巨大数探索スレッド13
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Σcos(y*logk)^n/k^nx+i*Σsin(y*logk)^n/k^nx=0となるときnx=1でなければならないとすると
n→∞
1^∞/1^(∞/2)+cos(y*log2)^∞/2^(∞/2)+cos(y*log3)^∞/3^(∞/2)+・・・
1^∞/1^(∞/2)+sin(y*log2)^∞/2^(∞/2)+sin(y*log3)^∞/3^(∞/2)+・・・
cos(y*logk)=1,sin(y*logk)=1いがいのとき∞乗されると0になるため
y*logkが2nπ,(2n+1/4)π,(2n+2/4)π,(2n+3/4)π,のいずれかになるkのみを全整数から抜き出す
k=e^((2n+(m/4))π/y)
lim(n→∞) Σ1/e^((2n)π/y)^(nx)+i*Σ1/e^((2n+1/2)π/y)^(nx)=0になるときx=1/2になることをしめす >>361
ζ(s)=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+1/5^s+・・・
s=x+i*y
ζ(s)=(1+cos(y*log2)/2^x+cos(y*log3)/3^x+・・・)+i*(sin(y*log2)/2^x+sin(y*log3)/3^x+・・・)
ζ(s)のすべての項を2πで割った際のあまりが小さくなった順に並べ替える
0 < (y*logk(1)) mod 2π < (y*logk(2)) mod 2π < (y*logk(3)) mod 2π < ・・・ < 2π
k(1)からk(n)までの成分を足したものは複素数平面状でx=1/2に中心をもつ円周上に並ぶ
X(n)=(1+cos(y*logk(1))/k(1)^x+cos(y*logk(2))/k(2)^x+・・・+cos(y*logk(n))/k(n)^x)
Y(n)=(sin(y*logk(1))/k(1)^x+sin(y*logk(2))/k(2)^x+・・・+sin(y*logk(n))/k(n)^x)
(X-1/2)^2+Y^2=R^2
k1からk(n+1)についても同様にx=1/2に中心をもつ円周上に並ぶとき
X(n+1)=(1+cos(y*logk(1))/k(1)^x+cos(y*logk(2))/k(2)^x+・・・+cos(y*logk(n))/k(n)^x+cos(y*logk(n+1))/k(n+1)^x)
Y(n+1)=(sin(y*logk(1))/k(1)^x+sin(y*logk(2))/k(2)^x+・・・+sin(y*logk(n))/k(n)^x+sin(y*logk(n+1))/k(n+1)^x)
((1+cos(y*logk(1))/k(1)^x+cos(y*logk(2))/k(2)^x+・・・+cos(y*logk(n))/k(n)^x)-1/2)^2+(sin(y*logk(1))/k(1)^x+sin(y*logk(2))/k(2)^x+・・・+sin(y*logk(n))/k(n)^x)^2=R^2
((1+cos(y*logk(1))/k(1)^x+cos(y*logk(2))/k(2)^x+・・・+cos(y*logk(n+1))/k(n+1)^x)-1/2)^2+(sin(y*logk(1))/k(1)^x+sin(y*logk(2))/k(2)^x+・・・+sin(y*logk(n+1))/k(n+1)^x)^2=R^2
cos(y*logk(n+1))^2/k(n+1)^2x+2*cos(y*logk(n+1))/k(n+1)^x*(1+cos(y*logk(1))/k(1)^x+cos(y*logk(2))/k(2)^x+・・・+cos(y*logk(n))/k(n)^x)
=sin(y*logk(n+1))^2/k(n+1)^2x+2*sin(y*logk(n+1))/k(n+1)^x*(sin(y*logk(1))/k(1)^x+sin(y*logk(2))/k(2)^x+・・・+sin(y*logk(n))/k(n)^x)
cos(y*logk(n+1))^2/k(n+1)^2x+2*cos(y*logk(n+1))/k(n+1)^x*X(n)=sin(y*logk(n+1))^2/k(n+1)^2x+2*sin(y*logk(n+1))/k(n+1)^x*Y(n)
cos(y*logk(n+1)^2)/k(n+1)^2x+2*(cos(y*logk(n+1))*X(n)-sin(y*logk(n+1))*Y(n))/k(n+1)^x=0
k(n+1)^x=cos(y*logk(n+1)^2)/2*(sin(y*logk(n+1))*X(n)-cos(y*logk(n+1))*Y(n))
x=log[cos(y*logk(n+1)^2)/2*(sin(y*logk(n+1))*X(n)-cos(y*logk(n+1))*Y(n))]/log[k(n+1)]
x=log[cos(y*logk(2)^2)/2*(sin(y*logk(2))*X(1)-cos(y*logk(2))*Y(1))]/log[k(2)]=1/2 (X-1/2)^2+(Y-R)^2=R^2+1/2^2
cos(y*logk(n+1))^2/k(n+1)^2x+2*cos(y*logk(n+1))/k(n+1)^x*(1+cos(y*logk(1))/k(1)^x+cos(y*logk(2))/k(2)^x+・・・+cos(y*logk(n))/k(n)^x-1/2)
=sin(y*logk(n+1))^2/k(n+1)^2x+2*sin(y*logk(n+1))/k(n+1)^x*(sin(y*logk(1))/k(1)^x+sin(y*logk(2))/k(2)^x+・・・+sin(y*logk(n))/k(n)^x-R)
cos(y*logk(n+1))^2/k(n+1)^2x+2*cos(y*logk(n+1))/k(n+1)^x*(X(n)-1/2)=sin(y*logk(n+1))^2/k(n+1)^2x+2*sin(y*logk(n+1))/k(n+1)^x*(Y(n)-R)
cos(y*logk(n+1)^2)/k(n+1)^2x+2*(cos(y*logk(n+1))*(X(n)-1/2)-sin(y*logk(n+1))*(Y(n)-R))/k(n+1)^x=0
k(n+1)^x=cos(y*logk(n+1)^2)/2*(sin(y*logk(n+1))*(Y(n)-R)-cos(y*logk(n+1))*(X(n)-1/2))
x=log[cos(y*logk(n+1)^2)/2*(sin(y*logk(n+1))*(Y(n)-R)-cos(y*logk(n+1))*(X(n)-1/2))]/log[k(n+1)]
x=log[cos(y*logk(1)^2)/2*(sin(y*logk(1))*(Y(0)-R)-cos(y*logk(1))*(X(0)-1/2))]/log[k(1)]
x=log[-cos(y*logk(1)^2)/(2*sin(y*logk(1))*R+cos(y*logk(1)))]/log[k(1)]
y*logk(1)→0 R→∞
x=log[-cos(y*logk(1)^2)/(2*sin(y*logk(1))*R+cos(y*logk(1)))]/log[k(1)]
-cos(y*logk(1)^2)/(2*sin(y*logk(1))*R+cos(y*logk(1)))=(k(1))^x
0=2R*sin(y*logk(1))/(k(1))^x+cos(y*logk(1))/(k(1))^x+cos(y*logk(1)^2)/(k(1))^2x
cos(y*logk(1))/(k(1))^x+cos(y*logk(1)^2)/(k(1))^2x→0 cos(y*logk(1))/(k(1))^x+cos(y*logk(1)^2)/(k(1))^2x→0
θ→0
y*logk(1)=2nπ+θ
cos(θ)/e^((2nπ+θ)*x/y)+cos(2θ)/e^((2nπ+θ)*2x/y)→0
x=y/(2nπ+θ)*log[-cos(2θ)/cos(θ)]
log[-cos(2θ)/cos(θ)]→i*(2m+1)π
x=y*i*(2m+1)/2n
cos(θ)/k(1)^x+cos(2θ)/k(1)^2x→0
log[cos(y*logk(n)^2)/(2*(sin(y*logk(n))*(Y(n-1)-R)-cos(y*logk(n))*(X(n-1)-1/2)))]/log[cos(y*logk(n+1)^2)/(2*(sin(y*logk(n+1))*(Y(n)-R)-cos(y*logk(n+1))*(X(n)-1/2)))]=log[k(n)]/log[k(n+1)]
{log[cos(y*logk(n)^2)]-log[2*(sin(y*logk(n))*(Y(n-1)-R)-cos(y*logk(n))*(X(n-1)-1/2))]}/{log[cos(y*logk(n+1)^2)]-log[2*(sin(y*logk(n+1))*(Y(n)-R)-cos(y*logk(n+1))*(X(n)-1/2))]}=log[k(n)]/log[k(n+1)]
k(n+1)*cos(y*logk(n)^2)=k(n)*cos(y*logk(n+1)^2) x=log[cos(y*logk(1)^2)/2*(sin(y*logk(1))*(Y(0)-R)-cos(y*logk(1))*(X(0)-1/2))]/log[k(1)]
x=log[cos(y*log1^2)/2*(sin(y*log1)*(0-R)-cos(y*log1)*(0-1/2))]/log[1]=log[cos(y*log1^2)/cos(y*log1)]/0=1/2
log[cos(y*log1^2)/cos(y*log1)]=log[2cos(y*log1)-1/cos(y*log1)]=0/2
lim y*logk(1)→2nπ log[cos(y*logk(1)^2)/cos(y*logk(1))]/log[k(1)] → 1/2 だな
自分の力で何か見つけて興奮する気持ちは分からんでもないが X=cos(y*log2)/2^x+cos(y*log3)/3^x+cos(y*log4)/4^x+cos(y*log5)/5^x+・・・
Y=sin(y*log2)/2^x+sin(y*log3)/3^x+sin(y*log4)/4^x+sin(y*log5)/5^x+・・・
xとyがゼロ点を通るときX=-1 Y=0
√(X^2+Y^2)=√((1/2^2x+1/3^2x+1/4^2x+1/5^2x+・・・)+2*(cos(y*log(3/2))/(2*3)^x+cos(y*log(4/2))/(2*4)^x+cos(y*log(5/2))/(2*5)^x+cos(y*log(6/2))/(2*6)^x+cos(y*log(7/2))/(2*7)^x+cos(y*log(8/2))/(2*8)^x+・・・))=1
cos(y*log(4/2))/(2*4)^x+cos(y*log(6/2))/(2*6)^x+cos(y*log(8/2))/(2*8)^x+cos(y*log(10/2))/(2*10)^x+・・・=1/2^2x*(cos(y*log(2))/(2)^x+cos(y*log(3))/(3)^x+cos(y*log(4))/(4)^x+cos(y*log(5))/(5)^x+・・・)
cos(y*log(6/3))/(3*6)^x+cos(y*log(9/3))/(3*9)^x+cos(y*log(12/3))/(12*3)^x+cos(y*log(15/3))/(3*15)^x+・・・=1/3^2x*(cos(y*log(2))/(2)^x+cos(y*log(3))/(3)^x+cos(y*log(4))/(4)^x+cos(y*log(5))/(5)^x+・・・)
cos(y*log(8/4))/(4*8)^x+cos(y*log(12/4))/(4*12)^x+cos(y*log(16/4))/(16*4)^x+cos(y*log(20/4))/(4*20)^x+・・・=1/4^2x*(cos(y*log(2))/(2)^x+cos(y*log(3))/(3)^x+cos(y*log(4))/(4)^x+cos(y*log(5))/(5)^x+・・・)
√(X^2+Y^2)=√((1/2^2x+1/3^2x+1/4^2x+1/5^2x+・・・)*(1+X)+2*(cos(y*log(3/2))/(2*3)^x+cos(y*log(5/2))/(2*5)^x+cos(y*log(7/2))/(2*7)^x+cos(y*log(9/2))/(2*9)^x+cos(y*log(11/2))/(2*11)^x+cos(y*log(13/2))/(2*13)^x+・・・))=1
(1+X)=0になるため
√(2*(cos(y*log(3/2))/(2*3)^x+cos(y*log(5/2))/(2*5)^x+cos(y*log(7/2))/(2*7)^x+cos(y*log(9/2))/(2*9)^x+cos(y*log(11/2))/(2*11)^x+cos(y*log(13/2))/(2*13)^x+・・・))=1
(Σcos(y*log(m/n))/(n*m)^x=1/2 (1<m<n) nはmを因数に持たない
√(X^2+Y^2)=√((1+1/2^2x+1/3^2x+1/4^2x+1/5^2x+・・・)*(1+X)-X)=1=√(1+X+X^2)
√(X^2+X)=0
Y^2=X+1 ζ(s)=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+1/5^s+1/6^s+・・・=1+cos(y*log2)/2^x+cos(y*log3)/3^x+・・・+i*(sin(y*log2)/2^x+sin(y*log3)/3^x+・・・)
Im(ζ(s))=Re(ζ(s))^(1/2)
ζ(s)=Re(ζ(s))+i*Re(ζ(s))^(1/2)=√(Re(ζ(s))^2+Re(ζ(s)))*e^(i*arctan[1/Re(ζ(s))^(1/2)])
Re(ζ(s))=0のとき
ζ(s)=Re(ζ(s))+i*Re(ζ(s))^(1/2)=0*e^(i*arctan[1/(0)^(1/2)])=0 ζ(s)=√Re(ζ(s))*√(Re(ζ(s))+1)*e^(i*arctan[1/√(Re(ζ(s))])
√Re(ζ(s))=0
ζ(s)=√Re(ζ(s))*√(Re(ζ(s))+1)*e^(i*arctan[1/√(Re(ζ(s))])=0*e^(i*arctan[1/0])=0
√(Re(ζ(s))+1)=0
ζ(s)=√Re(ζ(s))*√(Re(ζ(s))+1)*e^(i*arctan[1/√(Re(ζ(s))])=0*e^(i*arctan[1/i])=0*∞≠0
Y=(2*3)*√((x^2+1/2^(2)+1/3^(2))+2*(x/2+x/3+1/(2*3)))
x=0 Y=5
x=1 Y=11
x=2 Y=17
x=3 Y=23
Y=(2*3*5)*√((x^2+1/2^(2)+1/3^(2)+1/5^(2))+2*(x/2+x/3+x/5+1/(2*3)+1/(2*5)+1/(3*5)))
x=0 Y=31
x=1 Y=61
Y=(2*3*5*7)*√((x^2+1/2^(2)+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*(x/2+x/3+x/5+x/7+1/(2*3)+1/(2*5)+1/(2*7)+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))
x=-1 Y=37
x=-2 Y=173
(2*3*5*7)*√((2^2+1/2^(2)+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*(-2*(1/2+1/3+1/5+1/7)-1/(2*3)+1/(2*5)+1/(2*7)+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=23
(2*3*5*7)*|(1/2^(i*y)+1/3^(i*y)+1/5^(i*y)+1/7^(i*y)+x^(n+i*y))|
Y=(2*3*5*7)*√((cos(y*log2))/2+cos(y*log3))/3+cos(y*log5))/5+cos(y*log7))/7+cos(y*logx))*x^n)^2+(sin(y*log2))/2+sin(y*log3))/3+sin(y*log5))/5+sin(y*log7))/7+sin(y*logx))*x^n)^2)
