不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>452
(7) n>=3
a^2+b^2+c^2 と b/a+c/b+a/c の大小は定まらない
(8) Schur + AMGM >>484
a=-(b+c+d）を代入して
aa = (-b-c-d)^2 ≦ 3(bb+cc+dd）= 3(100-aa）,
aa ≦ 75,
|a| ≦ 5√3,
>>487
(a+c)(b+d）= -(a+c)^2 = -(b+d)^2 ≧ -(aa+cc) -(bb+dd) = -100,
-100 ≦ (a+c)(b+d）≦ 0,
等号成立は（a,b,c,d）=（5,-5,5,-5）（5,5,-5,-5）など。 >>467-468
> 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.
>
> [2] この不等式には、オノとかフランダースとか、なんか名前はついていないのかな？
Weitzenbock's inequality と言うらしい。ヴァイツェンベックと発音するのかな？
https://en.wikipedia.org/wiki/Weitzenb%C3%B6ck%27s_inequality Crux
https://cms.math.ca/crux/v43/n6/
いつの間にかパスワード制になって読めなくなったでござる。
パスワード無しで読める最後の記事は v37n8 (2011年)。
https://cms.math.ca/crux/v37/n8/
Problems
3690、3691、3694、3699 ★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥ (俺の経験人数)＞Σ(このスレの住人の経験人数)
を示せ ♪♪♪もう良い子は寝る時間です。そやし馬鹿板は止めて、また明日にしましょう。♪♪♪
ケケケ￥ >>467 (1）を改造...
三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、(1/3)(a+b+c)^2 ≧ (4√3)S.
(証明３)
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。
(1/3)(a+b+c)^2
=（1/3)(A+B+C)^2
≧ √{3(A+B+C)ABC} （← AM-GM)
=（4√3)S,
三角形の辺長を a,b,c、面積をSとするとき、ab+bc+ca ≧ (4√3)S.
(証明６)
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおく。
ab+bc+ca = aa+bb+cc -{(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2}/2
≧ aa+bb+cc -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2
= AB+BC+CA
≧ √{3(A+B+C)ABC}
=（4√3)S, ★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥ a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、
(1) [AYIN 2012.09]
(a+b)/(ab+a+b) + (b+c)/(bc+b+c) + (c+a)/(ca+c+a) ≧ 2
(2) [1997 Romania]
(a^3+b^3)/(ab+a^2+b^2) + (b^3+c^3)/(bc+b^2+c^2) + (c^3+a^3)/(ca+c^2+a^2) ≧ 2
(3) [1996 IMO shortlist.A1]
ab/(ab+a^5+b^5) + bc/(bc+b^5+c^5) + ca/(ca+c^5+a^5) ≦ 1
----------------------------------------------------
[1] (3)だけ向きが逆。もしかして (1)(2)(3) すべて最大値と最小値があるかな？
[2] 分母が ab+a^n+b^n のタイプで、他に類題ないかな？
／⌒＼ っ ／＼
/'⌒'ヽ ＼ っ／＼ |
（●．●） ）／ |: |
>冊/ .／ |: /
/⌒ ミﾐ ＼ 〆
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|√7ミ |::| ﾄ、 |
|:／ V＿ハ |
／| i | ∧|∧
и .i Ｎ / ヽ） きりがないでござる…
λﾍ、| i .ＮV | | |
Ｖ＼Ｗ （ 、 ∪
|｜ |
∪∪ >>467、>>539
さらに改造。というか、コレクションに纏め済みでござった。
三角形の辺長 a, b, c、面積 S、外接円の半径 R、内接円の半径 r に対して、
9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ (4√3)S ≧ 36r.
