まあ、そんなことをしなくても、P(x<y0)=y0/a で、a→∞とするとP(x<y0)→0 か・・（＾＾ 0276１３２人目の素数さん2017/12/03(日) 11:05:59.15ID:G2nPcR2G おっちゃんです。 他のスレで荒らしのような書き込みを見かけることがあるが、 もしかして、スレ主は自演して他のスレにも出没しているかい？ 0277現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2017/12/03(日) 12:00:59.46ID:rPUpBQUT>>245 戻る (ピエロ) >さらにいえば、1/q^nを1/e^(-q)に置き換えても >リュービル数では微分不可能 https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf (抜粋) Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable. Proof. Let (ri ) be an enumeration of the rationals. We recursively define a convergent sequence of rationals.
Proposition 4.2. 略
We finish by remarking on some obvious consequences of the previous propositions. First, for k <= 2, T(1/n^k ) is nowhere differentiable. By Roth’s Theorem, if α(an) > 2, T(ai ) is differentiable on the set of algebraic irrational numbers. T(1/n^9) is differentiable at all the algebraic irrationals, e, π, π^2, ln(2), and ζ(3), and not differentiable on the set of Liouville numbers. Finally, if α(ai ) = ∞, T(ai ) is differentiable on the set of all non-Liouville numbers. Since the set of Liouville numbers has measure zero, T(ai ) is differentiable almost everywhere. (引用終り)
ここ、Proposition 3.1. では、リュービル数は証明には使っていない。（”recursively define a convergent sequence of rationals”を使用） で、あとのProposition 4.2.の後で、Liouville numbersが、出てくるが、記載は上記の通り。
https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number Liouville number (抜粋) In number theory, a Liouville number is an irrational number x with the property that, for every positive integer n, there exist integers p and q with q > 1 and such that
0<｜x - p/q|< 1/q^n
A Liouville number can thus be approximated "quite closely" by a sequence of rational numbers. In 1844, Joseph Liouville showed that all Liouville numbers are transcendental, thus establishing the existence of transcendental numbers for the first time. (引用終り)
この定理を使うと、f：R → R であって、「xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能」 となるものは存在しないことが即座に分かる。一応やってみると、そのような関数 f が存在したとすると、・・ (引用終り)
これ怪しいから、おれもstackexchangeのキーワードを使って、検索した。下記ヒットしたので貼る（＾＾ (抜粋) １）”Using ruler-like functions that "damp-out" quicker than any power of f gives behavior that one would expect from the above. ** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)”とある ２）”[3] Tsuruichi Hayashi, "Eine stetige und nicht-differenzierbare function", Tohoku Mathematical Journal 1 (1911-12)”について、解説があったので、その部分を全文引用した ３）リプシッツ連続は、”** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals. Heuer [15]”とあるから、上記の定理と証明は怪しいかも（∵リプシッツ連続は微分可能と直結しないから）・・（＾＾ （参考 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A リプシッツ連続
We would expect higher powers of f to be smoother, and this is what we find. Note that for each r > 0, the sets where f^r is continuous and discontinuous is the same as for f.
** For each 0 < r <= 2, f^r is nowhere differentiable.
** For each r > 2, f^r is differentiable on a set that has c many points in every interval.
** For each 0 < r < 2, f^r satisfies no pointwise Lipschitz condition. Heuer [15]
** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals. Heuer [15]
** For r > 2, f^r is differentiable on a set whose intersection with every open interval has Hausdorff dimension 1 - 2/r. Frantz [20]
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker than any power of f gives behavior that one would expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that eventually majorizes every power function. Define f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers.
** f_w is differentiable on a set whose complement has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)
Interesting, each of the sets of points where these functions fail to be differentiable is large in the sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points. In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
There are 22 items below. I found 4 of them on the internet, I provide the complete text for 9 of them, and I give some idea of what the remaining 9 items involve.