xとnが整数かつcos(y*logk)とsin(y*logk)がすべて1のときは必ず整数になる
7の次の素数の二乗より小さくなるようにnとxとyを調整し素数を作る 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f) (2*3*5*7)*√((i^(2)+1/2^(2)+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*(i^(1)*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/(2*3)+1/(2*5)+1/(2*7)+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=247+210i
(2*3*5*7)*√((i^(4)+1/2^(2)+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*(i^(2)*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/(2*3)+1/(2*5)+1/(2*7)+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=37
(2*3*5*7)*√((i^(6)+1/2^(2)+1/3^(3)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*(i^(3)*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/(2*3)+1/(2*5)+1/(2*7)+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=247-210i
(2*3*5*7)*√((i^(8)+1/2^(2)+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*(i^(4)*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/(2*3)+1/(2*5)+1/(2*7)+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=457
(2*3*5*7)*√((i^(10)+1/2^(2)+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*(i^(5)*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/(2*3)+1/(2*5)+1/(2*7)+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=247+210i
(2*3*5*7)*√((i^(12)+1/2^(2)+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*(i^(6)*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/(2*3)+1/(2*5)+1/(2*7)+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=37
(2*3*5*7)*√((i^(14)+1/2^(2)+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*(i^(7)*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/(2*3)+1/(2*5)+1/(2*7)+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=247-210i
(2*3*5*7)*√((i^(16)+1/2^(2)+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*(i^(8)*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/(2*3)+1/(2*5)+1/(2*7)+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=457
(2*3*5*7)*√((i^(2+8n)+1/2^(2)+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*(i^(1+4n)*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/(2*3)+1/(2*5)+1/(2*7)+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=247+210i
(2*3*5*7)*√((i^(4+8n)+1/2^(2)+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*(i^(2+4n)*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/(2*3)+1/(2*5)+1/(2*7)+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=37
(2*3*5*7)*√((i^(6+8n)+1/2^(2)+1/3^(3)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*(i^(3+4n)*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/(2*3)+1/(2*5)+1/(2*7)+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=247-210i
(2*3*5*7)*√((i^(8+8n)+1/2^(2)+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*(i^(4+4n)*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/(2*3)+1/(2*5)+1/(2*7)+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=457 (2^(2^(n-1))*3*5*7)*√(((i)^(4)+1/(2i)^(2^n)+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*((i)^(2)*(1/(2i)^(2^(n-1))+1/3+1/5+1/7)+1/(2i)^(2^(n-1))*(1/(3)+1/(5)+1/(7))+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))
(2^2*3*5*7)*√(((i)^(4)+1/(2i)^(4)+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*((i)^(2)*(1/(2i)^2+1/3+1/5+1/7)+1/(2i)^2*(1/(3)+1/(5)+1/(7))+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=241
(2^4*3*5*7)*√(((i)^(4)+1/(2i)^(8)+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*((i)^(2)*(1/(2i)^(2^(3-1))+1/3+1/5+1/7)+1/(2i)^(2^(3-1))*(1/(3)+1/(5)+1/(7))+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=439
(2^8*3*5*7)*√(((i)^(4)+1/(2i)^(16)+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*((i)^(2)*(1/(2i)^8+1/3+1/5+1/7)+1/(2i)^8*(1/(3)+1/(5)+1/(7))+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=8599
nに数値を入れると必ず素数になる (2*3*5*7*・・・*S(n))*√((i^(2)+1/(2i)^(2x1+8y1)+1/3^(2x2+8y2)+1/5^(2x3+8y3)+1/7^(2x4+8y4)+・・・・S(n)^(2xn+8yn))+2*(i^(1)*(1/(2i)^(x1+4y1)+1/(3i)^(x2+4y2)+1/(5i)^(x3+4y3)+・・・+S(n)^(xn+4yn))+Σ1/(S(k)^(xk+4yk)S(l)^(xl+4yl))))
Y=ΠS(n)*√(i^(4x0+8y0)+Σ1/(S(k)*i)^(4xk+8yk)+2*(i^(2x0+4y0)*Σ1/(S(k)*i)^(2xk+y4)+Σ1/((S(k)*i)^(2xk+4yk)*(S(l)*i)^(2xl+4yl))))
ΠS(n)は1からn番目までの素数積
Σ1/(S(k)*i)^(4xk+8y4)は1からn番目の素数の(4xk+8y4)乗した逆数和
Σ1/((S(k)*i)^(2xk+4yk)*(S(l)*i)^(2xl+4yl))は互いに異なる素数の逆数和
xk,yk,xl,ylに整数を代入しえられる値がS(n+1)^2よりもちいさくなるとき必ず素数になる (2*3*5*7)*√(((i)^(4)+1/(2^2*i^(2+8n))+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*((i)^(2)*(1/(2*i^(1+4n))+1/3+1/5+1/7)+1/(2*i^(1+4n))*(1/(3)+1/(5)+1/(7))+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=68+105i
(2*3*5*7)*√(((i)^(4)+1/(2^2*i^(4+8n))+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*((i)^(2)*(1/(2*i^(2+4n))+1/3+1/5+1/7)+1/(2*i^(2+4n))*(1/(3)+1/(5)+1/(7))+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=173
(2*3*5*7)*√(((i)^(4)+1/(2^2*i^(6+8n))+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*((i)^(2)*(1/(2*i^(3+4n))+1/3+1/5+1/7)+1/(2*i^(3+4n))*(1/(3)+1/(5)+1/(7))+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=68-105i
(2*3*5*7)*√(((i)^(4)+1/(2^2*i^(8+8n))+1/3^(2)+1/5^(2)+1/7^(2))+2*((i)^(2)*(1/(2*i^(4+4n))+1/3+1/5+1/7)+1/(2*i^(4+4n))*(1/(3)+1/(5)+1/(7))+1/(3*5)+1/(3*7)+1/(5*7)))=37
(2*3*5*7)*√(((i)^(4)+1/(2^2*i^(2+8n))+1/(3*i^(2))+1/5^(2)+1/7^(2))+2*((i)^(2)*(1/(2*i^(1+4n))+1/(3*i^1)+1/5+1/7)+1/(2*i^(1+4n))*(1/(3*i^1)+1/(5)+1/(7))+1/(3*i^1)*(1/5+1/7)+1/(5*7)))
(2*3*5*7)*√(((i)^(4)+1/(2^2*i^(4+8n))+1/(3*i^(4))+1/5^(2)+1/7^(2))+2*((i)^(2)*(1/(2*i^(2+4n))+1/(3*i^2)+1/5+1/7)+1/(2*i^(2+4n))*(1/(3*i^2)+1/(5)+1/(7))+1/(3*i^2)*(1/5+1/7)+1/(5*7)))
(2*3*5*7)*√(((i)^(4)+1/(2^2*i^(6+8n))+1/(3*i^(6))+1/5^(2)+1/7^(2))+2*((i)^(2)*(1/(2*i^(3+4n))+1/(3*i^3)+1/5+1/7)+1/(2*i^(3+4n))*(1/(3*i^3)+1/(5)+1/(7))+1/(3*i^3)*(1/5+1/7)+1/(5*7)))
(2*3*5*7)*√(((i)^(4)+1/(2^2*i^(8+8n))+1/(3*i^(8))+1/5^(2)+1/7^(2))+2*((i)^(2)*(1/(2*i^(4+4n))+1/(3*i^4)+1/5+1/7)+1/(2*i^(4+4n))*(1/(3*i^4)+1/(5)+1/(7))+1/(3*i^4)*(1/5+1/7)+1/(5*7)))
(2*3*5*7)*√(((i)^(4)+1/(2^2*i^(2))+1/(3^2*i^(2))+1/5^(2)+1/7^(2))+2*((i)^(2)*(1/(2*i^(1))+1/(3*i^1)+1/5+1/7)+1/(2*i^(1))*(1/(3*i^1)+1/(5)+1/(7))+1/(3*i^1)*(1/5+1/7)+1/(5*7)))=138+175i
(2*3*5*7)*√(((i)^(4)+1/(2^2*i^(8))+1/(3^2*i^(4))+1/5^(2)+1/7^(2))+2*((i)^(2)*(1/(2*i^(4))+1/(3*i^2)+1/5+1/7)+1/(2*i^(4))*(1/(3*i^2)+1/(5)+1/(7))+1/(3*i^2)*(1/5+1/7)+1/(5*7)))=103
(2*3*5*7)*√(((i)^(4)+1/(2^2*i^(8))+1/(3^2*i^(8))+1/5^(2)+1/7^(2))+2*((i)^(2)*(1/(2*i^(4))+1/(3*i^4)+1/5+1/7)+1/(2*i^(4))*(1/(3*i^4)+1/(5)+1/(7))+1/(3*i^4)*(1/5+1/7)+1/(5*7)))=37 (2*3*5*7)*√(((i)^(4)+1/(2^2*i^(8))+1/(3^2*i^(8))+1/(5^2*i^(4))+1/7^(2))+2*((i)^(2)*(1/(2*i^(4))+1/(3*i^4)+1/(5*i^(2))+1/7)+1/(2*i^(4))*(1/(3*i^4)+1/(5*i^(2))+1/(7))+1/(3*i^4)*(1/(5*i^(2))+1/7)+1/(5*i^(2)*7)))=47
(2*3*5*7)*√(((i)^(4)+1/(2^2*i^(8))+1/(3^2*i^(8))+1/(5^2*i^(4))+1/(7^2*i^(4)))+2*((i)^(2)*(1/(2*i^(4))+1/(3*i^4)+1/(5*i^(2))+1/(7*i^(2)))+1/(2*i^(4))*(1/(3*i^4)+1/(5*i^(2))+1/(7*i^(2)))+1/(3*i^4)*(1/(5*i^(2))+1/(7*i^(2)))+1/(5*i^(2)*7*i^(2))))=107
(2*3*5*7)*√(((i)^(4)+1/(2^2*i^(8))+1/(3^2*i^(8))+1/(5^2*i^(8))+1/(7^2*i^(8)))+2*((i)^(2)*(1/(2*i^(4))+1/(3*i^4)+1/(5*i^(4))+1/(7*i^(4)))+1/(2*i^(4))*(1/(3*i^4)+1/(5*i^(4))+1/(7*i^(4)))+1/(3*i^4)*(1/(5*i^(4))+1/(7*i^(4)))+1/(5*i^(4)*7*i^(4))))=37
虚数の乗数をいじり11^2より小さな整数になるとき必ず素数 (2*3*5*7)*√(((i)^(6)+1/(2^2*i^(10))+1/(3^2*i^(6))+1/(5^2*i^(6))+1/(7^2*i^(6)))+2*((i)^(3)*(1/(2*i^(5))+1/(3*i^3)+1/(5*i^(3))+1/(7*i^(3)))+1/(2*i^(5))*(1/(3*i^3)+1/(5*i^(3))+1/(7*i^(3)))+1/(3*i^3)*(1/(5*i^(3))+1/(7*i^(3)))+1/(5*i^(3)*7*i^(3))))=173i
