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【専門書】数学の本第75巻【啓蒙書】
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0001１３２人目の素数さん
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2018/01/12(金) 01:17:54.25ID:KSFt159o
数学書やその周辺の話題について語りましょう。

荒らしや煽りは禁止。
見ている人を不快にさせる書き込みはひかえてください。
人としての基本的な礼節を守って、皆で楽しみましょう。

前スレ
【専門書】数学の本第74巻【啓蒙書】
http://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1511085768
0385１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 21:26:17.91ID:VreHQbTU
いや空写像の全射は考えることはできる
集合Aの任意の元に対して空集合の元は択べない
したがって偽の命題から空写像の全射を言える
Aが空集合でなくても全射を言えるというのは不思議だが
ただ言ったところで何に使えるのかは不明
0386１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 21:41:28.90ID:VreHQbTU
ただ全射の場合
写像f：X→Yについて

任意のy∈Yに対してx∈Xがf(x)=ｙをみたす　☆
ならば
fは全射

とこう解するとき☆をみたさないすなわち偽の命題であるとき
全射であると言えてしまいすべての写像が全射であると言えてしまう
数学が論理に負ける所だなあ
0389１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 21:55:35.36ID:VreHQbTU
任意のy∈Yに対してx∈Xがf(x)=ｙをみたす　☆
ならば
fは全射　　☆☆

☆☆が偽だとしても論理的に真すなわち全射だ
数学はこれを無理矢理全射でないと言っているに過ぎない
0390１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 21:57:06.40ID:VreHQbTU
>>388
PでないことからQを直接導出することはできないが
Qが偽でもPならばQは真の命題だろ
0391１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 22:06:33.24ID:hN/cqREW
空集合が形式上の概念だってことが理解できないバカは消えろ。サイトウツヨシも含めて。
0392１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 22:10:23.97ID:VreHQbTU
否定命題と真偽命題の混同があるね
写像ｆ：X→Yについて
条件
任意のy∈Yに対してx∈Xがf(x)=ｙ

条件をみたす場合を真
条件をみたさない場合を偽

結論
ｆは全射

ｆが全射を真
そうでなければ偽

こう書くとほとんどすべてのものをいうことができる
0394１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 22:46:18.28ID:gs2rJa9P
∀(x1, y1), ∀(x2, y2)
(x1, y1), (x2, y2) ∈ Γ ⇒ (y1 = y2 ⇒ x1 = x2)

Γ = φ のとき、これは正しい。

したがって、空写像は単射である。

これはあっていますか？
0395１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 22:56:36.88ID:gs2rJa9P
包含写像 i の定義は、

i = (Γ, X, Y) = (X × X, X, Y)

である。

X = φ のとき、

Γ = φ × φ = φ

よって、

空写像 (φ, φ, Y)

は包含写像である。
0397１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 22:59:38.42ID:gs2rJa9P
訂正します：

対角集合 Δ_X := {(x, y) ∈ X × X | x = y}

包含写像 i の定義は、

i = (Γ, X, Y) = (Δ_X, X, Y)

である。

X = φ のとき、

Δ_X = φ

よって、

空写像 (φ, φ, Y)

は包含写像である。
0398１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 23:02:55.71ID:gs2rJa9P
「包含写像 φ → Y は、空集合から Y へのただ1つの写像である。」

>>397

は合っていますか？
0399１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 23:08:51.73ID:gs2rJa9P
空写像とか単なる言葉遊びに過ぎないように思うのですが、何かの役に立つんですか？
0401１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 23:11:14.95ID:gs2rJa9P
http://www.ma.kagu.tus.ac.jp/~abe/sub6.html

