現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む50

2018/01/21(日) 10:58:57.30

“現代数学の系譜物理工学雑談古典ガロア理論も読む”

数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。

皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾）

このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾

話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾

High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。）

2018/02/07(水) 19:52:26.11

あなたは、定理1.7に賛成なんだろ？
もっとはっきり言ってあげたらどうかね？

「定理1.7は素晴らしい」とか
そうすれば、"君は
自分が数学的発言を一切していないことに思いを致すべきかな"という批判に、多少応えたことになる

2018/02/07(水) 20:08:28.25

>>579
ご苦労さまです

>性質G：その集合は「空集合である∨空集合でない」
>という条件を採用すればよい(恒真な条件)。このとき、どんな集合も性質Gを持つので、
>Bf も R－Bf も性質Gを持つことになる。
>＞（なお、当然ながら、R－Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する）
>この部分は間違いということになる。

それ勘違いだろ。
「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」の部分は、それ定義だから
つまり、>>568 定理1.7の「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」の定義部分で
”{x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”を、”Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする”としただけだから
補集合は、必ず、”性質NGを持つ”ことになる。それ集合論の基本だよ（下記など）

>性質G：その集合は「ある開区間を含む」
>というものであるから、Gという一般的な表記は使わずに、最初から決め打ちで
>このように書いてしまえばいいのである。

いやいや、こうやって、性質Gを抽象化することで、数理の真相がよく分るんだ
つまり、”性質G”は開集合が取れるかどうかには殆ど影響せず、”補集合 R－BfがR中で稠密か否かが決定的”だということ

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%AE%E9%9B%86%E5%90%88
差集合
(抜粋)
補集合
(引用終り)

2018/02/07(水) 20:26:38.58

>>580-582
>そして、"性質G：その集合は「ある開区間を含む」" と決め打ちした場合、お前が書いた

何だよ、勝手に話を、自分流に解釈して、命題P、Qなどを書き換えてしまったのかい？

違うよ >>577より、ここを詳しく解説すると

”定理1.7のさらに言い換え版
＜条件（仮定）＞
・命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
・命題Q’：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
＜結論＞
・命題Q：「この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」

命題P’、Q’、Qの意味は、上記の通りだよ

この前提で、”命題Q’では、ベールの第一類集合R－Bfについて、１）R中稠密でない場合、２）R中稠密な場合に、二分できる。”としている
以上

なお、>>590より ”いやいや、こうやって、性質Gを抽象化することで、数理の真相がよく分るんだ
つまり、”性質G”は開集合が取れるかどうかには殆ど影響せず、”補集合 R－BfがR中で稠密か否かが決定的”だということ”を再度強調しておくよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/07(水) 20:35:39.20

開写像と連続の違いを教えて
なぜ開写像が連続の定義じゃダメなのかも

2018/02/07(水) 20:51:30.15

えーと、あと、これか？

>>572-575

まず、最初に>>562に桂田祐史の講義で例示しているが
命題が真というだけなら
”例1.6 「1 + 1 = 2 → √2 は無理数」は真。「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真。”ってことだよ

だが、「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は、条件命題が偽で、全体の命題としては真だ
だが、それは教科書は論文の定理としては、相応しくないだろ？相応しいと主張したいのか？

さて
>・定理1.7.2 は仮定が偽の命題である

えーと>>565より
”定理1.7.2：
R－B_f が第一類集合かつ R－B_f が R の中で稠密ならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である。”

だったね？　「仮定が偽の命題である」かどうか？
それは、別に証明されるべきだろ？
というか、それが本来証明されるべき数学の真っ当な定理としての命題だよ

まあ、あなたは、そういう関数f：R → R は存在しない（空集合）と言いたいわけだ

だったら、
”R－B_f が第一類集合かつ R－B_f が R の中で稠密ならば、そういう関数f：R → R は存在しない（空集合）”という命題を立てて証明すべき
”R－B_f が第一類集合かつ R－B_f が R の中で稠密ならば、そういう関数f：R → R はある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”
という命題は立てるべきではない