[3] Tsuruichi Hayashi, "Eine stetige und nicht-differenzierbare function", Tohoku Mathematical Journal 1 (1911-12), 140-142. [JFM 43.0482.03] [No submission date given.]
Hayashi mentions Lukacs' paper. I'm not sure if Hayashi is filling in some gaps from Lukacs' paper or extending the results in Lukacs' paper in some way. Hayashi's paper is in German, which I can't read. [Lukacs' paper is also in German, but in that case it was easy to figure out what Lukacs was doing. In this case, since Hayashi already knows of Lukacs' paper, the issue of what Hayashi is doing is not as immediately apparent to me.]
The complete text of the paper follows, with minor editing changes to accommodate ASCII format.
Im 70. Bande der Mathematische Annalen, S. 561, 1911, finden wir ein einfaches von Herrn Franz Lukacs gegebenes Beispiel einer Funktion, die in einer uberall dichten Menge unstetig und doch in einer anderen uberall dichten Menge differenzierbar ist. Nach der Lukacs-schen Methode, gebe ich im folgenden ein sehr einfaches Beispiel einer Funktion, die in einer uberall dichten Menge stetig uud nichtdifferenzierbar ist. Mein Beispiel wird als ein Resultat des Satzes von Liouville deduziert, wie Herr Lukacs's Beispiel.
Wer definieren die Funktion f(x) wie folgt: Fur jedes irrationale x sei f(x) = 0; wenn x rational und auf den kleinsten positiven Nenner gebracht = p/q ist, so sei f(x) = f(p/q) = 1/q.
Dann ist wie leicht ersichtlich, die so definierte Funktion fur jeden rationalen Wert von x and also in einer uberall dichten Menge unstetig, und doch fur jeden irrationalen Wert von x stetig. Die Funktion f(x) ist fur jeden nicht-algebraischen, i.e. transzendentalen Wert von x, der ein Element der von Liouville angegebenen Menge ist, und also in einer uberall dichten Menge, (1) nicht-differenzierbar.
(1) Vgl. A. Schonflies: Die Entwickelung der Lehre von Punktmannigfaltigkeiten, Jahresbaricht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 8ter Band, S. 103, 1900.
Wenn p/q - b < 0, i.e. als den ruckwarts genommenen Differenzenquotient betrachtet, ist
H(p/q, b) = (1/q) / (p/q - b) < 0
und ist
p/q - b > -1 / (Mq^n).
Also ist
H(p/q, b) < (1/q) / (-1/Mq^n) = -Mq^(n-1).
Daher ist der ruckwarts genommene Differentialquotient negativ und wird unendlich.
Die Funktion ist fur alle Argumente nicht-differenzierbar, nicht nur fur transzendente Zahlen. Dar Beweis ist sehr einfach folgender.
Sie b ein irrationaler Wert und x ein irrationaler Nachbarwert, dann ist f(x) - f(b) = 0 und daher der Differenzenquotient = 0. Andererseits lasst sich x durch eine Reihe rationaler Zahlen, die Naherungsbruche des Kettenbruchs fur b, in der weise annahern, dass, wenn p_n/q_n ein solcher Naherungsbruch in reduzierter Form ist, die Ungleichung besteht
| b - p_n/q_n | < 1 / (q_n)^2.
Daher wachst der Differenzenquotient
[ f(p_n/q_n) - f(b) ] / [ p_n/q_n - b ]
uber alle Grenzen mit wachsendem n. Es kann daher kein Differentialquotient existieren.
Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals. Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable.
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q^r if x = p/q where p and q are relatively prime integers with q > 0.