(2*3*5*7)*√(((i)^(6)+1/(2^2*i^(10))+1/(3^2*i^(6))+1/(5^2*i^(6))+1/(7^2*i^(10)))+2*((i)^(3)*(1/(2*i^(5))+1/(3*i^3)+1/(5*i^(3))+1/(7*i^(5)))+1/(2*i^(5))*(1/(3*i^3)+1/(5*i^(3))+1/(7*i^(5)))+1/(3*i^3)*(1/(5*i^(3))+1/(7*i^(5)))+1/(5*i^(3)*7*i^(5))))=233i
(2*3*5*7)*√(((i)^(6)+1/(2^2*i^(10))+1/(3^2*i^(10))+1/(5^2*i^(6))+1/(7^2*i^(10)))+2*((i)^(3)*(1/(2*i^(5))+1/(3*i^5)+1/(5*i^(3))+1/(7*i^(5)))+1/(2*i^(5))*(1/(3*i^5)+1/(5*i^(3))+1/(7*i^(5)))+1/(3*i^5)*(1/(5*i^(3))+1/(7*i^(5)))+1/(5*i^(3)*7*i^(5))))=373i (2*3*5*7*11)*√(((i)^(6)+1/(2^2*i^(6))+1/(3^2*i^(6))+1/(5^2*i^(6))+1/(7^2*i^(6))+1/(11^2*i^(6)))+2*((i)^(3)*(1/(2*i^(3))+1/(3*i^3)+1/(5*i^(3))+1/(7*i^(3))+1/(11*i^(3)))+1/(2*i^(3))*(1/(3*i^3)+1/(5*i^(3))+1/(7*i^(3))+
1/(11*i^(3)))+1/(3*i^3)*(1/(5*i^(3))+1/(7*i^(3))+1/(11*i^(3)))+1/(5*i^(3))*(1/(7*i^(3))+1/(11*i^(3)))+1/(7*i^(3))*(1/(11*i^(3))))))=617i
(2*3*5*7*11)*√(((i)^(10)+1/(2^2*i^(6))+1/(3^2*i^(6))+1/(5^2*i^(6))+1/(7^2*i^(6))+1/(11^2*i^(6)))+2*((i)^(5)*(1/(2*i^(3))+1/(3*i^3)+1/(5*i^(3))+1/(7*i^(3))+1/(11*i^(3)))+1/(2*i^(3))*(1/(3*i^3)+1/(5*i^(3))+1/(7*i^(3))+
1/(11*i^(3)))+1/(3*i^3)*(1/(5*i^(3))+1/(7*i^(3))+1/(11*i^(3)))+1/(5*i^(3))*(1/(7*i^(3))+1/(11*i^(3)))+1/(7*i^(3))*(1/(11*i^(3))))))=5237i
(2*3*5*7*11)*√((2^16*(i)^(6)+1/(2^2*i^(6))+1/(3^2*i^(10))+1/(5^2*i^(6))+1/(7^2*i^(10))+1/(11^2*i^(10)))+2*(2^8*(i)^(3)*(1/(2*i^(3))+1/(3*i^5)+1/(5*i^(3))+1/(7*i^(5))+1/(11*i^(5)))+1/(2*i^(3))*(1/(3*i^5)+1/(5*i^(3))+
1/(7*i^(5))+1/(11*i^(5)))+1/(3*i^5)*(1/(5*i^(3))+1/(7*i^(5))+1/(11*i^(5)))+1/(5*i^(3))*(1/(7*i^(5))+1/(11*i^(5)))+1/(7*i^(5))*(1/(11*i^(5))))))=591053i
(2*3*5*7*11)*√((2^(4n)*(i)^(6)+1/(2^2*i^(6))+1/(3^2*i^(10))+1/(5^2*i^(6))+1/(7^2*i^(10))+1/(11^2*i^(10)))+2*(2^(2n)*(i)^(3)*(1/(2*i^(3))+1/(3*i^5)+1/(5*i^(3))+1/(7*i^(5))+1/(11*i^(5)))+1/(2*i^(3))*(1/(3*i^5)+1/(5*i^(3))+
1/(7*i^(5))+1/(11*i^(5)))+1/(3*i^5)*(1/(5*i^(3))+1/(7*i^(5))+1/(11*i^(5)))+1/(5*i^(3))*(1/(7*i^(5))+1/(11*i^(5)))+1/(7*i^(5))*(1/(11*i^(5))))))
nに整数をいれると素数になる (2*3*5*7*11)*√(((i)^(2)+1/(2^2*i^(2))+1/(3^2*i^(2))+1/(5^2*i^(2))+1/(7^2*i^(2))+1/(11^2*i^(2)))+2*((i)^(1)*(1/(2*i^(1))+1/(3*i^1)+1/(5*i^(1))+1/(7*i^(1))+1/(11*i^(1)))+1/(2*i^(1))*(1/(3*i^1)+1/(5*i^(1))+1/(7*i^(1))+
1/(11*i^(1)))+1/(3*i^1)*(1/(5*i^(1))+1/(7*i^(1))+1/(11*i^(1)))+1/(5*i^(1))*(1/(7*i^(1))+1/(11*i^(1)))+1/(7*i^(1))*(1/(11*i^(1))))))=617i
(2*3*5*7*11)*√(((i)^(2)+1/(2^2*i^(2))+1/(3^2*i^(2))+1/(5^2*i^(2))+1/(7^2*i^(2))+1/(11^2*i^(6)))+2*((i)^(1)*(1/(2*i^(1))+1/(3*i^1)+1/(5*i^(1))+1/(7*i^(1))+1/(11*i^(3)))+1/(2*i^(1))*(1/(3*i^1)+1/(5*i^(1))+1/(7*i^(1))+
1/(11*i^(3)))+1/(3*i^1)*(1/(5*i^(1))+1/(7*i^(1))+1/(11*i^(3)))+1/(5*i^(1))*(1/(7*i^(1))+1/(11*i^(3)))+1/(7*i^(1))*(1/(11*i^(3))))))=197i
(2*3*5*7*11)*√(((i)^(2)+1/(2^2*i^(2))+1/(3^2*i^(2))+1/(5^2*i^(2))+1/(7^2*i^(6))+1/(11^2*i^(2)))+2*((i)^(1)*(1/(2*i^(1))+1/(3*i^1)+1/(5*i^(1))+1/(7*i^(3))+1/(11*i^(1)))+1/(2*i^(1))*(1/(3*i^1)+1/(5*i^(1))+1/(7*i^(3))+
1/(11*i^(1)))+1/(3*i^1)*(1/(5*i^(1))+1/(7*i^(3))+1/(11*i^(1)))+1/(5*i^(1))*(1/(7*i^(3))+1/(11*i^(1)))+1/(7*i^(3))*(1/(11*i^(1))))))=43i
(2*3*5*7*11)*√(((i)^(2)+1/(2^2*i^(2))+1/(3^2*i^(2))+1/(5^2*i^(6))+1/(7^2*i^(2))+1/(11^2*i^(2)))+2*((i)^(1)*(1/(2*i^(1))+1/(3*i^1)+1/(5*i^(3))+1/(7*i^(1))+1/(11*i^(1)))+1/(2*i^(1))*(1/(3*i^1)+1/(5*i^(3))+1/(7*i^(1))+
1/(11*i^(1)))+1/(3*i^1)*(1/(5*i^(3))+1/(7*i^(1))+1/(11*i^(1)))+1/(5*i^(3))*(1/(7*i^(1))+1/(11*i^(1)))+1/(7*i^(1))*(1/(11*i^(1))))))=307i
(2*3*5*7*11)*√(((i)^(2)+1/(2^2*i^(2))+1/(3^2*i^(2))+1/(5^2*i^(2))+1/(7^2*i^(6))+1/(11^2*i^(6)))+2*((i)^(1)*(1/(2*i^(1))+1/(3*i^1)+1/(5*i^(1))+1/(7*i^(3))+1/(11*i^(3)))+1/(2*i^(1))*(1/(3*i^1)+1/(5*i^(1))+1/(7*i^(3))+
1/(11*i^(3)))+1/(3*i^1)*(1/(5*i^(1))+1/(7*i^(3))+1/(11*i^(3)))+1/(5*i^(1))*(1/(7*i^(3))+1/(11*i^(3)))+1/(7*i^(3))*(1/(11*i^(3))))))=463i (2*3*5*7*11*13)*√(((i)^(2)+1/(2^2*i^(2))+1/(3^2*i^(2))+1/(5^2*i^(2))+1/(7^2*i^(2))+1/(11^2*i^(6))+1/(13^2*i^(2)))+2*((i)^(1)*(1/(2*i^(1))+1/(3*i^1)+1/(5*i^(1))+1/(7*i^(1))+1/(11*i^(3))+1/(13*i))+1/(2*i^(1))*(1/(3*i^1)+1/(5*i^(1))+1/(7*i^(1))+
1/(11*i^(3))+1/(13*i))+1/(3*i^1)*(1/(5*i^(1))+1/(7*i^(1))+1/(11*i^(3))+1/(13*i))+1/(5*i^(1))*(1/(7*i^(1))+1/(11*i^(3))+1/(13*i))+1/(7*i^(1))*(1/(11*i^(3))+1/(13*i))+1/(11*i^(3))*(1/(13*i))))=4871i
(2*3*5*7*11*13)*√(((2i)^(6)+1/(2^2*i^(6))+1/(3^2*i^(6))+1/(5^2*i^(6))+1/(7^2*i^(6))+1/(11^2*i^(6))+1/(13^2*i^(6)))+2*((i)^(3)*(1/(2*i^(3))+1/(3*i^3)+1/(5*i^(3))+1/(7*i^(3))+1/(11*i^(3))+1/(13*i^(3)))+1/(2*i^(3))*(1/(3*i^3)+1/(5*i^(3))+1/(7*i^(3))+
1/(11*i^(3))+1/(13*i^(3)))+1/(3*i^3)*(1/(5*i^(3))+1/(7*i^(3))+1/(11*i^(3))+1/(13*i^(3)))+1/(5*i^(3))*(1/(7*i^(3))+1/(11*i^(3))+1/(13*i^(3)))+1/(7*i^(3))*(1/(11*i^(3))+1/(13*i^(3)))+1/(11*i^(3))*(1/(13*i^(3))))=10331i ブーフホルツのヒドラのωはトリオ数列の(0,0,0)(1,1,1)くらい? +, 0, ω が ψ_0(Ω_ω) つまり (0,0,0)(1,1,1) と同じ BM2非標準形で意図したように機能せず弱体化してたからBM2.1が作られたというだけで、
BM2が破綻していたという話ではないのでは 標準形ではΔの足し方が変わるものの、全体の強さに影響はないような BM2は難解なので2.1で同じ強さならそっちの方がいい BM2.1はBM1のペア数列のバグが直っただけ。
トリオからはまた同じバグが起こる。
BM2.1はどちらかというとBM1.1くらい。
BM2がやっぱり完全。 (7-5)*(7-3)*(7-2)*(5-3)*(5-2)*(3-2)*(1/(7-5)+1/(7-3)+1/(7-2)+1/(5-3)+1/(5-2)+1/(3-2))*1/4=167
(7-5)*(7-3)*(7-2)*(5-3)*(5-2)*(3-2)*(-1/(7-5)+1/(7-3)+1/(7-2)+1/(5-3)+1/(5-2)+1/(3-2))*1/4=107
(7-5)*(7-3)*(7-2)*(5-3)*(5-2)*(3-2)*(1/(7-5)+1/(7-3)+1/(7-2)+1/(5-3)+1/(5-2)+1/(3-2))*1/4=47
(7-5)*(7-3)*(7-2)*(5-3)*(5-2)*(3-2)*(1/(7-5)+1/(7-3)+1/(7-2)+1/(5-3)-1/(5-2)+1/(3-2))*1/4=127
(7-5)*(7-3)*(7-2)*(5-3)*(5-2)*(3-2)*(1/(7-5)-1/(7-3)-1/(7-2)+1/(5-3)+1/(5-2)+1/(3-2))*1/4=113 (11-7)*(11-5)*(11-3)*(11-2)*(7-5)*(7-3)*(7-2)*(5-3)*(5-2)*(3-2)*(1/(11-7)+1/(11-5)+1/(11-3)+1/(11-2)+1/(7-5)+1/(7-3)+1/(7-2)+1/(5-3)+1/(5-2)+1/(3-2))*1/128*1/9=1237
(11-7)*(11-5)*(11-3)*(11-2)*(7-5)*(7-3)*(7-2)*(5-3)*(5-2)*(3-2)*(1/(11-7)+1/(11-5)+1/(11-3)+1/(11-2)+1/(7-5)+1/(7-3)+1/(7-2)+1/(5-3)-1/(5-2)+1/(3-2))*1/128*1/9=997
(11-7)*(11-5)*(11-3)*(11-2)*(7-5)*(7-3)*(7-2)*(5-3)*(5-2)*(3-2)*(1/(11-7)+1/(11-5)+1/(11-3)+1/(11-2)-1/(7-5)+1/(7-3)+1/(7-2)+1/(5-3)+1/(5-2)+1/(3-2))*1/128*1/9=877 ■表記
x#
意味: xを使って関数x#を作る
関数適用は左結合 (w#x#y = (w#x)#y)、#も左結合 (x## = (x#)#)
定義
z = x#y
y : Tと置く
x : Ord (順序数)ならz : T (つまりx# : T -> T)
x : Ord -> Ord (順序数から順序数への関数)ならz : T -> T
x : (Ord -> Ord) -> Ord -> Ordならz : (T -> T) -> T -> T
0#y < 0#(0#y) < (0#0#)y < (0#(0#0#))y < ((0#0#)0#)y < 1#y < ω#y < (0##0)y
となるように適当な順序数を割り当てる
0#0 = 1
0#1 = 2
0#0#0 = ω
C表記と同じ強さになれたらいいな・・・ そういえば前すれいろいろ謎を残したまま終わってたな ビジービーバーの定義域も値域も自然数だ、という当然の主張に対して、
そうではないという謎の書き込みで終わってるね。値域の意味が曖昧なので、
codomain は自然数だけど image は自然数の部分集合である、で終わりでは。 貧弱な公理だとビジービーバー関数の値を適当に決めても矛盾を示すことが出来ないから
ビジービーバー関数の値は公理依存
とかいう主張をしてた人がいた 公理というか、外部変数に依存するようじゃwell definedじゃないと思う >>395
ある意味ではその通りだと言えますね
但し、ビジービーバー関数値を決められないその貧弱な公理系に具体的なビジービーバー関数値を与える公理群
(個々の具体的な自然数nに対して BB(n)=具体的な自然数 という形の公理の集まり)を追加した公理系は無矛盾ではあっても
殆どの場合(つまり、我々が普段利用している数学の公理系に基づいて求められるビジービーバーの個々の関数値と一致しない限り)は
その公理系から生み出し得る内容は「数学モドキ」と呼ぶことすら躊躇われるような非常に貧弱なものでしかないから、それらの公理系は誰も相手にしないだけ
このことは、かつて竹内外史さんがゲーデルの不完全性定理に関しての解説で述べた次のような話と同様だろう
ペアノの公理系ではペアノの公理系の無矛盾性は証明できない、ということは言い換えればペアノの公理系とペアノの公理系の無矛盾性を表すある算術の等式とは独立だということである
そうすると、ペアノの公理系の拡張として次の2つの公理系を考えることが可能だ
1.ペアノの公理系にペアノの公理系の無矛盾性を表す算術の等式を公理として追加した公理系
2.ペアノの公理系にペアノの公理系の無矛盾性を表す算術の等式の否定を公理として追加した公理系
これら2つの公理系はどちらも無矛盾だが、1の公理系が豊かな世界(つまり我々が普段使っている数学へと続く世界)を与えてくれるのに対して
2の公理系は我々の馴染んでいる数学とは矛盾し従って非常に貧弱な内容しか含まない世界になってしまう
ビジービーバー関数の値の「公理系依存性」というのも上の話と同様に理解すれば良いと個人的には考えています バカは矛盾を示せないからバカの世界では値はなんでもいい
って言ってるのと同じ
わざわざ
「巨大数をまともに扱える公理系」
って限定しないとダメなのか? 小さい話なんだろうけどちょっと質問
階冪の増加率ってどんなものです?