その証明は、定理1.7を証明したと主張する人の義務であって、他人に要求すべきものではないだろう
（繰返すが、まっとうな数学の定理としては、条件命題の真偽は別にきちんと確認なり証明すべきことだと思うよ。
　そうでなければ、”「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真。”（桂田祐史）と言っているのと同じだろ？）

なお、定理1.7で一番のキモは、”R－B_f が R の中で稠密”な場合の扱いであるということを、再度強調しておくよ

以上

2018/02/07(水) 20:55:36.50

>>592
どうも。スレ主です。

それな、下記の”分からない問題”スレにも投稿してな
それで、解決しない場合に戻ってきて

なお、もし戻ることになるなら、出典を明示するように
できれば、”分からない問題”スレに投稿するときも、出典明示した方が良いと思うよ

分からない問題はここに書いてね440
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1516423026/

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/07(水) 21:09:54.24

>>594
どもです

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/07(水) 23:48:39.50

>>590
＞”{x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”を、”Rの部分集合で、
＞ある性質Gを持つとする”とただけだから
＞補集合は、必ず、”性質NGを持つ”ことになる。それ集合論の基本だよ（下記など）

一般の性質Gを考えた場合、お前のその発言は間違っている。たとえば、性質Gとして

性質G：その集合は「空集合である∨空集合でない」

という条件を採用すればよい(恒真な条件, >>579)。
このとき、どんな集合も性質Gを持つので、Bf も R－Bf も性質Gを持つことになる。特に、

＞（なお、当然ながら、R－Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する）

この部分は間違いということになる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/07(水) 23:52:19.51

>>590
＞何だよ、勝手に話を、自分流に解釈して、命題P、Qなどを書き換えてしまったのかい？

お前の持ち出した

命題Q：「この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」

という命題が、もともとの結論である

命題Qa：f はある開区間の上でリプシッツ連続である

と一致するためには、性質G として一般的なものを採用することが出来ない。
すなわち、正しい言い換えになるような特定の G に決め打ちしなければ、
定理1.7 の言い換えにならないのである。ゆえに、こちらで G の実態を推測して
決め打ちしたのである。自分流もクソもない。お前が持ち出した G とかいう
ゴミのような書き方が原因である。読み手に大きな推測をさせなければ
意味が伝わらないようなゴミのような文章を書いているお前の責任である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/07(水) 23:57:34.52

>>590
そして、G として実際には何を採用すればいいのかというと、1つの採用の仕方は、
既に書いたように、"性質G：その集合は「ある開区間を含む」 " というものである。
しかし、この場合、命題Q は

命題Q　：「R中にある開区間の上で、その開区間はある開区間を含むとする」

というアホな日本語に置き換えられるので、Qa と一致しない。
今度は Qa を基準にして G を探ってみると、

性質G： f はその集合の上でリプシッツ連続である

とすれば、命題Q は正しく Qa に置き換えられる。しかし、今度は

命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」

の部分がおかしなことになる。なぜなら、この部分は

命題P’：「Bf :Rの部分集合で、f は B_f の上でリプシッツ連続である」

というものになってしまうからだ。定理1.7 では、このような仮定は置いていないし、
一般論として考えてみても、f は必ずしも B_f の上でリプシッツ連続ではないので、
結局、この G でも正しい言い換えにならなくなる。

では、G として一体何を採用すれば、正しく定理1.7 の言い換えが出来るようになるのか？
俺は知らないｗ
スレ主とかいうゴミクズが勝手に G を導入しただけであるから、真相はスレ主しか知らない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/08(木) 00:01:58.70

>>590
キリがないので、G を決め打ちせずに、抽象的な G のままで話を進めることにする。
このとき、スレ主の言い分は次のようなものである。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
命題Q’：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
命題Q：「R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」

P＝P’∧Q’と置く。P → Q が真であるか否かを考えたい。R－Bf について、

(1) R中稠密でない場合、(2) R中稠密な場合

の2つに場合分けすることにする。すなわち、以下の2つのケースに場合分けすることにする。

命題Q’1：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。」
命題Q’2：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」

(2) の場合は、暗に "￢Q" を含意していることに注意する。また、(2) の場合は、

P’∧Q’2 → Q

という命題になっている。この命題は「命題レベルで矛盾している」ので、証明不可能。
すなわち、(2)の場合は「命題レベルで矛盾している」ので、証明不可能。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

これがお前の言い分であるが、>>573-575 で既に指摘したように、
(2)のケースは必ずしも命題レベルで矛盾していないことに注意せよ。
なぜなら、P’∧Q’2 が偽の場合は、「 P’∧Q’2 → Q　」全体は真になるからだ。
従って、お前の上記の言い分はここで失敗に終わることになる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/08(木) 00:05:55.16

それでもなお、上記の論法を続けたいなら、お前は
P’∧Q’2 が真になるような f の具体例を1つ挙げなければならない。
でなければ、(2)が命題レベルで矛盾していることが言えていない。
すなわち、お前は次のように主張しなければならない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(2)の場合は、P’∧Q’2 → Q という命題になっている。もし P’∧Q’2 が
常に偽ならば、命題全体としては真ということになるが、しかし実際には、
P’∧Q’2 が真になるような f の具体例が存在するので、P’∧Q’2 → Q という命題は
命題レベルで矛盾を含むことになり、証明不可能である。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

では、P’∧Q’2 が真になるような f の具体例を1つ挙げよ。

もちろん、定理1.7の正しい言い換えが得られるような性質G のもとで、な。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/08(木) 00:10:40.26

>>593
＞だが、「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は、条件命題が偽で、全体の命題としては真だ
＞だが、それは教科書は論文の定理としては、相応しくないだろ？相応しいと主張したいのか？

そのような命題が「全体の命題としては真」であることを認めるなら、
お前の論法はそこで破綻することになる。
なぜなら、お前は (2) のケースを無条件で「命題レベルで矛盾している」と言い張っていたからだ。
実際には、(2) のケースは必ずしも矛盾しているとは言えない。まず、

P∧ notQ → Q

という命題の場合には、この命題は必ずしも矛盾していない。
なぜなら、P∧ notQ の部分が偽なら、命題全体としては真だからだ。同じく、

P’∧Q’2 → Q

という命題の場合にも、この命題は必ずしも矛盾していない。
なぜなら、P’∧Q’2 の部分が偽なら、命題全体としては真だからだ。

それでもなお、(2) のケースを「矛盾している」と主張したいのなら、
お前は P∧ notQ や P’∧Q’2 が真になるような f の具体例を1つ挙げなければならない。

では、そのような f の具体例を1つ挙げよ。
もちろん、定理1.7の正しい言い換えが得られるような性質G のもとで、な。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/08(木) 00:17:44.89

>>593
＞だったね？　「仮定が偽の命題である」かどうか？
＞それは、別に証明されるべきだろ？
＞というか、それが本来証明されるべき数学の真っ当な定理としての命題だよ

定理1.7 により、定理1.7.2 は仮定が偽の命題であることが即座に従うｗ

＞その証明は、定理1.7を証明したと主張する人の義務であって、他人に要求すべきものではないだろう

証明は既に終わっている。
定理1.7 により、定理1.7.2 は仮定が偽の命題であることが即座に従うｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/08(木) 00:21:02.93

>>593
＞なお、定理1.7で一番のキモは、”R－B_f が R の中で稠密”な場合の扱いであるということを、再度強調しておくよ

間違っている。定理1.7 では、R－B_f が R の中で稠密かどうかという場合分けは全く必要ない。
場合分けしても間違いではないが、しかし無意味である。
……俺のこのような意見に対して、お前は次のような論法を使って批判してきたのだった。

・ R－B_f が R の中で稠密かどうかを場合分けせずに、定理1.7 が証明できるわけがない。
・実際、定理1.7 を (1),(2) で場合分けすれば、(2) のケースは命題レベルで矛盾している。
・ゆえに、定理1.7 は (1) のケースでしか証明できないはずだ。