で、指数rで、関数の特性が類別されているだろ（下記） で、(抜粋) １）** For each 0 < r < 2, f^r satisfies no pointwise Lipschitz condition. Heuer [15]
２）** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals. Heuer [15]
３）** For r > 2, f^r is differentiable on a set whose intersection with every open interval has Hausdorff dimension 1 - 2/r. Frantz [20]
つまり、0 < r < 2でLipschitzでなく、r = 2でLipschitz、r > 2でdifferentiableだと。 だから、指数r依存性があるよと。指数r依存性とは、如何に早く０（ゼロ）に減衰するかだ
そして、>>282のピエロの証明は、 ４）Using ruler-like functions that "damp-out" quicker than any power of f gives behavior that one would expect from the above. つまり、1/q^rという関数（多項式の逆数）よりも、早く減衰するときにも、not differentiable な無理数が残るという場合の証明だ
(抜粋) ”** For each 0 < r <= 2, f^r is nowhere differentiable.
** For each r > 2, f^r is differentiable on a set that has c many points in every interval.
The results above can be further refined.
** For each 0 < r < 2, f^r satisfies no pointwise Lipschitz condition. Heuer [15]
** For r = 2, f^r is nowhere differentiable and satisfies a pointwise Lipschitz condition on a set that is dense in the reals. Heuer [15]
** For r > 2, f^r is differentiable on a set whose intersection with every open interval has Hausdorff dimension 1 - 2/r. Frantz [20]
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker than any power of f gives behavior that one would expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that eventually majorizes every power function. Define f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively prime integers.” (引用終り)
http://www-03.ibm.com/press/jp/ja/pressrelease/52794.wss IBM Z (z14) プレスリリース IBM 2017年7月18日 (抜粋) 妥協なきセキュリティー z14は初めて、システムに関わる全てのデータをOSレベルでハードウェア暗号化の機能を使用して一度に暗号化できるようになりました。 現行の暗号化ソリューションはCPU負荷が高くシステムの処理性能や応答時間に影響を与え、また暗号化するフィールドの選定や管理に多くの工数がかかっていました。 今回、暗号化アルゴリズム専用の回路を4倍にすることで暗号化処理性能を前モデルであるIBM z13比で最大7倍に増強した結果、クラウド規模のバルク暗号化が可能となりました。
機械学習による新たな価値の創造 z14は前モデルの z13比で約3倍となる32TBのメモリーが最大で搭載可能となり、分析処理の応答時間の短縮およびスループットの増大を実現しています。 またzHyperLinkを利用することでストレージ・エリア・ネットワーク応答時間をz13に比べて10分の1に短縮し、アプリケーションの応答時間を半減します[4]。 これらのマシン性能向上に加えて、本年2月に発表されたIBM Machine Learning for z/OSを用いた機械学習により、業務分析モデルの作成、学習、展開を自動化することが可能になり、リアルタイム分析の効率性が大幅に向上します。
ペレルマン論文に対する検証が複数の数学者チームによって試みられた。原論文が理論的に難解でありかつ細部を省略していたため検証作業は難航したが、2006年5?7月にかけて3つの数学者チームによる報告論文が出揃った。 ・ブルース・クライナーとジョン・ロット, Notes on Perelman's Papers（2006年5月） ペレルマンによる幾何化予想についての証明の細部を解明・補足 ・朱熹平と曹懐東、A Complete Proof of the Poincare and Geometrization Conjectures - application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow（2006年7月、改訂版2006年12月） ペレルマン論文で省略されている細部の解明・補足 ・ジョン・モーガンと田剛、Ricci Flow and the Poincare Conjecture（2006年7月） ペレルマン論文をポアンカレ予想に関わる部分のみに絞って詳細に解明・補足 これらのチームはどれもペレルマン論文は基本的に正しく致命的誤りはなかったこと、また細部のギャップについてもペレルマンの手法によって修正可能であったという結論で一致した。これらのことから、現在では少なくともポアンカレ予想についてはペレルマンにより解決されたと考えられている。 (引用終り) 0343１３２人目の素数さん2017/12/05(火) 07:44:07.76ID:/o47Z1m6>>1 数学の知識で人を殴るのは道を尋ねられたらムカつくから殴るのと同じくらいの幼稚な行動なのでは
