みんなで2018年、平成30年にちなんだ問題を考えよう
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とりあえず試しに4問作ってみました。よそにも書き込んでいますが。(1)は無理矢理です。
(1)2,0,1,8,30の5つの数を一つずつ次の□に当てはめて式を完成させよ。
□^3*□^2+□*□-□=2018
(2)A,B,Cに当てはまる自然数を答えよ。
A^3+B^2+C^1=2018
A+B+C=30
(3)①連続する12個の自然数のうち最も小さい数をNとする。この12個の自然数のそれぞれの二乗の和は2018になる。Nの値を求めよ。
※例えば、連続する3つの自然数10,11,12のそれぞれの二乗の和は
10^2+11^2+12^2=100+121+144=365
となる。
②連続する4つの自然数のうち最も大きい数をMとする。この4個の自然数のそれぞれの二乗の和は30になるMの値を求めよ。
尚、(N-1)(M+1)=30となる。
(4)連立方程式を解け。
X^2+Y^2=2018
X-Y=30
ただしX,Yは自然数とする。 ＞2
(2018^30)/1008
=(2+2*1008)^30/1008
=2^30+...........+(2*1008)^30
……の部分は30乗の展開の仕方が分かりませんが、
(2+2*1008)^30=(2+2*1008)(2+2*1008)...
という風に書き出してみると、すべて1008を1つは掛けているので、1008の倍数、
よって2^30以外の部分はすべての項を1008でくくれるため、1008出割り切れることが分かりました。
したがって、2^30÷1008の余りを考えればよいので、
2^30=(2^10)^3であることから1024^3を地道に計算して(w)
1024^3=1073741824を得ました。(ここらへんで計算ミスってそうですｗ)
1008000000は1008の倍数であるので先ほどの数との差である65741824÷1008を考える。
また、60480000は1008の倍数であるので65741824との差である5261825÷1008を考える。
同様に、5040000は1008の倍数であるので221824÷1008を考え、201600は1008の倍数であるので21224÷1008を考え、20160は1008の倍数であるので1064÷1008を考えます。
ここまでくると引き算で1064-1008＝56
よって答えは56
でよろしいでしょうか。
中学数学の知識ではこれが限界です。 1ですが、
(4)を少しいじっただけですが。
(5)Nを自然数として
(N-1)^2+N^3+(N+1)^2=2018
を満たすNを求めよ。 >4
tan2018°=tan(218°+360°*5)
=tan218°
=tan(218°-180°)
=tan38°
tan38°が有理数でないのは自明である
したがってtan2018°は有理数でない
自分なりに適当に書かせてもらいましたが、この問題は解けませんｗ
すいません。 2018は連続する何個の自然数の和で表されるか？
また、その連続する自然数を小さい順にすべてかけ。 こんなのはいかが？
[問] 2018の約数を自分自身も含めて合計すると3030となるが、
同様に、4桁の数で、約数の合計を求めると、千位と十位、百位と一位の数がそれぞれ等しい4桁の数になるというものが、
もともとの数が素数であるものを除くと9つある。2018以外の8つを全て挙げよ。 >>4
tan38=tan2018
tan76 = 2tan38/(1-(tan38)^2)
tan114 = (tan38+tan76)/(1-tan38*tan76)
tan10 = tan190 = (tan76+tan114)/(1-tan76*tan114)
tan20 = 2tan10/(1-(tan10)^2)
tan30 = (tan10+tan20)/(1-tan10*tan20)
もしtan2018が有理数ならこいつらは全部有理数だが
実際はtan30=1/√3は無理数なので矛盾
tan1°が無理数であることを示せ、ってのと同類の問題 >9
「tan1°が無理数であることを示せ」ってどっかの大学入試で出たやつですか？ 高校数学ばっかだな
数学科の定番ネタだとやっぱ「位数2018の群を分類せよ」 あけましておめでとうございます。
超簡単でやっつけ感満載ですが。
a^2-b^2-c^2=2018
a+b-c=2018
