幾何 [無断転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2017/09/09(土) 02:50:10.92

群論

**哀れな素人** · 2020/10/14(水) 08:16:13.89

>>137
なかなか面白い解答だが、
P、Q、Rを中点にとったとき、そうでないときより
△PQRの面積が小さくなることを、図形的に証明してみよ（笑

**哀れな素人** · 2020/10/19(月) 08:00:23.34

次のことを証明せよ。

点Pから円に引いた二本の接線の接点をA、Bとする。
Pから円に割線を引き、弦ABとの交点をQ、
円との交点をR、Sとすると、P、R、Q、Sは調和点列をなす。

**哀れな素人** · 2020/10/19(月) 08:05:15.93

余談

>>135の問題が解ける者は、
「分からない問題はここに書いてね463」の
652の問題が解けるだろう。

**哀れな素人** · 2020/10/26(月) 09:14:12.33

円の直径上に二点A、Bが、円の中心Oの両側に、ある。
円周上に点Pをとり、P、Aを通る弦と、P、Bを通る弦が、
同じ長さになるように、せよ。

**哀れな素人** · 2020/11/02(月) 09:55:44.91

作図題二題

①
任意の三角形と等積な正三角形を作図せよ。

②
△ABCと∠Aを共有し、かつ、これと等積な直角三角形を作図せよ。

**哀れな素人** · 2020/11/09(月) 09:03:00.39

作図題二題　その２

次の方程式の根を作図せよ。

① x^2+3x-1=0
② x^2-3x+1=0

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/11/10(火) 16:21:52.15

前>>137
>>143
x^2+3x-1=(x+3/2)^2-13/4
x^2-3x+1=(x-3/2)^2-5/4
xy平面にy=x^2+3x-1とy=x^2-3x+1を描くために、
点(-3,-1),(-3/2,-14/3),(0,-1),(0,1),(1/3,1/9),(1,-1),(3/2,-5/4),(3,1)をとり、
2つの合同な下に凸の双曲線を描くよう滑らかにつなぐ。
∴題意は満たされた。

**哀れな素人** · 2020/11/11(水) 09:07:25.48

イナよ、そんなのは作図解ではない（笑

そもそも双曲線をどうやって作図するのか（笑

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/11/13(金) 02:00:38.83

前>>144
>>145
放物線は中2か中3ぐらいから描くんちごたか？
物理みたいな第1分野か第2分野かどっちがどっちか忘れたけど、あった思たで。
だぁれもフリーハンドでびょんびょん描いてたけどなぁ。黒板とかノートとかに。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/11/13(金) 02:02:58.34

前>>146訂正。
>>144
双曲線→放物線

**哀れな素人** · 2020/11/16(月) 08:03:47.03

作図題二題　その３

①
頂角αと、底辺aと、他の二辺の和sを知って、三角形を作図せよ。
②
頂角αと、底辺aと、他の二辺の差sを知って、三角形を作図せよ。

**哀れな素人** · 2020/11/23(月) 09:10:22.41

AB=5、BC=4、CA=3の直角三角形ABCがある。
（斜辺ABはCの左斜め上にあると考えよ。）
CからABに垂線CDを下ろし、DからBCに垂線DEを下ろし、
EからCDに垂線EFを下ろし、FからDEに垂線FGを下ろし、
GからEFに垂線GHを下ろし、HからFGに垂線HIを下ろし、…
というふうに、Cから左巻きの渦のように垂線を下ろしていき、
D、E、F、G、H、I…の極限点をPとする。Pの位置を求めよ。

こういうのは代数計算の問題だから、幾何としての面白味はない。
しかし、けっこう面白い問題だと思うので、出すことにした。
ちなみに答えは載っていなかったから、知らない。
知らないが、これが答えだろうという予想は持っている。

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/30(月) 01:19:00.76

シュメール文明を作るのに
必要最小の幾何学と代数を
考えてた途中で
球の体積の公式を作ってみて
他所の人は微分積分からやってるようだけど
挟み撃ちで
体積の公式の係数を求める方が
かくて簡単だった。
微積分で公式を作るのは理にかなってるのは分かる。しかし
偶然にも整数比を思い描くことしかできないシュメール文明以前の人間には
もっと単純な物が相応しいのでこれでよしとした。

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/30(月) 01:39:00.98

幾何学の初歩の
三角関数の1°を使うことは中学高校大学でもそう巡り会うことなく
使用してる。
シュメール文明以前の人間にsin1°、cos1°、tan1°の数値解、比を導き出させるのに苦労した。思考上で。
整数比しか知らないのだから。
加法定理倍角公式合同相似長さ面積体積を教えるのは大変。
これ無くして、
6°の数値解を得なければ
時計で時間も円周の長さも求めるのが
難しい。
これが出来るとあとは簡単。
時間として暦年月日時分秒が得られるし
ギアも作れる。
天体の運動、地球月太陽の運動も観測できる。
少なくとも一般相対性理論の一歩手前まではいける。
凡人のままならこれで十分。
暦を作る段階で
一月12に分けたり、1週間を7日にしその曜日名を付ける合理的な説明はここでする必要も無いし、弧度法と違い
十進法で角度を360°にする理由もここで述べる必要無い。
お邪魔しました。

**哀れな素人** · 2020/11/30(月) 08:23:45.80

作図題二題　その４

大きさの異なる二円がAで交わっている。
Aを通る直線と二円との交点をB、Cとする。
①
ABとACの和が、与長線分sに等しくなるように、直線BACを引け。
②
ABとACの差が、与長線分sに等しくなるように、直線BACを引け。

