微分幾何学得意な人教えてくれ

リーマン計量gを局所的に成分で表示するとき、開集合U上の正規直交枠をとることから始めればU上で標準的な表示ができる(つまりテンソルgの成分がクロネッカーのδで書ける)けど、
まず座標からスタートしたらその座標方向の微分作用素がU上で正規直交になるようには必ずしも出来ないからU上でgを標準的に表示することが出来ず、正規座標を取ることにより一点でのみそういう表示ができる

っていう認識だけど合ってますか？