を満たす自然数a,b,cを求めよ。 aa-bb-cc=(a+b-c)(a-b+c)-2bcより
2018=2018(a-b+c)-2bc
bc=1009(a-b+c-1)…①
1009は素数なのでbかcのいずれか一方は1009の倍数
1) b=1009kの場合
①に代入して1009kc=1009(a-1009k+c-1)よりa=(c+1009)k-c+1
2018=a+b-c=(c+1009)k-c+1+1009k-c=c(k-2)+1+2018kよりc=-2019/(k-2)-2018
cは自然数なのでk=1のみが条件を満たす
k=1より(a,b,c)=(1010,1009,1)★
2) c=1009mの場合
①に代入して1009bm=1009(a-b+1009m-1)よりa=(b-1009)m+b+1
2018=a+b-c=(b-1009)m+b+1+b-1009m=b(m+2)+1-2018mよりc=-2019/(m+2)+2018
cは自然数なのでm+2は2019=3×673の約数。よってm=1,671,2017のみが条件を満たす
m=1より(a,b,c)=(1682,1345,1009)★
m=671より(a,b,c)=(677042,2015,677039)★
m=2017より(a,b,c)=(2035154,2017,2035153)★
解は上記★の4通り >>16訂正
2018=a+b-c=(b-1009)m+b+1+b-1009m=b(m+2)+1-2018mよりb=-2019/(m+2)+2018
bは自然数なのでm+2は2019=3×673の約数。よってm=1,671,2017のみが条件を満たす すまん、間違えた
1009の素数判定だった
10=2・5
2018=2・1009
位数2p（pは奇素数）の群は？演習問題に載ってる 巡回群Z/2018Zと二面体群D_1009だけだな
自明な問題やな 巡回群(Z_1009)*={1, 2, 3, ..., 1008}において、以下の問に答えよ。
(1)
2が原始元とならない理由を述べよ。
(2)
この集合から任意の整数を1つ選んだとき、それが原始元である確率を求めよ。
(3)
2^x=30(mod 1009)を満たすxを求めよ。
うまい問題を作るのは難しいな 2018は、素因数分解すると２×1009
実は、この「２」と「1009」はそれぞれ１桁と４桁の最小素数の積で表される。
2018みたいに各桁の最小素数のみでの積になる整数を挙げよ（例：242・256・4036）
参考「桁別での最小素数」（※４桁まで併記）
１桁・・・・２
２桁・・・・11
３桁・・・・101
４桁・・・・1009 2018^30の下二桁を答えよ。
累乗の末尾数字の循環にはなにか規則性があるのでしょうか？高校数学で習うのならとてもわくわくします。
下一桁はわかりやすく4つごとに循環する数が多いですね。
①1,1,1,1…
②2486,2486,2486,2486,…
・
・
・
⑧8426,8426,8426,…
⑨91,91,91,91…
下二桁は20や10ごとに循環する数が多いですね
①1,1,1,1…
②2,4 8 16 32 64 28 56 12 24 48 96 92 84 68 36 72 44 88 76 52,04 08 16…
③3 9 27 81 43 29 87 61 83 49 47 41 23 69 07 21 63 89 67 01,03 09 27…
・
・
・
⑰17 89 13 21 57 69 73 41 97 49 33 61 37 29 93 81 77 09 53 01,17 89 13…
⑲19 61 59 21 99 81 39 41 79 01,19 61 59…
一応1から20までの累乗の下二桁の循環を地道に計算して調べました。（1は二桁にはなりませんが）
下一桁はきれいにだいたい4つごとに循環してくれますが十の位がなかなか循環してくれませんでした。たぶん下三桁も
ずっと同じように循環していくんだろな～と思います。 正の数 a,b,c に対して
(a^2018 -a^30 +3) (b^2018 -b^30 +3) (c^2018 -c^30 +3）> 3（a^4 +b^4 +c^4),
[不等式スレ９．390]
正の数 a,b,c に対して
(a^2019 -a^31 +3) (b^2019 -b^31 +3) (c^2019 -c^31 +3) > 3 (a^4 +b^4 +c^4)
[不等式スレ１０．26-28] >>1
(1) 8^3･2^2 + 0･1 -30
(2) A=12, B=17, C=1.
