>>50
4次元が見えない人が自力で解くのは無理だし、
解答読んでもわからない人に教えられる訳はないのだが参考までに。

まずは、3次元の場合をアナロジーとして考えておく。
立方体を平面で切ると、切り口は多角形になり、
2つの多面体に分けられる。
このとき、切り口の多角形の境界部分（＝辺のこと）は、
もとの立方体の境界である面と、切った平面の共通部分であること
を注意しておく。

この問題では、4次元の立方体を3次元平面で切っただけだから
切り口が3次元球と同相な何か（多面体）になって、
2つの4次元球と同相な何か（4次元の多面体）に分かれる。

切り口の多面体について考える。
3次元の場合と同様に、切り口の多面体の境界部分である面は、
もとの4次元立方体の境界部分と、切った超平面の共通部分である。

4次元立方体の境界は、x,y,z,wの座標のうちどれか一つ以上が
0または1になっている部分である。
例えば、x=0 になっている部分に着目すると、
P = { (0 , y , z , w ) 0 =< y,z,w =< 1 } という立方体になっている。
境界は、このような立方体8個がくっついて出来ている。

切り口の境界部分を調べる。
Pと超平面 π: x + y + z + w = 2 共通部分は、x=0という超平面内で
y + z + w = 2 かつ { (0 , y , z , w ) 0 =< y,z,w =< 1 } となる平面であるから
立方体P を(0,1,1,0)、(0,1,0,1)、(0,0,1,1) の3点を通る平面で切った
正三角形になる。

4次元立方体の境界である8つの立方体全てについて、πとの共通部分は
Pの場合と同じく正三角形になっている。
したがって、切り口の境界部分である多面体は、8枚の正三角形で
出来ていることがわかる。このような多面体は正8面体である。