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/30(月) 10:17:58.11

0D :π
1D:2π
2D:4π
3D:16π
4D:32π
5D:64π
6D:128π
7D:256π
8D:512π
9D:1024π
10D:2048π
11D:4096π
12D:8192π
ここでπは次元の点の単位。
1個2個3個……と数える時の
カウントの単位。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/02(水) 13:06:57.08

前>>147
>>149
xy座標の第1象限に題意に従って点Aから順に点Pまでとると、
A(4,3),B(0,0),C(4,0),D(2.56,1.92),E(2.56,0),F(3.4816,0.6912),G(2.56,0.6912),H(2.891776,0.248832),I(2.891776,0.248832),J(2.67943936,0.53194752),K(2.891776,0.53194752),L(2.8153348096,0.6338691072),M(2.8153348096,0.53194752),N(n,0.56863929139),O(2.8153348096,0.56863929139),P(2.83294685987,0.5451565577)
∴示された。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/02(水) 17:33:57.46

前>>154
>>149
直線BJの方程式はy=(53194752/267943936)x
約分してy=(1662336/83731373)x
直線CKの方程式はy=-(53194752/110822400)x+53194752/27705600
約分してy=-(5772/12025)x+23088/12025
(1662336/83731373)x+(5772/12025)x=23088/12025
(1662336×12025+5772×83731373)x=23088×83731373
x=23088×83731373/(1662336×12025+5772×83731373)
A(4,3),B(0,0),C(4,0)として、
O(2.8153348096,0.56863929139)
P(2.83294685987,0.5451565577)
Q(2.83294685987,0.56863929139)
Rのx座標はOのx座標より(9/25)(OとPのx座標の差)だけ大きいから、
2.8153348096+(9/25)×0.01761205027=2.8216751477
Rのy座標はPのy座標より(16/25)(OとPのy座標の差)だけ大きいから、
0.5451565577+(16/25)×0.02348273369=0.56018550726
S(2.83294685987,0.56018550726)
直角三角形ABCと直角三角形IJKと直角三角形QRSは相似だが、
同じ位相というか配置というか向きを向いていて、
収束点は半直線BJと半直線CKの交点じゃないかと思う。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/02(水) 18:17:28.10

前>>155
>>149
3:4:5の直角三角形の垂線は底辺を9:16に分割する点に垂線の足を下ろす。
直線BJの方程式はy=(3324672/16727771)x
直線CKの方程式はy=-(51998/108225)(x-4)
通分してこれらを解くと、
x=207992×16727771/(3324672×108225+16827771×51998)
=2.82951913
y=207992×3324672/(3324672×108225+16827771×51998)
=0.562371581
∴収束点Pの座標は(2.82951913,0.562371581)と推定する。

**哀れな素人** · 2020/12/02(水) 19:20:50.91

イナよ、Pは極限点であって、Oの次の点ではない（笑

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/02(水) 22:48:03.59

前>>156
O's next Pと極限点Pをタイミングよく出させて引っかける気だな、問題がわるい。

**哀れな素人** · 2020/12/03(木) 08:54:08.84

では問題文を訂正しておこう（笑

AB=5、BC=4、CA=3の直角三角形ABCがある。
（斜辺ABはCの左斜め上にあると考えよ。）
CからABに垂線CDを下ろし、DからBCに垂線DEを下ろし、
EからCDに垂線EFを下ろし、FからDEに垂線FGを下ろし、
GからEFに垂線GHを下ろし、HからFGに垂線HIを下ろし、…
というふうに、Cから左巻きの渦のように垂線を下ろしていき、
D、E、F、G、H、I、…の極限点をｐとする。ｐの位置を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/03(木) 13:52:29.17

>>153
0Dで点が1個をπとするなら
円の面積の公式で半径を無限大にして直線を作り、２つの直線が交わる点を１つとる。そうすると円周の長さの公式に従い係数は2πの2つの点で１次元。
2次元の公式の係数は4πになってもらわないとこまる。
長いこと使用された円の面積の公式の係数は4πにしても良いのではなかろうか。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/03(木) 14:43:44.79

>>160
だから
普通に考える
球の表面積は4πr ^2
となる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/03(木) 14:45:25.89

何故か書き込みが増えてますね。
喜ばしい限り。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/03(木) 14:47:40.93

>>1
定義と定理は回転群ですね。
ザックリ言えば。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/03(木) 18:08:28.91

>>154 から
直線BJの方程式：　y = (27/136)x,
直線CKの方程式：　y = - 0.48(x-4),

交点ｐ (2176/769, 432/769) = (2.8296488946684…, 0.56176853055917…)
かな？

蛇足だけど、I(2.891776, 0.6912)

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/03(木) 19:11:55.63

更に蛇足だけど、垂線の長さの比は交互に
　BC/AB = DE/CD = FG/EF = HI/GH = JK/IJ = … = 4/5,
　CD/BC = EF/DE = GH/FG = IJ/HI = … = 3/5,
よって
　⊿ABC：⊿IJK：⊿QRS：…　の相似比は {(4/5)(3/5)}^4 = (0.48)^4

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/03(木) 20:12:24.64

>>136
アフィン的(?)解法

　適当な正則一次変換により ⊿ABC を辺長１の正三角形に移す。
　二辺が x と 1-x で挟角が60°の⊿が3つできる。
　その面積は二辺の積 x(1-x) に比例し、x=1/2 (中点) で最大となる。
　このとき△P'Q'R' の面積は最小となる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/03(木) 20:38:17.53

