みんなで2018年、平成30年にちなんだ問題を考えよう
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正の数 a,b,c に対して
(a^2018 -a^30 +3) (b^2018 -b^30 +3) (c^2018 -c^30 +3)> 3(a^4 +b^4 +c^4),
[不等式スレ9.390]
正の数 a,b,c に対して
(a^2019 -a^31 +3) (b^2019 -b^31 +3) (c^2019 -c^31 +3) > 3 (a^4 +b^4 +c^4)
[不等式スレ10.26-28] >>1
(1) 8^3・2^2 + 0・1 -30
(2) A=12, B=17, C=1.
(3)@ N^2 + (N+1)^2 + ・・・・ + (N+11)^2 = 12N(N+11) + 506,
∴ N = 7 (題意より N≠-18)
(3)A (M-3)^2 + (M-2)^2 + (M-1)^2 + M^2 = 4M(M-3) +14,
∴ M = 4 (題意より M≠-1)
(4) (X,Y) = (43,13) 題意より (X,Y) ≠ (-13,-43)
>>3
余りが 65741824 → 5261824 → 221824 → 20224 → 64 となります。
>>5
(N-1)^2 + N^3 + (N+1)^2 = NN(N+2) + 2,
N = 12,
>>7
4個 {503, 504, 505, 506}
>>9
38゚*15 = 570゚ = 3*180゚ + 30゚
tan(38゚*15) = tan(30゚) = 1/√3,
>>25
18^2 = 324,
18^3 = 5832,
18^4 = 104976,
18^5 = 1889568,
18^6 = 34012224,
以下、周期4で繰り返す。
2018^30 ≡ 18^30 ≡ 18^2 ≡ 24 (mod 100) >>23
(1) 2は平方剰余
439^2 ≡ 570^2 ≡ 2 (mod 1009)
(3) x = 11 + 504n, >>37 (上)
(x^2018 -x^30 +3)^3 ≧ k {(x/x0)^12 +1 +1},
ここに
x0 = 0.997932205334536
{(2018 - 4/3)x^2018 - (30 -4/3)x^30 -4 = 0 の正根}
k = 2.9804335869522917
(左辺) ≧ (k/x0^4) (a^4 + b^4 + c^4)
= 3.0052132512063748 (a^4 + b^4 + c^4) >>37 (下)
(x^2019 -x^31 +3)^3 ≧ k {(x/x0)^12 +1 +1},
ここに
x0 = 0.99794707802373850618
{(2019 -4/3)x^2019 - (31 -4/3)x^31 -4 = 0 の正根}
k = 2.98882413327445720383
コーシーより
(左辺) ≧ (k/x0^4)(a^4 + b^4 + c^4)
= 3.01349390696484208254 (a^4 + b^4 + c^4), 〔問題〕
2018個の連続する自然数の和としても、30個の連続する自然数の和としても表せる自然数をすべて求めよ。
[分かスレ456脇.780] - 改 2018個の中央の数を a-1,a とし、30個の中央の数を b-1,b とする。
すべて自然数だから a≧1010, b≧16,
題意より N = 2018(a-1/2) = 30(b-1/2),
a = 30(n+66)/2 + 8,
b = 2018(n+66)/2 + 505,
N = 2018・30{(n+66)/2 + 1/4}, >>37
実数 a,b,c に対して
(a^2020 -a^2 +2^2)(b^2020 -b^2 +2^2)(c^2020 -c^2 +2^2) > (a^2+b^2+c^2)^3,
[不等式スレ10.294,304-305] 正の数 a,b,c に対して
(a^2021 -a^3 +3) (b^2021 -b^3 +3) (c^2021 -c^3 +3) + 1 > 3 (a+b+c),
(a^2021 -a^3 +3) (b^2021 -b^3 +3) (c^2021 -c^3 +3) + 1 > 3 (a^3 +b^3 +c^3),
(a^2021 -a^3 +3) (b^2021 -b^3 +3) (c^2021 -c^3 +3) + 1 > (1/3) (a+b+c)^3,
(a^2021 -a^3 +3) (b^2021 -b^3 +3) (c^2021 -c^3 +3) + 1 > (1/3)(a^3 +b^3 +c^3)^3, 正の数 a, b, c に対して
(a^2021 - a^3 +3) (b^2021 - b^3 +3) (c^2021 - c^3 +3) > (1/(3ln3)) (a+b+c)^3,
これは
x^2021 - x^3 + 3 ≧ K^{1/3} {x^3 /(x。)^2 + x。+ x。},
K = 0.30406358311 > 0.30341307554・・・ = 1/(3ln3),
を使わないと難しい。。。
等号成立は x = x。= 0.99703312297
あとはコーシーで。
不等式スレ10-583,585
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/379,381
http://suseum.jp/gq/question/3221 〔問題48〕
a,b,c >0 のとき
(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3) ≧ (a+b+c)^3
USAMO-2004, Q5
Inequalitybot [48] ☆6 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています