不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>262
以前>>261を改良して得たけど既にやられてたんだね
エレガントな解放が知りたい >>261
まずココが分かりません。
> x+y+z ≧ |x-y| + |y-z| + min｛|x-y|，|y-z|｝
次にココ。辺々掛けたら |x-y|^3 + |y-z|^3 + C にならないかな？
> 辺々掛けて x^3 + y^3 + z^3 -3xyz ≧（|x-y| + |y-z|)^3
最後にココ。AM-GMでもないし何だろう？
> |x-z|^3 ≧ 4|(x-y)(y-z)(z-x)| ＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
￥ >>299
それでは｜x-y｜= a，｜y-z｜= b とおきましょう。
まず
0≦x≦y≦z のとき
x+y+z = 3x + 2(y-x）+（z-y）≧ 2(y-x）+（z-y) = 2a + b,
x≧y≧z≧0 のとき
x+y+z =（x-y）+ 2(y-z）+ 3z ≧（x-y）+ 2(y-z）= a + 2b,
次に、辺々掛けると
(2a+b)(aa+ab+bb）= a^3 +（a+b)^3 ≧（a+b)^3,
(a+2b)(aa+ab+bb）=（a+b)^3 + b^3 ≧（a+b)^3,
最後は、
(a+b)^2 = 4ab +（a-b)^2 ≧ 4ab, ＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
￥ ＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
￥ ageる奴ってほんま糞だな
ケツに「＞」をぶち込んで拡張してやりたい ＃＃＃政治家が愚かなのと同様に馬鹿板を行うのも愚かな行為。そやし止めるべき。＃＃＃
￥ [数蝉2014.07, p.51]
△ABCに対して、
|sin (A-B)/2|*(cos A/2)*(cos B/2) + |sin (B-C)/2|*(cos B/2)*(cos C/2) ≧ |sin (C-A)/2|*(cos C/2)*(cos A/2)
○ < ｼｮｳﾒｲ ｽﾙﾏﾃﾞ ｱｶﾞｯﾃ ｸﾙﾅ！
く|)へ
〉 ヾ○ｼ
￣￣７ ヘ/
/ ノ
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／ 任意の実数 x, y に対して、(1 + x^2 + y^2)/{1 + x^2 + (x-y)^2} の最大値を求めよ。
Σ○
く|）へ。
〉 〉
￣￣ ○ﾉ 道連れｯﾎｫｫ！
. / <ヽ
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／ >>349
φ =（1+√5)/2 = 1.618034 とおくと、
φ(1+xx+yy）-（φ-1){1+xx+(x-y)^2｝= 1 + (x/φ + y)^2 ≧ 1,
上限は
（1+xx+yy)/{1+xx+(x-y)^2｝＜ φ/(φ-1）= φ+1 = （3+√5)/2,
なお、蛇足だが
φ{1+xx+(x-y)^2｝-（φ-1)(1+xx+yy）= 1 + (φx - y)^2 ≧ 1,
下限は
（1+xx+yy)/{1+xx+(x-y)^2｝＞（φ-1)/φ = 2-φ = (3-√5)/2, >>350 訂正
次の同値な2式を入れ替えてください。
φ{1+xx+(x-y)^2｝-（φ-1)(1+xx+yy）= 1 + (φx - y)^2 ≧ 1,
φ(1+xx+yy）-（φ-1){1+xx+(x-y)^2｝= 1 + (x/φ + y)^2 ≧ 1,
ｽﾏｿ. 最大最小といえば、高校のときに解けなかった以下を思い出す。係数はうろ覚え。
任意の実数 x, y に対して、(x+2y+3)/(x^2 + 2y^2 + 3) のとりうる値の範囲を求めよ。
￣￣ ＼○ﾉ ﾃｦ ﾊﾅｾ！
. / <ヽ
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／ (○ﾉ ｺﾄﾜﾙｯ！
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／ / | >>352
(xx+2yy+3) - 2(√2 -1)(x+2y+3) = (x+1-√2)^2 + 2(y+1-√2)^2 ≧ 0,
(xx+2yy+3) + 2(√2 +1)(x+2y+3) = (x+1+√2)^2 + 2(y+1+√2)^2 ≧ 0,
両辺を xx+2yy+3 >0 で割って
-(√2 -1)/2 ≦ (x+2y+3)/(xx+2yy+3) ≦ (√2 +1)/2,
でござるか。 [元ネタ不明]
任意の実数 x, y, z に対して、次式の最小値を求めよ。
sqrt{x^2 + (y-1)^2} + sqrt{y^2 + (z-1)^2} + sqrt{z^2 + (x-1)^2}
ｳﾘｬｯ！
Oノ
. ノ＼＿・'ヽO．
└ ＿ノ ヽ
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ヾ○ｼ
￣￣７ ヘ/
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／ >>353
3(xx+2yy) = (x+2y)^2 + 2(x-y)^2 ≧（x+2y)^2,
等号成立は x=y のとき。
x+2y+3 = s とおくと、
（分母）≧（ss-6s+18)/3,
-(√2 -1)/2 ≦ 3s/(ss-6s+18）≦（√2 +1)/2,
でも出ますが... >>355
√{xx + (1-y)^2｝≧（|x｜+｜1-y|)/√2、etc.
等号成立は｜x|=|1-y|、|y|=|1-z|、|z|=|1-x|
△不等式 ｜x｜+｜1-x｜≧ 1、etc.
等号成立は 0≦x,y,z≦1
より、3/√2。（x=y=z=1/2のとき） 0 ≦ x, y, z ≦1 のとき、(x+y+z)/3 + sqrt{x(1-x) + y(1-y) + z(1-z)} の最大値を求めよ。
Σ○
ノ(）へ。
〉 〉
￣￣ ＼○ﾉ 道連れｯﾎｫｫ！
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／ (○ﾉ ﾋｬｯﾎｫｫｫｩ！
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／ / | 巡回不等式のコレクションが少ないことに気づいた2017の夏。
正の数 a, b, c に対して、a^3/b^2 + b^3/c^2 + c^3/a^2 ≧ a+b+c を示せ。
￣￣ ＼○ﾉ ﾃｦ ﾊﾅｾ！
. / <ヽ
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／ (○ﾉ ｺﾄﾜﾙｯ！
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(○ﾉ ｻﾞｹﾝﾅﾖ！
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/ | >>358
相加平均（x+y+z)/3 = A とおくと、0≦A≦1.
x(1-x）+ y(1-y）+ z(1-z）
=（x+y+z）- (xx+yy+zz）
≦ 3(1-A）・A (←1変数）
≦｛[3(1-A）+ A]/2}^2
≦｛(3-2A)/2}^2
(左辺）≦ A +（3-2A)/2 = 3/2,
等号成立は 3(1-A)=A、A=3/4、x=y=z= 3/4 のとき
>>359
｛a^n，b^n，…，b^n｝の相加-相乗平均で
a^n +（n-1)b^n ≧ na･b^(n-1),
（a^n)/b^(n-1）≧ na - (n-1)b,
巡回的にたす。 >>360
さりげなく一般化とは、やはり神！
正の数 a, b, c に対して、a^n/b^(n-1) + b^n/c^(n-1) + c^n/a^(n-1) ≧ a+b+c.
気になるのは、
(1) Σ[cyc] a^(n+1)/b^n と Σ[cyc] a^n/b^(n-1) の大小
(2) Σ[cyc] a^(n-1)/b^n と 1/a + 1/b + 1/c の大小
(1)も(2)も≧が成り立ちそうな気がするけど、証明できていませぬ。 最大最小値問題を１変数にしたら、何通りくらいの解法があるのでせう？
任意の実数 x に対して、(5-2x)/(x^2 - 4x + 6) のとりうる値の範囲を求めよ。
ﾊﾟｷｯ
￣`;:'.￣ ＼○ﾉ
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/ | >>338
sin(a-b)cos(a)cos(b）+ sin(b-c)cos(b)cos(c）+ sin(c-a)cos(c)cos(a) + sin(a-b)sin(b-c)sin(c-a)
| sin(a-b)，-cos(c)，cos(c)｜
= | cos(a)，sin(b-c)，-cos(a)｜
| -cos(b)，cos(b)，sin(c-a)｜
= 0,
を利用するか…？ >>362
（5-2x)/(xx-4x+6）= 1 -（x-1)^2/(xx-4x+6) ≦ 1,
（5-2x)/(xx-4x+6）= -1/2 +（x-4)^2/{2(xx-4x+6)} ≧ -1/2,
等号成立はそれぞれ、x=1、x=4. >>361
(1）（a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だから明らか。
ついでに、｛a^n，…，a^n，b^n｝で相加-相乗平均すると、
n a^(n+1) + b^(n+1) ≧ (n+1)(a^n)b,
n a^(n+1)/(b^n) ≧（n+1)(a^n)/b^(n-1) - b,
循環的にたすと
n S_(n+1) ≧（n+1)S_n - S_1,
{S_(n+1）- S_1}/(n+1）≧（S_n - S_1)/n,
（S_n - S_1)/n も単調増加。
* (a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だが。
(2) a = 1/A、b = 1/B、c = 1/C とおくと… >>363
[数蝉2014.07, p.51,NOTE] の前のページで証明されていた不等式が以下。
実数 x, y, z >0 に対して、|(x-y)/(x+y)| + |(y-z)/(y+z)| ≧ |(x-z)/(x+z)| …(★)
これをRavi変換 （a=y+z、b=z+x、c=x+y）すると、次の不等式になる。
三角形の辺長a,b,cに対して、ab|a-b| + bc|b-c| ≧ ca|c-a|…(★★)
これを a, c に関する対称性から a≦c として、bの位置を３通りに分けて証明。
正弦定理と２倍角の定理で書き直すと、次のようになって不等式が得られるみたい。
ab|a-b| = 32R^3 (sin A/2)*(sin A/2)*(sin A/2)*(cos A/2)*(cos B/2)*|sin (A-B)/2|
この不等式をNOTEに投稿した人のコメントに、(★)の元ネタが考古学の本とある。