>>154 から
直線BFの方程式　y = (27/136)x,
直線CGの方程式　y = - (12/25)(x-4),
としても同じ。
⊿ABC：⊿EFG：⊿IJK：⊿MNO：⊿QRS：…　の相似比は
　- {(4/5)(3/5)}^2 = - (0.48)^2

**哀れな素人** · 2020/12/03(木) 20:58:30.61

珍しくスレが進んでいるな(笑

>>159の問題を僕は無限級数の問題と考えた。
Cから上にどれだけ進み、Cから左にどれだけ進むか、を考えた。
初項と第二項をどこに取るかが、この問題のポイントだ。

計算結果はCから上に432/769、Cから左に900/769だから、>>164と同じ。
実際に作図してもほぼその位置に来るから、これが正解であることは間違いない。

>>166
アフィン幾何という言葉だけは知っているが、何のことか分らない(笑
その答えは代数的解法ではあるが、正解(笑

**哀れな素人** · 2020/12/03(木) 22:01:52.47

ちなみにCから上にどれだけ進むかは、
まずF(G)まで3・(4/5)^2・(3/5)^2だけ上がる。これが初項。
次にKの位置までどれだけ下がるかを考えると、
公比-(4/5)^2・(3/5)^2で下がる。
以下はこれの繰り返し。

Cから左にどれだけ進むかは、
まずE(G)まで3・4/5・3/5進む。これが初項。
次にKの位置まで公比-(4/5)^2・(3/5)^2で右に行く。
以下はこれの繰り返し。

これを計算すると上の答えになる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/04(金) 18:09:34.33

またまた蛇足

>>164
直線AIの方程式　y = 3 + (x-4)/0.48

>>167
直線AEの方程式　y = 3 + (x-4)/0.48

∠ACp + ∠CAp = ∠ApC = 90°,
tan(∠ABp) = tan(∠BCp) = tan(∠CAp) = (4/5)(3/5) = 0.48

**哀れな素人** · 2020/12/04(金) 22:37:27.77

念のために補足しておくと、

次にKの位置までどれだけ下がるかを考えると
↓
次にJ(K)の位置までどれだけ下がるかを考えると

次にKの位置まで公比-(4/5)^2・(3/5)^2で右に行く
↓
次にI(K)の位置まで公比-(4/5)^2・(3/5)^2で右に行く

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/05(土) 00:43:36.65

>>151
作図で90度(垂直)と60度(正三角形)と72度(正五角形)を作れる
これを各々作図で二分していくと90度(45),60度(30,15),72度(36,18,9)となる
これらの組み合わせで作れる角は
45a+15b+9c=3(15a+5b+3c) (a,b,cは任意の整数)
となって3の倍数である6度を作れるので
三角関数を知らなくてもアナログ時計の目盛りを刻むことができる

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/05(土) 01:23:36.20

cos(6°) スレ
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1575650292/

**哀れな素人** · 2020/12/07(月) 08:43:41.48

作図題二題　その５

①
三本の平行線がある。
これらの平行線上に三つの頂点を有する正方形を作図せよ。

②
点Aがあり、その下方に水平な直線があり、その下方に円がある。
これらの点と直線と円周上に頂点を有する正三角形を作図せよ。
但し点と直線と円は、そのような作図が可能な位置と大きさであるとする。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/09(水) 12:05:28.61

前>>158
>>149
xy平面上に、
A(4,3)
B(0,0)
C(4,0)
をとる。
辺の比が3:4:5の直角三角形の垂線は底辺を9:16に分割する点に垂線の足を下ろす。
D(2.56,1.92)
E(2.56,0)
F(3.4816,0.6912)
点は分数じゃなく、少数でとる。
位置を実感するためだ。
G(2.56,0.6912)
H(2.891776,0.248832)
I(2.891776,0.6912)
Jのx座標は2.56+(9/25)(2.891776-2.56)
=2.67943936
J(2.67943936,0.53194752)
K(2.891776,0.53194752)
直角△ABCと同じ向きの直角△IJKが描けた。
L(2.8153348096,―――略―――)
M(2.8153348096,0.53194752)
N(―――略―――,0.56863929139)
O(2.8153348096,0.56863929139)
P(2.83294685987,0.5451565577)
Q(2.83294685987,0.56863929139)
直角△ABCと同じ向きの直角三角形がIJKの次に現れるのは直角△QRSで、点A,I,Qと点B,J,Rと点C,K,Sがそれぞれ一直線に並び、3本の直線が極限点Pに集まると予想する。
直線BJの方程式はy=(53194752/267943936)x
53194752=27×1970176
267943936=136×1970176
y=(27/136)x
直線CKの方程式はy=-0.53194752(x-4)/(4-2.891776)
y=-(53194752/110822400)(x-4)
y=-0.48(x-4)
y=-(12/25)(x-4)
通分してこれらを解くと、
x=16×136/(9×25+4×136)
=2176/769
=2.842652808916……
y=27×16/769
=432/769
=0.5617685305591……
∴極限点Pの座標は(2.842652808916,0.5617685305591)と推定する。

**哀れな素人** · 2020/12/09(水) 21:20:46.90

イナよ、そこまで計算しなくても、実際は、
△EFGができた時点で、AEとBFとCGの交点を求めれば、
それが極限点pの位置である。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/10(木) 00:43:16.17

