奇数の完全数は存在しないことの証明


奇素数をy、素数をp、pの指数をnとし、
素数p以外の積の組み合わせの合計をxとすると

p以外の素数をp1,p2,p3,…pnとし、pnの指数をqnとすると
指数の合計は
S=Σ[k=1,n]qk
であり、
素数の組み合わせの個数は、2^Sとなることから
その合計xは偶数となる

(1+p+p^2+…+p^n)x-y=y
(1+p+p^2+…+p^(n-1))x=y

yは奇数であり、xは偶数であるからこの式は成立しない
よって、奇数の完全数は存在しない