キチガイ関数一覧表できたよー(R→R編)
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・テスト関数
f(x)=I_(-1,1)(x)e^(-1/(1-x^2)) (Iは指示関数)
無限回微分可能であるが、テーラー展開出来ない関数
実関数ならではの性質 実解析では重宝される
キチガイ度低め
〜〜微分可能関数の壁〜〜
・位相幾何学者の正弦曲線
f(x)=sin(1/x)
曲線の長さが局所有限でない
連結だが弧状連結でない
原点付近がキチガイ
・カントールの悪魔の階段
f_0(x)=x,f_{n+1}(x)=(1/2)I_[0,1/3)(x)f_n(3x)+(1/2)I_[1/3,2/3)(x)+(1/2)I[2/3,1](x)(1/2+(1/2)f_n(3x-2))
の各点収束先
カントール集合以外では定数
至るところ微分が0で連続関数なのにも関わらず、0から1まで全ての値を取る連続関数
さらに微分不可能点が非可算無限個存在する
連続だが絶対連続ではない
名前からしてキチガイ
〜〜至るところ微分可能関数の壁〜〜
・ワイエルシュトラス関数
f(x)=(n=0,∞)a^n cos(b^n πx)
(0<a<1,b:奇自然数,ab>1+3π/2)
連続関数なのにも関わらず、至るところ微分不可能
グラフはフラクタル状になっていて、1次元の曲線ではない
見た目においてはこれが1番キチガイかもしれない
〜〜連続関数の壁〜〜
ディリクレの関数
f(x)=I_(Q^c)(x)
有理数では0,無理数では1を返す関数
至るところ不連続
有界なのにリーマン可積分でない関数
すなわち古典的な意味での面積が定義できない
もはやグラフでの想像が付かないキチガイ
〜〜可測関数の壁〜〜
ヴィタリ集合上の指示関数
f(x)=I_(ι(R/Q)(x) (ιはR/QからRへの適当な埋め込み)
あらゆる連続関数の近似も寄せ付けない
もはや現代的な意味の面積すら定義出来ない
測れるとは何なのか、根源的な問いかけに迫るキングofキチガイ関数 関数じゃなくても病的で面白い例があったら教えてくれ! >>29>>30
再帰的なルール適用で「迷路」を自動生成するよりも
隣り合った等高線が「似てる」幾何学の葉層の様相の方が気になる。 至るところキチガイな関数を考えてみた。
y = 0 正常だ
y = lim[ε→0] ε sin(x) これも正常
y = lim[ε→0] ε sin(x/ε) 微妙だ
y = lim[ε→0] ε sin(x/ε^2) 病気かな
y = lim[ε→0] ε sin(x/ε^3) これも病気かな
そうだ、
y = lim[ε→0] ε sin(x/ε^(1/ε)) はキチガイ
見た目、直線y = 0 とそっくりなのに、
殆ど至るところ |dy/dx| ≠ 0 だし、しかも
殆ど至るところ |dy/dx| = ∞ かな。
つまり、至るところ、キチガイ関数ぢゃ
カントールの無限階段よりは、マトモだが
考え出したら、キチガイに成りそう。
病気にならないよう、気にしない。
でも、気になる。
とにかく直線ぢゃない。曲線のはず。
でも、見た目、直線y = 0 とそっくり。
たぶん、曲線の長さは、
xの範囲が(0,2π)で2πぢゃなくて∞かも
そうだ、人間の大脳とか、表面積が凄い。 一般論言っちゃうと昔流行ったフラクタルになっちゃうからな。 >>45
フラクタル形状は自然界にありふれてるから
自然界は病的関数だらけって事か〜w 再帰的手続きを経ずに定義されたフラクタルの具体例
って知られてるの? ランダムウォーク自体の定義は再帰が含まれてると言えるだろうか?。 >>62
不動点コンビネータによる再帰の実現でチャイティンのオメガっぽく乱数関数を定義するのが本質なのかもね。 f(x)=Σ(max([x], 1))
増加度が非常に大きな関数
元々 N->N ですが...
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Σ : ビジービーバー関数
[ x ] : x以下の最大の整数
max(x, y) : x と y の小さくない方の値 ウンコ関数
unko(x)=💩
あらゆる実数をウンコにしてしまう悪魔のような関数 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています