で、本題なんだが、前スレで268を出題するつもりが、ミスにより

(a^2+a+b)/(ab^2+b+7)が自然数となるような自然数の組を求めよ

という問題文になってしまった（分子の第1項が違う）。
仕方なく解いてみたのだが、色々やってもa,bを上から抑えられずうまくいかなかった。
誰か挑戦してみてください。

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【途中経過】

あるbを与えられたとき、aは次のように求められる。

kを自然数として
(a^2+a+b)/((b^2)a+b+7)=k
⇔a^2+(1-(b^2)k)a+b-bk-7k=0　…★
aが自然数解を持つための必要条件は判別式が平方数だから、mを非負整数として
(1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)=m^2
⇔…
⇔((b^4)k-b^2+2b+14+m)((b^4)k-b^2+2b+14-m)=4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)

例えばb=1のとき、右辺は228
素因数分解して左辺の候補を絞ると(k,m)=(7,16),(43,56)
★にkを代入すると
k=7のときa=11,-5
k=43のときa=49,-7
よって(a,b)=(11,1),(49,1)を得る。
これらは確かに与式を満たす。

この方法でb=10まで確認したところ、(a,b)=(11,1),(49,1),(17,2),(27,3)を得た。