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２つの封筒問題 Part.3 [無断転載禁止]©2ch.net

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0001１３２人目の素数さん
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2017/03/13(月) 07:38:00.05ID:zmmUE9kK
２つの封筒があり、一方の封筒に入っている金額はもう一方の封筒に入っている金額の２倍である。
一方の封筒を開けると１万円入っていた。あなたはそのままその１万円をもらってもいいし、もう一方の封筒と交換することもできる
そのまま１万円をもらった方が得か、それとも交換したほうが得か。
※前スレ
2つの封筒問題について Part.2
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1456069074
0487１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/08(土) 15:17:50.39ID:PgUb+Hql
>>482
その問題で
封筒の中身が5000円か20000円かは1/2
だと思うんなら
本当にギャンブルはやめとけよ
0488１３２人目の素数さん
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2017/04/08(土) 15:33:23.45ID:LoO75aK7
>>486

>>473-475は、見識とか筋の良し悪しとか自然の度合いとか、
定量化のための定義すらハッキリしない曖昧な問題を扱っているのではない。

標本空間Nが仮定(>>472)なのか結論(>>325)なのか、お前の主張に矛盾があると指摘しているのだ。

お前はずっと、標本空間Nは所与の条件から導かれるものだ(>>325)と主張してきた。
俺の一連のレスはそれに対する反論であり、帰結ではなく仮定であることを説明してきたのである。

俺の>>473-475に対して

>>479
> 筋の良し悪しが本論

では反論になっていない。


お前が今やるべきことは二枚舌で言い逃れを図ることではない。
完全に論破されているのだから、ここまでに犯した論理の誤りをハッキリと認めるべきだ。
それがまともな議論の前提となる誠実な態度というものだ。
0489１３２人目の素数さん
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2017/04/08(土) 19:29:31.58ID:VC9jHs2M
>>487
参加者が損するということは胴元が儲かるわけだ。
キミは、その問題で胴元が儲かると思っているのか？
0490１３２人目の素数さん
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2017/04/08(土) 22:23:30.71ID:PgUb+Hql
>>489
目の前に封筒があります
胴元は20000円か5000円を仕込んでいます
20000円を1/3、5000円を2/3で仕込めば胴元に儲けはありません
胴元が儲けるには、20000円の比率をもっと低く設定しているでしょう
まあでも胴元は赤字覚悟で20000円を多く仕込んでいるかもしれません
それは胴元にしか分かりません
それをあなたは、1/2で20000円だと言う

ギャンブルをやめたほうがいいと言うよりも
詐欺師に騙されないように進言しますよ
0491１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/08(土) 22:33:08.70ID:VC9jHs2M
>>490
何を馬鹿なことを言ってるのか。
胴元が仕込んだ段階では、客が１万円を引いてくれる保証はないんだが。
胴元に一体どうやって儲けさせる気かね。
キミの頭の中に詰まってるのは生ゴミか。
0493１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/09(日) 00:05:32.31ID:xPRuscHl
>>491
それなそれな。
胴元が仕込んだ段階では客が１万円を引いてくれる保証はないので、
客が１万円を見た時に他方の封筒が５千円と２万円の確率が1/2づつと考えることは、
客がa円を見た時に常に他方の封筒がa/2円と2a円の確率が1/2づつと考えることと
セットでないと、不自然過ぎる。つまり、>>476。
0494１３２人目の素数さん
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2017/04/09(日) 01:04:37.22ID:rJtFJppc
客が１万円を引いてくれる保証は無い
ここに答えが書いてるじゃん
つまり、１万円を引かなかった時、客が引いた金額は？
５千円だな
２万円なんて入れてないよ俺
客が１万円を引いた時だけを切り取って考えるから
２万円という幻を見るんだな
0495１３２人目の素数さん
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2017/04/09(日) 06:34:50.98ID:9YvBkShC
二つの封筒問題で、他方の封筒に5000円が入っている確率、20000円が入っている確率
いずれも1/2だと考えている方々に、設定の異なる問題を作りましたので、お考えてみてください。

