＜前振りで数学的な構造＞ （>>284-285より） http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007 (抜粋) The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q where p and q are relatively prime integers with q > 0.
** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals. Heuer [15]
** For r > 2, f^r is differentiable on a set whose intersection with every open interval has Hausdorff dimension 1 - 2/r. Frantz [20]
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker than any power of f gives behavior that one would expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that eventually majorizes every power function. Define f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers.
** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25) (引用終り)
趣旨を日本語にすると ruler functionとか、改良トマエ関数で、 f(x) = 1/q if x = p/q ↓ f^r = 1/q^r となって
１）指数r=2なら：nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals. ２）指数r > 2なら：differentiable on a set whose intersection with every open interval has Hausdorff dimension 1 - 2/r. ３）指数1/q^rより早く減衰する関数1/w(q) ：differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. （前振り終り）
で、「証明すべきこと」は、1/q^rで、Hausdorff dimension 1 - 2/rで、rが大きくなると、どんどんHausdorff dimensionが１に近づく。つまり、differentiableな範囲が大きくなる 指数1/q^rより早く減衰する関数1/w(q)では、”a set whose complement has Hausdorff dimension zero”ですよ
しかし、指数1/q^rより早く減衰する関数1/w(q)でも、微分不可の部分が残って、Hausdorff dimension zeroにもかかわらず、 ”Interesting, each of the sets of points where these functions fail to be differentiable is large in the sense of Baire category.”（>>285より） だと。つまり、証明すべきは、ここで、”指数1/q^rより早く減衰する関数1/w(q)でも、微分不可の部分が残って、Hausdorff dimension zeroにもかかわらず、「fail to be differentiable is large」なのだ”ということなのだ
重複を厭わず、下記追加引用 （下記より） ”THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points. In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”
ここで、”Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.” とあるでしょ。この”each dense in the reals”を覚えておいてね。あとで使う（＾＾
（>>285より） http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007 (抜粋) ** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)
Interesting, each of the sets of points where these functions fail to be differentiable is large in the sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points. In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
There are 22 items below. I found 4 of them on the internet, I provide the complete text for 9 of them, and I give some idea of what the remaining 9 items involve.
１．で、(>>443)英文では”each dense in the reals” ”THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points. In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”
という例の場合は、R − ∪[p∈Q] { p } には開区間が全く存在しない。 だから、そのイメージの仕方は間違っている。 0465現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/09(土) 22:18:51.30ID:OrUOLzdR 哀れな素人さんのために Philosophy本だが、検索ヒットしたので貼る（＾＾ http://publish.uwo.ca/~jbell/The%20Continuous.pdf The Continuous Infinitesimal Mathematics Philosophy JL Bell 著 - ?2005 Preface This book has a double purpose. First, to trace the historical development of the concepts of the continuous and the infinitesimal; and second, to describe the ways in which these two concepts are treated in contemporary mathematics. So the first part of the book is largely philosophical, while the second is almost exclusively mathematical. In writing the book I have found it necessary to thread my way through a wealth of sources, both philosophical and mathematical; and it is inevitable that a number of topics have not received the attention they deserve. Still, the thread itself, if tangled in places, has been luminous. “Only connect ... Live in fragments no longer,” says E. M. Forster, and that is what I have tried to do here. 0466現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/09(土) 22:22:06.34ID:OrUOLzdR>>461-463
１．万に一つ、その定理と少なくとも証明が新しく、価値あるものなら、こんなところに書くのはもったいないよ（＾＾ 知り合いの数学科教官にでも見て貰って、投稿した方が良いぞ。 ここを見ている数学徒にしても、定理を引用しようとしたら、２CH（元５CH）では恰好悪いよ（＾＾ ２．見ていると思うが、無理数全体で微分可能な関数が出来ないことだけなら、解決済みだよ >>443に有るとおり ”THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points. In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, ・・・ on a co-meager set.” いままで読んだ範囲では、あなたのような定理は、使われいないようだ。 その定理が成立するなら、面白いと思うよ ３．ただ、面白い定理で価値あるなら、だれかがすでに書いている可能性もある （一方、少なくとも、自分はそれにはお目に掛かっていないので、新定理かも知れない） 0470１３２人目の素数さん2017/12/09(土) 23:19:30.90ID:B62Hdudt 阿呆スレ主があっという間に降参してワロタ
定理を引用しようとしたら、２CH（元５CH）では恰好悪いよ（＾＾ ↓ 定理を引用しようとしたら、２CH（現５CH）では恰好悪いよ（＾＾ 0472現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/09(土) 23:24:03.24ID:OrUOLzdR>>470 "万に一つ、その定理と少なくとも証明が新しく、価値あるものなら、こんなところに書くのはもったいないよ（＾＾ ”（>>469） 0473現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/09(土) 23:25:02.02ID:OrUOLzdR その定理が正しい確率を直観で表わしたんだが？（＾＾ 0474現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/09(土) 23:32:59.79ID:OrUOLzdR>>443に有る（英文）定理では ”Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. ”とある
１．Ruler Function f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers.（>>285より） w(q) an increasing function that eventually majorizes every power function. (いかなるq^rよりも急増加関数) 無理数で0。ついでに、f_w(0) = 1 （>>285より。＊） （「無理数で、リプシッツ連続」は>>284以下の既出文献でさんざん証明＊＊）済みで略す） ２．f_w(p/q) = 1/w(q)＞0と出来るとして、p/q（有理数）では、不連続になる。（自明だが念のために書いた） ３．このRuler Function に、新定理が適用可能とする。 ４．R−B_f ⊂ Q ＝ ∪[p∈Q] { p } …(1) (1)の右辺は疎な閉集合の可算和だから、上の新定理が使えて、f はある開区間(a,b)の上でリプシッツ連続になる。
？ この後、そのままで良いのか？
特に、(a,b)の上で連続になる。QはR上で稠密だから、x∈(a,b)∩Qが取れる。 fは点xで不連続であるが、しかし(a,b)の上で連続に、矛盾する。 QED
ａ）なので、”このRuler Function に、新定理が適用可能”がおかしいか ｂ）新定理がおかしいか
注 ＊）f_w(0) = 1を書く意味は、0は無理数でもなく、p/qとも表せないということかな ＊＊）（>>285より抜粋） ** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals. Heuer [15]
** For r > 2, f^r is differentiable on a set whose intersection with every open interval has Hausdorff dimension 1 - 2/r. Frantz [20]
** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25) (引用終り)
http：//mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 Topic： Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted： Dec 13, 2006 Replies： 3 Last Post： Jan 10, 2007
これを読んでいて、疑問に思ったことが２点ある
１． ”[20] Marc Frantz, "Two functions whose powers make fractals", American Mathematical Monthly 105 #7 (Aug./Sept. 1998), 609-617. [MR 99g：28018； Zbl 952.28006] Following up on Darst/Taylor [18] above, Frantz investigates the Hausdorff dimension of the graphs of f^r.
THEOREM 1： If r > 2, then the Hausdorff dimension of the non-differentiability set for f^r is 2/r.”
一方、 ”[18] Richard Brian Darst and Gerald D. Taylor, "Differentiating Powers of an Old Friend", American Mathematical Monthly 103 #5 (May 1996), 415-416. [MR1400724； Zbl 861.26002]
Define f：R --> R by f(x) = 0 if x is irrational or zero, and f(p/q) = 1/q for p,q relatively prime with q > 0. They note that the set of points at which f is not continuous is the set of nonzero rational numbers.
THEOREM： If 1 < r <= 2, then f^r is differentiable only at zero. If r > 2, then f^r is differentiable almost everywhere (Lebesgue measure).”
だから、[18] からすると、If r > 2, then f^r is differentiable almost everywhere (Lebesgue measure).→Hausdorff dimension =1 で、"1 - 2/r（>>285）"ではないのでは？
２． ”Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.” とは、continuous, discontinuous, 両者とも、Hausdorff dimension =1/2 見たいな形で、お互いが混じり合っているイメージなんだけど、おかしいかな？ で、無理数と有理数だと、前者がHausdorff dimension =1、後者がHausdorff dimension =0 なんだけど・・・ 「函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。」（by 上記wikipedia 不連続性の分類 ） だから、それで良いのか・・な（＾＾
Ruler Function f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers.（>>285より） w(q) an increasing function that eventually majorizes every power function. (いかなるq^rよりも急増加関数)
は、おまえの新定理の反例になってないか？
１．（>>481 wikipediaより）「不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である」を認めるとする ２．”** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)”（>>285より） Hausdorff dimension zero → 個々の不連続点の閉集合は、R上長さを持たない、つまり、”内点を持たない”が言えると思う（未証明だが） ３．とすると、その定理の”R−B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できる”が言えるだろ？ ４．で、R−B_f は疎な閉集合の可算和だから、新定理が使えて、f はある開区間(a,b)の上でリプシッツ連続になる。 ５．で、特に、(a,b)の上で連続になる。QはR上で稠密だから、x∈(a,b)∩Qが取れる。fは点xで不連続であるが、しかし(a,b)の上で連続に、矛盾する。
まあ、要するに、この”Ruler Function f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers.”（>>285より）というのは ” be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.”（>>285より）が、実現された関数なわけだ
＞１．（>>481 wikipediaより）「不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である」を認めるとする ＞２．”** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)”（>>285より） ＞ Hausdorff dimension zero → 個々の不連続点の閉集合は、R上長さを持たない、つまり、”内点を持たない”が言えると思う（未証明だが） ＞３．とすると、その定理の”R−B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できる”が言えるだろ？
１点、（>>497）”Ruler Function f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers.（>>285より） w(q) an increasing function that eventually majorizes every power function. (いかなるq^rよりも急増加関数)” が、反例になるだろうと指摘した