前>>175
>>176通分をなめてんな。そんな簡単じゃねえぞ。

**哀れな素人** · 2020/12/10(木) 08:29:30.03

イナよ、>>159の問題は、結局は相似の中心を求める問題だから、
△ABCと△EFGの対応点を結べば、それらの交点がpの位置になるのである（笑

分るか？（笑

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/10(木) 11:24:15.35

前>>177
>>164とはx座標が違う。

**哀れな素人** · 2020/12/14(月) 09:02:21.90

四角形の一対の対辺、二つの対角線とその夾角、を知って四角形を作図せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/18(金) 21:09:38.11

(i)
λは実数で 0 < |λ| <1 とする。
↑A_o ≠ ↑B_o から始めて
↑A_{n+1} = ((λ+1)/2)↑A_n + ((λ-1)/2)↑B_n,
↑B_{n+1} = ((λ-1)/2)↑A_n + ((λ+1)/2)↑B_n,
とおくと ↑A_n, ↑B_n は収束する。
　↑A_∞ と ↑B_∞ は相異なるか？

(ii)
μは実数で 0 < |μ| <1 とする。
↑C_o から始めて
↑C_{n+1} = (μ-1)↑A_n + 2(1-μ)↑B_n + μ↑C_n,
とおくと ↑C_n も収束する。
　B_∞ は A_∞C_∞ の中点であるか？

**哀れな素人** · 2020/12/21(月) 09:14:30.96

もうすぐ冬休みなので、中高生向けの問題を二題。

①
△ABCがあり、AB=24、AC=20、外接円の半径=30である。
この三角形の面積を求めよ。
但し三角関数の使用は不可。

②
次のことを証明せよ。
△ABCのBC上にD、Mがあり、ADは∠Aの二等分線、AMは中線である。
CからADに垂線CPを下ろし、その延長がAMと交わる点をQとすると、
QDとACは平行である。

②の問題は中学生には解けないかもしれない。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/22(火) 08:48:57.29

前>>179
>>182
△ABCにおいて正弦定理より
2R=60=20/sinA=24/sinC
sinA=1/3
sinC=2/5
BからACに下ろした垂線の足をHとすると、
BH=20(2/5)=24(1/3)=8
ピタゴラスの定理より、
CH=√(20^2-8^2)=4√21
AH=√(24^2-8^2)=16√2
△ABC=(4√21+16√2)8/2
=16√21+64√2

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/22(火) 09:00:41.30

前>>183訂正。
>>182
△ABCにおいて正弦定理より
2R=60=20/sinB=24/sinC
sinB=1/3
sinC=2/5
AからBCに下ろした垂線の足をHとすると、
AH=20(2/5)=24(1/3)=8
ピタゴラスの定理より、
CH=√(20^2-8^2)=4√21
BH=√(24^2-8^2)=16√2
△ABC=(4√21+16√2)8/2
=16√21+64√2

**哀れな素人** · 2020/12/22(火) 09:40:03.33

イナよ、三角関数の使用は禁止（笑

それにお前の答えは間違っているぞ（笑

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/25(金) 15:25:19.63

前>>184
>>182
△ABCの外接円の半径をRとすると、
20/sinB=24/sinC=2R=60
sinB=1/3
sinC=2/5
BCに対するAの高さは8
△ABCの外接円の中心をOとして、
30/sin∠OBC=30/sin∠OCB=60
sin∠OBC=sin∠OCB=1/2
∠OBC=∠OCB=30°
∠BOC=180°-30°-30°=120°
BC=2Rsin120°
=60(√3/2)
=30√3
△ABC=(1/2)(30√3)8
=120√3

**哀れな素人** · 2020/12/26(土) 09:06:22.77

イナよ、三角関数の使用は禁止（笑

それに、お前の答えは間違い（笑

**これでは？** · 2020/12/27(日) 06:25:50.06

△ABC=(12-12/11)12√3/2+(10+10/11)10√3/2
=120×6√3/11+100×5√3/11
=(720+500)√3/11
=1220√3/11

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/27(日) 10:05:13.56

前>>188
前々>>186
アク禁にするなよ。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/27(日) 15:31:53.59

前>>189
これはあってんのかい？

**哀れな素人** · 2020/12/27(日) 20:56:50.59

イナよ、僕がお前をアク禁にしたわけではない（笑
僕も今日はエラーが出て書き込めなかった（笑

それから、>>188は間違い（笑

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 22:12:05.64

60°ずつなわけないか。だよな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 22:24:11.55

前>>192
前々>>190
書きこめねえぞこら！

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/27(日) 23:48:17.99

前>>193
実験。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/28(月) 02:42:35.46

前>>194
いったん休息。
∵腰が痛いから。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/28(月) 21:15:54.36

前>>195
>>182
4√(862+16√2674)=164.407870484……

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/28(月) 23:15:28.33

前>>196訂正。
>>182
cosA=(24^2+20^2-BC^2)/(2×24×20)
sinA=BC/2R=BC/60
480cosA=576+400-3600(1-cos^2A)
(60cosA)^2-8(60cosA)-2624=0
60cosA=4-√(16+2624)=4-√2640=4-4√165
cosA=(1-√165)/15
sinA=√(166-2√165)/15=(√165-1)/15
△ABC=(1/2)24×20(√165-1)/15
=16(√165-1)
=189.523721259……