二つの封筒があります。異なる金額の小切手が入っていることだけが判っています。

case1：一つを選んで中を確認したところ、10000円の小切手が入っていました。
case2：一つを選んで中を確認したところ、100000円の小切手が入っていました。
case3：一つを選んで中を確認したところ、1000000円の小切手が入っていました。
case4：一つを選んで中を確認したところ、10000000円の小切手が入っていました。

もう一つの封筒に入っている小切手の金額が、選んだ封筒の金額より大きい確率はどのcaseでも1/2なのでしょうか？
0497１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/09(日) 08:41:19.04ID:tSoMgiWi
>>495
>異なる金額の小切手が入っていることだけが判っています。

この条件がある限り、選んだ封筒が高額側か低額側かの確率は1/2
封筒を開けて中の金額を確認しても、確率を改訂する情報は依然として得られない。
結局、case1～4のすべてにおいて

>もう一つの封筒に入っている小切手の金額が、選んだ封筒の金額より大きい確率はどのcaseでも1/2なのでしょうか？

の答えは当然yesになる
0498１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/09(日) 09:08:46.65ID:9YvBkShC
予想通りの回答ありがとう。
続いて、さらに条件を少し加えます。

小切手に書かれている金額に、上限が設定されていることが判りました。
ただし、先ほど確認したいずれの金額よりも、十分大きいことは保証されています。
これにより、回答は変化しますか？

さらに、小切手に書かれている金額として、0円　もokとします。
これにより、回答は変化しますか？
0499１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/09(日) 09:58:43.12ID:6uUT3uE3
>>498
確認した【いずれの】金額よりも、
十分大きいことは保証されている

従って、
すべての整数の金額を見ても
胴元は、その2倍金額のを用意できる
すなわち、
1/2のまま、変化しない
0500１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/09(日) 11:14:00.38ID:9YvBkShC
同一人物かどうか判りませんが、「1/2派」としてのスタンスの確認ありがとう。問題を拡大します。

三つの封筒があります。全て異なる金額の小切手が入っています。
小切手の金額に上限があること、その上限は、これから確認するであろう
金額よりも十分大きいことも知ってます。また、0円小切手もあり得るとします。
三つの内、二つの封筒を確認しました。10000と100000でした。
残りの封筒の中の金額が、10000未満である確率、10000より大きく100000未満である確率、
100000より大きい確率、それぞれ1/3づつだということでokですね。

三つの封筒には、順番をつけられる。確認前はその順序づけとして3!通りあるが、そのどれなのかは
全く対等、．．．等と検討の結果、上のように結論すると予想されますが、いいでしょうか。

さらに拡大します。五つの封筒があります。全て異なる金額の小切手が入っています。
小切手の金額に上限があること、その上限は、これから確認するであろう
金額よりも十分大きいことも知ってます。また、0円小切手もあり得るとします。
五つの内、四つの封筒の中身を確認しました。小さい順にならべると、x,y,z,w
残った封筒の小切手の金額について、
xより小さい確率、xとyの間にある確率、yとzの間にある確率、zとwの間にある確率、wより大きい確率、
これらは、x,y,z,wがどのような値であろうとも、常に1/5づつだという事でよろしいですね。
0501１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/09(日) 11:31:59.88ID:uEaliu7J
>>>500
>>497>>499とは別人物ですが、よろしいと思います。
五つでも幾つでも、確率はみな同じです。「幾つ」が特定される限りは。
0502１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/09(日) 14:08:28.00ID:6uUT3uE3
>>500
三つの封筒の件のみ、そして、
1万円未満の確率のみ、以下に解答します