「新井宏、理系から見た考古学の論争点、大和書房、2007」
不等式のネタが他にもあるかもしれないと思い、図書館や書店を探したが無かった。←今ココ。
ところで、(★★)を弄って、何か不等式が作れないかなと弄ったことがある。たとえば次式とか。
ab|a-b| + bc|b-c| + ca|c-a| ≧ k(a+b+c)
2014の夏ってことは、もう3年前の話になるのか。今考えたら、両辺の次数が合わないから無理やん…。
3乗にするか？ >>365
> （a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均
ﾑﾑﾑ、ｽｺﾞｽｷﾞﾙ…。
> 循環的にたすと n S_(n+1) ≧（n+1)S_n - S_1,
これから (S_n)/n は単調減少も出るでござるな。
これを差の形にして、nを 1,2,…,n-1として和を取り、右辺を部分分数分解して計算したら、
(S_n)/n ≧ s_1/n
となって、何も得られなかったでござる…。 >>367
すまん、「これから (S_n)/n は単調減少も出るでござるな。」は勘違いですた。 >>366
（x-y)/(x+y）+（y-z)/(y+z）+（z-x)/(z+x）+（x-y)(y-z)(z-x)/{(x+y)(y+z)(z+x)}
｜(x-y)(x+y)， -1， 1｜
= ｜ 1，(y-z)/(y+z)， -1｜
｜ -1， 1，(z-x)/(z+x)｜
= 0,
ab(a-b）+ bc(b-c）+ ca(c-a）+（a-b)(b-c)(c-a）=
｜a-b，c，-c ｜
= ｜-a，b-c，a ｜
｜ b，-b，c-a｜
= 0,
でござるか…？ (1) 任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は？
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)| <= k (a+b+c)^3
(2) 実関数 f(a,b,c)=ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| は (a+b+c)^3 で上から、下からいぜれも抑えられないことを示せ。 コレクションの中に、以下を発見。年度不明の学習院大ってmemoがあるが…。
三角形の３辺の長さ a, b, c に対して、a^2b(a-b) +b^2c(b-c) + c^2a(c-a) ≧0. >>371
a=y+z，b=z+x，c=x+y とおく。（Ravi変換）
(左辺) = 2{xy^3 +yz^3 +zx^3 -xyz(x+y+z)}
= 2xy(y-z)^2 + 2yz(z-x)^2 + 2zx(x-y)^2
≧ 0.
IMO-1983
佐藤［9］演習問題2.24
[第6章.793(71)，828，833] >>365 の続き
* (a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だが、
それで（1）が明らかなワケではない。
相加-相乗平均
n(3n+1）a^(n+1)/(b^n）+（n+1）b^(n+1)/(c^n）+ n c^(n+1)/(a^n）≧（3nn+3n+1）a^n/b^(n^1),
を巡回的にたす。 >>373
> * (a^n)/b^(n-1）は a^(n+1)/(b^n）(n-1)個と a 1個の相乗平均だが、
> それで（1）が明らかなワケではない。
巡回的に加えて、(n-1)*S_(n+1) + S_1 ≧ n*S_n
この左辺に、証明済みの S_(n+1) ≧ S_1 を使って終わりじゃないの？ >>370
勘違いとかあったから訂正
(1) a+b+c > 0 を満たす任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は？
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)| <= k (a+b+c)^3
(2) a+b+c > 0 を満たす任意の実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つような実数 k の最小値は？
ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| <= k (a+b+c)^3
(3) a+b+c >0 上の実関数 f(a,b,c)=ab|a-b|+bc|b-c|+ca|c-a| は (a+b+c)^3 で下から抑えられないことを示せ。 >>2
> [3] 不等式への招待（数学ゼミナール６），大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年
数年ぶりに読み返してみた。傑作だな。神書だわ！ >>359
そのまま相加-相乗平均で
(n+1)^2 a^(n+1)/(b^n）+（n+1)n b^(n+1)/(c^n）+ nn c^(n+1)/(a^n）≧（3nn+3n+1)a,
巡回的にたして
S_(n+1）≧ S_1,
>>374 >>376
そうですね。 >>338
｜sin((A-B)/2)｜cos(A/2)cos(B/2）=｜sin(A-B）+ sin(A）- sin(B)｜/4
=｜sin(A-B)｜/4 +｜sin(A)-sin(B)｜/4
= sin｜A-B｜/4 +｜sin(A)-sin(B)｜/4，etc.