(3)① N^2 + (N+1)^2 + ････ + (N+11)^2 = 12N(N+11) + 506,
∴ N = 7 (題意より N≠-18)
(3)② (M-3)^2 + (M-2)^2 + (M-1)^2 + M^2 = 4M(M-3) +14,
∴ M = 4 (題意より M≠-1)
(4) (X,Y) = (43,13) 題意より (X,Y) ≠ (-13,-43)
>>3
余りが 65741824 → 5261824 → 221824 → 20224 → 64 となります。
>>5
(N-1)^2 + N^3 + (N+1)^2 = NN(N+2) + 2,
N = 12,
>>7
4個 {503, 504, 505, 506}
>>9
38ﾟ*15 = 570ﾟ = 3*180ﾟ + 30ﾟ
tan(38ﾟ*15) = tan(30ﾟ) = 1/√3,
>>25
18^2 = 324,
18^3 = 5832,
18^4 = 104976,
18^5 = 1889568,
18^6 = 34012224,
以下、周期4で繰り返す。
2018^30 ≡ 18^30 ≡ 18^2 ≡ 24 (mod 100) >>23
(1) 2は平方剰余
439^2 ≡ 570^2 ≡ 2 (mod 1009)
(3) x = 11 + 504n, >>37 (上)
(x^2018 -x^30 +3)^3 ≧ k {(x/x0)^12 +1 +1},
ここに
x0 = 0.997932205334536
{(2018 - 4/3)x^2018 - (30 -4/3)x^30 -4 = 0 の正根}
k = 2.9804335869522917
(左辺) ≧ (k/x0^4) (a^4 + b^4 + c^4)
= 3.0052132512063748 (a^4 + b^4 + c^4) >>37 (下)
(x^2019 -x^31 +3)^3 ≧ k {(x/x0)^12 +1 +1},
ここに
x0 = 0．99794707802373850618
{(2019 -4/3)x^2019 - (31 -4/3)x^31 -4 = 0 の正根}
k = 2.98882413327445720383
コーシーより
(左辺) ≧ (k/x0^4)(a^4 + b^4 + c^4)
= 3.01349390696484208254 (a^4 + b^4 + c^4), 〔問題〕
2018個の連続する自然数の和としても、30個の連続する自然数の和としても表せる自然数をすべて求めよ。
[分かスレ４５６脇.780] - 改 2018個の中央の数を a-1,a とし、30個の中央の数を b-1,b とする。
すべて自然数だから a≧1010, b≧16,
題意より N = 2018(a-1/2) = 30(b-1/2),
a = 30(n+66)/2 + 8,
b = 2018(n+66)/2 + 505,
N = 2018･30{(n+66)/2 + 1/4}, >>37
実数 a,b,c に対して
(a^2020 -a^2 +2^2)(b^2020 -b^2 +2^2)(c^2020 -c^2 +2^2) > (a^2+b^2+c^2)^3,
[不等式スレ１０．294,304-305] 正の数 a,b,c に対して
(a^2021 -a^3 +3) (b^2021 -b^3 +3) (c^2021 -c^3 +3) + 1 > 3 (a+b+c),
(a^2021 -a^3 +3) (b^2021 -b^3 +3) (c^2021 -c^3 +3) + 1 > 3 (a^3 +b^3 +c^3),
(a^2021 -a^3 +3) (b^2021 -b^3 +3) (c^2021 -c^3 +3) + 1 > (1/3) (a+b+c)^3,
(a^2021 -a^3 +3) (b^2021 -b^3 +3) (c^2021 -c^3 +3) + 1 > (1/3)(a^3 +b^3 +c^3)^3, 正の数 a, b, c に対して
(a^2021 - a^3 +3) (b^2021 - b^3 +3) (c^2021 - c^3 +3) > (1/(3ln3)) (a+b+c)^3,
これは
x^2021 - x^3 + 3 ≧ K^{1/3} {x^3 /(x｡)^2 + x。+ x。},
K = 0.30406358311 > 0.30341307554･･･ = 1/(3ln3),
を使わないと難しい。。。
等号成立は x = x。= 0.99703312297
あとはコーシーで。
不等式スレ１０-583,585
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/379,381
http://suseum.jp/gq/question/3221 〔問題48〕
a,b,c >0 のとき
(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3) ≧ (a+b+c)^3
USAMO-2004, Q5
Inequalitybot [48] ☆6 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