まあ
封筒F1 　封筒F2　封筒F3　として
金額の順列　3P3 = 3! = 6通りですね

開封前だと、
　　P（F1＜F2＜F3）= 1/6
　　P（F1＜F3＜F2）= 1/6
　　P（F2＜F1＜F3）= 1/6
　　P（F2＜F3＜F1）= 1/6
　　P（F3＜F1＜F2）= 1/6
　　P（F3＜F2＜F1）= 1/6
　　よって
　　P（F1＜F2）= 1/3　 ──　◎

3つの封筒内、2つのを開封後
　　F2=10000 F3=100000を見たのだから
　　◎に　F2=10000を　代入だぁ!
　　P（F1＜10000）= 1/3

ということで、

残りの封筒の中の金額が、
1万円未満の確率は、1/3となるんです。

以上

せっかくだから、
数式をほぼ使わず解説すれば次の通り

開封前は、
F1が一番小さいくなる確率は、
1/3である。

順列3P3=6通りのうち、
（F1＜F2＜F3）と（F1＜F3＜F2）の2通り
のため

開封により、新たな情報が加わった
10000円という情報だ
従って、ベイズ流アプローチで、
10000円未満の確率は、1/3
0505１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/09(日) 23:14:41.49ID:Q12Xlh+G
ギャグでしょ
ベイズ確率じゃないのにベイズ流アプローチとか言ってる部分が笑う所
0506１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/09(日) 23:16:59.67ID:p/z4FfaH
まんまと罠にハマり見てて面白いのだが、テンポが悪いのが頂けない
0507１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/10(月) 07:13:15.35ID:bVYbWT5l
２封筒問題は、
【どの金額についても】交換で25％得になる
　から
【すべての金額で交換して25％得】になる
を導き出して勝手に不思議がってしまうという、単なる誤謬推論の問題。

しかしその前段階に、
「10000円を見たときに、それが高額の方である確率は未開封時の1/2から改訂されるか」
「事前分布の後出しは正当か」（本当は「事後分布の先決め」ですが）
というステップが控えているのでした。

　「1/2から不明に変わる」と答える人は、「事前確率」というものが規約的な概念であり、どこに設定するかは自由であるという基本がわかってないのではないか。
　「{10000,5000}の事前確率が不明なので事後確率も不明であるべき」というのはナンセンスです。
　金額の大小の事前確率は明瞭であり、そこへ確率不明の別カテゴリの事象が影響を及ぼすことはありえないからです。
　不明な事前確率はいかなる問題設定の前にも想定できるので、「不明」派の主張に従うと、すべての確率問題の事後確率は「不明」が正解になってしまうでしょう。
　事前確率は、事後確率へ改訂するベースとしてあるのであって、推論を妨害するために立ちはだかる障害などではありません。
0508１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/10(月) 08:54:31.70ID:JikDP3vp
>> 残った封筒の小切手の金額について、
>> xより小さい確率、xとyの間にある確率、yとzの間にある確率、zとwの間にある確率、wより大きい確率、
>> これらは、x,y,z,wがどのような値であろうとも、常に1/5づつだという事でよろしいですね。

によって、もう詰ましたつもりだったのですが、判らなかったのでしょうか？
具体的な数字を入れてみれば判るでしょうか
例えば、x,y,z,w　が　10,20,1000000,1000010　だとすると、
10未満である確率も、20より大きく1000000より小さい確率も、
1000000より大きく1000010より小さい確率も、全て1/5だといっているのです。
とんでもない主張です。

別の説明を与えましょう。
五人の生徒に好きな正の数字を思い浮かべてもらいます。
途中で変更しないよう、何かに記録してもらうのがいいでしょう。
念のため、同じ数字を思い浮かべた人がいないかチェックしておきます。これで準備完了です。