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/29(火) 01:57:00.74

前>>197
>>182
BC=2RsinA=60sinA
24^2+20^2-60^2sin^2A=2×24×20cosA
36+25-225sin^2A=60cosA
61-225+225cos^2A-60cosA=0
225cos^2A-60cosA-164=0
cosA=｛30-√(900+225×4×41)｝/225
=(30-30√42)/225
=(2-2√42)/15
cos^2A=(4+168-8√42)/225
=(172-2√672)/225
sinA=√(225-168+2√672)/15
=√(57+2√672)/15
=(√32+√21)/15
△ABC=(1/2)AB×ACsinA
=(1/2)24×20(√32+√21)/15
=16(4√2+√21)
=64√2+16√21
=163.830879111……

**哀れな素人** · 2020/12/29(火) 08:48:11.24

イナよ、今のところ、全部間違い（笑

冬休み中だから、>>182の問題を継続して出しておく。
中高生の回答に期待する。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/29(火) 12:53:54.37

前>>198
マジか。腰痛悪化。イタタタ……
まぁでも、どうれも確信は持てなんだでな。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/29(火) 13:26:01.80

前>>200
ぎっくり腰が再発して、
トイレに行けなくて困ってる。
数学やると脳が糖を使うから、
小便したくなる。でも今はだめだ。
腰が痛いから。
動けない。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/29(火) 19:30:40.59

前>>201
>>199
三角関数か四角関数か知らんけどsinやcosを使う使わずに拘らず、
正しい数値がまだ出てないってことだよね？

**哀れな素人** · 2020/12/29(火) 21:50:01.83

>>202
その通り（笑

戦前は大学入試にも初等幾何の問題がバンバン出たらしい。
だから戦前の生徒なら①の問題は五分で解く。
なぜなら①の問題の解き方は準公理のように知られていたからだ。
ところが今の教育は初等幾何を軽視している。
だから今の生徒は①の問題が解けない。
有名塾とか有名進学校の生徒はどうかは知らないが。

②の問題でも、戦前の生徒なら五分で解く。

【中吉】 · 2020/12/30(水) 00:44:03.86

前>>202
>>182
手段は選ばず、とにかく答えを出す。

外接円の中心をOとして、
△OAB=(1/2)24√(30^2-12^2)
=12×6√21
=72√21
△OAC=(1/2)20√(30^2-10^2)
=10×20√2
=200√2
△ABC=△OAB+△OAC-△OBC
=72√21+200√2-(1/2)30×30sin∠BOC
=72√21+200√2-450sin∠BOC
中心角∠BOC=2(π-弦BCについて反対側の円周角∠BAC)
sin∠BOC=sin2(π-∠BAC)
=2sin(π-∠BAC)cos(π-∠BAC)
=2sin∠BAC(-cos∠BAC)
=-2sin∠BACcos∠BAC
=-2(BC/2R)(24^2+20^2-BC^2)/(2×24×20)
=-BC(976-BC^2)/(30×960)
△ABC=72√21+200√2+450BC(976-BC^2)/(30×960)
=72√21+200√2+15BC(976-BC^2)/960
=72√21+200√2+BC(976-BC^2)/64
sin^2∠BAC+cos^2∠BAC=1
BC^2/60^2+(976-BC^2)^2/960^2=1
BC^4-1936BC^2+30976=0
BC^2=1936±√(968^2-30976)
=1936±√906048
作図よりBC=√(1936-264√13)
=2√(484-66√13)
976-BC^2=976-1936+264√13
=264√13-960(＜0)
△ABC=72√21+200√2-(960-264√13)√(484-66√13)/32
=72√21+200√2-(30-33√13/4)√(484-66√13)
=366.360495035……

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/30(水) 02:40:33.90

前>>204
>>182
外接円の中心をOとし、
AOとBCの交点をPとすると、
BOに対するPの高さxは、
PからBOに下ろした垂線の足がBOをt:(30-t)に分割するとして、
24:x=30:(30-t)
x=(4/5)(30-t)
=24-4t/5
30:x=30:t
t=24-4t/5
9t/5=24
t=5×24/9=40/3=x
同様にCOをs:(30-s)に分割する位置にP
から垂線を下ろすと、
COに対するPの高さyは、
s=20-2s/3
5s/3=20
s=12
20:y=30:(30-s)
30y=20(30-s)
30(20-2s/3)=20(30-s)
y=12
△ABC=△OAB+△OAC-△OBC
=72√21+200√2-(1/2)30(40/3)-(1/2)30×12
=72√21+200√2-200-180
=72√21+200√2-380
=232.788162511……

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/31(木) 01:50:01.05

>>182

外接円の中心をOとする．
AとOを通る直線と，Aを除く，外接円との交点をDとする．
BC=a，AC=b，AB=c，AD=x，BD=y， CD=zとする．

ピタゴラスの定理より
　c^2+y^2=x^2　(1)
同様に
　b^2+z^2=x^2　(2)

i) ∠BACが鈍角の場合
トレミーの定理より
　ax=by+cz　(3a)
(1)(2)(3a)より
　a=b√(1-(c/x)^2)+c√(1-(b/x)^2)
b=20，c=24，x=60を代入して
　a=4√21+16√2
ヘロンの公式より
　s=(a+b+c)/2=2√21+8√2+22
　S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
p=2√21+8√2とおくと，s=p+22，a=2pであるから
　S=√((22^2-p^2)(p^2-4))
p^2=32√2√21+212よりq=√2√21とおくとp^2=32q+212であるから
　S=√((272-32q)(208+32q))
　 =2^4 * √(8q+53)
　 ≒163.83

