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【専門書】数学の本第75巻【啓蒙書】
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0001１３２人目の素数さん
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2018/01/12(金) 01:17:54.25ID:KSFt159o
数学書やその周辺の話題について語りましょう。

荒らしや煽りは禁止。
見ている人を不快にさせる書き込みはひかえてください。
人としての基本的な礼節を守って、皆で楽しみましょう。

前スレ
【専門書】数学の本第74巻【啓蒙書】
http://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1511085768
0365１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 17:02:13.44ID:XhBPur6/
>>362
背理法ってゴミだな
それに偽の命題から導出される真または偽の命題は真の命題
というのは愉快だね
0367１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 17:09:11.77ID:XhBPur6/
偽の命題に偽の命題を重ねることもまた真なり
この場合に背理法は使えません
そもそも存在を否定する背理法は数学として汚い
0369１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 17:14:03.43ID:XhBPur6/
>>368
偽の命題を矛盾していると言ってしまうことは
数学の終わりを意味する
0371１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 17:22:23.43ID:zAqmJ+Ax
>>370
復習で調べたら f：Φ→A はいつでも単射であると同時に全射と見なすそうだ。
だから、やはり、結局定義の問題に帰着する。
0372１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 17:25:27.86ID:XhBPur6/
>>371
全射のわけがない
それに自分では単射の存在を否定しているね
ID:zAqmJ+Ax は誤答野郎ってことか
わざと誤謬を混ぜて偽の命題がつくりたいか？
誤謬のセンスがねえよ
0374１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 17:30:20.26ID:3Dy9ejXa
とりあえず定義が間違ってるから話にならない
一層深刻なのは、それが文章の読み間違いというよりは、論理的な読解力の欠如が原因と思われること
0376１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 17:42:21.26ID:zAqmJ+Ax
>>374
現代数学概説Ⅰでやったことを忘れてしまったw
まあ、これはそこらの集合論の本とは書き方や中身が違うだろうけど。
0377１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 17:53:52.76ID:XhBPur6/
空写像が全単射なんて久しぶりに頭の悪い偽の命題をみたなあ
自然現象について宇宙人を仮定して議論している物理学者って感じ
0381１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 18:36:52.58ID:Jb43NNAg
ID:zAqmJ+Axに依るとすべての濃度は0らしい
0383１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 19:52:27.34ID:MtTEjvgM
>>362
> 単射の定義から、f(x)＝f(y) を満たすようなΦの点 x,y が存在して、このとき x＝y となるから、

ここは間違いです。
写像 f: X→Y が単射であることの定義は「もしも f(x)＝f(y) を満たすような X の点 x,y が存在するならば x＝y でなければならない」というだけであって、
f(x)＝f(y) を満たすような X の点 x,y が存在することは単射の定義からは保証も要請もされていません。
従って、特に X＝Φの場合は、それらの点 x,y が空集合Φには存在し得ないので、単射の定義の前提の部分（「～」中の「ならば」の前の条件）が偽になるので
結論部の「x＝y」の成立・不成立と無関係に任意の集合Aに対して写像 f: Φ→A は単射の定義を満たすことになります。


>>371
> 復習で調べたら f：Φ→A はいつでも単射であると同時に全射と見なすそうだ。

これも間違い。
写像 f: X→Y が全射であることの定義は「domain X の f による像がcodomain Y 全体を覆う、つまり f(X)＝｛ f(x) | x?X ｝＝Y である」ということなので、
Xが空集合Φの場合は集合 A も空集合Φでない限り、写像 f:Φ→A は決して全射にはなり得ません。
0385１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 21:26:17.91ID:VreHQbTU
いや空写像の全射は考えることはできる
集合Aの任意の元に対して空集合の元は択べない
したがって偽の命題から空写像の全射を言える
Aが空集合でなくても全射を言えるというのは不思議だが
ただ言ったところで何に使えるのかは不明
0386１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 21:41:28.90ID:VreHQbTU
ただ全射の場合
写像f：X→Yについて

任意のy∈Yに対してx∈Xがf(x)=ｙをみたす　☆
ならば
fは全射

とこう解するとき☆をみたさないすなわち偽の命題であるとき
全射であると言えてしまいすべての写像が全射であると言えてしまう
数学が論理に負ける所だなあ
0389１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 21:55:35.36ID:VreHQbTU
任意のy∈Yに対してx∈Xがf(x)=ｙをみたす　☆
ならば
fは全射　　☆☆

