>>487
xについての2次方程式 ax^2 + bx + c = 0 が
異なる2つの正の解を持つ条件は、下記の①、②、③を全て満たすこと。

①判別式が正　⇔　D = b^2 - 4ac > 0
②2つの解の和が正　⇔　-b/a > 0　⇔　b/a < 0
③2つの解の積が正　⇔　c/a > 0


問題の2次方程式は x^2 + 2mx + m + 2 = 0 だから、

①D/4 = m^2 - 1(m + 2) > 0
　　⇔　m^2 - m - 2 > 0
　　⇔　(m + 1)(m - 2) > 0
　　⇔　m < -1 又は 2 < m

②-2m/1 > 0　⇔ m < 0
③(m + 2)/1 > 0　⇔　m > -2

①、②、③を全て満たすmの範囲は、-2 < m < -1。


解と係数の関係で考えた方が分かりやすいと思うんだけど、それは人それぞれか…。
あと、この問題ではxの係数が「2×定数」の形になっているので、判別式はD/4 = b^2 - acを使った方が計算しやすい。
模範解答とちょっと違うけど、これでも満点貰えるはず。