⊿ ○ ∇ 、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､ ';冫 ☆
┏ ━ゝヽ''／ ≧ ＼━〆Ａ!ﾟ━━┓。
╋┓"〓┃ ＜ ゝ＼',冫｡' |:::: ＼ .／ |゛△│´'´,.ゝ'┃. ●┃ ┃┃
┃┃_.━┛ヤ━━━━━━|::::: (● (● |━━━━━━━━━ ━┛ ・ ・
∇ ┠─Σ- ヽ::::... .ワ.....ノ 冫 そ',´; ┨'ﾟ,。
.。冫▽ ＜ ⊂ ./⊃ 乙 ≧ ▽
。 ┃ Σ （⌒ゞ ,l, ､'' │ て く
┠─ム┼ ゝ,,ﾉ ﾉゝ. ､,, .┼ ｧ Ζ┨ ミｏ''｀
。､ﾟ`。､ i／ レ' o。了 ､'' × 个ｏ
○ ┃ `､,~´＋√ ▽ ',!ヽ.◇ ｏ┃
┗〆━┷ Ｚ,.' /┷━''ｏ ヾｏ┷+＼━┛,゛；
ヾ ⊿ '、´ ∇ >>467 >>539 >>542
さらに行けそうだぜ！ ヒャッハー！
http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html
9abc/(a+b+c) ≧ (4√3)S が成り立つらしい （証明は未だ読んでいない）
AM-GMから直ちに >>542 とドッキングさせられるぜ！ ヒャッハー！
9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ 9abc/(a+b+c)≧ (4√3)S ≧ 36r.
＿ （）)二) )) 、,r:ﾆヽ いいぞ ベイべー！
@ニ＝＝＝)二二ニニ)('A` )) 不等式を収集し証明する奴は 不等式ヲタだ！！
^￣" ﾌ＼''|ﾉ=ﾉ-( ) 不等式を改造し拡張する奴は よく訓練された不等式ヲタだ！！
_/ ＼_ L L ホント不等式はﾊｧﾊｧするぜ！ ﾌｩﾊﾊﾊｰﾊｧｰ >>467 (1）>>539 を再改造…
>>541
(2)
(aa-ab+bb)/(aa+ab+bb）≧ 1/3，など。
(左辺）≧ 2(a+b+c)/3 ≧ 2(abc)^(2/3）= 2,
(3)
ab +a^5 +b^5 = aabbc +a^5 +b^5 ≧ aabb(a+b+c）= ab(a+b+c)/c,
IMO-1996 予選
文献[9］佐藤、演習問題1.15
>>543
abc =（A+B)(B+C)(C+A)/8 ≧（A+B+C)(AB+BC+CA)/9,
∴ ab+bc+ca ≧ 9abc/(a+b+c）≧ AB+BC+CA
>>539 により成立。
きりがないでござるよ… >>554
むむむ、再改造とは 恐るべし不等式ヲタ…
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
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,. ＜ ``､､ ／' ,.ﾍ＞＝＝=====＝< ＼‐- .._ >>389 >>515
△ABC における重心座標を考える。
↑D = L･↑A + m･↑B + n･↑C， L+m+n=1,
（v，w）=（(Lp+mr+nt)/(L+m+n)，(Lq+ms+nu)/(L+m+n))
（Dが△ABCの内部または周上） ⇔ 0 ≦ L,m,n
∴ AM-GM により
x^v･y^w ≦｛L(x^p)(y^q) + m(x^r)(y^s) + n(x^t)(y^u)}/(L+m+n)
≦ (x^p)(y^q) + (x^r)(y^s) + (x^t)(y^u),
（Dが△ABCの外部） ⇔ min{L,m,n｝<0
さて、どうする？ 不等式ではなくって、等式なんだけど、
>>467の本 ： 佐久間一浩、『高校数学と大学数学の接点』
を立ち読みしてきたときに見つけた問題を。
Σ[n=1 to ∞] (15n^2 - 30πn^4 + 8π^2 n^6)*e^(-πn^2) = ？
あと、名前の付いた等式を一つ。（只の式変形で出るので面白くはないが…）
ヒルツェブルフの等式 ： x/ tanh x = 2x/(e^(2x)-1) + x >>388 (4)
(i) >>432
(ii) OA=OB=OC とし、Oから平面ABCに垂線OHを下し、z軸とする。
A,B,C の天頂角をθとおくと、OH =｜OA|･cosθ，etc.