階乗の冪版で、4!なら4^3^2^1ってなるやつ >>402
取り敢えず急増加関数? で
アレって物差し的な何かだってネットで読んだから >>405
ありがとうございます
急増加関数で書くとかわいい数になっちゃった 順序数全体って全順序なの?
それとも比較できないものもあるの? 全順序ってことは本質的には順序数を大きくする方法は一つしかないってこと? ん、なんかおかしいな。
全順序だからといって一列に並ぶとは限らないってことかなぁ 自然数も全順序の一本道だが
大きな数を作る手法は様々
それと同じ 自然数は無限に大きくなる一本道だけど自然数の列にはωはいないでしょ?
順序数は全順序でも一本道とは言えないんじゃない? 俺もイメージとしてはそんな感じだったかも
沢山の集合の袋が重なりあいながらある感じ 全順序なのに一本道じゃないって
意味不明だ
一本道の定義は? 一本道であるかないかではなく、ωより小さい元が存在するのにωの前者が存在しない、というところに引っ掛かりを感じてるのかと思う >>416
じゃあ順序的には一本道なのは間違いない
>>417
それだと実数も引っ掛かるぞ やっぱペンテーション配列作るのむずいね
単純にテトレーション配列のシステムを拡張させるだけだと
(X↑↑X)&n , ((X↑↑X)↑↑X)&n , ...ってつづいてペンテーションにならないのか でかい数やろ?
そんなもん
(99999999999999999!×999999999999999!)^9999999999999999999!
くらいでええやろ お前がええやろとおもうならそうなんだろう。お前の中ではな ペンテーション配列を具体的に定義することは不可能なのに、どうしてあると思って議論しているのか分からない テトレーション配列では、Y&n について1≦Y<(X↑↑X) であり、くまなく表現可能だった
つまりYの部分はXに関するカントール標準形に相当していた
だからペンテーション配列についても1≦Y<(X↑↑↑X)の範囲をくまなく表現可能にしたいんだけれど、そうなるとカントール標準形をテトレーションまで拡張したものが必要になる
このようなカントール標準形の拡張が存在しないならペンテーション配列の定義は不可能だと思う ペンテーション配列はビジービーバーと同等以上の大きさがある?? 定義不能だとシステムとして不完全じゃないかなぁ
と思ってるだけ
計算不能てのは計算が終了しない事を意味するからテトレーション配列はそれに比べるとゴミ以下の存在
そもそもテトレーション配列表記の計算規則も全部明らかになってる訳じゃないよね確か 全く違うというほど違わないと思うが。
計算可能なら定義可能だろう。 対偶を取れば、定義可能でないなら計算可能でない、だな 432は言ってて変だと思わないか?
ラヨとかは計算不可能関数だから無論計算不可能だが定義出来てるぞ あっもっとよく考えてレスしないと恥ずかしいな笑
ごめんね 定義可能かが話題なところに
急に「微分可能という意味か?」という質問がでたところを想像してみよう >>441
しかし、
「計算可能なら定義可能」が真でかつ
「ペンテーション配列が計算可能」が真なら当然
「ペンテーション配列は定義可能」となるよね? なんかさっきから会話がずれてるような。言葉のあやの問題だろう 「複素数って素数のこと?」
っていうくらい関係無い
>>442は
素数は複素数だから関係あるよね?
っていうのと同じ >>444
じゃあ聞くけどペンテーション配列は定義可能なの? つかペンテーション配列相当の急増加関数における順序数ってなんだっけ? 中二みたいなゴミ表記どうでもいい
巨大数を語ろうよ 中二的とえば、無量大数がどうの不可説不可説転がどうのっていう東洋の桁の名前コンベンションがあるじゃん?あれ、実にくだらないよね。
桁ごとに全然関連性のない名前を用意する時点でバカげてるし、特に合理的な理由もない桁の名前をたくさん覚えて得意になってる精神が実にアホくさい。 ん、一意に識別するためには一意な名前がいるのと違うか? 語ろうと言いながら自分からは語らずに、他人が語り始めたらゴミと言うのはどうだか 大きさだけで考えたら計算不可能なシステム一択
計算可能だと強配列表記の一連の流れに興味がある(絶対BEAFに対抗心燃やしてる) 当然計算可能な関数は越えないと
ビジービーバーより小さくてビジービーバーより複雑な定義の関数なんかには興味無い やっぱり計算可能と計算不可能でスレ分けた方が良いと思うんだよな
巨大数の世界に長く住むにつれて「この強さ以下はダメ」って閾値が生まれて、その値は理解するにつれてどんどん強くなるわけで ひたすら大きな帰納的順序数を追い求める人と>>459は理解しあえない 絶対BEAFに対抗心燃やしてるは言い過ぎでは。
プログラミングで必要な文字数で計ればビジービーバー関数は無限に複雑や そうだよな
話振る人は誰かにゴミと言われてもめげないことが最終的に大事だし
ゴミだと言いたくなっても出来るだけ言ってあげないことも大事だ
巨大数論でこれまで議論されていた数の大きさのスケール全体がどれ程広いのか理解できてはじめて双方の理解につながる
(サラダなのはさすがに言語道断だが) 理解しあえないからと言って発言権まで剥奪せんでもええやろ。誹謗中傷でもないんだから。 強配列表記の事についてはすまなかった
本人のページでBEAFは不完全だぽい事が書いてあってつい 一般的な感覚では大きいといえ、
指数関数について延々語られても迷惑だろ
そういうこと loader.cなんかは指数タワーでコード化してますし。
指数関数レベルでもなにか新しいアイディアによるものであれば歓迎だし、今後の発展性とかも考えるとよい 計算不可能関数の世界に到達して巨大数を眺めることに慣れてる人にしてみれば
多重リストアッカーマン関数やテトレーション配列が指数関数と同じようなものだと思ってもしょうがない
気持ちは分かる
用はそれを表に出すかどうかだ 煽りじゃなくて純粋に気になるんだけど、>>465の1962年ってなんなんだ。
あと>>463は帰納的順序数じゃなくて可算順序数では 指数関数で発展性なんか無い
このスレ的にはx+1と同じ >>474
>>462の続きのレスだから計算可能同士の例 ビジービーバー関数やラヨ関数もある意味指数関数の延長線上にあるやん。
loader.cみたいにコード化してメタな構造を作るのもよし 延長線上にある言ってもさすがに遠いな。適切な例ではなかった。すまん 再帰で強くするシステムを作るときは弱いのから考えていく節あるし、指数関数レベルでも前者でも自分は興味ある
計算不可能関数の魅力の一つは「最初からめちゃ強い定義をこしらえて、再帰じゃ絶対に到達できないものを作る」ことだものね
いつかやってみたい 指数関数の延長線上にビジービーバー関数やラヨ関数があると思う頭の構造が理解不能 ビージービーバー関数を、n文字のプログラムで指数関数を強化して得られる関数と解釈することも可能ではある。 >>482
ビージービーバー→ビジービーバー
計算不可能レベルはより強力な言語を開発して殴り合う戦いになるけど、それでできあがった言語って計算可能レベルでも
活躍できると思うし、計算可能レベルもある程度のレベルを超えると計算不可能レベルとやること変わらなくなってくると思う 同じ本質でもけっこう自由にいろんな解釈ができることを主張したい 計算不可能なシステムを計算可能なシステムに組み込ませて(再帰させて)もサラダになるだけ CoCは高階述語論理を型を使って計算可能レベルに実装したものだし、loader.cはサラダではないと思う 484の言ってることって可能なのかなと疑問に思った
まだ自分自身よく理解してない領域が残ってるから
「計算不可能レベルで開発された言語を計算可能レベルで使用する」
でも可能なんだね 面白い 開発した言語を計算可能レベルに実装するかそのまま対角化して不可能レベルの関数を作るかは
好きにすればいいし、不可能レベルに縛る理由はないだろう 実用的になるかどうかは分からんが、派生して新しい証明支援システムやプログラミング言語ができるかもしれないし 計算可能レベルの場合言語を強くしていく考え方よりも領域に関する理論をどんどん充実させていく
考え方のほうが本質に迫れるのかもしれない。
じゃあ不可能レベルは違うのかと言うと、高階の集合論でLに可測基数を追加した宇宙の対角化以上のことが
できるとか考えるだけなら考えられるが、自由度が高い分健全性にも気を遣わなければならなくなり、
計算可能レベルほど簡単にwell definedと言うことはできない。
という理屈だろうか。とりあえずそう簡単に新しくてより強力な言語を(健全性やら整合性やらどうでもいいというなら
ともかく)そう簡単に作れるものでもない、か。反省します ある意味計算可能レベルのほうが自由で強力だったりするのね 計算可能レベルだってwell-defineかどうか容易にはわからない物もたくさんある well-defined自体はwell-definedな概念なの? well-defined自体がwell-definedだったら何か矛盾が起きるんだろうか?
でも自己複製するプログラムだって存在するし一概にはわからんか ゲーデルの第二不完全性定理によりwell-definedそれ自体はwell-definedではない
と言ってみる。 メタwell-definedという概念を作ろうぞw >>500
その言語による再帰的な表現の範囲内だけで健全性やら完全性やらを考えればいい
という考えだったけど、再帰の存在の証明がどんどん難しくなっていって結局>>501みたいなな感じになるのね
「より自由で強力」は取り下げてお詫びします。 誰がフォン・ノイマン宇宙の対角化と言ったのか知らないけど、ラヨ関数って構成可能宇宙の対角化
と言ったがいい気がする。
Little BigeddonでLに無数のウッディン基数を追加した世界の対角化か(適当) 新しく発見された物理現象でビジービーバーの値が計算できるようになったって。 >>507
いやフォンノイマン宇宙。
公理がなくて∈しかないから。
ウディンとか特定の基数の存在を仮定したら有り無しを問わないラヨ数より弱体化するがな 構成可能宇宙も公理はないけど。ただ1階述語論理に限定してるだけで。
というか公理があったらそのまんまモデルとして扱える。
それに可測基数以降は1階述語論理ではその性質を記述しきれないし、ウッディン基数レベルにもなってくると
高階化した程度じゃ相手にならない、ような。このへん自分もよく分かってない 特定の存在が非自明な巨大基数の存在を否定していない1階集合論のモデルとなりうる。
可測基数は含まれない。
ラヨ命名する式の中で、すくなくとも可測基数よりも強い性質を扱うことはできない。 amazonで垣間みようとしたら垣間見えませんでした 集合への入門[無限をかいま見る]
福田拓生 培風館 2012年初版
2900円+税
三部構成
第一部は集合と写像について初学者にも理解できるように解説されてある。
ラッセルのパラドクスと選択公理についても章を分けて説明されてある。
第二部は無限集合、その大きさの比べ方(つまり濃度の性質)について書かれてある。カントールの対角線論法や連続体仮説といった巨大数論で用いる概念についても記されてある。
まとめに濃度に関するありがちな疑問への簡単な回答がまとめられている。
第三部は選択公理と濃度の比較可能定理に言及している。また、ツォルンの補題、整列集合について説明がなされている。
第一部から第三部にかけて定理と例題に証明が詳しくついていて読みやすい。
特に第一部、第二部においては初学者の学習を考慮してかさらに詳しく解説してあり、問題も設けられていてその解答も記されている。
付録として、集合論の歴史、連続体仮説、選択公理とバナッハタルスキーのパラドクスについての議論、解説が再度なされている。 ただ、順序数に関する具体的な話題はほとんどないのが残念。理由はあとがきに書かれてあった。
あとがきの中で順序数に触れている集合論の良書が書かれてある。 IJK(Infinity-Jumping-Kangaroo)関数
一階述語論理でn個以内の記号で表現できるいかなるFGHの階層よりも強い最弱の一変数関数にnを代入する関数である
IJK(888)をカンガルー数と呼ぶ その+1が大きかったりすることもある
Σ(888)は計算可能な手続きでも越えられる可能性は有るかもしれないけど
Σ^888 (888)は無理だとわかる
って感じ? ちょっと意味が分からない
n文字以内の一階述語論理で順序数を定義して、その順序数を添字とするFGHにnを代入した数がIJK(n)ってことか? 恐らく頭の中で描かれたであろう事
「急増加関数がモノサシに使われるって事は急増加関数こそ最強。なんか無限がいっぱい出てくるし」
「n文字を費やして定義されたfω究極なんちゃらかんちゃら(n)より強い関数IJK(n)は絶対最強。」
「n文字のあらゆる関数ではなく急増加関数のみをターゲットにしているのでパラドックスにならない。」
「無限がいっぱい出てくる急増加関数を踏み台にしてるけど増加率で勝ってるだけなので値はちゃんと有限。やばい」
「とりあえず雛型にwikiのラヨ数の定義コピペしとこう」 最弱だからIJK(888)=0になる気がする
「強い」の定義にもよるけど 一階述語論理n文字で定義出来る最大の自然数
とほぼ同じだな
一階述語論理
強い
最弱
の定義をしないと >>533
おっしゃる通りで念のための処置
>>536
メタでない(後述)一変数関数に任意の値を入れた時、定義にω、つまり極限を使えるFGHが最も大きな値を返すのは自明でしょう
FωCK(n)をFω CK (n)にするだけで
ω εω 既存の巨大数を
遥かに凌ぐ
IJKはFGHというゲタを履いた関数で、これを1次メタと呼ぶ
f(n)の増加率を競えば必ず勝つFGHに、見掛けはf(n)でf(f(n))をぶつけるのがIJK
ではIJKというゲタを履いたLMNなる関数があるとして、これは2次メタであるか?
答えはならない
ゲタを無限に履いてやっと2次メタ足り得るが、それは有限の数ではない
よって1次メタが巨大数探索の終点に最も近い概念となります とりあえず収束列を明示しないとwell definedにならない 定義にFGHを使うのがよくわからない。順序数次第でどんなに強力な関数もとらえることができる。
というかFGH自体はただの「評価する順序数の扱い方」で強いも弱いもない これも
再帰的関数論 照井一成
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~cs/cs2011_terui.pdf ラヨ関数は公理を明らかにすべきというのが納得いかない。
すくなくとも自然数のクラスが共有できていればどこで比較する基準は明らかになるし、これはFOSTだけで可能。もっと突っ込めば、特定の値を比較するだけなら
それぞれの引数に対し十分大きな自然数までを空集合から定義すればよくてすべての自然数が共有できてなくてもいい。
それ以外の公理は、たとえばφを評価するのに公理Γが必要というのなら最初からその公理が指定されてなくてもΓ→φという式で無条件でwell definedになるはずだし、これは演繹定理と完全性から明らか。
というか「ZFCの式だけで評価できる」ってしちゃうと計算可能になるんじゃないのか 「最小の証明を書けなくても戦え数」はラヨ数と同じくらいっぽいし、書けるほうもだいたい同じじゃないかね、
証明に使う式を対角化しても>>556の理屈で結局定義文の対角化と同じだと思う >>557
書ける方は証明の長さも対角化していたか。失念していた。なら計算可能だ。 定義する部分は1階述語論理だし、1階述語論理のコンパクト性からFOL_{論理式}は、無限集合であっても実際にはせいぜい有限部分しか使われない
ということにならないか? あぁいや、定義する部分も2階述語論理か。となるとF7より大きくBIG FOOTより小さいってところか? >>561 ふぃっしゅ数バージョン7です。
こいし数というものも見てみたけどあれはω階の集合論を対角化した関数を2回適用した感じの強さでBIG FOOTよりは小さい?
2階以降の推論規則をどうするのか、PAのようなちゃんと整合的に機能するかどうかを知りようがない
システムをただで使っていいのかとか、疑問や要望がある
まとめると有限の立場に還元できるのか?
有限の立場ってなんだよ ふいっしゅ数みたいなサラダ
大きさの指標しなくていいよ 他人に望むばかりでいざなにかでてきたらサラダ言って、自分からはなにも生み出さないってのはさ サラダはサラダでもフィッシュ数は見て楽しい食べて美味しいサラダだよ フィッシュさんも最初はそれほど知識なかったんだよね?
俺も追いつきたい 計算可能な巨大数論を学びながら数学的手法になれつつ計算不可能な巨大数論に手を出していく感じ 肉も食えよ!
V4とV7は中途半端に再帰順序数使ってるところがサラダ感を否めない 順序数を使って定義しているのではなくて評価しているだけ(他の巨大数も大抵はそう)
ビジービーバーだって、順序数で「評価」されている
そして、V4の順序数は再帰順序数ではない V4なんてサラダそのものじゃん
何の目新しさもない
ただのゴミ それ以前に、
定義にすらなってない
神託機械の仕様が書いてない >>569
いや、神託機械の階層のようなものが再帰的に定義されていて計算不可能レベルじゃナンセンスという意味です。 それ言ったらLittle Bigeddonの真理述語も昔から知られているものでなんの目新しさもない
サスカッチ以外は全部サラダ(暴論) もちろん巨大数論的な観点から見た目新しさ
(昔からあったけど)この道具使えば大きな数定義できるじゃん!
てのは巨大数論的に目新しいね バシク行列とか、HUGEの証明論的強さをもつ欲張りクリーク列とか、かえって計算可能レベルのほうが
なにかと新しいな V4については、神託機械を使って巨大数を作ったというだけで、
「この道具使えば大きな数定義できるじゃん」という観点で、当時としては新しい
そもそも、このスレッドでは誰もが「計算不可能なんて意味ない」と言っていたわけで、
誰一人その巨大数が「定義される」とすら思っていなかった 「V4が定義されるのは当たり前だけど、そんなトリビアルな拡張は意味ないよ」
なんてことは、今だから言えることで、当時のログでそんなことを書いている人がいるかどうか
探してみればいい たとえば、こんな感じで「神託機械そのものを認めようとしない」というレベルの
スレッドの中で、神託機械で階層を使って巨大数が定義できる、と一貫して主張していた、
というだけですごいものだと思う
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln034.html
265 名前:132人目の素数さん :02/11/07 08:11
当然でしょう。チューリングマシンにビジービーバー関数は取り込めません。 ふぃっしゅさんは神託機械を見てV4を作ったのだと思っていたけど、
当時のログをよく読むと、最初にアイデアがあって、ロバートさんとの
メールのやりとりの後に調べて神託機械 (O-machines) を見つけた、
という感じみたい
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/9946/log/ln033.html
245 名前:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g :02/11/04 04:49
「そんなはずはなかろう、同じ発想をしている人はいるん
じゃないのか?」と思い、よく調べてみると、それがまさに
O-machinesだったわけです。 V4よりずっと前から神託機械の概念があったし
実際V4の定義に「神託機械」と書いてある
V4が定義になってないことから
ふぃっしゅ氏が神託機械や機械自体をよく理解してない事がわかるわけだが
これを指摘した人はいなかったのかな? > チューリング次数はエミール・ポスト(1944)によって導入され、多くの基本的な結果はスティーヴン・コール・クリーネとポスト(1954)によって確立された。 神託機械の具体的な実装はO-machinesの原典に載っている通りにするってことじゃないの?
神託状態みたいなのを付加するやつ ログ読んでみたけどふぃっしゅ氏の文面がなんか若さを感じる。
ビジービーバーから再帰的に新しい関数を作ったところで本質的な強さに寄与
できてないという意味でロバートさんの主張は正しい 誰に聞いてるの?
答えはふぃっしゅしか知らないわけだが 1階述語論理の範囲では>>556でいいとして、2階述語論理以降ではある記述可能で非自明な定義文を評価するのに、どうしても記述不可能な(有限文字で表現できない)環境を必要とすることがあり、真理述語に頼らなければならなかったりする。
そう考えるとこいし数は高階述語論理を定義に使っていても実際には2階述語論理の域を出てないのでは?
真理述語の階層でいえばω*2の関数を2回適用したような
SOSTと同等? やたらと再帰的再帰的という人がいるけど、2次ビジービーバー関数は
ビジービーバー関数から再帰的に作られた関数ではない チューリング次数を+1出来る手段を使って
たったの ω^(ω+1) x 63 増やしただけだからなあ
ふぃっしゅの拡張は誤差だろ >2次ビジービーバー関数はビジービーバー関数から再帰的に作られた関数ではない
それはそうけどチューリング次数を再帰的に上げたところでという話で。
Ξ関数みたいにシンプルでよかったと思うわ そのチューリング次数を+1あげるという手段があることを、当時のスレッドでは
数学の専門家っぽい人もいろいろ書いている中で誰も指摘していなかったわけで、
それが指摘されていたらあんなに紛糾しなかった 当時のネットにはあった O-machines は参照されているので、そのページを読んでも、
神託機械のビジービーバー関数を考えることをビジービーバー関数の「再帰的拡張」と
同一視しているような人たちしかいなかった、というのが当時のスレッドのレベル というか、当時のスレッドは「ビジービーバー関数は神聖不可侵な関数で、
これよりも大きな関数は存在しない」という意見が支配的だった そう考えると、今って界隈全体のレベル上がってるんだね ふぃっしゅの井の中の蛙ぶりが半端無い
ってことだな
今そんなゴミ関数を取り上げる価値は無い 逆に取り上げる価値のある巨大関数って何なん?
FOSTも真理述語も昔から知られていて何の目新しさもないけど ビジービーバー、チューリングマシン、神託機械
の考え方は巨大数を語る上で必須科目と言っても良いくらいに価値がある
これらの優れた概念に対して、ゴミみたいな方法で+1したのがV4
このゴミのせいで台無しになった
アッカーマン関数をただ100乗したようなトンチンカン具合 他人の既存の成果を叩いとけば自己満足できる安い人って何処でも居るよね ビジービーバーのテープをBEAFみたいに多次元に張り巡らせて交点でも何でも良いが上手くアレしたら単にくっつけた物を超える関数になりそう チューリング次数を再帰的に上げたところ以外は評価できるということでいいのか?
以外のところも評価できないとなるとBIG FOOTもLittle Bigeddonもゴミということに 必須科目の基準はわからんが多分集合論や真理述語も必須科目 巨大数を学ぶ上での前提知識がまとまってるいい本ない?
ふいっしゅっしゅさんが著した巨大数論以外で >>604
評価も何も、
ただの神託機械によるビジービーバー
新規性が1個数も無い
半世紀も前に考えられていたものそのままだ チューリング次数とかの周辺の話題についてやさしく書かれた和書ないですか? ふぃっしゅっしゅさんは、まさにその神託機械と同じアイディアに至ったということを
喜んでいるので、それだけのことという結論で十分では
269 名前:ふぃっしゅっしゅ ◆/T2GtW187g :02/11/07 10:40
>>265
>>245が O-machines と本質的に同じアイディアだということは
無理に否定していただかなくても、ロバートさんも認めていることです。
ロバートさんに、
It is my great honor that I reached the same idea as Turing before
knowing his work. :-)
というメールを送ったら、
Yes, I agree (-:
といっていただきました。 なんかもうそう言っちゃったら全部ゴミやん
集合論も真理述語も型理論も昔から知られていてラヨ関数もLittle Bigeddonも新しいことはなにもない 巨大数を通して、いろいろな数学の分野に興味を持つ人がいるというだけで
十分に意味はある。ここは学会じゃなくてネットの落書き場所 寿司虚空編?てどうなったのかな?
その後うやむや? こんなサラダを額面1位のまま長時間放置しとくわけにはいかない、程度のモチベーションにはなっている。“前菜“っていうところかな。 BIG FOOT(真理述語の階層がω)<こいし数(真理述語の階層がω*2)<Little Bigeddon(FOST+真理述語) 命題論理式の真理述語の階層が0であり、これはΠ_1-文で記述できる 巨大数界隈の人ら、何で皆して
ちゃんと勉強もせずに述語論理とか順序数について
デタラメな事ばかり言い散らかすの?
全くwell-definedでない関数を
well-definedだと強弁したり、二階述語論理なんて
カケラも知らないのに一階論理は函数の再帰的定義が
出来ないとか言ってみたり 元々数学を志していなかったから
と思う
自分もそうだし ラヨ数はMITの専門家が定義したんだから変な定義じゃないはず、
といった感じですすんで wikipedia にも載ってるので、
専門家がまともに反論しないとおさまりつかないかも 巨大数論の最先端分野は数学者が必要な領域に突入してる
既にアマチュア数学研究家の趣味の領域を逸脱してるんだ ラヨ関数は公理を指定しないとwell definedにならないけど、その公理はラヨ関数の強さには関係しない模様 >一階論理は函数の再帰的定義が出来ないとか言ってみたり
そういう話あったっけ? ZFCに限定したら計算可能になる云々のこと? >>730
つまり定義が完成してない
ってことになるな ラヨ数って大雑把に言って
「或る(集合論とか高階論理っぽい)体系X内で、N
(例えば1 googol)文字以下の形式的な論理式で
定義できる最大の数+1」という定義だと思うのだけど。
ところが、
式φ(x)が自然数mを一意的に定義しているかどうか
(そしてより一般的に、mがφ(x)を満たすかどうか)
というような事は、φがごく簡単な形をしている場合
以外は、Xの具体的な公理だけではなくて、
Xのuniverse(モデル)の取り方自体に依存して
大きく変わってしまう事が知られている(※)から、
Xの公理を決めてもこれだけだと全然
well-definedな定義にならない。
という事を先日、集合論専門の先生が
コメントしてたりするけど、
まあコメントを読んだほぼ全員が理解してないよねw
“satisfaction is not absolute”というarXivの論文が
(※)の分かりやすい解説なんだけど、いくら
分かりやすいとは言え、基礎論の教科書を一冊通読して
完全性定理と不完全性定理の証明を最初から最後まで
フォローしました、くらいじゃ全然この論文を読める
レベルには達しないから、まあ素人にも分かるように
専門家が反論するというのも困難な話。
中学生に今年の東大入試の数学の問題の模範解答を
解説するのが難しいようなのもので。
だから数理論理ってなかなか怖い分野で、
数学や哲学の専門の有名な先生が堂々と
トンデモみたいな事を書いたり言ったりしてて、
しかもそれがデタラメだという事が、
一部の詳しい人にしか分からなかったりする。 誰か Rayo number is not defined っていう論文を書いて arxiv にアップしてよ
実際に、Wikipedia ではすでに8ヶ国語の記事になっているくらい広まってるわけだし、
こんな掲示板に書いたって誰も信じないから、きちんと専門家に書いて欲しい
査読誌だと通るかどうかわからないけど、arxiv なら出せるでしょ いやwell definedじゃない派はそれなりにいると思うよ 定義されていないというより、
メタレベルの自然数nと、体系のモデルMに依存して
決まって、Mをちょっと変えると
全然違った値になるという事。
だから相当好意的に解釈するなら、
well definedでないとまでは言えないんだよね Rayo number is not a unique number でもなんでもいいよ
そういう「引用可能な文献」があれば、Wikipedia の記事にも直接その論文を引用できる 個人的にuniverseの取り方の部分は、複数の異なるモデルを含むほど大きなuniverseを取って解決出来るんじゃないかと思ってるけど確信はない universeの取り方のくだりでwell definedでないのを主張するのは例を示して公表するのが一番手っ取り早くて効果的だな。言うほど簡単でもないだろうが 1階の定義文なら公理だけに注目すればいいのでは。
2階以降が絡んでくる定義文なら公理だけでは解決できないというのはおk というかなんで「みんなラヨ関数がwell definedだと信じてる」ことになってるんだ?
