不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>715
ごめん。私の計算違いでした。
ﾍ）)∧
（ﾟ ∀ﾟ ）
ノ || ｙ / ヽ 切腹しまつ
━(m二フ⊂[__ノ､
（＿（＿＿ノ >>712 の訂正
× (x-y-z)
○ (x+y+z)
>>713
[疑問1]
(1）は >>679 (2）ですね。
>>687 を参照。
あえて難しい〔補題196〕を使う必要は無かったですね。
[疑問2]
>>687 を参照。
(2）と（ab+bc+ca)^2 ≧ 3abc(a+b+c) から（1）を出します。
>>714
そうです。 >>713
(1)
A >= 81B という不等式を示すのに A > 72B という不等式を示しても何も意味がない
より雑な不等式にしてるんだから等号が成立しなくなるのは必然
[疑問1]
A >=C, C >=B の両方の等号成立条件を合わせたものが A >= B の等号成立条件
(2)
因数分解が一番簡単
[疑問2]
uvw で右側の不等式は明らか
(おそらく AoPS での解き方はこれ) >>718
なんと！ 因数分解できるとは…
(a+b+c)^6 - 27(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2
= (a^2 + b^2 + c^2 + 8ab + 8bc + 8ca)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)^2
UVW-method って、これのことですか？
https://brilliant.org/wiki/the-uvw-method/ >>719
それだよ
wikiがあったんだ
aopsにあるもとの記事読んでもいいと思うけど a, b, c >0 に対して、AM + 3*HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}. >>69 (1)、>>713 (1)
> a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 + ca^2)
> a, b, c>0 に対して、(a+b+c)^5 ≧ 81abc(a^2 + b^2 + c^2)
改造手術の時間でござるよ。 右辺の大小は定まるのでせうか？
27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2) = 27abc * (ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a)
81abc(a^2+b^2+c^2) = 27abc * 3(a^2 + b^2 + c^2)
だから、(ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) と 3(a^2 + b^2 + c^2) の大小が定まれば…。
(ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) ≧ (a+b+c)^2 ≧ 3(ab+bc+ca) ≦ 3(a^2 + b^2 + c^2)
適当にやっても、うまく行かんでござる…
..::::::,､_,､::: ::::: ::: :
/ﾖﾐﾞヽ)-､. :: ::::
─（ﾉ─ヽ.ｿ┴─ a, b, c >0 の基本対称式 s, t, u で、曲者を縛るでござる。 （曲者 = a/b + b/c + c/a）
(ab+bc+ca)(a/b + b/c + c/a) ≧ (a+b+c)^2
a(a-b)^2 + b(b-c)^2 + c(c-a)^2 = s^3 - 2st - 3u(a/b + b/c + c/a) ≧ 0
∴ s(s^2-2t)/(3u) ≧ a/b + b/c + c/a ≧ s^2/t
これしか思いつきませぬ…。 他にないでござるかな？ >>721
A + 4H =（A/2) +（A/2）+ 4H
≧ 3(AAH)^(1/3) （← AM-GM)
= 3{(s/3)(s/3)(3u/t)}^(1/3)
≧ 3u^(1/3) （← ss≧3t)
= 3G （← Sierpinski)
を使うのが簡単かと...
A + 3H > （2/3)(A+4H）≧ 2G >｛5/16^(1/3)} G >>721、>>724
ごめん、リンク先の問題をよく見たら、問題が間違っていました。
正しくは、 「a, b, c >0 に対して、AM + HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}」 でした。 >>721 再掲
a, b, c >0 に対して、AM + HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}
>>724 の方法を真似てみたが、うまくいかなかった。
A + H
＝（A/2) +（A/2）+ H
≧ 3(AAH/4)^(1/3) …(1)
＝ 3{(ss/(3t))*(u/4)}^(1/3)
≧ 3{(u/4)}^(1/3) …(2)
= 3G/{4^(1/3)}
(1)の等号は A=2H、(2)の等号は a=b=c で異なるから、
A+H > 3G/{4^(1/3)}
問題の右辺と較べたら、5/16^(1/3)} > 3/{4^(1/3)} でした。 【問題】
xyz座標平面において、次の不等式で表される立体の体積を求めよ。
|x＋y+z| + |-x+y+z| + |x-y+z| + |x+y-z| ≦ 4
検索中に、どこかで見たことのある問題を見つけた。
しばらく検索したものの、出典は分からず…。
コレクションに入っているかと探したが、そこにもなかった。
これが、どんな立体図形になるのかも分かりませぬ ('A`)ｳﾞｫｴｧ！ >>679 (1) について
問題再掲
a, b, c >0、abc=1 に対して、(a+b)(b+c)(c+a) + 7 ≧ 5(a+b+c).
