>>18 つづき

公準5そのもの下記
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E7%B7%9A%E5%85%AC%E6%BA%96
(抜粋)
平行線公準
ユークリッド（エウクレイデス）の第5公準（公理）とも呼ばれる。

1つの線分が2つの直線に交わり、同じ側の内角の和が2直角より小さいならば、この2つの直線は限りなく延長されると、2直角より小さい角のある側において交わる。

平行線公準が成立しない幾何学は非ユークリッド幾何学と呼ばれる。平行線公準から独立した幾何学（つまり、ユークリッド公準のうち、最初の4つの公準しか仮定しない幾何学）を絶対幾何学（英語版）（もしくは中立幾何学）と呼ぶ。

論理的に同値な性質

ユークリッドの平行線公準の最もよく知られている形は、名前をスコットランドの数学者ジョン・プレイフェア（英語版）に由来するプレイフェアの公理（英語版）であろう。

平面上に直線と、直線上に存在しない点が与えられたとき、点を通り直線に平行な直線は与えられた平面上に高々1本しか引くことができない[1]。

歴史

サッケーリは背理法を用い、角Cと角Dが直角でない場合を考え、矛盾を導き出そうと試みた。
鈍角の場合、直線は有限であるという結論を得たので、これはユークリッドの第2公準に反するとして、サッケーリはこの可能性については排除した。
しかし現在、第2公準と第5公準を否定した幾何学としては例えば楕円幾何学が知られている。
鋭角の場合についてサッケーリは有効な反論をすることができず、「鋭角の仮定は絶対に間違っている、なぜならそれは直線の性質に矛盾しているからだ」という表現に留めている[14]。

リーマン、そしてアンリ・ポアンカレによって双曲幾何学（鋭角の場合）と楕円幾何学（鈍角の場合）へと発展していった。
平行線公準とユークリッドの他の公準が論理的に独立（英語版）であることは、最終的には1868年、ユージニオ・ベルトラミ（英語版）によって示された。