プレーヤーが選んだ箱をA、司会者モンティーホールが開けたハズレの箱をB、残った箱をCとする。

Aがアタリ(atari)の確率をP(A=a)、Aがハズレの確率をP(A≠a)
司会者がBを開ける(open)確率をP(B=o)と表すことにする。

残った箱Cがアタリである確率P(C=a|B=o)は

ベイズの公式から
P(C=a|B=o) = (P(B=o|C=a)P(c=a)) / P(B=o)

P(B=o) = P(B=o|C=a)P(C=a) + P(B=o|C≠a)P(C≠a) = 1*1/3 + 1/2*2/3 = 2/3

ゆえに

P(C=a|B=o) = (P(B=o|C=a)P(c=a)) / P(B=o) = (1/3) / (2/3) = 1/2