｜sin(x)｜+｜sin(y)｜≧｜sin(x)cos(y）+ cos(x)sin(y)｜=｜sin(x+y)|,
あとは△不等式で。 >>375
(1) k=8/27 なら余裕だけど、よく分からん。 >>378
三角不等式だけであっさり片付くとは、恐るべし…。
>>311
この第８章で >>261 の証明方法は衝撃的だった。 >>375
(1) a≧b≧cとする。
|ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)|
＝ |(a-b)(b-c)(c-a)|
≦ {(|a-b|+|b-c|+|c-a)|)/3}^3
＝ (8/27)*(a-c)^3
(a+b+c)^3 - (a-c)^3 = (b+c)(3a^2+3ab+b^2+bc+c^2) > 0 >>381
最後三角不等式使ってるようだけど、正しくは |a-b|+|b-c| >= |a-c| です
不等号が逆
k=8/27のとき 例えば (a,b,c) = (1,-3,1) で成り立たない ていいつつ自分でも間違えてた
(a,b,c)=(3,-3,1) >>382
最後は三角不等式じゃなくて、等式でござるなり。 a≧b≧cの仮定を用いて、
|a-b|+|b-c|+|c-a| = (a-b) + (b-c) + (a-c) = 2(a-c) >>381
a,b,cは実数ということを忘れていたので、以下は0より大きくならんでござるな。
> (a+b+c)^3 - (a-c)^3 = (b+c)(3a^2+3ab+b^2+bc+c^2) > 0 >>384
そうか
かくいう自分も回答にミス発見してそもそも(a+b+c)^3で上からも下からも抑えられないことがわかってでござる >>381
｜(a-b)(b-c)(c-a)｜≦（1/4)|a-c|^3 >>261
ですが、a+b+c=0 の場合もアリなので… >>2 [10] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2014年 より
(1) [10] P.28
a>b>c>0 に対して、(a-b)sqrt(x+c) + (b-c)sqrt(x+a) + (c-a)sqrt(x+b) < 0
a,b,cの大小関係いらないんじゃ？
(2) [2006 山形大(医)] [10] P.77
三角形の辺長 a,b,c に対して、(2+a^2)(2+b^2) > 2c^2
⇒ (2+a^2)(2+b^2) ≧ 2(a+b)^2 > 2c^2
a.b.c>0 に対して、(2+a^2)(2+b^2)(2+c^2) ≧ 9(ab+bc+ca) だから、
これらを組合せたりして、なにか改造できないかな？
(3) [10] P.82
a,b,c>0に対して、(abc)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + 2 ≧ 2(ab+bc+ca)
aの関数として微分して証明しているけど、他の証明ないかな。平方和とか…
(4) [10] P.115, 116
四面体ABCDに対して、
(i) ∠AOB + ∠BOC > ∠COA
(ii) ∠AOB + ∠BOC + ∠COA < 2π
[1992 東大(後)] >>2 [10] P.116
空間内の相異なる４点A,B,C,Dに対して、
(iii) ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB ≦ 2π
(iii)の条件を四面体ABCDに限定したら、等号がなくなるだけかな？
(5) [10] P.120
四面体ABCDに対して、vec(OA), vec(OB), vec(OC), vec(OD) を a,b,c,dと略すとき、
|a| + |b| + |c| + |a+b+c| > |a+b| + |b+c| + |c+a|
これは Hlawka's ineequality かな？
(6) [2012 大阪教育大]、[10] P.125
x,y>0 かつ (x^6)(y^2) - (x^5)(y^3) + (x^5)(y^5) - (x^4)(y^6) ≧ 4 のとき、x^3+y^2≧3
どうやって、こういう変な条件を出したのか分からないから、類題を作りにくい。
(7) [2013 北海道大]、[10] P.126
a,b,c,x,y>0 に対して、ax^(a+b+c) + by^(a+b+c) + c ≧ (a+b+c)(x^a)(y^b)
⇒ a,b,c,x,y,z>0 に対して、ax^(a+b+c) + by^(a+b+c) + cz^(a+b+c) ≧ (a+b+c)(x^a)(y^b)(z^c)
weighted-AM-GMだけど、入試問題で出されると答案書くのはシンドイな。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