ii) ∠BACが鋭角の場合
トレミーの定理より
　cz=ax+by　(3b)
(1)(2)(3b)より
　a=-b√(1-(c/x)^2)+c√(1-(b/x)^2)
b=20，c=24，x=60を代入して
　a=-4√21+16√2
ヘロンの公式より
　s=(a+b+c)/2=-2√21+8√2+22
　S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
p=-2√21+8√2とおくと，s=p+22，a=2pであるから
　S=√((22^2-p^2)(p^2-4))
p^2=-32√2√21+212よりq=√2√21とおくとp^2=-32q+212であるから
　S=√((272+32q)(208-32q))
　 =2^4 * √(-8q+53)
　 ≒17.188

**哀れな素人** · 2020/12/31(木) 08:46:29.21

今までのところ、全部間違い（笑

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/31(木) 12:31:52.38

>>206の補足
i) ∠BACが鈍角の場合

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/31(木) 12:35:18.38

>>206の補足
ii) ∠BACが鋭角の場合

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/31(木) 12:39:50.12

おっとCの文字を書くのを忘れた

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/31(木) 12:45:32.69

ちなみに外接円の半径と三角形の面積の関係
　S=abc/4R
は外接円の中心が三角形内部にないので使えない

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/31(木) 15:43:31.87

年の瀬にしょうもない問題を解かせやがって…
と思っていたがなかなか面白かった
来年も数学を楽しめますように

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2020/12/31(木) 16:32:01.89

前>>205
>>207
まだ正解が出てないってわかって安心したよ。
今ぎっくり腰が再発してトランプ状態。
じきに解くから、待っとってくれ。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/01/01(金) 00:00:20.56

前>>213年内決着。
>>182
△ABC=(1/2)AB×ACsin∠BAC
=(1/2)24×20√16875^2-(2051+1800√42)/1125
=139.803668209……

【あたり】 · 2021/01/01(金) 02:20:56.50

前>>214補足。
>>182 △OAB=12×√(30^2-12^2)=12×6√21=72√21
△OAC=10×√(30^2-10^2)=10×20√2=200√2
△ABC=四角形OCAB-△OBC
=△OAB+△OAC-△OBC
=72√21+200√2-△OBC
△ABC=(1/2)AB×ACsin∠BAC
=(1/2)24×20sin∠BAC
=240sin∠BAC
△OBC=(30^2/2)sin∠BOC
=450sin∠BOC
=450sin2∠BPC(円周角)
=450sin2∠BAC
=900sin∠BACcos∠BAC
△ABC=72√21+200√2-900sin∠BACcos∠BAC
=240sin∠BAC
(900cos∠BAC+240)sin∠BAC=72√21+200√2
sin∠BAC=(18√21+50)/(225cos∠BAC+60)
(18√21+50)^2/(225cos∠BAC+60)^2+cos^2∠BAC=1
3^4×5^4cos^4∠BAC+2^2×3^3×5^3cos^3∠BAC-3^2×5^2×11×19cos^2∠BAC-2^2×3^3×5^3cos∠BAC+2^2×7×293+2^3×3^2×5^2√42=0
このcos∠BACの4次式を満たすcos∠BACは図より、
cos∠BAC≒-0.8
と予想できる。
4次の係数3^4×5^4と定数項2^2×7×293+2^3×3^2×5^2√42から推定すると、
cos∠BAC=-(2^2×7×293+2^3×3^2×5^2√42)/(3^3×5^4)
=-(2051+1800√42)/16875
=0.81281974857……
sin∠BAC=√｛16875^2-(2051+1800√42)^2｝/16875
△ABC=240√｛16875^2-(2051+1800√42)^2｝/16875
=16√｛16875^2-(2051+1800√42)^2｝/1125
=139.803668209……

【男の娘】 · 2021/01/01(金) 02:25:24.01

前>>215cos∠BACの符号を訂正。
>>182
△OAB=12×√(30^2-12^2)=12×6√21=72√21
△OAC=10×√(30^2-10^2)=10×20√2=200√2
△ABC=四角形OCAB-△OBC
=△OAB+△OAC-△OBC
=72√21+200√2-△OBC
△ABC=(1/2)AB×ACsin∠BAC
=(1/2)24×20sin∠BAC
=240sin∠BAC
△OBC=(30^2/2)sin∠BOC
=450sin∠BOC
=450sin2∠BPC(円周角)
=450sin2∠BAC
=900sin∠BACcos∠BAC
△ABC=72√21+200√2-900sin∠BACcos∠BAC
=240sin∠BAC
(900cos∠BAC+240)sin∠BAC=72√21+200√2
sin∠BAC=(18√21+50)/(225cos∠BAC+60)
(18√21+50)^2/(225cos∠BAC+60)^2+cos^2∠BAC=1
3^4×5^4cos^4∠BAC+2^2×3^3×5^3cos^3∠BAC-3^2×5^2×11×19cos^2∠BAC-2^2×3^3×5^3cos∠BAC+2^2×7×293+2^3×3^2×5^2√42=0
このcos∠BACの4次式を満たすcos∠BACは図より、
cos∠BAC≒-0.8
と予想できる。
4次の係数3^4×5^4と定数項2^2×7×293+2^3×3^2×5^2√42から推定すると、
cos∠BAC=-(2^2×7×293+2^3×3^2×5^2√42)/(3^3×5^4)
=-(2051+1800√42)/16875
=-0.81281974857……
sin∠BAC=√｛16875^2-(2051+1800√42)^2｝/16875
△ABC=240√｛16875^2-(2051+1800√42)^2｝/16875
=16√｛16875^2-(2051+1800√42)^2｝/1125
=139.803668209……