しかし、お前のこの論法には大きな穴があることを何度も指摘した。具体的には、
(2)が命題レベルで矛盾していると主張するお前のロジックに大きな穴がある。
なぜなら、もし(2)の仮定の部分が偽ならば、(2)は命題として真になるからだ。
すなわち、もし(2)の仮定の部分が偽ならば、お前の上記の批判は効力を失うことになるのである。
従って、(2)が矛盾していると主張するためには、(2) の仮定の部分が真になるような
f の具体例を1つ挙げなければならないのである。すなわち、お前は P∧ notQ や P’∧Q’2 が
真になるような f の具体例を1つ挙げなければならないのでる。でなければ、お前の上記の批判は成立しない。

では、そのような f の具体例を1つ挙げよ。
すなわち、P∧ notQ や P’∧Q’2 が真になるような f の具体例を1つ挙げよ。

もちろん、定理1.7の正しい言い換えが得られるような性質G のもとで、な。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/08(木) 04:12:18.61

>>577
>命題Q＝Q’1∨Q’2 と書けると言っているだけの話で、なんら作為的に￢Qを付加して、「P∧￢Q→Q」を主張しているわけではないよ
>
>但し、命題Q’2の場合は、暗に”￢Q”を含意していて、お二人とも、それを看過していると
Q=Q'1∨Q'2であってかつQ'2が￢Qを含意しているとは意味不明です
含意するとは￢Q->Q'2が真という意味ですか？ならば
￢Q->Q'2が真とQ'2->Qが真ということから￢Q->Qが真ということが出ますが
それはQが真（fによらず真）ということを意味していますよ
あるいはQ'2->￢Qが真という意味ですか？ならば
￢Q=￢Q'1∧￢Q'2->￢Q'2が真ですのでQ'2->￢Q'2が真となり
それはQ'2が偽（fによらず偽）ということを意味します

2018/02/08(木) 10:46:30.37

>>595

どうもスレ主です。
あんまりレスついていなようだが、下記旧分からない問題スレ438で類似質問があり、319にレスがついているのでご参考
なお、あまりに漠然とした質問だと、レスが付きにくい。ここまで分かって、ここからが分からないという書き方が良いと思うよ

分からない問題はここに書いてね438
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1511609929/318-319
318 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/03(日) 23:39:05.39 ID:YCdbXvQv
位相空間(S,O)から(S',O')への写像fで、連続写像でも閉写像でもないが開写像となるような写像。連続写像でも開写像でもないが閉写像となるような写像。
このような写像は存在しますか？それぞれの例を教えて下さい。
(引用終わり)

2018/02/08(木) 10:49:17.70

>>596-603

いっぱい書いたね
スレが、パンクしそうだよ
いま職場なのであとでな

2018/02/08(木) 10:59:43.54

>>577 ごめん訂正

命題Q＝Q’1∨Q’2 と書けると言っているだけの話で、なんら作為的に￢Qを付加して、「P∧￢Q→Q」を主張しているわけではないよ
　↓
命題Q’＝Q’1∨Q’2 と書けると言っているだけの話で、なんら作為的に￢Qを付加して、「P∧￢Q→Q」を主張しているわけではないよ

補足：
命題Q＝Q’1∨Q’2 と書ける → 命題Q’＝Q’1∨Q’2 と書ける
ということ
最初の書き方だと、まったく意味不明でした。「’」一つで意味が変わってしまう。こわいこわい。
試験では注意しましょうね。答案の提出前点検が必要だよ（＾＾

2018/02/08(木) 11:08:10.05

>>604
どうもスレ主です。
これは、「ぷふ」さんですね

>Q=Q'1∨Q'2であってかつQ'2が￢Qを含意しているとは意味不明です

すみません。訂正>>607を入れましたｍ（＿＿）ｍ

>>577より
命題Q’2：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」

命題Qは、>>591
＜結論＞
・命題Q：「この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」
(引用終わり)

です。
Bfが性質Gを持ち、補集合R－Bfが性質NGを持つ。
補集合R－Bfが、「ベールの第一類集合で、R中稠密である」との仮定から、「R中にある開区間の上で、性質Gを持つ」は否定されます。

言いたいことは以上です。
訂正と回答です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/08(木) 17:50:56.71

まだ書き込めるかなっと。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/08(木) 17:51:39.97

