

（>>628より）
http://rikei-index.blue.coocan.jp/syugou/syazourenzokusei.html
連続写像（距離空間ｖｅｒ）理系インデックス
(抜粋)

Ｂ２２（連続性に対する同値条件～その２）
（Ｘ，ｄＸ）、（Ｙ，ｄＹ）を距離空間とする。
ｆ：Ｘ→Ｙを写像とする。
このとき、次は同値である。
（１）　ｆは連続写像である。
（２）　任意の開集合Ｏ⊂Ｙに対し、ｆ^-1（Ｏ）はＸの開集合になる。
（３）　任意の閉集合Ｆ⊂Ｙに対し、ｆ^-1（Ｆ）はＸの閉集合になる。

(引用終り)

2018/02/11(日) 17:24:53.71

あと、１レスで512KBオーバーかな

2018/02/11(日) 20:10:14.26

まだあれば、512KBオーバーは次スレな

2018/02/12(月) 17:03:50.82

>>632 補足
開集合のままでも、端部の0を含む区間は[0, +δ)になって開集合から外れるので、「（２）　任意の開集合Ｏ⊂Ｙに対し、ｆ^-1（Ｏ）はＸの開集合になる。」とは矛盾しないのだが・・

2018/02/12(月) 17:15:04.70

こうやって、ちびちび書くと暫くもつが、量が多いと１レスでアウトなんだ（＾＾

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