解答
>>704、>>706
うますぎて、思いつきませぬ。
以下のような泥臭い方法で考えていたんだけど、行き詰まったでござる。
左辺 - 右辺 の最小値を考える。
abc=1 があるので、実質２文字の関数で、一方を任意に固定して、一変数関数で考えて出せないかと。 >>728
｜a+b｜+｜a-b｜= 2 Max{|a|，|b|｝を使うと、
(左辺）= Max{4|x|，4|y|，4|z|，2|x+y+z|，2|-x+y+z|，2|x-y+z|，2|x+y-z|}
｜x｜≦1
｜y｜≦1
｜z｜≦1
｜x+y+z｜≦2
｜-x+y+z｜≦2
｜x-y+z｜≦2
｜x+y-z｜≦2
の14面で囲まれた立方八面体でござる。
>>729
t^3 -4stu +9uu ≧ 0, >>706
s = a+b+c ≦ (t^3 +9uu)/4tu
u = abc = 1
を使って sとu を消し、t=ab+bc+ca だけの関数で考えて出したのが >>704 >>726 >>727
等号成立は（x､y､z）=λ(1,4,4） and cyclic shift
という所がミソ >>731
> t^3 -4stu +9uu ≧ 0, >>706
> s = a+b+c ≦ (t^3 +9uu)/4tu
> u = abc = 1
> を使って sとu を消し、t=ab+bc+ca だけの関数で考えて出したのが >>704
なるほど。 u=1 だから、s か t のどちらかを消せばよいと。
そこで s を消すために、sを含む s, t, u の不等式の中から、s≦f(t) となりそうなものとして F_1 を選んだ訳でござるな。
考え方が分かってスッキリ！
するってぇと何かい？ t^2 ≧ 3su を使ってもいいってことだね？
s ≦ (t^2)/(3u) = (t^2)/3 より、3≦t≦5 のとき、
(左辺）-（右辺）
＝ 6 - (5-t)s
≧ 6 - (5-t)*(t^2)/3
＝ (t-3)(t^2-2t-6)/3
-3 ≦ t^2-2t-6 ≦ 5 となって失敗したでござる。 F_1 じゃなきゃダメなのか…。 >>733
-3 ≦ t^2-2t-6 ≦ 9 の間違いですた >>733
F_1 じゃなきゃダメですね…。
マクラーレン・ホンダ：F_1ベルギーGPの決勝レポート（8/28）
マクラーレンはF_1ベルギーGP決勝で、S．バンドーンが14位、Ｆ．アロンソはリタイアだった。
両ドライバーは見事なスタートを切り、Ｆ．アロンソは1周目には10番手から7番手に浮上。
しかし、その後エンジンの不調が発生したためリタイアし、入賞を逃しますた。残念 怒涛の abc=1 シリーズの際に書いたつもりが、書いてなかったようなので。
【問題】
a, b, c >0、abc=1 に対して、
1/(1+a)^3 + 1/(1+b)^3 + 1/(1+c)^3 + 5/{(1+a)(1+b)(1+c)} ≧ 1
∧＿∧ 積一定？
( ･ω･)＝つ≡つ ボコボコにしてやんよ！
(っ ≡つ＝つ
/ ) ﾊﾞﾊﾞﾊﾞﾊﾞ
( /￣∪ >>677
(3)をプチ改造。
a, b, c >0、abc=1 に対して、2/(ab+bc+ca) + 1/3 ≧ 3/(a+b+c). >>722
成り立たなかった…。(a,b,c) = (1,1,2), (1,1,1), (1,1,1/2) >>732
AM-GM や Schur で証明できた場合は、等号成立条件が a=b=c になってしまうから、
証明の中で、それ以外の特殊な不等式が必要になるってことですかね？ >>737
(a,b,c) →（1/a,1/b,1/c）としたでござるな。
a+b+c → （ab+bc+ca)/abc,
ab+bc+ca → （a+b+c)/abc,
abc → 1/abc,
>>703 の（s,t）を入れ換えて
F_1(a,b,c）= s^3 -4st +9u ≧0,
t ≦（s^3 +9u)/4s,
これを使えば おk >>707
>>739
そうですね。
AM-GM や Schurは（1,4,4）で等しくないので使えません。 >>736
難しいので、劣化改造してみた。こちらは力任せに証明できる。
a, b>0 かつ ab=1 のとき、1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + 2/{(1+a)(1+b)} ≧1. ところで、AM + GM に関する不等式って何かあったっけ？ Jacobsthal は差だし、Sierpinskiは商か。 >>679
(4)をプチ改造。Nesbittの間に割り込んだ形ですね。
a, b, c >0、abc=1 に対して、
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) ≧ 3/2 >>744
左は(4)を変形しただけ。
右は間違っているかもしれん。
Cauchyの後にAM-GMを使ったんだけど、AM-GMの不等号が逆で、証明になっていなかった。 結局、こうですね。
a, b, c >0、abc=1 に対して、
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≧ 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) > 0 これでOK？
λを正定数、a, b>0 かつ ab=1 のとき、
1 + λ/4 ≧ 1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + (2+λ)/{(1+a)(1+b)} ≧1. λを正定数、a, b>0 かつ ab=1 のとき、
1 + λ/4 ≧ 1/(1+a)^2 + 1/(1+b)^2 + (2+λ)/{(1+a)(1+b)} > 1.