もういっちょ
まだ書き込めるかなっと

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/08(木) 17:52:37.19

おっ、意外といける
まだ書き込めるかなっと

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/08(木) 17:54:10.99

虚しくなってきたのでこれで最後にします
まだ書き込めるかなっと

2018/02/08(木) 18:20:06.82

ご苦労様でした。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/08(木) 21:06:20.68

おっちゃんです。
スレ主君、元気ですか？

じゃ、おっちゃん寝る。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/08(木) 21:11:10.37

意外だったが、「プ」君とスレ主とが別人(らしい)ということは分かった。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/08(木) 21:16:11.47

寝ている途中でたまたま起きて書いたに過ぎず、
このまま続けて書くと睡眠不足になるのでまた寝ます。

じゃ、おっちゃん寝る。

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/08(木) 21:52:21.21

>>588
”息をするように間違言えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。”

ID:hREHM7MHさんに賛成です（＾＾

2018/02/08(木) 22:14:11.78

新スレを立てた。このスレはもうすぐ512KBオーバーで書けなくなる。そのときは下記新スレへどうぞ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518094687/
現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む51

2018/02/08(木) 22:15:42.55

>>617
そうそう、それで良い
それでこそ男の子だ
母親のスカートの中に隠れるようなまねで、逃げ回っていたらだめだ。
数学でも同じだ

2018/02/08(木) 22:23:24.12

>>614-616
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう

>意外だったが、「プ」君とスレ主とが別人(らしい)ということは分かった。

おっちゃん、にもようやく分ってもらって、安心しました（＾＾
まあ、思うに、「プ」さんはきっと数学科出身みたいだね
そんな雰囲気がある
私らド素人とは、思考方法が違う
そこらは、彼の書き込みをみれば、すぐ分るでしょ？（＾＾

2018/02/08(木) 22:29:51.11

>>617
>”息をするように間違言えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。”

全て当たっている。正しい。（＾＾
だが、定理1.7についての問題点は、あなたにも分るように、再度整理しますよ（＾＾
ここは、ゆずるつもりはない
順次書いていくので、少々お待ちください

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/08(木) 23:02:44.28

逃げぷは完全に間違ってるよ　少なくとも時枝記事では
本人も悟ったか逃げに徹しているｗ

2018/02/09(金) 11:21:37.10

>>618

あとを続けるには、”余白が狭すぎる”ので、新スレに移ってください。
ここは、あとで、>>605関連の連続写像のコピペでも貼って埋めます

http://dic.nico
video.jp/a/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
単語記事: フェルマーの最終定理ニコニコ大百科
(抜粋)
私はこの定理について真に驚くべき証明を発見したが、ここに記すには余白が狭すぎる。（フェルマー）
(引用終わり)

2018/02/09(金) 22:02:43.95

>>592
知っていると思うが、下記を貼る（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%8B%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%A8%E9%96%89%E5%86%99%E5%83%8F
開写像と閉写像
(抜粋)
位相空間論において、開写像 (open map) は2つの位相空間の間の開集合を開集合に写す関数である[1]。つまり、関数 f : X → Y が開であるとは、X の任意の開集合 U に対して、像 f(U) が Y において開であるということである。同様に、閉写像 (closed map) は閉集合を閉集合に写す関数である。
開写像が閉写像であるとは限らないし、閉写像が開写像であるとも限らない[2]。
開写像も閉写像も連続であるとは限らない。それらの定義はより自然に見えるが、開写像や閉写像は連続写像よりはるかに重要でない。定義によって関数 f : X → Y が連続であるとは Y のすべての開集合の原像が X において開であるということであることを思い出そう。（同じことであるが、Y のすべての閉集合の原像が X において閉であるということである。）

例[編集]
すべての同相写像は開、閉、連続である。実際、全単射な連続写像が同相写像であることと開写像であること、あるいは同じことだが、閉写像であることは同値である。

Y が離散位相を持っていれば（すなわちすべての部分集合が開かつ閉であれば）すべての関数 f : X → Y は開写像かつ閉写像である（が連続であるとは限らない）。例えば、R から Z への床関数は開かつ閉だが、連続でない。この例は連結空間の開あるいは閉写像による像が連結であるとは限らないことを示している。