五人の中から適当に四人を選び、思い浮かべた数字を公開してもらいます。
思い浮かべた数字を小さい順に、x,y,z,w　とし、残った一人の人が思い浮かべた数字をa　とすると、
P(a<x)=P(x<a<y)=P(y<a<z)=P(z<a<w)=P(w<a)=1/5
だと主張されているのです。x,y,z,w　がどのような値であろうと等しいというのです。全く滑稽だと思いませんか？
0509１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/10(月) 08:55:00.60ID:JikDP3vp
1/5という確率が与えられるのはつぎのようなケースです。
四人に黒板の前に来てもらい、四人の中だけで、数字を見せ合って、「順位確認」を行い、
その順番に従って横一列に並んでもらいます。
その状態で、五人の数字を知らない人が、残った人がその列に入るとしたら、どの位置に入るか
予想してもらう。この時、正答する確率です。
x,y,z,w　等の生の値は非公開、四人の中での大小関係、順位付け情報だけを知っている立場の人が、
第五の人がどの順位に入り込むか、それが問われたときに正当する確率です。

第五の人が思い浮かべた値が、残りの四人が思い浮かべた数字によって、
可能性が1/5づつに等分されるように、範囲が限定される、等ということがあり得るわけが無いでしょう。

これが、二つの封筒問題とどのように関連するか？

生の数字は関係ない。大小関係、あるいは、順位だけが関与しているということを認識してもらうためです。
二つだと、生の数字が確認でき、その値自身が重要な意味を持っていると考えてしまいがちですが、
それを三つだとか、五つに拡大すると、数字の値自身は関係なく、大小関係・順位の方にこそ
本質があるのだと気づくはずです。
0510１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/10(月) 08:55:31.07ID:JikDP3vp
くどくなりますが、もう一例。
三人に好きな数字を思い浮かべてもらいます。勝手に変更しないよう、どこかに記録だけしてもらいましょう。
そのうち二人に前に来てもらい、横に並んでもらいます。

この状態で、第三の人が、「入るべき位置」を予想してもらいます。
目標は、三人が思い浮かべた数字が、順に並ぶようにすること。昇順か降順かは問いません。
正当の確率は明らかに1/3です。
もし、前にいる人が数字を明らかにすると、どうなるでしょう。
例えば、一人はきわめて大きな値、もう一人は、非常に小さい値。
たぶん、第三の人は、両者の間に入る確率が高くなります。
もし、二人の数字が非常に近かったらどうでしょう。両者の間に入る確率は小さくなります。

このように、数字が公開されると、確率を変動させる要因になります。三人だと、こんな感じですが、
五人だとどうでしょう。たとえば、前に出た四人が思い浮かべた数字が、10,20,1000000,1000010 だったら？
20と1000000の間に入る確率と、1000000と1000010の間に入る確率が同じとは思わないでしょう。
数字が公開されても、1/5づつという主張はこういう主張です。

二つの封筒問題では、金額確認前は確率1/2づつですが、確認するともう使えません。これと同様です。
三人や五人だと、なるほどおかしいなと思うとっかかりを見いだすことができますが、二人だと難しい。
これが二つの封筒問題から未だに抜け出せない人がいる要因の一つなのでしょう。
0511１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/10(月) 08:56:01.94ID:JikDP3vp
【今まで確率1/2だったものが、金額を見ると確率不明になる】というのをみて、「情報が減った？」などと思って
いる人たちがいるようだけど、全くの間違い。その説明を与えます。

二つの封筒をAとBとします。Aの中の金額をx、Bの中の金額をyとし、x-y平面上に点で表すと
二つの封筒の組み合わせと、第一象限のどこかにプロットされる点が一対一に対応されます。
まずは「金額は正、二つの封筒の中の金額は同じではない」という条件だけを課すことにします。
第一象限は直線y=xによって対称的に二分されます。この二つの領域が対称だから、二つの封筒の中身を
表す点は、それぞれの領域に確率1/2でプロットされると考えることができます。
これは、xとyの入れ替え、あるいは、封筒のAとBの名前の入れ替えや、右の封筒を選ぶか、左の封筒を選ぶか等、
一連の対称性を起源として、確率1/2が与えられます。
「封筒の中の金額は同じでは無い」とした以上、x>yか、x<yかのどちらかであり、領域が対称だから確率1/2づつだという、
至極当然な事に由来する結論です。言い換えれば、ほとんど情報が無い状態ともいえます。