☆☆が偽だとしても論理的に真すなわち全射だ
数学はこれを無理矢理全射でないと言っているに過ぎない
0390１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 21:57:06.40ID:VreHQbTU
>>388
PでないことからQを直接導出することはできないが
Qが偽でもPならばQは真の命題だろ
0391１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 22:06:33.24ID:hN/cqREW
空集合が形式上の概念だってことが理解できないバカは消えろ。サイトウツヨシも含めて。
0392１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 22:10:23.97ID:VreHQbTU
否定命題と真偽命題の混同があるね
写像ｆ：X→Yについて
条件
任意のy∈Yに対してx∈Xがf(x)=ｙ

条件をみたす場合を真
条件をみたさない場合を偽

結論
ｆは全射

ｆが全射を真
そうでなければ偽

こう書くとほとんどすべてのものをいうことができる
0394１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 22:46:18.28ID:gs2rJa9P
∀(x1, y1), ∀(x2, y2)
(x1, y1), (x2, y2) ∈ Γ ⇒ (y1 = y2 ⇒ x1 = x2)

Γ = φ のとき、これは正しい。

したがって、空写像は単射である。

これはあっていますか？
0395１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 22:56:36.88ID:gs2rJa9P
包含写像 i の定義は、

i = (Γ, X, Y) = (X × X, X, Y)

である。

X = φ のとき、

Γ = φ × φ = φ

よって、

空写像 (φ, φ, Y)

は包含写像である。
0397１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 22:59:38.42ID:gs2rJa9P
訂正します：

対角集合 Δ_X := {(x, y) ∈ X × X | x = y}

包含写像 i の定義は、

i = (Γ, X, Y) = (Δ_X, X, Y)

である。

X = φ のとき、

Δ_X = φ

よって、

空写像 (φ, φ, Y)

は包含写像である。
0398１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 23:02:55.71ID:gs2rJa9P
「包含写像 φ → Y は、空集合から Y へのただ1つの写像である。」

>>397

は合っていますか？
0399１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 23:08:51.73ID:gs2rJa9P
空写像とか単なる言葉遊びに過ぎないように思うのですが、何かの役に立つんですか？
0401１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 23:11:14.95ID:gs2rJa9P
http://www.ma.kagu.tus.ac.jp/~abe/sub6.html

「「定義域が空集合の写像(関数)は存在しない(定義できない)」
と思い込んでいる数学者が多い」

↑これって本当ですか？

斎藤毅さんの『集合と位相』のような入門書にさえ書いてあることです。
まともな数学者で↑のような人はいるんですか？
0402１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 23:12:06.51ID:Jw5S+t/R
ttp://www.ma.kagu.tus.ac.jp/~abe/sub6.html
＞× 「定義域が空集合の写像(関数)は存在しない(定義できない)」
＞と思い込んでいる数学者が多いのですが、実は
＞○ 「定義域が空集合の写像(関数)は唯一存在する」
＞ことは公理的集合論における定理です。(この元を空写像(関数)とよぶ。)
0403１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 23:12:41.51ID:gs2rJa9P
>>401

空写像など知っている必要はないということを意味するのですか？
0407１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 23:27:55.05ID:gs2rJa9P
>>406

やっぱりそうですよね。

何かの役に立つようにはとても思えません。
0408１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 23:31:02.82ID:Jw5S+t/R
>>407
君は空写像の存在性を認めた上でその有用性を疑問視しているに過ぎないのであって、
一方の ID:hN/cqREW は空写像の存在性そのものを否定しているので、
君と ID:hN/cqREW は相容れない立場にある。
0409１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 23:42:42.67ID:hN/cqREW
空集合は空集合と同じ濃度を持つが、だからと言って元の無い空集合に対応は存在しない。
0410１３２人目の素数さん
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2018/02/05(月) 23:52:11.00ID:3Dy9ejXa
>>409
それは対応という言葉をナイーブに捉えてるからだよ
一旦厳密に定義した後で改めて存在するかどうか考えるのが常道
極端なケースとして定義域が空集合である写像も許容されるし、圏Setの始対象を定義するためにも空写像が必要
0411１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/05(月) 23:53:59.46ID:pdwd+dYb
思考盗聴って実在するのでしょうか？
0412１３２人目の素数さん
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2018/02/06(火) 00:16:30.53ID:O+N8puoF
>>410
「対応」の厳密な定義について詳しく

「対応」は「集合」と同じく定義できない概念と聞いた
0413１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/06(火) 00:20:31.54ID:7V/FyTNj
無定義語として規定されることを定義できないと捉える偏屈な頭では新たに誤解を重ねるだけだ
君とはこれ以上関わりたくないから一人でやってくれ
0415１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/06(火) 01:39:57.87ID:18dHRM8N
>>383
>写像 f: X→Y が単射であることの定義は「もしも f(x)＝f(y) を満たすような X の点 x,y が存在するならば x＝y でなければならない」というだけであって、
>f(x)＝f(y) を満たすような X の点 x,y が存在することは単射の定義からは保証も要請もされていません。
現代数学概説Ⅰから(ほぼ)引用することになり著作権に反することになるかも知れない。
岩波の方にはこのことを予め断っておく。そのあたりは、どうか許してほしい。

定義の話に戻るが、現代数学概説Ⅰでは、
MからNへの(一価の)写像で、Mの任意の相異なる2元 x_1, x_2 に対し f(x_1), f(x_2) がいつも相異なるとき、
すなわちfの値域 Im(f) のの元yに対して f(x)＝y となるようなMの元xが唯1つに限るとき、
fを一対一(記号では1：1 または 1-1)の写像または単射という。写像 (f：)Φ→N はいつも単射と見なされる。
というようにして単射が定義されている。ブルバキの定義を採用している。
0416１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/06(火) 01:55:02.94ID:18dHRM8N
>>383
定義の部分の訂正：
すなわちfの値域 Im(f) のの元yに対して → すなわちfの値域 Im(f) の元y(∈N)に対して
0418１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/06(火) 08:36:12.43ID:ur6wKKzG
集合論って大学数学の中では一番簡単なのでしょうか？
0420１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/07(水) 07:25:13.10ID:XeZb5MaR
集合論が一番難しいからな
0421１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/07(水) 10:50:15.33ID:J6zWnkXG
伊藤先生の確率論意外と読みやすい。もっと行間が開いてるかと思っていた。
0422１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/07(水) 11:47:49.63ID:PHncLTFH
斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。

X ∋ x → (x, x) ∈ X × X

のグラフを求めよ。

この問題の解答が以下のようになっています。

{(x, (y, z)) ∈ X × (X × X) | x = y = z}

これって、

{(x, (x, x)) | x ∈ X}

ではダメなんですか？
0424１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/07(水) 12:41:46.12ID:PHncLTFH
斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。

「定値写像 X → Y とは、 X → 1 → Y のように分解できる写像のことである。」

と書いてあります。

こんな当たり前のことをわざわざ書いているのはなぜでしょうか？

なぜそんな風に考えるのかを書かないのは、ひどいですよね。
0425１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/07(水) 12:59:40.35ID:PHncLTFH
共変性、反変性についてもただ名前を出すだけでまともな説明がありません。
0426１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/07(水) 18:33:23.77ID:RZTueV/u
水上は１日1時間の勉強だけで理3に受かったんだぞ
これこそ天才だろ
0427１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/07(水) 19:24:25.18ID:IXE90lwy
>>424
＞斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。
＞
＞「定値写像 X → Y とは、 X → 1 → Y のように分解できる写像のことである。」
＞
＞と書いてあります。

これだけじゃ分からんけど代数系を専攻しようとする人には良本に見えるな
0428１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/07(水) 19:24:41.19ID:o/ayDEGU
年度末に
集合と位相を読んでるバカ
0429１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/07(水) 20:14:04.60ID:2qAeUzjA
年度末に読んだらバカな理由がわからない
0432１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/08(木) 08:12:50.27ID:28CDl8n4
おまえら練極に行け
0433１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/08(木) 19:37:09.65ID:o7YpVVO2
集合論が難しいなんてことはないだろ
難しいのはロジックレベルの集合論だけ
大学院入試で一番難しいのは何だかんだで複素解析だが、こんなのを難しいと思うなら
大学院の数学科なんか行くべきでない
0434１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/08(木) 20:21:25.95ID:oWVuGCS7
>>433

複素解析は十分難しい（が解ける）問題を作りやすいということですか？
0435１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/08(木) 20:23:44.86ID:oWVuGCS7
普通に考えれば、どの分野でも難しい問題を作るだけなら簡単だと思います。