つづく

2018/02/09(金) 22:03:27.30

>>624 つづき

性質[編集]
関数 f : X → Y が開であることとすべての x ∈ X と x のすべての（いくらでも小さい）近傍 U に対して f(x) のある近傍 V が存在して V ⊂ f(U) であることは同値である。

X の基底について開かどうかを調べれば十分である。つまり、関数 f : X → Y が開であることと f が基本開集合を開集合に写すことは同値である。

開および閉写像の定理[編集]
いつ写像が開あるいは閉であるかを決定するための条件を持っていることは有用である。以下はこれらのラインに沿ったいくつかの結果である。

閉写像補題 (closed map lemma) は次のように述べている。コンパクト空間 X からハウスドルフ空間 Y へのすべての連続関数 f : X → Y は閉かつ proper （すなわちコンパクト集合の逆像はコンパクトである）である。この結果の変種は次のように述べている。局所コンパクトハウスドルフ空間の間の連続関数が proper であれば閉でもある。

関数解析において、開写像定理は次のように述べている。バナッハ空間の間のすべての全射連続線型作用素は開写像である。

複素解析において、同じ名前の開写像定理は次のように述べている。複素平面の連結開部分集合上定義されたすべての非定数正則関数は開写像である。

定義域の不変性（英語版）定理は次のように述べている。2 つの n-次元位相多様体の間の連続かつ局所単射関数は開でなければならない。

(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/09(金) 22:10:57.11

>>624
連続が単に定義であるなら、開写像かつ逆写像が連続であるではなぜいけないんだろう
元の連続の定義よりより強くていいと思うんだけど
一方向だげ満たすというのがどうも気持ち悪い

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/09(金) 22:12:23.69

訂正
開写像かつ逆写像が開を連続である

2018/02/11(日) 00:09:07.77

>>626-627
どうも。スレ主です。

そこらは、私も不得意科目なので・・、一緒に勉強しよう（＾＾
えーと、図があるといいね・・、と・・、下記に図二つあるが、これどう？

あと、”ｆ：Ｘ→Ｙを連続写像とする。
ＡをＸの開集合とする。
このとき、ｆ（Ａ）がＹの開集合になるとは限らない。
例えば、次のように定める。
ｆ：R→R、f(x) ＝ x^2
このとき、開区間（－１、１）の像はｆ（－１、１）＝[０、１）となって開区間ではない。”

の例示はどうかな？　分り易いんじゃないかな？

http://rikei-index.blue.coocan.jp/syugou/syazourenzokusei.html
連続写像（距離空間ｖｅｒ）理系インデックス
(抜粋)
参考
なぜ、Ｂ２１（１）～（３）が写像の連続性を表していることになるのだろうか？
そこで、とくに（２）に注目してみよう。
点ａで連続な写像を図示すると、
・・
不連続の場合、δをどのようにとってもｆ（Ｓ（ａ、δ））⊂Ｓ（ｆ（ａ）、ε）となるようにできない。

Ｂ２２（連続性に対する同値条件～その２）
（Ｘ，ｄＸ）、（Ｙ，ｄＹ）を距離空間とする。
ｆ：Ｘ→Ｙを写像とする。
このとき、次は同値である。
（１）　ｆは連続写像である。
（２）　任意の開集合Ｏ⊂Ｙに対し、ｆ^-1（Ｏ）はＸの開集合になる。
・・
（（４）（５）略す）

参考
ｆ：Ｘ→Ｙは連続写像でないとする。
このとき、次が成り立つとは限らない。
（式と図略す）

参考
次のような関数を『ディリクレの関数』という。
略
このとき、開区間（１/２、３/２）の逆像は有理数全体である。
しかし、有理数全体は開集合でない。
実際、点ｑ∈Ｑに対し、ε近傍（ｑ－ε、ｑ＋ε）をとると、必ずここには無理数が属する。
これはＱが開集合でないことを意味する。（※Ｂ７）

参考
ｆ：Ｘ→Ｙを連続写像とする。
ＡをＸの開集合とする。
このとき、ｆ（Ａ）がＹの開集合になるとは限らない。
例えば、次のように定める。
ｆ：R→R、f(x) ＝ x^2
このとき、開区間（－１、１）の像はｆ（－１、１）＝[０、１）となって開区間ではない。
(引用終り)