２平面 OAH と OBH のなす角（二面角）を ∠AHB = φとおく。
cos(∠AOB）=（OA・OB)/|OA||OB｜=（cosθ)^2 +（sinθ)^2 cosφ ≧ cosφ,
∴ ∠AOB ≦ φ = ∠AHB,
循環的にたす。 >>579
0
L(x) = 1/tanh(x) - 1/x をランジュヴァン関数というらしい。
|x| << 1 で L(x)≒x/3 >>541 (1)
(a+b)/(ab+a+b) = (a+b)c/{1+(a+b)c｝= z/(1+z),
通分して
（1+x)(1+y)z +（1+x)y(1+z）+ x(1+y)(1+z）- 2(1+x)(1+y)(1+z)
= -2 -（x+y+z） +xyz,
= -2 -2(ab+bc+ca）+ abc(a+b)(b+c)(c+a)
=｛1 - (abc)^2｝+（ab+bc+ca-3）+（ab+bc+ca)｛abc(a+b+c) -3｝
≧ 0, >>449 >>455
(2)
（1+ab)/(1+a）= (1+c)/{c(1+a)}，etc.
AM-GM する。
>>455 とほとんど同じだ....
(3)
1/(1+a）+ 1/(1+b）+ 1/(1+c)
≧ 1/(1+a+ab）+ 1/(1+b+bc）+ 1/(1+c+ca）
= x/(x+y+z）+ y/(y+z+x）+ z/(z+x+y)
= 1,
bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧ 3/2,
通分して
bc(1+b)(1+c）+ ca(1+c)(1+a）+ ab(1+a)(1+b）-（3/2)(1+a)(1+b)(1+c)
= t +（st-3u）+（tt-2su）-（3/2)(1+s+t+u)
=｛(s-3)t + s(t-3)}/6 +（2s+3)(u-1)/2 + 2(st-9u)/3 +（tt-3su)
=｛(s-3)t + s(t-3)}/6 +（2s+3)(u-1)/2
≧0, （← s≧3、t≧3、u=1） >>543-544
> 9R^2 ≧ a^2 + b^2 + c^2 ≧ (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca ≧ 3(abc)^(2/3) ≧ 9abc/(a+b+c)≧ (4√3)S ≧ 36r.
書き直すと
(√3)R ≧ (a^2+b^2+c^2)/3 ≧ AM ≧ √{(ab+bc+ca)/3} ≧ GM ≧ √|3abc/(a+b+c)} ≧ 2√(S/√3) ≧ (2√3)r.
>>544より、√|3abc/(a+b+c)} ≧ √|(AB+BC+CA)/3}.
ところで、(ab+bc+ca)^2 - 3abc(a+b+c) ≧ 0 より、√|3abc/(a+b+c)} ≧ HM.
そこで気になるのは、2√(S/√3)、HM、√|(AB+BC+CA)/3} の大小だけど、定まるかな？
／⌒ヽ
／⌒ ・ ＞
E￣Ｕ) ε | きりがないでござる
E￣∩) ・ ＞
゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛゛ 数学文化という雑誌に不等式の特集があるというタレ込みがあったので買ってきた。未だ目を通していない。 >>449
(3)下
チェビシェフで
(左辺）= 1/{a(1+a)｝+ 1/{b(1+b)｝+ 1/{c(1+c)｝
≧ 1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝
よって、次の問題に帰着する。
〔問題3.93〕
1/{a(1+b)｝+ 1/{b(1+c)｝+ 1/{c(1+a)｝≧ 3/(1+abc),
バルカンMO-2006
文献［9］ 佐藤(訳)、問題3.93
左辺に 1+abc を掛ける。
(1+abc)/{a(1+b)｝= (1+a)/{a(1+b)｝-1 + b(1+c)/(1+b)，etc.
巡回的に AM-GM すると
（1+abc)(左辺）≧ 3(1/G -1 +G)
= 3(1-G+GG)/G
= 3(1+GGG)/{G(1+G)}．
∴ (左辺）≧ 3/{G(1+G)},
ここに G=(abc)^(1/3) >>584
（AB+BC+CA)/3 ≧ √{(A+B+C)ABC/3} =（4/√3)S, >>554
（HM)^2 ≧（4/√3)S
にて御座候。
HM と √{(AB+BC+CA)/3｝の大小は不定と思われ...
き、きりがねぇ。。。 >>587
> （HM)^2 ≧（4/√3)S
これがうまく証明できませぬ… ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