複素解析については、十分難しく、入試問題としてふさわしい問題（良問？）を作るのが簡単だということですか？
0438１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/08(木) 20:53:59.72ID:ZNh9hODt
>>434
>>433は単なる感想文。
院の入試で何が難しいかということと集合論を簡単に感じるとは関係ない。
集合論が簡単かどうかを一言で述べることは、好き嫌いを述べているようなモノ。
0439１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/08(木) 22:52:35.65ID:hVhO3q8v
院試レベルの集合論の問題を無理に考えるなら
2^(aleph 0)≠ aleph ω
を示せ、とかかな

aleph 1 の定義を知らない数学者なんて腐るほど居るから
ちょっと難し過ぎるかも知れないけど
0440１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/08(木) 22:53:51.11ID:hVhO3q8v
>>424
圏論を全く知らない人に真面目に説明するとなると
丸々一ページ以上かかるから仕方ないかと
0442１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/09(金) 18:14:36.35ID:a7Kw+UdX
可換図で表示するのは別にまるっきり圏論様独占物ってわけじゃないだろ。
まあ可換図出てくるぐらいまで行ったら普通にホモロジー代数や圏論として定式化されたものを一通り教科書的にやるべきなんじゃないかって議論はありだと思うが。
0443１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/09(金) 23:11:39.90ID:LeJIo3e/
斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。

M(m, n, R) ∋ A に A 倍写像 R^n → R^m を対応させる写像は、可逆である。

この可逆写像により、行列の積は写像の合成と対応する。行列の積の結合則は、
写像の合成の結合則から導ける。

と書かれています。

B → f_B
A → f_A

のとき、

B*A → f_(B*A) = f_B 〇 f_A

これを証明するには、

(B*A)*x = B*(A*x)

を証明する必要がありますが、

(C*B)*A = C*(B*A)

を証明するのと手間が変わらないと思います。
0444１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/09(金) 23:17:41.90ID:LeJIo3e/
(C*B)*A → f_((C*B)*A) = f_(C*B) 〇 f_A = (f_C 〇 f_B) 〇 f_A

=

f_C 〇 (f_B 〇 f_A) = f_C 〇 f_(B*A) = f_(C*(B*A))

よって、

(C*B)*A = C*(B*A)
0445１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/09(金) 23:18:54.15ID:LeJIo3e/
行列の積の結合則は、写像の合成の結合則から導ける。

↑全然、ありがたくないですね。
0446１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/10(土) 07:05:34.33ID:kOXjJG3n
おまえら酒飲んでるか？
0447DJ学術　
垢版 |
2018/02/10(土) 08:38:00.92ID:63PiesU1
綺麗なもんだね　数式って。
0448１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/10(土) 13:38:02.86ID:XogJROHr
整数論基礎講義
本橋 洋一
固定リンク: http://amzn.asia/55a8bRP

↑こんな本が出ますね。
0449１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/10(土) 15:30:50.69ID:fY9Ah9KW
売れなさそうなタイトルに
売れなさそうな著者だな
あとは装丁がどうなっているか
0451１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 10:19:47.29ID:ZnNSfrVn
>>450

この梅田っていう人、こんな誰も読みたがらないような本を書いて、変な人ですね。
0452１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 10:26:00.57ID:ZnNSfrVn
徹底入門 解析学
梅田 亨
固定リンク: http://amzn.asia/eMZxwpw

↑この本もつまらなそうな本ですね。
0453１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 11:49:06.33ID:ZnNSfrVn
斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。

次のような自明な問題を出題しています。

この出題の意図は何でしょうか？



写像 f : X → X に対し、次の条件 (1) - (5) は同値であることを示せ。

(1) f は X の恒等写像 id_X である。
(2) 任意の集合 Y と任意の写像 g : X → Y に対し、 g 〇 f = g である。

以下略。
0456DJ学術　
垢版 |
2018/02/11(日) 12:03:02.86ID:obNT/2kd
日本語おかしいよ。文脈で使うと。
0457１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 12:12:10.08ID:ZnNSfrVn
>>453


(5) 任意の写像 g : 1 = {0} → X に対し、 f 〇 g = g である。

⇒

(1) f は X の恒等写像 id_X である。

これを証明するのに斎藤毅さんは、わざわざ可換図式を使っています。

なぜ、そんな解答なのか読者には理解できないのではないでしょうか？

独りよがりですね。
0459１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 12:24:34.27ID:ZnNSfrVn
斎藤毅さんって抽象化して見た目をスッキリさせるというのが好きですよね。

線形代数の本や微積分の本でもそのような傾向がありますよね。
0460１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 12:24:58.19ID:ZnNSfrVn
抽象バカって感じですよね。
0461１３２人目の素数さん
垢版 |
2018/02/11(日) 12:31:35.60ID:ZnNSfrVn
x を X の任意の元とする。

写像 g : 1 ∋ 0 → x ∈ X に対し、

f 〇 g(0) = f(x)
g(0) = x

f 〇 g = g だから

f(x) = x

よって、

f = id_X

である。
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