「「定義域が空集合の写像(関数)は存在しない(定義できない)」
と思い込んでいる数学者が多い」

↑これって本当ですか？

斎藤毅さんの『集合と位相』のような入門書にさえ書いてあることです。
まともな数学者で↑のような人はいるんですか？
0402１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 23:12:06.51ID:Jw5S+t/R
ttp://www.ma.kagu.tus.ac.jp/~abe/sub6.html
＞× 「定義域が空集合の写像(関数)は存在しない(定義できない)」
＞と思い込んでいる数学者が多いのですが、実は
＞○ 「定義域が空集合の写像(関数)は唯一存在する」
＞ことは公理的集合論における定理です。(この元を空写像(関数)とよぶ。)
0403１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 23:12:41.51ID:gs2rJa9P
>>401

空写像など知っている必要はないということを意味するのですか？
0407１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 23:27:55.05ID:gs2rJa9P
>>406

やっぱりそうですよね。

何かの役に立つようにはとても思えません。
0408１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 23:31:02.82ID:Jw5S+t/R
>>407
君は空写像の存在性を認めた上でその有用性を疑問視しているに過ぎないのであって、
一方の ID:hN/cqREW は空写像の存在性そのものを否定しているので、
君と ID:hN/cqREW は相容れない立場にある。
0409１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/05(月) 23:42:42.67ID:hN/cqREW
空集合は空集合と同じ濃度を持つが、だからと言って元の無い空集合に対応は存在しない。
0410１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/05(月) 23:52:11.00ID:3Dy9ejXa
>>409
それは対応という言葉をナイーブに捉えてるからだよ
一旦厳密に定義した後で改めて存在するかどうか考えるのが常道
極端なケースとして定義域が空集合である写像も許容されるし、圏Setの始対象を定義するためにも空写像が必要
0411１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/05(月) 23:53:59.46ID:pdwd+dYb
思考盗聴って実在するのでしょうか？
0412１３２人目の素数さん
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2018/02/06(火) 00:16:30.53ID:O+N8puoF
>>410
「対応」の厳密な定義について詳しく

「対応」は「集合」と同じく定義できない概念と聞いた
0413１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/06(火) 00:20:31.54ID:7V/FyTNj
無定義語として規定されることを定義できないと捉える偏屈な頭では新たに誤解を重ねるだけだ
君とはこれ以上関わりたくないから一人でやってくれ
0415１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/06(火) 01:39:57.87ID:18dHRM8N
>>383
>写像 f: X→Y が単射であることの定義は「もしも f(x)＝f(y) を満たすような X の点 x,y が存在するならば x＝y でなければならない」というだけであって、
>f(x)＝f(y) を満たすような X の点 x,y が存在することは単射の定義からは保証も要請もされていません。
現代数学概説Ⅰから(ほぼ)引用することになり著作権に反することになるかも知れない。
岩波の方にはこのことを予め断っておく。そのあたりは、どうか許してほしい。

定義の話に戻るが、現代数学概説Ⅰでは、
MからNへの(一価の)写像で、Mの任意の相異なる2元 x_1, x_2 に対し f(x_1), f(x_2) がいつも相異なるとき、
すなわちfの値域 Im(f) のの元yに対して f(x)＝y となるようなMの元xが唯1つに限るとき、
fを一対一(記号では1：1 または 1-1)の写像または単射という。写像 (f：)Φ→N はいつも単射と見なされる。
というようにして単射が定義されている。ブルバキの定義を採用している。
0416１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/06(火) 01:55:02.94ID:18dHRM8N
>>383
定義の部分の訂正：
すなわちfの値域 Im(f) のの元yに対して → すなわちfの値域 Im(f) の元y(∈N)に対して
0418１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/06(火) 08:36:12.43ID:ur6wKKzG
集合論って大学数学の中では一番簡単なのでしょうか？
0420１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/07(水) 07:25:13.10ID:XeZb5MaR
集合論が一番難しいからな
0421１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/07(水) 10:50:15.33ID:J6zWnkXG
伊藤先生の確率論意外と読みやすい。もっと行間が開いてるかと思っていた。
0422１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/07(水) 11:47:49.63ID:PHncLTFH
斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。

X ∋ x → (x, x) ∈ X × X

のグラフを求めよ。

この問題の解答が以下のようになっています。

{(x, (y, z)) ∈ X × (X × X) | x = y = z}

これって、

{(x, (x, x)) | x ∈ X}

ではダメなんですか？
0424１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/07(水) 12:41:46.12ID:PHncLTFH
斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。

「定値写像 X → Y とは、 X → 1 → Y のように分解できる写像のことである。」

と書いてあります。

こんな当たり前のことをわざわざ書いているのはなぜでしょうか？

なぜそんな風に考えるのかを書かないのは、ひどいですよね。
0425１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/07(水) 12:59:40.35ID:PHncLTFH
共変性、反変性についてもただ名前を出すだけでまともな説明がありません。
0426１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/07(水) 18:33:23.77ID:RZTueV/u
水上は１日1時間の勉強だけで理3に受かったんだぞ
これこそ天才だろ
0427１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/07(水) 19:24:25.18ID:IXE90lwy
>>424
＞斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。
＞
＞「定値写像 X → Y とは、 X → 1 → Y のように分解できる写像のことである。」
＞
＞と書いてあります。

これだけじゃ分からんけど代数系を専攻しようとする人には良本に見えるな
0428１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/07(水) 19:24:41.19ID:o/ayDEGU
年度末に
集合と位相を読んでるバカ
0429１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/07(水) 20:14:04.60ID:2qAeUzjA
年度末に読んだらバカな理由がわからない
0432１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/08(木) 08:12:50.27ID:28CDl8n4
おまえら練極に行け
0433１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/08(木) 19:37:09.65ID:o7YpVVO2
集合論が難しいなんてことはないだろ
難しいのはロジックレベルの集合論だけ
大学院入試で一番難しいのは何だかんだで複素解析だが、こんなのを難しいと思うなら
大学院の数学科なんか行くべきでない
0434１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/08(木) 20:21:25.95ID:oWVuGCS7
>>433

複素解析は十分難しい（が解ける）問題を作りやすいということですか？
0435１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/08(木) 20:23:44.86ID:oWVuGCS7
普通に考えれば、どの分野でも難しい問題を作るだけなら簡単だと思います。

複素解析については、十分難しく、入試問題としてふさわしい問題（良問？）を作るのが簡単だということですか？
0438１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/08(木) 20:53:59.72ID:ZNh9hODt
>>434
>>433は単なる感想文。
院の入試で何が難しいかということと集合論を簡単に感じるとは関係ない。
集合論が簡単かどうかを一言で述べることは、好き嫌いを述べているようなモノ。
0439１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/08(木) 22:52:35.65ID:hVhO3q8v
院試レベルの集合論の問題を無理に考えるなら
2^(aleph 0)≠ aleph ω
を示せ、とかかな

aleph 1 の定義を知らない数学者なんて腐るほど居るから
ちょっと難し過ぎるかも知れないけど
0440１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/08(木) 22:53:51.11ID:hVhO3q8v
>>424
圏論を全く知らない人に真面目に説明するとなると
丸々一ページ以上かかるから仕方ないかと
0442１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/09(金) 18:14:36.35ID:a7Kw+UdX
可換図で表示するのは別にまるっきり圏論様独占物ってわけじゃないだろ。
まあ可換図出てくるぐらいまで行ったら普通にホモロジー代数や圏論として定式化されたものを一通り教科書的にやるべきなんじゃないかって議論はありだと思うが。
0443１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/09(金) 23:11:39.90ID:LeJIo3e/
斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。

M(m, n, R) ∋ A に A 倍写像 R^n → R^m を対応させる写像は、可逆である。

この可逆写像により、行列の積は写像の合成と対応する。行列の積の結合則は、
写像の合成の結合則から導ける。

と書かれています。

B → f_B
A → f_A

のとき、

B*A → f_(B*A) = f_B 〇 f_A

これを証明するには、

(B*A)*x = B*(A*x)

を証明する必要がありますが、

(C*B)*A = C*(B*A)