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/11(日) 10:54:30.13

>>628
ｆ：R→R、f(x) ＝ x^2
の例についてはよく挙がるけど、
g：R→R、g(x) ＝ √x
とすると、これは同じ理由で逆写像が開にならないと思うんだけど、
どう考えたらいいだろう。

2018/02/11(日) 12:56:12.78

>>629

どうも。スレ主です。
いやー、難しい質問だね

>ｆ：R→R、f(x) ＝ x^2
>の例についてはよく挙がるけど、
>g：R→R、g(x) ＝ √x
>とすると、これは同じ理由で逆写像が開にならないと思うんだけど、
>どう考えたらいいだろう。

それ、考えている世界が、ｆ：R→R の一価の実関数でしょ
だから、それ実は、ｆ：[0, +∞） → [0, +∞）∈R という”始域→終域”で考えているわけかな
（全体集合が、 [0, +∞）∈Rだと）
だから、原点0は端点で、それ以外の点とは扱いが違うのでは？

2018/02/11(日) 12:58:06.32

>>630 つづき

あと、これどうかな？
これも、端点0は、別扱いだ
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11132416991
(抜粋)
yawara1312さん2014/7/2614:07:19 yahoo
√xが[0,∞)で連続であることを示せ
ε-δ論法を用いて証明する問題なのですが考え方がわかりません。

ベストアンサーに選ばれた回答
macchingnさん 2014/7/2619:04:47

[1]まず、√x→√a (x→a) (a>0)を示します。
つまり、∀ε>0, ∃δ>0 s.t. |x-a|<δ ⇒ |√x-√a|<εを証明します。

δ=ε√aとすると上手くいきます。

|√x-√a|=|x-a|/(√ｘ+√a)
<δ/(√ｘ+√a) （|x-a|<δより）
<δ/√a
=ε （δ=ε√aより）
したがって、 |√x-√a|<ε

[2]次に、√x→0 (x→+0)を示します。
∀ε>0, ∃δ>0 s.t. 0≦x<δ ⇒ √x<εを証明します。

δ=ε^2とすれば、0≦x<ε^2 ⇒ √x<ε となるので、
[0,∞)で連続であることが証明できました。
(引用終り)

2018/02/11(日) 17:24:15.87

>>630-631

>原点0は端点で、それ以外の点とは扱いが違うのでは？

[0, +∞）∈R のような端点を持つときは
下記の”（３）　任意の閉集合Ｆ⊂Ｙに対し、ｆ^-1（Ｆ）はＸの閉集合になる。”と、閉集合（閉区間）の方が相性がよさそうかな
つまり端点を扱うためには、[0,+δ]と閉区間で扱う方が、すっきりしている

（>>628より）
http://rikei-index.blue.coocan.jp/syugou/syazourenzokusei.html
連続写像（距離空間ｖｅｒ）理系インデックス
(抜粋)

Ｂ２２（連続性に対する同値条件～その２）
（Ｘ，ｄＸ）、（Ｙ，ｄＹ）を距離空間とする。
ｆ：Ｘ→Ｙを写像とする。
このとき、次は同値である。
（１）　ｆは連続写像である。
（２）　任意の開集合Ｏ⊂Ｙに対し、ｆ^-1（Ｏ）はＸの開集合になる。
（３）　任意の閉集合Ｆ⊂Ｙに対し、ｆ^-1（Ｆ）はＸの閉集合になる。

(引用終り)

2018/02/11(日) 17:24:53.71

あと、１レスで512KBオーバーかな

2018/02/11(日) 20:10:14.26

まだあれば、512KBオーバーは次スレな

2018/02/12(月) 17:03:50.82

>>632 補足
開集合のままでも、端部の0を含む区間は[0, +δ)になって開集合から外れるので、「（２）　任意の開集合Ｏ⊂Ｙに対し、ｆ^-1（Ｏ）はＸの開集合になる。」とは矛盾しないのだが・・

2018/02/12(月) 17:15:04.70

こうやって、ちびちび書くと暫くもつが、量が多いと１レスでアウトなんだ（＾＾

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む50

現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む50