**哀れな素人** · 2021/01/01(金) 22:27:24.63

イナよ、依然として間違いである（笑

【末等すれ違い】 · 2021/01/02(土) 00:03:27.03

前>>216
>>217
やっぱり違うか。
だいたいcos∠BACがこの辺の値だし、
係数から因数分解して出る値だと思うんだよ。
△ABC=240√｛1-(7×293+2×3×3√42)/(3^3×5^3)｝
=143.545752721……
それかもう少し大きいか。

【大吉】 · 2021/01/02(土) 00:18:43.85

前>>218訂正。
>>182
△ABC=240sin∠BAC
=240√(1-((2^2×7×293+2^3×3^2×5^2×√42)/(3^4×5^4))^2)
=220.742462147……

【ぴょん吉】 · 2021/01/02(土) 10:37:46.31

当たってしまうとは。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/01/02(土) 21:44:04.98

前>>220
B,Cから外接円に直径BB',CC'および、
外接円の中心について△ABCと点対称な△A'B'C'を描くと、
△AC'A'=20×40√2/2=200√2
△AA'B'=24×12√21/2=144√21
△ABC=△AC'A'+△AA'B'-△A'B'C'
(1/2)24×20sin∠BAC=200√2+144√21-(1/2)40√2×12√21sin∠B'AC'
=240sin∠BAC=200√2+144√21-240√42sin∠BAC
sin∠BAC=(200√2+144√21)/(1+√42)
=(2624√2+656√21)/41
=64√2+16√21
>>198の△ABC=64√2+16√21=163.830879111……と同じになった。

【ンゴ吉】 · 2021/01/03(日) 13:49:58.34

前>>221
>>182
cos∠BAC=-0.68262866296……
∠BAC=133.049399076……°
と推測する。

**哀れな素人** · 2021/01/03(日) 21:29:03.77

イナよ、依然として全部間違いだ（笑

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/01/04(月) 13:03:53.43

前>>222
>>182
△ABCの外接円の中心をOとすると、
△OABはABを底辺とする二等辺三角形だから、
ピタゴラスの定理より、
△OAB=(1/2)24√(30^2-12^2)
=12√756
=12×6√21
=72√21
同様に△OAC=(1/2)20√(30^2-10^2)
=200√2
四角形OCAB=72√21+200√2
なぜこうなるかは題意により略すしかないが、
弦BCを挟んで∠BACと対峙する∠BOCの円周角は、
向かいあう円周角∠BACの外角と等しいことが関係していて、
△ABCと△OCBの面積比は24×20:30×30
=4×2:5×3
=8:15
△ABC=(8/23)四角形OCAB
=(576√21+1600√2)/23
=213.1437087……

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/01/04(月) 14:43:35.10

前>>224訂正。
∠BOCは中心角だから。
BC=2Rsin∠BAC=60sin∠BAC
△ABC:△BPC=24×20:60√(60^2-BC^2)
△ABC=24×20/｛24×20+60√(60^2-BC^2)/2｝
=480/｛480+30√(3600-BC^2)｝
=16/｛16+√(3600-BC^2)｝
ヘロンの公式より△ABC=√s(s-24)(s-20)(s-BC)
s=(24+20+BC)/2
2s=44+BC
s=BC/2+22
s-24=BC/2-2
s-20=BC/2+2
s-BC=-BC/2+22
△ABC=√(484-BC^2/4)(BC^2/4-4)
=16/｛16+√(3600-BC^2)｝
｛16+√(3600-BC^2)｝√(484-BC^2/4)(BC^2/4-4)=16
｛256+32√(3600-BC^2)+3600-BC^2｝(484-BC^2/4)(BC^2/4-4)=16^2=256
｛32√(3600-BC^2)+3856-BC^2｝(484-BC^2/4)(BC^2/4-4)=256
｛32√(3600-BC^2)+3856-BC^2｝(122BC^2-BC^4/16-1936)=256

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/01/04(月) 16:10:24.30

前>>225
>>182
△ABCの外接円の中心をOとすると、
△OABはABを底辺とする二等辺三角形だから、
ピタゴラスの定理より、
△OAB=(1/2)24√(30^2-12^2)
=12√756
=12×6√21
=72√21
同様に△OAC=(1/2)20√(30^2-10^2)
=200√2
四角形OCAB=72√21+200√2
なぜこうなるかは題意により略すしかないが、
弦BCを挟んで∠BACと対峙する∠BOCの円周角∠BPCは、
向かいあう円周角∠BACの外角と等しいことが関係していて、
△ABCと△PBCの面積比は、
24×20:12√21×40√2
=1:√42
△ABCと四角形OCABの面積比は、
△ABC:四角形OCAB=1:(1+√42/2)
△ABC=四角形OCAB/(1+√42/2)
=2(72√21+200√2)/(2+√42)
=2(72√21×200√2)(√42-2)/38
=(1512√2+256√21)/19
=174.285804432……

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/01/04(月) 16:20:32.19

前>>226
イナよ=174
はヒントだったか。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/01/04(月) 16:55:12.02