だいたいみんなお茶を濁すかんじで、well definedだと断定している人っていたっけ 未完成って指摘した時反対されたから
てっきりみんなwell-definedと思ってるのかと思ったが 掲示板というのは、そのときそのときに見た人が糧に書き込んでいるわけで、
いる人もコロコロ変わる。ある時に誰かが書き込んだことは、その匿名の誰かの
意見という以上の意味はない。 Googology wiki でも、専門家が定義したんだから間違いないという盲信派と
積極的には認めたくないけど認める立場もあるのかなという懐疑派が多くて、
積極派はビッグフット作った人くらいじゃないかな
サスカッチ作った人は、懐疑派 ビジービーバー関数はwell definedでいいの? >>750
専門家がwell definedっていうんだから間違いない。 busy beaverは50年以上前から明確に
定義されてる函数で、最初のいくつかの値については
実際に値が計算されている。
定式化の曖昧さとかも無いし、標準的な
(=超準自然数でない)nでの函数の値が
モデルの取り方によって変わり得るということもない。 多変数ビジービーバー関数の定義
f: 任意の関数
x,n: 0以上の整数
N(f, x, 0) = x
N{f, x, n+1} = f( N{f, x, n} )
BB: ビジービーバー関数
x,n,a: 0以上の整数
Y: 0個以上の0以上の整数
a#n: n個のa
B[](x) = N{BB, x, BB(x)}
B[0#(n+1)](x) = B[x#n](x)
B[Y, a+1](x) = N{B[Y, a], x, B[Y, a](x)}
B[Y, a+1, 0#(n+1)](x) = B[Y, a, x#(n+1)](x) ビジービーバー関数に頼った再帰とか
虎の威を借る狐じゃないんだから まあ、ゴミは置いといてw
ビジービーバー関数がf_ω_1^CK(n)であるとして
f_ω_2^CK(n)に相当する関数はどんなものがあるの? 初期テープ状態を
Σ(1), Σ(2), .... の位置を1
他は0
とした時のビジービーバー関数 チューリングマシンが既知とすれば
これが一番簡単な定義
これだけで特に曖昧な点も無い おっとしまった
ビジービーバー関数Σだと無限になっちゃう
最大シフト数関数Sにしよう 初期状態も
S(1), S(2), ... の位置が1
の方が良いね 初期テープ状態を
S(1), S(2), .... の位置を1
他は0
とした時の最大シフト数関数をS^2(x)と定義した時
初期テープ状態を
S^2(1), S^2(2), .... の位置を1
他は0
とした時の最大シフト数関数の大きさは、f_ω_3^CK(n)
という認識であってる? >>758 >>761
この定義って、自然数のコード化にオラクルをつかっただけで強さはビジービーバーから変わってない、
ということは考えられない? なるほど、すると
初期テープ状態を
S(1), S^2(2), S^3(3), S^4(4), S^5(5) .... の位置を1
他は0
とした時の最大シフト数関数の大きさは、f_ω_ω^CK(n)
となるといいなあ そうやってHardyのような階層が作れる
でも次は
ω_(ω_1^CK)^CK を越えないとおもしろく無い 言うほど述語論理とか順序数について デタラメな事言い散らされてる? 述語論理とか順序数はしらないけどビジービーバーがwell definedじゃないとかはデタラメだろう。 >>770
スレもペースダウン書いたらいいんじゃないか。 なにが結論なのかは分からんが、
今のところDANまでがwell defined
そのDANの強さがバシク行列で(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,0,0)でZ_2の証明論的順序数に相当する
らしい 結論だけ
{1,,n} が Ω_{n-1}
{1,,1{1,,1,,2}2} がψ_I(0) で {1,,1,,2} が I みたいな >>775
非加算の順序数が書いてあるようだが
結論の解説を ε_0まではBEAFと同じ。
テトレーション空間の区切りを.={1´2}={1{1,,2}2}で表す。しかし{n,n{1{1,,2}2}2}みたいな表記はvalidでない。
{n,n{1,,2}2}={n,n{1´2}2}=ε_0
{n,n{1,,2}3}=ε_0*2
{n,n{1,,2}1,2}=ε_0*ω
{n,n{1,,2}1{1,,2}2}=ε_0^2
以下、{n,nA2}のAの部分だけ書く
{2,,2}=ε_0^ω
{3,,2}=ε_0^ω^ω
{1{1{1,,2}2}2,,2}={1{1´2}2´2}=ε_0^ε_0
{1{1{1{1,,2}2}2{1,,2}2}2,,2}
={1{1{1´2}2´2}2´2}
=ε_0^ε_0^ε_0
{1{1{1,,2}3},,2}={1´3}=ε_1
{1{1{1,,2}4},,2}={1´4}=ε_2
{1{1{1,,2}1{1{1,,2}2}2},,2}
={1´1{1´2}2}=ε_ε_0
{1{1{1,,2}1{1,,2}2}2,,2}
={1´1´2}=ψ(Ω)
{1{1{1,,2}1{1,,2}1{1,,2}2}2,,2}
={1´1´1´2}=ψ(Ω^2)
{1{1{2,,2}2}2,,2}=ψ(Ω^ω)
{1{1,,2}2,,2}=ψ(Ω^Ω)
{1{1{1,,2}2,,2}2,,2}=ψ(Ω^Ω^Ω)
{1,,3}=ψ(ε_{Ω+1}) 修正
{n,n{1,,2}1,2}=ε_0*ω+1
{1{1{1,,2}1{1,,2}2}2,,2} ={1´1´2}=ψ(Ω)+1
{1{1{1,,2}1{1,,2}1{1,,2}2}2,,2} ={1´1´1´2}=ψ(Ω^2) +1
評価はFGH 強配列表記もBEAFを元にしてるけど
それとは何が違うんだ? >>779
普通にHardyと順序数を使った物に対して
どの辺がメリット? すみません
聞き方が悪かったですね
バシク行列やBEAFが最終的に出力するものは
実数?
帰納的順序数?
帰納的ではない可算順序数?
非可算順序数? なんでそこが疑問なんだ?
>>779の書き方が誤解を招くといいたいのか? >>780 修正の修正
{1{1{1,,2}1{1,,2}2}2,,2} ={1´1´2}=ψ(Ω)
{1{1{1,,2}1{1,,2}1{1,,2}2}2,,2} ={1´1´1´2}=ψ(Ω^2)
この二つの式に+1はいらなかった。たびたびスマン カントール標準系を総和の多重再帰で表現したらBEAFのもう一つの表現が出来そうなんだが何となくイマイチ >>784
バシク行列もBEAFも自然数を出力します。
その関数部分の強さを表すのに帰納的順序数が使われます。(帰納的でなく再帰的と言いたい)
>>783
Hardyと順序数を使った物というのがよくわかりませんが、原始数列から拡張されているシステムを指すのであれば、とくにメリットがあるとは感じません。
>>781
BEAFはテトレーション空間の配列以降がいまひとつ活用できてません。うまいこと定義を修正してもpDANのアイディアには根本から及ばない感じです。
>>777
セパレータ(分離子と訳せばいい?)の強さのようなもので、順序数崩壊関数で大きな順序数を崩壊させるように使います。
1{1,,2}2 を崩壊させると、一例だけど
1{1{1,,2{1,,2}2,2}2}2
になったりするような。 いまいち記述の意味がわからない
>>779 などに書いてあるのは
左辺は自然数、右辺は順序数
左辺が関数であれば、
その増加度をHardy階層の順序数で表している
というのならわかるのだが
左辺は自然数、となると右辺の順序数は何を表している?
その辺を一行だけでいいので省略しないで書いていただけると なんとなくわかってきた
{n,n{1,,2}3}=ε_0 の意味は
{n,n{1,,2}3} ≒ F_(ε_0*2) (n)
の事で
{2,,2}=ε_0^ω
の意味は
{n,n{2,,2}2} ≒ F_(ε_0^ω) (n)
の事であってる?
Aの部分は帰納的順序数の表記法にもなっている?
つまり、
例えばこの記述法で ψ(ε_{Ω+1}) 以下の全ての順序数を表現できる? 多変数最大シフト数関数
強さ:f_[{ω^CK_1}^{ω^CK_1}](n)
・チューリングマシンを既知とする
・s(M) = E_n に含まれる全ての M について、停止するまでに M がシフトする回数
・S(n) = max{s(M)|M∈E_n} 初期テープ状態が全て0である、
あらゆる n-状態 2-記号チューリングマシンの中で最大のシフト回数
・m,a = 0以上の整数
・X = 0個以上の0以上の整数
・a#m = m個のa
・S[](n) = S(n)
・S[0#(m+1)](n) = S[n#m](n)
・S[X, a+1, 0#(m+1)](n) = S[X, a, n#(m+1)](n)
・S[X, a+1](n) = 初期テープ状態が、S[X, a](1), S[X, a](2), S[X, a](3), ...... の位置を1、他は0である、
あらゆる n-状態 2-記号チューリングマシンの中で最大のシフト回数 多重リスト化してε^CK_1にすればゴミービーバーでなくなる? 自然数上の任意の計算不能関数f(x)について、健全性(soundness)と実効性(effectiveness)
をもつ論理体系のもとでは、f(n) = 0, f(n) = 1, f(n) = 2,...,f(n) = i,...のいずれも
証明不能となるような自然数nが少なくとも一つは存在する。(*)
(証明)健全性と実効性をもつ論理体系では、その中で証明可能な式全体の集合が帰納的可算集合
になるため、もし任意のnについてf(n) = 0, f(n) = 1,...のいずれかが証明可能な式なら、
あるアルゴリズムで任意のnについてf(n)が求まることになりfの計算不能性に矛盾。
したがってf(n) = 0, f(n) = 1,...のいずれも証明不能となるnが存在する。(終)
しかしこの結論はビジービーバー関数などの計算不能関数がwell definedであることと矛盾しない。
P(n, m) ⇔ mはn状態ビジービーバーゲームの優勝者が出力する1の個数 + 1
として、∀n∃mP(n, m) ∧ ∀n∀x∀y((P(n, x) ∧ P(n, y)) ⇒ x = y)が証明可能なため、
ビジービーバー関数はwell definedである。すなわち、公理のどのモデルでも任意のnについて、
モデルさえ決まれば、Σ(n)の値が一意に決まる。
(*)はf(n) = 0, f(n) = 1,...のうちどれが真か、またはどれも偽かが、同じ公理の上でも
モデル間では異なるかもしれない可能性を示しているだけである。
また、"少なくとも一つは"と書いている通り、Σ(4)までの値が計算できることと(*)も矛盾しない。
ゲーデルの完全性定理から、もし一階述語論理による公理のもとであれば、
Pが証明不能 => Pが恒真でない => Pを偽とするモデルが存在する
から、(*)よりf(n) = 0を偽とするモデル, f(n) = 1を偽とするモデル,...のいずれもありえる。 ∀n∃mP(n, m) ∧ ∀n∀x∀y((P(n, x) ∧ P(n, y)) ⇒ x = y)が証明できただけじゃwell definedとは言い切れないんじゃ。
異なる解釈で異なる関数を読み取ることができても成り立つから ビジービーバー関数がwell definedでないとは言わない >>795
φ(0), φ(1), φ(2), ....,,, が全て個々に証明可能だとしても
∀n φ(n)が証明可能だとは限らない。
(例えばφ(n)を、nは矛盾の証明のゲーデル数ではない、
などとすればその例になる。)
∀n φ(n)を証明するには、φ(x)をxの値によらない
“一様な”方法で示してから全称量化しないといけない。
だから上に書いてある議論はおかしい。
busy beaver関数が計算可能じゃないのは、
実際には停止しない或るチューリングマシンTについて、
その非停止性が証明できないからだよ。
だからPeano算術なり何なりのベースの理論に
このTがm stepで停止する、という公理を付け加えると
ノンスタンダードな理論になる。
この理論のモデルの中では、Tが或る超準自然数mについて
m stepで停止するように見えている。 証明可能とか以前に、ちゃんと定義しようよ
ふぃっしゅ数とかラヨ数とか
定義になってないものが定義として扱われて非常に違和感 >>796確かに「>>796の思う」well definedの定義とは一致しないかもね。
>>798「だから」の前後が全然つながってない件 >>795というかこれで証明のつもり?はしょりすぎだろ。 >>800
ごめん、完全性定理とか不完全性定理とか
算術の超準モデルの基本とかが
俺の脳内で勝手に一般常識みたいな扱いになってた
発表下手な人のパターン 関数を一意に定義できてなくてもwell definedでいいの? とりあえず1階述語論理で非停止性を証明することはできるよな。停止性を証明できたとしても超準ステップ数目で停止することを示している可能性を排除できない、
という意味であって ZFCが無矛盾だとしてもZFC+¬Con(ZFC)のモデルが存在するのと似てる。ω矛盾しておりすべからく超準モデルになる もちろん出来るものもあるし、
本当は停止するのにその事を証明できないような
マシンもある 一階述語論理で非停止性を示すというのは、
どういう公理の下での話を想定してるの?
