斎藤毅著『集合と位相』を読んでいます。

f : X → Y
∀i ∈ I(A_i ⊂ X)

とする。

f(∪_{i ∈ I} A_i) = ∪_{i ∈ I} f(A_i)

を証明せよ。

斎藤毅さんは以下のように証明しています。

非常に奇妙な証明ではないでしょうか？
こんな解答を書く人は稀ではないでしょうか？
こんな奇妙な証明を書いた意図は何でしょうか？



「y ∈ Y に対し、 y ∈ f(∪ A_i) は、 f^(-1)(y) ∩ ∪ A_i ≠ φ
と同値である。　f^(-1)(y) ∩ ∪ A_i = ∪ (f^(-1)(y) ∩ A_i) だから、これは、
f^(-1)(y) ∩ A_i ≠ φ となる i ∈ I が存在することと同値であり、 y ∈ f(A_i)
となる i ∈ I が存在することとも同値である。これはさらに y ∈ ∪_{i ∈ I} f(A_i)
と同値だから、 f(∪_{i ∈ I} A_i) = ∪_{i ∈ I} f(A_i) が示された。」