ここに、「一方が他方の二倍」という条件を課すと、第一象限を二分した二つの領域のどこだか、全く不明だった状況から、
直線y=2xかx=2y上のどこかへと変化します。「領域のどこか」から「V字状の直線上のどこか」へと変化します。
この二つの直線は、対称軸y=xに対し対称な直線だから、依然として、対称性が保たれ、
y>xの領域にある直線y=2x上にある確率が1/2、y<xの領域にある直線x=2y上にある確率が1/2　は維持されます。
【今まで確率1/2だったものが、金額を見ると確率不明になる】の前半に現れる確率1/2というのは、将にこれ。
しかし、本来は点で表される封筒の金額が、線上のどこかだと言っているだけ。
「点」という視点で見ると、未だに候補が無限にあります。
0512１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/10(月) 08:56:34.67ID:JikDP3vp
その後、一方を引いて10000と確認します。
確認した封筒を仮にAだとすると、x=10000という制限が加わることになりますが、x=10000という直線は、
直線y=xに関して対称ではありません。つまり、これまで、用いてきた「対称性」という道具はもう使えなくなります。
先のレスでも書いたようにこのような生のデータが加わると、対称性由来の確率は使えなくなります。
つまり、確率1/2と判断していた前提が失われます。

しかし、x=10000を得て、(x,y)=(10000,5000)または(10000,20000)のように、点としての候補が二つに限定されます。
「Ｖ字直線上のどこか」と、無限にあった候補が、たった二つに絞られたわけで、「情報が減った？」等
と言うことは断じてありません。ただし、どちらの点なのか、それぞれの確率は不明だと言っているだけです。
0513１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/10(月) 09:31:02.38ID:D3AqliPs
>>512
やっとまともな人が来てくれた兆候。
では質問。
情報は減ってない件について。
「どっちが高額か当てるギャンブル」をやっているとすると、情報が減ってますよね。
開封前は1/2を指針として掛金を決めて、それでうまくいっていたのに、
開封したとたんに掛金を決める指針がなくなってしまうのだから。
それは合ってますか？
0514１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/10(月) 09:43:45.54ID:JikDP3vp
>> 開封前は1/2を指針として掛金を決めて、

それは指針と言えるのですか？


掛け金の金額決定について何か具体的な戦略を持っていて、
その採用している戦略を説明していただけるのなら、何かの
アドバイスができるかもしれませんよ。
基本的にローリスクローリターン、ハイリスクハイリターンの原則は
経済でもギャンブルでも同じです。
0515１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/10(月) 10:58:01.23ID:D3AqliPs
>>514
二つの封筒から選んで、
高額の方だったら一万円もらえて、低額の方だったら5000円払わされる、というギャンブル。
封筒内の生の金額に関係なく、大小だけを当てるギャンブルです。
参加費2000円ということなら、やるべきですよね。
胴元がアホだったかうっかりしていたということで、つけ込むべきです。
未開封である限り、1/2という指針でやっていけます。
ところが、選んだ方を開封するルールになったら、このギャンブルは得か損か、不明になるってことですね。
0516１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/10(月) 13:06:41.67ID:JikDP3vp
「不明になる」というのは、今まで採用していた対称性からの帰結、確率1/2とする根拠が無くなるという意味です。

通常このような問題で、新しい情報を得ることは、より高確率で勝ちにつながる情報につながる可能性を秘めています。
しかし、対称性が崩され現状の認識が混沌となる場合もあるし、一気にシンプルになる場合もあるでしょう。
情報の内容にもよるのでしょうから、ケースバイケースと言っておくのが無難でしょうか。