こうですね。 a, b, c ≧0 かつ a+b+c=1 のとき、a*(a+b)^2*(b+c)^3*(c+a)^4 の最大値を求めよ。 >>750
GM-AM で
(与式）= 16･a･(a+b)^2･(b+c)^3･{(c+a)/2}^4
≦ 16｛[a + 2(a+b）+ 3(b+c）+ 4((c+a)/2)]/(1+2+3+4)}^10
= 16｛(a+b+c)/2}^10
= 1/64. （← a+b+c=1)
等号は（a,b,c）=（1/2,0,1/2) >>744
a, b, c >0, abc=1
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) + (3/2 - 4/((a+b)(b+c)(c+a))) >>752
間違えた
a, b, c >0, abc=1
a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) + (1/2 - 4/((a+b)(b+c)(c+a))) 【問題A】a, b, c >0 とする。
(1)
(ab+bc+ca)^3 ≧ (a^2 + 2b^2)(b^2 + 2c^2)(c^2 + 2a^2)
(2)
(a^2 + b^2 + c^2)^3 ≧ (a+b+c)(ab+bc+ca)(a^3 + b^3 + c^3)
(3)
(a^2 + bc)(b^2 + ca)(c^2 + ab) ≧ abc(a+b)(b+c)(c+a)
(4)
3*{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2} ≧ (ab+bc+ca)(a^2 + b^2 + c^2)
(5)
(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2) ≧ (ab+bc+ca)^3
(6)
(a^2 + b^2 + c^2)/(ab+bc+ca) + 8abc/(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 2
【問題B】
(7)
a, b, c, d >0 に対して、(a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c) ≦ (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)
(8)
0 ≦ a, b, c ≦ 1 に対して、a^(bc) + b^(ca) + c^(ab) > 2
【参考】
(8)の類題 [第5章.698, 708]
a, b, c >0 に対して、a^(b+c) + b^(c+a) + c^(a+b) ≧ 1
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| ●） ●） :::::| そんな不等式で俺様がクマ――！！
ヽ......ワ...:::::.ノ
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ゝ_つ_｀つ≡≡≡(´⌒;;;≡≡≡
(´⌒(´⌒;;
ｽﾞｻﾞｻﾞｻﾞ 【問題】
a, b, c >0 に対して、2*QM + 3*GM ≦ 5*AM。 ただし、QM = √{(a^2+b^2+c^2)/3} >>388
条件 x>y が抜けとる。すみませぬ。
訂正
x>y>0 かつ (x^6)(y^2) - (x^5)(y^3) + (x^5)(y^5) - (x^4)(y^6) ≧ 4 のとき、x^3+y^2≧3. >>754
(1)
aa=A，bb=B，cc=C とおいて考える。
(右辺）=（A+2B)(B+2C)(C+2A)
= 2(AAB+BBC+CCA）+ 4(ABB+BCC+CAA）+ 9ABC,
(左辺）=（ab+bc+ca)^3
= aabb(ab+3bc+3ca）+ bbcc(bc+3ca+3ab）+ ccaa(ca+3ab+3bc）+6(abc)^2
≦ AB(2A+2B+3C）+ BC(2B+2C+3A）+ CA(2C+2A+3B）+ 6ABC
= 2(AAB+BBC+CCA）+ 2(ABB+BCC+CAA）+15ABC,
(右辺）-（左辺）≧ 2(ABB+BCC+CAA-3ABC）≧ 0, （← AM-GM)
(4) a>>b,c では不成立？
(5）コーシーで
(ab+bb+aa)(bb+bc+cc)(aa+cc+ca）≧（ab+bc+ca)^3
(6)
9(st-u) - 8st = 9(a+b)(b+c)(c+a）- 8(a+b+c)(ab+bc+ca)
= a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2
≧0,
(左辺）-2 = (ss-4t)/t + 8u/(st-u)