一階述語論理というのは¬とか⇒とか∀とかの
命題結合記号や量化記号を扱えるだけのシステムなので
A⇒Aとか(A∧B)⇒Aみたいなトートロジーを示せるだけで、
具体的な自然数やチューリング機械には
そもそも言及する事自体できないのだけど。
仮にZFCみたいな理論を公理に採用し
(て適切にチューリング機械の理論を解釈し)
たとしても、
実際に停止するマシンについては、
停止するまでのマシンの挙動を書き下すだけで
停止性の証明が出来るわけだから
任意の非停止マシンについて、非停止を示せるのなら、
停止問題が解ける事になって不合理でしょ。 >>808
ごめん、よく自分のレス見たら書き間違えてた、、
×本当は停止するのに
○本当は停止しないのに 可算無限集合の冪集合の濃度=連続体濃度がZFCのモデルによってアレフ1だったりアレフ2だったりするが、冪集合をとる操作がwell definedでないとか、一意ではないとは普通言わないな。 >>793
計算不可能レベルで再帰定義を取り入れるのがあまり歓迎されない。
引数nに応じてn-ビジービーバー関数をオラクルで呼び出すシステムを取り入れるだけくらいでいい 何か凄い初歩的で申し訳ないんだけど、
〜〜〜〜で決まる何とか函数がwell-definedである事を
言うためには、〜〜〜〜という記述が表わす対象が
一意に決まる事を言わないといけないんじゃないの?
〜〜〜〜が関数になっている事ではなくて。 モデルによって関数が異なる(ある標準的な自然数nについてf(n)の値が異なる)場合はwell definedとは普通言わないと思う >>813の場合はアレフ1やアレフ2がwell definedでないということ >>817言い方が悪かった。べき集合の濃度がwell definedでない >>816
まあラヨ関数についてはそれで良い気がするけど、
だとすると、何かコーディング決めて
f(n)
:=m(自然数nのコードするチューリング機械が
mステップで停止する場合)
:=-1 (nのコードするチューリング機械が停止しない場合)
:=-2 (自然数nがチューリング機械をコードしない場合)
とすると、f(n)=-1という関係がwell-definedで
なくなり得る気がする >>819
ZFCが無矛盾だとして(ZFCじゃなくてもいいけど)、nをZFCが矛盾するという証明列を見つけ出して停止するチューリングマシンのコードとすると、
超準モデルで考えるとf(n)は超準的自然数を返すが標準モデルで考えると-1を返す。
とか? 定義文で関数を強くするよりも、定義文を上位の定義文で拡張すれば良いのでは
中の定義文を強化する言わばS定義文 >>820
だいたいそんな感じ。
そしてそれは標準的な入力に対しても起こり得る。 >>795はビジービーバーがwell definedであることの説明になってないと思うし
関数であることや全域性を証明できてもモデルによって関数が変わるってつまりwell definedじゃないってことだしだからこそラヨ関数がwell definedでないと主張してたんじゃないかと
ビジービーバー関数もラヨ関数も任意のモデルで停止するとか命名文になるとかいうふうにすれば解決する、
というのであって
ラヨ関数は「任意の」という量化の範囲を公理のモデルにするか命名文のモデルにするかで2パターンに別れる とりあえず集合の濃度すらwell definedでないと思うなら、数学においてwell definedとはどんな意味の用語なのか調べたほうがいいんじゃないかな。
多分思ってる定義と世間一般での定義が違うから。 >>826はwell definedとはcomputableのことだと誤解してる
数学を知らぬ馬鹿の典型 >函数がwell-definedである事を 言うためには、
>(函数の)記述が表わす対象が 一意に決まる事を
>言わないといけないんじゃないの?
それは函数を定義する体系の強度に依存する
そういうことに無神経なのが、数学を知らぬ馬鹿 逆に>>830が考えるwell definedといえるものって例えば何? 集合の濃度がwell definedでないというんじゃなくて、べき集合の濃度というだけじゃどれほどの濃度かはwell definedじゃないという意見 モデルの取り方によって値が超準元になり得るというのは
ごく普通にあり得る現象で、普通に数学をしている場合は
それだけだwell definedでないとは言わないとは思う。
ただ、仮に標準的自然数の値のみを考えるとか
規約したとして、それで元々の問題においてきちんと
数を定義した事になるのかと言えば大変微妙なんだけど。
つまり、ある式が或る自然数を定義しているかどうかが
ZFC + 巨大基数公理みたいな死ぬほど強い公理系から
独立になってしまうので。 だから冪集合の濃度がwell definedでないという
言い方は普通しないよね。
2^aleph 0 = aleph αとした時に、αの値は
ZFCでは決定できない、とは言えるけど。
すごく単純な例で例えていうなら、
世の中にはアーベル群と非アーベル群があるから
群Gが可換かどうかはwell definedでない、
とか言ってるようなもの。 2*3*5*√(x^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+2*(x*(1/2+1/3+1/5)+1/2*(1/3+1/5)+1/3*1/5))
2*3*5*√(4^2/5^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+2*(-4/5*(1/2+1/3+1/5)+1/2*(1/3+1/5)+1/3*1/5))=7
2*3*5*√(2^2/3^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+2*(-2/3*(1/2+1/3+1/5)+1/2*(1/3+1/5)+1/3*1/5))=11
2*3*5*√(3^2/5^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+2*(-3/5*(1/2+1/3+1/5)+1/2*(1/3+1/5)+1/3*1/5))=13
2*3*5*7*√(5^2/5^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+2*(-5/5*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/2*(1/3+1/5+1/7)+1/3*(1/5+1/7)+1/5*1/7))=37
2*3*5*7*√(6^2/5^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+2*(-6/5*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/2*(1/3+1/5+1/7)+1/3*(1/5+1/7)+1/5*1/7))=5
2*3*5*7*√(7^2/5^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+2*(-7/5*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/2*(1/3+1/5+1/7)+1/3*(1/5+1/7)+1/5*1/7))=47
2*3*5*7*√(5^2/7^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+2*(-5/7*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/2*(1/3+1/5+1/7)+1/3*(1/5+1/7)+1/5*1/7))=97
2*3*5*7*√(6^2/7^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+2*(-6/7*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/2*(1/3+1/5+1/7)+1/3*(1/5+1/7)+1/5*1/7))67
2*3*5*7*√(8^2/7^2+1/2^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+2*(-8/7*(1/2+1/3+1/5+1/7)+1/2*(1/3+1/5+1/7)+1/3*(1/5+1/7)+1/5*1/7))=7 どのモデルでもその中でBB(n)は一意であることも、どの計算可能関数よりも大きいことも証明できるんだから単に大小比較をするのに何の問題もないじゃないか。
0=BB(n),1=BB(n),...のどれかが証明できる必要なんてない。 BBの大きさを語る能力の無い公理系では
BB(ある大きい数) の値を実際とは違う値だと決めても矛盾を証明出来ない
だから上の公理系に対して
BB(ある大きい数)=実際と違う値
という公理を加えても無矛盾となる
だからBB(ある大きい数)の値は公理依存で一意に決まらない
と主張してる人がこのスレに約1名いる それぞれのモデルの中で一意に定まるんじゃなくて、定義文から一意に定まることを求められるんだと思う、でないと数の大小関係が自明でなくなってしまうことが考えられるし、ある定義文がどこまでも大きな自然数を定義しているという主張ができてしまう。
同じ体系内であればどう解釈しようが大小関係は変わらないということも考えられるが異なる解釈で大小が変わってしまうことがあるのは評価の一意性に欠けてしまう。
あと函数を定義する体系の強度に依存するというのは、たとえば1階述語論理で定義された場合であれば体系の強化が間違っていることになってこの例には当てはまらない
ビジービーバー関数は任意のモデルで同じ関数を意味するように定義することができないという意味では1階述語論理で定義できないが、
任意の標準モデルを充足するという形でなら、同じ関数を意味するように、つまりwell definedに定義できる 任意のモデルで同じ関数を意味するって
自然数を定義できないモデルとかどうすんの? 何かstackexchangeとか見てたら、やっぱRayo関数は
いろいろ問題ありそうな感じだね。
海外サイトでも有名な論理学者とかが、やっぱり
理論の不完全性定理とかTuring機械の停止性とかと
絡めて説明してるからこのスレが脱線して非本質的な
議論してるわけじゃなさそう。
https://math.stackexchange.com/questions/2199190/the-first-few-values-of-rayos-function
Rayo関数は一階の集合論内では定義できない。
二階の集合論とかMorse-Kelleyの集合論とかは
一階部分の真理述語を持ってるから一応定義は出来る。
更にRayo関数がZFCなどの一階の集合論で定義出来る
全ての関数を十分先でdominateする事が示せる。
真理述語が使えるのかどうかとかの基礎論的な文脈を
特定しないと無意味なんじゃないのか、と。
二階の集合論が必ず一階部分の真理述語を
持ってるわけじゃないし、持ってなくても部分関数で
代用できる場合もあるし、さらに関数が集合として
存在する事が示せなかったりするし云々。
ぶっちゃけ、連続体濃度がアレフkとなる
自然数nが存在する時k、存在しない時0、みたいな定義も
明らかに1 googol文字以下で出来てるんだか
こういうのどうすんのよ、と。R(n)の値はちょっと先に
行くと明らかにZFCから独立になって
本質的にメタ数学的な問題だらけになる、と。
https://mathoverflow.net/questions/34710/succinctly-naming-big-numbers-zfc-versus-busy-beaver
何か計算量理論で出てくるアルゴリズムで
有名な研究者がコメントしてたりする。
https://mathoverflow.net/questions/32891/finding-the-largest-integer-describable-with-a-string-of-symbols-of-predefined-le
基本的に、こういうコンテストでは誰が勝者かは
再帰理論的な意味で計算不可能になる。
何気にFields賞受賞者とか、証明論の有名な研究者とかがコメントしてる。 あとどっかに、超準モデルでは超準ステップで停止する
Turingマシン、みたいな問題を避けるためには
ベースの理論が無矛盾なだけじゃなくて
少なくともω無矛盾じゃとないといけない、
とか書いてあって、確かにそうだよね、と。
停止までのステップ数が変なモデルを取ると
変わり得るというのは、こういう或る程度の強さの
算術的な健全性を仮定すれば一応解決出来るっぽい。
標準的な自然数というのは一通りに確定する事になってるから。 二階論理なら自然数のモデルが全部同型になるような自然数論を作れるのは確かにデデキントが証明した通り。
しかし英語版wikipediaのPeano axiomsの記事
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms
によると、これは集合論の立場から見れば、集合論のモデルが決まればその中での二階PAのモデルは一意と言っているだけで、選んだ集合論のモデルが超準的ならその中で作れる二階PAのモデルもまた超準的でありえる。 >>837
BB(ある大きい数)がある値「である」と仮定しても無矛盾、と
BB(ある大きい数)がある値「ではない」と仮定しても無矛盾、じゃ意味が違うぞ。
後者は見たことあるが、前者の主張は見たことないな。明らかにBB(ある大きい数)=0からは矛盾が導けるし。 言いたいことが>>798ですでに言われていた
任意の標準的な自然数につき、ビジービーバー関数の値でないことは、それぞれの引数につき、標準モデルでビジービーバー関数の値になるものひとつを除いて証明可能。
>>838は充足という言葉のつかいかた間違えてた。
自然数のコーディングを決めて論理公理やらを前提として、ビジービーバー関数の定義文とされるものを充足する任意の標準モデルにおいて同じ関数を意味するように定義可能 >>795の最初の命題ってさ、計算不能関数なら機械的証明ができるとは限らないってそれ当然では? 2^n-1=1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+・・・+2^(n-1)
n=2kのとき3で割り切れる
n=4kのとき5で割り切れる
n=3kのとき7で割り切れる
n=10kのとき11で割り切れる
n=12kのとき13で割り切れる
n=16kのとき17で割り切れる
n=a*kのとき
2^(a*k)-1は必ず(a+1)を因数にもつ
a=a1*a2のとき
2^(a1*a2*k)-1は必ず(a1+1)と(a2+1)を因数にもつ
2^(31)-1のとき
2^(31)-1は31+1=32=2^5を因数に持つはずだが
2^(n)-1は2で割り切れないので素数になる
2^(15)-1のとき
2^(15)-1は15+1=2^4を因数に持つはずだが
上記と同じ理由で割り切れないが
15=3*5なので7を因数にもつ 2^(n)-1
n=15kのとき
2^(n)-1は7と31と151を必ず因数にもつ
n=30kのとき
2^(30k)は必ず7と31と151と331を因数にもつ 1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7=(1+2+2^2+2^3)+2^4*(1+2+2^2+2^3)=(1+2)+2^2*(1+2)+2^4*(1+2)+2^6*(1+2)=(1+2^2+2^4+2^6)*(1+2)=((1+2^2)+2^4*(1+2^2))*(1+2)=(1+2^4)*(1+2)*(1+2^2)=17*3*5
2^(n*k)-1
2^(2*n*k)-1=1+2+・・・+2^(2*n*k-1)=1+2+・・・+2^(n*k-1)+2^(n*k)*(1+2+・・・+2^(n*k-1))
2^(2^(2^(n)-1)-1)-1=2^(127)-1は素数
2^(2^(2^(2^(n)-1)-1)-1)-1は素数 2^(2^(n)-1)-1
n=2^(2^(n)-1)-1
2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(n)-1)-1)-1)-1)-1)-1)-1)-1
2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(3)-1)-1)-1)-1)-1)-1)-1)-1は素数
2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(5)-1)-1)-1)-1)-1)-1)-1)-1は素数
2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(2^(7)-1)-1)-1)-1)-1)-1)-1)-1は素数 定義 H(x)
x!*x!^x!
He(x)=
H(x)^H(x)
途中省略
Ts(x)=
Lv(x)!^Lv!
Og(x)=
Ts!^Ts(x)!