このギャンブルの場合、もともと有利なゲームです。
金額を確認せずに行うと、一回当たり+500円が期待されるゲームです。
開封後、交換の選択が可能となった場合には、+500円以上(ただし正確な値は不明）が期待される
ゲームとなるでしょう。
なお、ギャンブルと言うことで、繰り返し行うことや、データの蓄積により、封筒内金額の傾向を
分析し優秀な戦略を作れることを前提にしてます。

二つの封筒問題では、繰り返し行うことによるデータの蓄積は考えません。
問題に現れる生の数字は事実上10000だけで、比較対象として存在するのは人為的な5000と20000。
これらとの比較は、高額側か低額側か以上の深い意味はありません。
10000と言う数字の観測により対称性が崩され、高額側か低額側かという視点で与えられる確率1/2づつ
という認識を捨てなければならなくなります。
しかし、きわめて重要な情報も得ています。他方の金額は確率１で、5000か20000です。
確認前は、100もあれば、100^100の可能性すらありました。無限にあった候補が二つだけに絞られたのです。
0517１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/10(月) 17:09:33.71ID:w9cu68ok
小学生にも分かる説明するぞ
２つの封筒に大きい金額と小さい金額が入っています
片方を選んで開けてみたら、「当たり」と書かれた封筒が出てきました
「当たり」と書かれた封筒には100％高い金額が入っています
これで確率は50％から100％に変わりました

別の機会に、片方の封筒を開けました
今度は、金の封筒が出てきました
金の封筒には、80％の確率で高い金額が入っています
これで、確率は50％から80％に変わりました

また別の機会に、片方の封筒を開けました
今度は、10000円が入っていました
10000円が高い金額である確率は、分かりません
なので、確率は50％から分からないに変わりました

10000円が高い金額である確率が分かっていたら
交換の期待値も出せたのにね
0518１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/10(月) 19:11:30.37ID:ORaxsVnU
良いアプローチだが、

「当たり」と書かれた封筒には100％高い金額が入っています
これで確率は分からないから100％に変わりました

金の封筒には、80％の確率で高い金額が入っています
これで、確率は分からないから80％に変わりました

10000円が高い金額である確率は、分かりません
なので、確率は分からないのまま変わりません

でないとな。
0519１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/10(月) 20:37:29.49ID:w9cu68ok
まあ確かに、
右の封筒、大きい封筒、汚れた封筒、
そっちを選んだ時点で確率は分からないになるね
0520１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/10(月) 21:08:12.56ID:w9cu68ok
ただ、
右の封筒が当たりの確率は90％です
開けてみたら黒い封筒が入っていました
黒い封筒が当たりの確率は10％です
つまり当たり：はずれ＝9/100：9/100で
当たりの確率は50％になりました

なので、右の封筒の確率が分からないと
黒い封筒が出ても、当たる確率は分かりません
金の封筒が出ても分かりません
確実なのは、「当たり」の封筒だけです
って事になるね
0521１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/11(火) 07:02:48.52ID:Epae33+V
>>516
>「不明になる」というのは、今まで採用していた対称性からの帰結、確率1/2とする根拠が無くなるという意味です。

違うでしょ。
「不明」というのは、結局、「確率1/2」を言葉で言い換えただけだよ。

封筒を開けて１万円を確認したら、高額か低額かの「確率1/2」が「不明」になったって（爆）。
「不明」と「確率1/2」は同じ意味だろうが。
0524１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/11(火) 09:37:08.66ID:qWYkLqof
>>521
いやあ、言われてみれば全くその通り。
一体今まで何を議論してきたんだろうね。
0525１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/11(火) 09:58:37.16ID:Li9H/752
>>521
類題：「不明」について

ここに、ひとつの封筒があり、その中には
5000円か20000円かのどちらかが入っています。
あなたは、これを12500円で買いますか？

いいカモだな。
0526１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/11(火) 12:18:40.29ID:qWYkLqof
>>525
少し脳みそが足りないな。
それは２封筒問題じゃ無い。
参加するのはキミぐらい。