を証明するのと手間が変わらないと思います。
0444１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/09(金) 23:17:41.90ID:LeJIo3e/
(C*B)*A → f_((C*B)*A) = f_(C*B) 〇 f_A = (f_C 〇 f_B) 〇 f_A

=

f_C 〇 (f_B 〇 f_A) = f_C 〇 f_(B*A) = f_(C*(B*A))

よって、

(C*B)*A = C*(B*A)
0445１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/09(金) 23:18:54.15ID:LeJIo3e/
行列の積の結合則は、写像の合成の結合則から導ける。

↑全然、ありがたくないですね。
0446１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/10(土) 07:05:34.33ID:kOXjJG3n
おまえら酒飲んでるか？
0447DJ学術　
垢版 |
2018/02/10(土) 08:38:00.92ID:63PiesU1
綺麗なもんだね　数式って。
0448１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/10(土) 13:38:02.86ID:XogJROHr
整数論基礎講義
本橋 洋一
固定リンク: http://amzn.asia/55a8bRP

↑こんな本が出ますね。
0449１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/10(土) 15:30:50.69ID:fY9Ah9KW
売れなさそうなタイトルに
売れなさそうな著者だな
あとは装丁がどうなっているか
0451１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 10:19:47.29ID:ZnNSfrVn
>>450

この梅田っていう人、こんな誰も読みたがらないような本を書いて、変な人ですね。
0452１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 10:26:00.57ID:ZnNSfrVn
徹底入門 解析学
梅田 亨
固定リンク: http://amzn.asia/eMZxwpw

↑この本もつまらなそうな本ですね。
0453１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 11:49:06.33ID:ZnNSfrVn
斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。

次のような自明な問題を出題しています。

この出題の意図は何でしょうか？



写像 f : X → X に対し、次の条件 (1) - (5) は同値であることを示せ。

(1) f は X の恒等写像 id_X である。
(2) 任意の集合 Y と任意の写像 g : X → Y に対し、 g 〇 f = g である。

以下略。
0456DJ学術　
垢版 |
2018/02/11(日) 12:03:02.86ID:obNT/2kd
日本語おかしいよ。文脈で使うと。
0457１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 12:12:10.08ID:ZnNSfrVn
>>453


(5) 任意の写像 g : 1 = {0} → X に対し、 f 〇 g = g である。

⇒

(1) f は X の恒等写像 id_X である。

これを証明するのに斎藤毅さんは、わざわざ可換図式を使っています。

なぜ、そんな解答なのか読者には理解できないのではないでしょうか？

独りよがりですね。
0459１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 12:24:34.27ID:ZnNSfrVn
斎藤毅さんって抽象化して見た目をスッキリさせるというのが好きですよね。

線形代数の本や微積分の本でもそのような傾向がありますよね。
0460１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 12:24:58.19ID:ZnNSfrVn
抽象バカって感じですよね。
0461１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 12:31:35.60ID:ZnNSfrVn
x を X の任意の元とする。

写像 g : 1 ∋ 0 → x ∈ X に対し、

f 〇 g(0) = f(x)
g(0) = x

f 〇 g = g だから

f(x) = x

よって、

f = id_X

である。
0463１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 12:51:22.28ID:ZnNSfrVn
>>457

実は、この問題には補題があります。

(5) ⇒ (1)

を導くのに、その補題を使っています。

抽象バカですね。
0464１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 12:54:55.04ID:ZnNSfrVn
>>462

数学の論文を書くのはそんなに大変なことなのでしょうか？

誰も読まないような水準の低い論文ならば書けるのではないでしょうか？
0465１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 13:26:36.82ID:ZnNSfrVn
数理科学のための複素関数論 (ライブラリ数理科学のための数学とその展開)
森 重文
固定リンク: http://amzn.asia/7ZEmHtk