本編
Og(ラヨ数)
これ何桁くらい? 左から新しい数列、新しい配列表記のセパレータ、DANのセパレータ
(0,2)=(1:3)=(1,,2)
(0,2,2)=(1:4)=(1,,,2)
(0,2,2,2)=(1:5)=(1,,,,2)
こんな感じで数列や配列表記でもトリオ数列同等の強さを発揮しそう。
具体的な定義は考えて、どうぞ 結局、巨大数を生成する関数って、場合分けが多いほどビジービバーの状態数が多いのに対応するみたいな感じで、
基本的には場合分けが多いほど強くなりやすいでOK? ただ多いだけじゃ強くはならない。
強くするためのツボを押さえていかないと複雑なだけのサラダになる まじ卍関数
卍(x)=
例えば卍(4)=
卍(2)*卍(3)
卍(2)=2,卍(3)=2なので
2*2
4 下の関数はどれくらいの増加量ですか 教えて下さい
X : 0個以上の1以上の整数
Y : 0個以上の1以上の整数
a : 2以上の整数
b : 1以上の整数
c : 1以上の整数
d : 1以上の整数 のとき
@ b[1,X]c,d=b[X]c,d
A b[1]c,d=b→d→c
B b[X,a]1,c=b[X,(a−1)]c,b
C b[X,a,1,Y]c,d=b[X,(a−1),(b[X,(a−1),a,Y]c,d),Y]c,d
D b[X]c,a=b[X](c-1),(b[X](c-1),(b[X](c−1),・・・・(b[X](c−1),b)))
ただしDの式で右辺のbはa個
>>857
卍(x)=2^(フィボナッチ数列のx項目) 卍関数計算中... 1,2,2,4,8,32,256,8192,2097152,17179869184
36028797018963968 理屈が解ってればパッと詳細な答えが出る→答え合わせができる数式なら鍵と錠前になるけど……
巨大数って詳細な数値を最後の一桁まで出すようなもんじゃないからどうなんだろ 巨大基数を仮定すればNP問題が多項式で解けるとか無いの? >>861
ならば!!
「TMB」
TMB(x)=
TMB(x-1)^TMB(x-2) >>865
一応、ZFC+ω-huge cardinalの存在を仮定すれば、
Kunen's inconsistancy theoremと
principle of explosionより
NP問題が多項式時間で解けることを導ける。
まあ無意味だが。 >>210
SaidiやLepageに見放されてないんだな TMBの場合は...
1 2 2 4 16 65536 115792089237316195423570985008(続く)
(続き)687907853269984665640564039457584007913129639936
ぎゃあああああああああ ZFC + ω-huge cardinalを仮定したら
NP問題が多項式時間では解けない事を示せるよ というか >>874 が矛盾したらP=NPの証明完了 第1卍数です。
A(x)=(804^x!)→x→x→(804^x^x)
B(x,y)=(x^y)*(A(x)↑↑A(y))→x→(804^x)
C(x,y)=(10↑↑↑(A(x)*A(y))^B(804^xy)
D(x,y,z)=(3↑↑・・(y↑↑・・(z↑↑↑回)・・↑↑y回)・・↑↑3)^(x→y→z→y→x)
このとき、
D(A(1000),B(361,73),C(16552,77384))が第一卍数 (訂正)
>>880の「z↑↑↑回」は正しくは「z↑↑↑z回」でした。すいません 結局ω-huge cardinalってなんなのよ? 逆にP=NPが言えればω-huge cardinalが存在することも言える? 勉強が進んでやっとω進数が存在するかどうかって話だと理解した rank into rank cardinal の一番弱いやつ もう集合論の知識ないと何言ってるかわからん世界だな
取り敢えず階層内階層基数(公理?)ってZFCに付け足しても破綻しない中では一番強い巨大基数公理だっけ? 破綻してるかしてないかなんてわからないし
一番強いなんて物も無い wikipediaでググればあまり数学的に意味のある事を言ってないと分かるんだけどね wikipediaのhuge cardinalの記事見たら、ω-hugeには複数の同値でない定義があって(つまりω-hugeという言葉は意味が不明確で)、定義によっては>>869が真とは限らなくなるっぽい。
だから>>869の言明は取り下げる。
ω-huge cardinalをReinhardt cardinalに置き換えれば確実に>>869が言えるけど。 >>889
英語版のWikipediaのリストになんかあったんでそうだと思ってた
おんなじリストによると、選択公理と併用できないのがラインハルト基数とあとなんかもう一つあってこれが階層内階層基数よりも強いらしい(Wiki調べ)
>>890
英語noobだから件の表見たところで力尽きた 数学板なんだから
「同値」くらい正しい意味で使おうよ うーんついていけない。
wikiとかちんぷんかんぷんな説明だし。 本買って読んだ方がいい気がするけれど、どんな本がいいんだろうかねぇ 去年はSpringer yellow saleで安くて
半額くらいだったよね。
今年はJechのSet theoryが安い。 f_[a](n)は急増加関数
aはℵ_1より小さい順序数
lim{a→ℵ_1}f_[a](n) まずはaが??_1より小さい順序数の時のf_[a](n)を定義してください 計算可能関数で最大の増加速度のやつって、階層内階層基数のI0をもとにした関数系でいいの? このスレに上がったwell-definedの物ってこと?
このスレにwell-definedの物はほとんど無いけど 計算可能って言っても、
具体的に計算するアルゴリズムがわからなくて良いならいくらでも定義出来るから
具体的な計算アルゴリズムで定義して初めて計算可能な価値があると思うんだ
関数自体は計算可能だけど
その関数をアルゴリズムの形にするのに
計算可能でない手続きが必要なもの
なんてのは計算可能関数としての価値は無い ラヨ数の巨大数wiki、変数設定とかマイクロ言語とか耳慣れない単語があるんだが、これってどんな分野の言葉なの? 会話のドッジボール
そういえば「マイクロ言語」って言葉ラヨ関数の記事以外で見たことない 巨大数wiki見たんだが、サスクワッチって何でadjunction(随伴関手)やclosure(閉包)が出てくるんだ? ラヨ自体、二階の集合論の論文とかを書いたり
してる人ではあるので、「変数設定」はそっち系の
分野では通じるものの言い方なのかもしれないけど
まああまり聞かんよね
マイクロ云々はしらない キューネンには閉集合があった気がするが、adjunctionあったっけ よし、では表記法の作成をしよう
a 競 b =a^b
a 競 1=a
a 競^c b=a競^c-1(a競^c-1(・・(a^b^c nested)・・(a競^c-1b))(a^b^c nested)) リトルビッゲドンがビッグフット以上の理由がよく分からないんだが
分かる人いる? ε_0以上の順序数がよく分からないので誰か教えて下さい ε_0 = ω^ω^...^ω
ε_(a+1) = ω^ω^...^ω^(ε_a+1)
ε_a = lim ε_a_n @ a= lim a_n サスクワッチの帰属関係が右肩に乗っかってるのって何だ?
モデルの相対化とかなら分かるが、帰属関係が右肩に乗っかるのは見たことがない これ帰属関係が複数あるから「この式はこっちの帰属関係の意味」ってことなのか
にしても関係が3つもある理由がよく分からんな…… 次の関数の大きさの評価をお願いします。
{}とその中のいくつかの非負整数の組のことを合わせてリストと言うこととする。
例) {5,3,2,7} など
リストの中で{}の中に数が1つもないものを空リストと言うこととする。
{A}や{B} … 0個以上のリスト
{C}…0個以上の空リスト
aやbやnやm …1つの非負整数
W …0個以上のの非負整数の組
Y …0個以上の0の組
@ n{ }m= n×m
A n{a+1,W}{A}m
= n{a,W}{A}n{a,W}{A}n …(nがm個)… n{a,W}{A}n
B n{C}{Y,0,a+1,W}{A}m= n{C}{Y,m,a,W}{A}m
C n{C}{W,Y}{A}m= n{C}{W}{A}m
D n{A}{0}{B}m= n{A}{ }{B}m
E n{C}{ }{a+1,W}{A}m
= n{C}{0,0,0 …(0がm個)… 0,0,1}{a,W}{A}m
F n{A}{C}m= n{A}m
G n{A}a{B}m= n{A} (a{B}m) 3{0,0,0 …(0がn個)… ,0,0,1}3はハーディ階層でH ω^ω^ω(n)と予想される
3{ }{ }{ } …({}がn個)… ,{ }{ }{3}3 はハーディ階層でH ε_0と予想される で、
既出な表現に比べて何か新規性や進歩性は何かあるの? 今はリストの中には数のくみが入っているが、
これからリストレベル2の中にはいくつかのリストを入れてという拡張をして
レベルNのリストを考えるといくと
Γ_0までは拡張できると考えられる で、
既出な表現に比べて何か新規性や進歩性は何かあるの? 新規性/進歩性ニキが言動に新規性も進歩性もないの、人生について考えさせられてワイはすきやで 新規性と進歩性の有無を問うている単一、あるいは複数のユーザーが、自らは何ら新規性や進歩性の有る話題をこのスレッドに提供できていない矛盾に、深い趣を感じ、興味深いさまであることだなぁ 何の特徴もない表記をアップして大きさを評価しろって
図々しいにも程がある アピールポイントとか、設計思想とかそういうものは欲しい ならこんな表記はどうでしょうか
まず、関数f(x)を考えます
その次にこれを重ねた関数f(f(f( …(fがx個)… f(x))))という関数を考えます
ここで変換C[1]を定義します
C[1]という変換は関数をより強い関数にする変換で、
C[1](f(x))= f(f( …(fがx個)… f(x))) と定義します ここでC[1](f(x))は関数ですのでC[1](C[1](f(x)))という、
f(x)にC[1]変換を2回繰り返した関数を考えることができます
ここからf(x)にc[1]変換をx回繰り返した関数をC[2]変換とします
ここでC[2]変換を定義します
C[2](f(x))= C[1](C[1]( …(C[1]がx重)… (C[1](f(x)))))
ここでC[2]変換も関数を強くする変換です 既出な表現に比べて何か新規性や進歩性は何かあるの? これからC[n]変換に一般化したいと思います
C[n+1]変換はC[n]変換をx回繰り返したものなので
C[n+1](f(x))= C[n](C[n]( …(C[n]がx重)… (C[n](f(x)))))
と一般化します
ただしC[0]というものは存在しないので
C[1](f(x))=f(f( …(fがx重)… f(x)))
とします
ここまでのC[n]変換は関数をより強い関数にする変換でしたが、
次の拡張のA変換は「関数をより強い関数にする変換」を
より強い「関数をより強い関数にする変換」に変換する変換を考えております なお 進歩についてはBEAFなどとは違ってこの表記の根底には
ある数や関数や変換をある関数や変換で強くするという概念があることです そういうあなたも何か大きな数を考えたらどうですか
ここはそういうスレですよ 評価を人任せにするのはともかく、もともと過疎スレだし、話題がループしてるのは昔からだし、ま、多少はね まあ今のメンバーで頑張っていきましょう
BEAFやより強いのができるといいですね 順序数興味あるし、>>947の知ってる大きな順序数知りたい ここである関数を強くする変換をSと呼ぶことにします
Sの例としてC[1]やC[2]などがあげられます
A[1]変換をSをf(x)にf(x)回繰り返したものとします
つまり
A[1](S[f(x)])= S[S[S[ …(Sがf(x)重)… S[f(x)]]]]
ということです 順序数といえば
ω = 1+1+1+1+,,,, だよね
ω = -1/2 じゃね? ωというのは1+1+1+1+…ではなく
基本列が0 1 2 3 …となる極限順序数ですよ いままでC[n]変換の定義はC[n−1]変換をf(x)にx回行うというものでしたが
これからの拡張のためC[]変換をf(x)にf(x)回おこなうものとします C[]変換ではなくC[n-1]変換をf(x)にf(x)回行うでした ここからの拡張のはじめとしてC[n](f(x))という関数にaを代入した値を
{n,f(x),a}と表すこととします で、
既出な表現に比べて何か新規性や進歩性は何かあるの? この表記をすることで線形配列でε_0の順序数まで拡張できます
簡単な証明は
C[1]変換は急増加関数の順序数に1をたす変換
C[2]変換は急増加関数の順序数にωをたす変換
C[3]変換はω^2を足す変換
C[n]変換はω^nを足す変換
次にA変換の見積もり
元の変換が順序数にaを足す変換のとき
A[n]変換はa×ω^ω^nを足す変換
ということを続けていくと
ε_0まで到達します もう少しわかりやすく言うと
A変換を強くするR変換やそれを強くする変換を考えるとε_0まっで到達するということです >ある数や関数や変換をある関数や変換で強くするという概念があることです
こういうのは結果論であってそれ自体はあまり重要でなかったりする 詳しい定義は省くが
{1,1,1, …(1がx個)… ,1,1,x+1,5}≒Fε_0(x)
となる WOW(4)
=2^^^4
=2^^2^^2^^2
=2^^2^^4
=2^^65536
log_10(2^^65536)
=2^^65535 * log_10(2)
だから
[2^^65535 * log_10(2) - 1] 桁 [2^^65535 * log_10(2) + 1] 桁 大ヴェブレン順序数と順序数崩壊関数をわかりやすく解説してくれる方はいませんか >>978
大ウェブレン順序数={ω,ω,2(1)2} (BEAF) 既出な表現に比べて何か新規性や進歩性は何かあるの? 進歩性を問うよりあなたがみずからその表記をみて進歩性があるかどうかみたらどうですか
定義が必要なら載せますよ どんな回答をしようが答えるつもりは無いってことね
答えられない
答える能力が無い
新規性進歩性は何もない
のいずれかでしょう 今さらζ_0ほどの増加量の表記に新規性進歩性があるとも思えないんで
これ以上語らなくて良いよ この発言に則って、このスレでは新規性や進歩性の無い新規巨大数の掲載を禁止いたします 一応988番レスに記載されている「このスレ」とは「巨大数探索スレッドn」(nはn>0の自然数)のことです 記号1つだけならωまで
記号2つだけならε_0まで
記号4つだけならζ_0まで
表現できる 次スレなんか必要ねえ…
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