前>>227
円に内接する四角形の一つの内角は、
それと向かいあう角の外角と等しい。
おお、文字数がおうた。
こうだった。
思いだした。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/01/04(月) 18:09:44.16

前>>228
sin∠BAC=sin(1/2)∠BOC=sin∠BPC
△ABC=(1/2)AB×ACsin∠BAC
=(1/2)24×12sin∠BAC
=144sin∠BAC
△BPC=(1/2)PB×PCsin∠BPC=2△OCB
四角形OCAB=72√21+200√2
=△ABC+△OCB
=△ABC+(1/4)PB×PCsin∠BAC
=144sin∠BAC+(1/4)12√21×40√2×sin∠BAC
=(144+120√42)sin∠BAC
sin∠BAC=(72√21+200√2)/(144+120√42)
=(9√21+25√2)/(18+15√42)
=(9√21+25√2)(5√42-6)/3(6+5√42)(5√42-6)
=(945√2-150√2+250√21-54√21)/3(1050-36)
=(795√2+196√21)/3×1014
=(795√2+196√21)/3042
=
∠BAC=

結局は三角関数を使っている。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/01/04(月) 18:48:34.62

前>>229
sin∠BAC=0.6648535358918……=sin138.328905864°
これでいいか？

**206** · 2021/01/05(火) 00:58:34.35

修正

外接円の中心をOとする．
AとOを通る直線と，Aを除く，外接円との交点をDとする．
BC=a，AC=b，AB=c，AD=x，BD=y， CD=zとする．

ピタゴラスの定理より
　c^2+y^2=x^2　(1)
同様に
　b^2+z^2=x^2　(2)

i) ∠BACが鈍角の場合
トレミーの定理より
　ax=by+cz　(3a)
(1)(2)(3a)より
　a=b√(1-(c/x)^2)+c√(1-(b/x)^2)
b=20，c=24，x=60を代入して
　a=4√21+16√2
ヘロンの公式より
　s=(a+b+c)/2=2√21+8√2+22
　S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
p=2√21+8√2とおくと，s=p+22，a=2pであるから
　S=√((22^2-p^2)(p^2-4))
p^2=32√2√21+212よりq=√2√21とおくとp^2=32q+212であるから
　S=√((272-32q)(208+32q))
　 =2^4 * √(8q+53)
　 =2^4 * (4√2+√21)
　 ≒163.8308791

ii) ∠BACが鋭角の場合
トレミーの定理より
　cz=ax+by　(3b)
(1)(2)(3b)より
　a=-b√(1-(c/x)^2)+c√(1-(b/x)^2)
b=20，c=24，x=60を代入して
　a=-4√21+16√2
ヘロンの公式より
　s=(a+b+c)/2=-2√21+8√2+22
　S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))
p=-2√21+8√2とおくと，s=p+22，a=2pであるから
　S=√((22^2-p^2)(p^2-4))
p^2=-32√2√21+212よりq=√2√21とおくとp^2=-32q+212であるから
　S=√((272+32q)(208-32q))
　 =2^4 * √(-8q+53)
　 =2^4 * (4√2-√21)
　 ≒17.18845687

**哀れな素人** · 2021/01/05(火) 09:38:45.21

イナよ、依然として全部間違い（笑

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/01/05(火) 11:54:43.86

前>>230修正。
>>182
(i)∠BACが鈍角の場合、
BC=2RsinA=60sinA
24^2+20^2-60^2sin^2A=2×24×20cosA
36+25-225sin^2A=60cosA
61-225+225cos^2A-60cosA=0
225cos^2A-60cosA-164=0
cosA=｛30-√(900+225×4×41)｝/225
=(30-30√42)/225
=(2-2√42)/15
cos^2A=(4+168-8√42)/225
=(172-2√672)/225
sinA=√(225-168+2√672)/15
=√(57+2√672)/15
=(√32+√21)/15
△ABC=(1/2)AB×ACsinA
=(1/2)24×20(√32+√21)/15
=16(4√2+√21)
=64√2+16√21
=163.830879111……
(ii)∠BACが鋭角の場合、
△ABCの面積は3辺が(10,24,30)の三角形の面積の2倍だから、ヘロンの公式より、
△ABC=2√s(s-10)(s-24)(s-30)
s=(10+24+30)/2=32
△ABC=2√32×22×8×2
=2×32√2
=64√2
=212.263986583……
(i)(ii)より示された。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/01/05(火) 13:43:10.08

前>>233訂正。
>>182
∠BACが鋭角の場合、
弧ABのあいだに頂点Cがある。
△ABC=(1/2)BCsin∠ACB
=10BC(24/60)
=4BC
余弦定理より、
BC^2+20^2-24^2=2×20BCcos∠ACB
BC^2-176=40BC√(1- sin^2∠ACB)
=40BC√｛1-(24/60)^2｝
=40BC√0.84
=0.8BC√21
辺々二乗しBC^4-352BC^2+30976=13.44BC^2
BC^4-365.44BC^2+30976=0
BC^2=365.44-√｛(365.44)^2-30976｝
△ABC=4√[365.44-√｛(365.44)^2-30976｝]
=26.8846039699……

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/01/05(火) 15:47:50.42

前>>234
冬休み終わり！

**哀れな素人** · 2021/01/06(水) 08:38:44.00

イナよ、結局全部間違いだったな（笑

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2021/01/06(水) 17:57:36.38

前>>235
俺はけしてまちがっていないか。