↑また複素関数論の本が出ますね。
0466１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 13:30:59.77ID:RpsN1Lf2
森毅とか、数学の研究が好きなだけ出来る環境にいて、
なんで数学の論文書かなかったのかな？
0468１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 13:35:01.85ID:jDXO3C7R
>>466
森毅は大学入試は合格最低点で受かるのが一番良いとしていた人だから
研究者としても首にならない最低レベルでよいと思っていた
0469１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 14:00:08.40ID:XjPIuhVF
>>466
大学1年次に習う微分積分学ですら
完全に理解し極めようと思ったら一生掛かる
というのも微積分学の背景にある集合論や位相をどう扱い
どのように記述するのかは哲学の問題だからだ
唯一絶対の答えはない世界で簡単に論文を出せる方がおかしい
それだから確かな知識人にとって論文は就職のための論文であると宣言している
0470１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 14:17:07.71ID:ZnNSfrVn
森毅さんのように論文を書けない人がいる一方で、
大量に論文を書ける人もいますよね。

違いは何でしょうか？
0471１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 14:25:47.26ID:ZnNSfrVn
「よりみち33」が言っていることがよく分かりません。
解説をお願いします。


問題2.3.3

f : X → Y を写像とする。次の条件 (1) と (2) は同値であることを示せ。

(1) f は可逆である。
(2) 任意の集合 Z に対し、写像 f^* : Map(Y, Z) → Map(X, Z) は可逆である。

よりみち33

問題2.3.3 より、集合は、その集合から他の集合への写像が決まれば、
決まってしまうものと考えられる。このことを使って、集合を他の集合への
写像を使って特徴づけることを、普遍性（universality）による特徴づけという。


f^* : Map(Y, Z) → Map(X, Z) は、

Map(Y, Z) ∋ g → g 〇 f ∈ Map(X, Z)

という写像です。
0472１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 14:32:02.97ID:ZnNSfrVn
>>471

は

問題2.3.3 より、集合（X や Y）は、その集合（X や Y）から他の集合（Z）への写像が決まれば、
決まってしまうものと考えられる。

という意味ですか？
0473１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 14:45:56.36ID:x808zjJ1
梅田亨　森毅の主題による変奏曲
数セミの連載は面白かったよ

単行本は高過ぎるな　しかも上下巻とか
0474１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 15:33:02.10ID:XjPIuhVF
どの記号を用いるべきか迷ったりわからなくなったりする
そのときに私が目を瞑れば数学はないという立場になればよい
してみると人間による数学が浮き彫りになり人間の歴史を知る必要があることがわかる

さて人間の歴史と言ってもそう古くまでは遡らず
自然状態の人間まででよいだろう
自然状態の私がもつものとは万人の闘争状態下にある
生命・身体・自由・財産権である

この自然権をどのように行使するべきなのかは偏に契約によって決まる
契約とは独我論的には神との契約であるが他者の存在する社会においては合意である
誰と契約を結ぶべきなのかまた結びたいのか

構造主義的記号論に疲れたときに考えれば哲学問題も解決するだろう
そういう意味でトマスホッブズの『リヴァイアサン』がお勧めです
まあプラトンやアリストテレスと似たようなお話ですが
0475１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 15:37:15.99ID:XjPIuhVF
自然権を具体的に表す権利は国家刑罰権である
そう考えると刑法を学ぶことも面白い
日本の刑法学は小野・牧野・木村から始まっている
人間とは何かを問い続ける
疲れるけど楽しい
0478１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 19:25:02.98ID:XOkzAqx2
>>466
森先生は４０過ぎで自分の才能に見切りを付けて、研究以外の道に活路を見出されました
そこには数学者としての矜持と現実との、苦しい苦しい葛藤があったわけです
そんな風には見えないけどね、チャラそうでいて実際は中々厳しい人でした
0479１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 19:34:19.95ID:K6xX1aGb
>数学者としての矜持と現実との、苦しい苦しい葛藤があったわけです
みんなあるだろ、結果がだせたかだせなかったかそれだけだ
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