みんなで2018年、平成30年にちなんだ問題を考えよう

中坊 · 2017/12/30(土) 09:40:33.81

とりあえず試しに4問作ってみました。よそにも書き込んでいますが。(1)は無理矢理です。
(1)2,0,1,8,30の5つの数を一つずつ次の□に当てはめて式を完成させよ。
　□^3*□^2+□*□-□=2018
(2)A,B,Cに当てはまる自然数を答えよ。
　A^3+B^2+C^1=2018
A+B+C=30
(3)①連続する12個の自然数のうち最も小さい数をNとする。この12個の自然数のそれぞれの二乗の和は2018になる。Nの値を求めよ。
※例えば、連続する3つの自然数10,11,12のそれぞれの二乗の和は
10^2+11^2+12^2=100+121+144=365
となる。
　 ②連続する4つの自然数のうち最も大きい数をMとする。この4個の自然数のそれぞれの二乗の和は30になるMの値を求めよ。
尚、(N-1)(M+1)=30となる。
(4)連立方程式を解け。
　 X^2+Y^2=2018
X-Y=30
ただしX,Yは自然数とする。

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/21(水) 03:44:26.98

>>37　(上)

　(x^2018 -x^30 +3)^3 ≧ k {(x/x0)^12 +1 +1},
ここに
　x0 = 0.997932205334536
　　{(2018 - 4/3)x^2018 - (30 -4/3)x^30 -4 = 0 の正根}
　k = 2.9804335869522917

(左辺) ≧ (k/x0^4) (a^4 + b^4 + c^4)
　　= 3.0052132512063748 (a^4 + b^4 + c^4)

**１３２人目の素数さん** · 2019/08/21(水) 03:46:57.33

>>37　(下)

　(x^2019 -x^31 +3)^3 ≧ k {(x/x0)^12 +1 +1},
ここに
　x0 = 0．99794707802373850618
　　{(2019 -4/3)x^2019 - (31 -4/3)x^31 -4 = 0 の正根}
　k = 2.98882413327445720383

コーシーより
(左辺) ≧ (k/x0^4)(a^4 + b^4 + c^4)
　　= 3.01349390696484208254 (a^4 + b^4 + c^4),

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 04:43:04.05

〔問題〕
2018個の連続する自然数の和としても、30個の連続する自然数の和としても表せる自然数をすべて求めよ。
　[分かスレ４５６脇.780] - 改

**１３２人目の素数さん** · 2019/10/20(日) 05:03:43.86

2018個の中央の数を a-1,a とし、30個の中央の数を b-1,b とする。
すべて自然数だから　a≧1010, b≧16,
題意より　N = 2018(a-1/2) = 30(b-1/2),
　a = 30(n+66)/2 + 8,
　b = 2018(n+66)/2 + 505,
　N = 2018･30{(n+66)/2 + 1/4},

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/16(木) 12:19:38.57

>>37
実数 a,b,c に対して
(a^2020 -a^2 +2^2)(b^2020 -b^2 +2^2)(c^2020 -c^2 +2^2) > (a^2+b^2+c^2)^3,

[不等式スレ１０．294,304-305]

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/06(日) 16:45:09.59

正の数 a,b,c に対して
(a^2021 -a^3 +3) (b^2021 -b^3 +3) (c^2021 -c^3 +3) + 1 > 3 (a+b+c),
(a^2021 -a^3 +3) (b^2021 -b^3 +3) (c^2021 -c^3 +3) + 1 > 3 (a^3 +b^3 +c^3),

(a^2021 -a^3 +3) (b^2021 -b^3 +3) (c^2021 -c^3 +3) + 1 > (1/3) (a+b+c)^3,
(a^2021 -a^3 +3) (b^2021 -b^3 +3) (c^2021 -c^3 +3) + 1 > (1/3)(a^3 +b^3 +c^3)^3,

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/24(水) 12:24:51.86

正の数 a, b, c に対して
(a^2021 - a^3 +3) (b^2021 - b^3 +3) (c^2021 - c^3 +3) > (1/(3ln3)) (a+b+c)^3,

これは
　x^2021 - x^3 + 3 ≧ K^{1/3} {x^3 /(x｡)^2 + x。+ x。},
　K = 0.30406358311 > 0.30341307554･･･ = 1/(3ln3),
を使わないと難しい。。。
　等号成立は　x = x。= 0.99703312297
あとはコーシーで。

不等式スレ１０-583,585
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/379,381
http://suseum.jp/gq/question/3221

**１３２人目の素数さん** · 2021/04/28(水) 07:22:52.75

〔問題48〕
a,b,c >0 のとき
　(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3) ≧ (a+b+c)^3

　USAMO-2004, Q5
　Inequalitybot [48]　☆6