≧ 8s(ss-4t)/{9(st-u)} + 8u/(st-u)
= 8(s^3 -4st+9u)/{9(st-u)}
= 8F_1(a,b,c)/{9(st-u)}
≧0, >>754
(2)
(左辺）-（右辺）=（aa+bb+cc)^3 -（a+b+c)(ab+bc+ca)(a^3+b^3+c^3)
= p'(b-c)^2 + q'(c-a)^2 + r'(a-b)^2
≧ 0,
ここに
p ' =｛4a^4+b^4+c^4 +（a^4+a^4+b^4+c^4-4aabc)}/4 ≧（4a^4+b^4+c^4)/4,
q ' =｛a^4+4b^4+c^4 +（a^4+b^4+b^4+c^4-4abbc)}/4 ≧（a^4+4b^4+c^4)/4,
r ' =｛a^4+b^4+4c^4 +（a^4+b^4+c^4+c^4-4abcc)}/4 ≧（a^4+b^4+4c^4)/4,
(3)
(左辺）-（右辺）=（aa+bc)(bb+ca)(cc+ab）- abc(a+b)(b+c)(c+a)
= abc{a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)｝+｛(ab)^3 +（bc)^3 +（ca)^3 -3(abc)^2}
= u(s^3 -4st+9u）+ t(tt-3su)
= u･F_1(a,b,c）+ t･uF_{-1}(a,b,c)
≧ 0, >>754
(7)
左辺の4つの因子のうち、負になれるのは高々１つだけ。
左辺が正のときは４つとも正。
GM-AMで
(a+b+c-d)(b+c+d-a）=（b+c)^2 -（a-d)^2 ≦（b+c)^2,
循環的に掛ける。 >>754 (4)は成立しませんでした、すみません。 >>726 >>727
>>732 >>739
AM-GMやSchurは使えそうにないので...
a ≦ b,c とすると、G =（abc)^(1/3)≧ a,
m = √(bc）とおき、
(a,b,c）→（a,m,m）としたとき、Gは不変で、
A(a,b,c）- A(a,m,m）=（b+c-2m)/3,
H(a,b,c）- H(a,m,m）=（b+c-2m)/3｛-H(a,b,c)H(a,m,m)/bc}
≧（b+c-2m)/3（-GG/bc)
=（b+c-2m)/3（-a/G)
∴ A(a,b,c）+ H(a,b,c）≧ A(a,m,m）+ H(a,m,m）
等号成立は b=c のとき。 ……(1)
大きい方の2つが等しい場合を考えればよいので、
ほぼ１変数の問題に帰着する。
A(a,m,m）+ H(a,m,m）
= 2(aa+7am+mm)/{3(2a+m)}
=｛5/16^(1/3)}G + f(x)･mm/{24(2a+m)}
≧｛5/16^(1/3)}G,
ここに、x =（4a/m)^(1/3）とおいた。
f(x）= x^6 - 15x^4 +28x^3 -30x +16
=（x-1)^2｛(xx-4)^2 + 2x(x-1)^2},
等号成立は x=1，4a=m=√(bc）のとき。 ……(2)
(1)(2)より、（a,b,c）=λ(1,4,4) >>757
昔のmemoの中に、>>754(5)を改造したものがあった。
a, b, c >0 に対して、
(a^2 + ab + b^2)(b^2 + bc + c^2)(c^2 + ca + a^2)
≧ (27/64)*[(a+b)(b+c)(c+a)]^2
≧ (1/3)*[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2
≧ (ab+bc+ca)^3. >>726-727
〔類題〕
AM + 0.90096 HM ≧ 1.90096 GM
等号成立は（a,b,c）=λ( 0.3962570…，1，1）のとき
［第7章.897-903］ >>388 (5) >>450 >>708
〔Hlawkaの不等式〕の拡張
m≧2 のとき、
（m-2）Σ[k=1,m］｜x_k |^2 +｜Σ[k=1,m] x_k |^2 = Σ[1≦i<j≦m]｜x_i +x_j |^2.
（m-2）Σ[k=1,m］｜x_k｜+｜Σ[k=1,m] x_k｜≧ Σ[1≦i<j≦m］｜x_i +x_j｜.
（D.D.Adamovic）
[初代スレ.354-360,364]
文献[3] 大関、p.34 >>755
QQ =（ss-2t)/3 ≦｛ss - 2√(3su)}/3 = 3AA - 2G√(AG),
(5A-3G)^2 -（2Q）≧（5A-3G)^2 -12AA +8G√(AG)
= 13AA -30AG +8G√(AG) +9GG
=（√A -√G)^2｛13A +26√(AG）+9G}
≧ 0,
∴ 5A-3G ≧ 2Q, ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