２封筒問題では、
顧客が最初に選ぶ封筒が高額側か低額側かを胴元はコントロールできない。
できるなら胴元はボロ儲けできるが。
それとも顧客が見ている前で封筒の中身をすり替えるのかね。
0527１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/11(火) 14:02:08.75ID:LnuKkxMJ
参加するのは、>>521だろ。
好きにさせとけば良いんだろうがね。

二封筒問題で、確率1/2なのは
用意された封筒から高額側を引くか低額側を引くか。
{5000,10000}から10000を引く確率が1/2
{10000,20000}から10000を引く確率が1/2 なだけで、
{5000,10000}が用意されていたか
{10000,20000}が用意されていたかはそれとは別問題。
どんな封筒を用意するかは、胴元にコントロールされている。

私なら、{5000,10000}を用意して
10000を引かれた時だけ交換のオプションを提示するな。
0528１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/11(火) 17:56:43.28ID:mOnUUBjf
阿呆か
封筒を選んでから、交換してもいいなんて言われたら疑うに決まってるだろ。
0532１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/11(火) 21:45:54.58ID:Epae33+V
>>527
>二封筒問題で、確率1/2なのは
>用意された封筒から高額側を引くか低額側を引くか。
>{5000,10000}から10000を引く確率が1/2
>{10000,20000}から10000を引く確率が1/2 なだけで、

これは当たり前

>{5000,10000}が用意されていたか
>{10000,20000}が用意されていたかはそれとは別問題。

ここが異常
{5000,10000}が用意されていたか{10000,20000}が用意されていたか
全く不明なら、各々に確率1/2を割り振るしかない。
0533１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/11(火) 22:20:25.40ID:LnuKkxMJ
そこが異常。
商店街の福引は、公営の宝くじと違って
各賞の総数・当選率が発表されないが、
だからといって、一等の当たる確率が
1/2と仮定するかね？
常軌を逸っしてるよ。
0534１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/11(火) 22:45:21.47ID:c1wThjCj
>>533
総数がわからないんじゃ確率を決めようがないのは当たり前。
総数が二つに絞られた場合を考えるのが二封筒問題。
それに一等が二等より確率が低いというのが常識。
二封筒ではそういう常識がないので、理由不十分で1/2
0535１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/11(火) 22:54:36.40ID:c1wThjCj
>>533
ちなみにベイズ推定では、
商店街の福引のように総数もまったくわからない場合も、
一等の確率を適当に「五百分の一」などと決めてよい。
(もちろんそれなりの理由に従って。理由が何もなければ1/2だが、
一等は「確率が低い」という常識があるから、その辺は他の福引を参考に)
データが得られるたびに更新していけば、
どういう値から出発してもしまいにはほぼ正解に至る。
0536１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/12(水) 00:30:43.05ID:1AZEzS/d
至った確率が本当の確率であって
暫定的な1/2は真の確率では無いって事だろ
0537１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/12(水) 01:07:14.10ID:F7hwLKBm
封筒の額のうち高額側の額Xが任意のaに対し
①a<X<a+1となる確率が等しい ②a<X<2a となる確率が等しい

前者では交換後の期待値は12500円だが、後者では10000円の
封筒が高額側である確率は低額側である確率の倍になるの
で、交換後の期待値は2/3*5000+1/3*20000=10000で同じになる。

入ってる額が全く未知の場合は後者で考えるべきということなのでは?
0538１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/12(水) 01:50:54.12ID:h5OJ/XlZ
理由不十分なら1/2、確率不明なら1/2、って言う人に
理由不十分だからと言って1/2とは言えない、って説得するのは無茶だろ
違う公理系でモノを喋ってんだから
0539１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/12(水) 08:33:22.16ID:8biiYZNG
>>538
理由不十分の原理は、公理ではなく、標語だよ。
理由不十分のときに、何を一様分布とするか
すら決まっていないんだから。概ね気分の問題。
Xが不明なときに、Xが一様なのか、logXが一様なのか
他の何かが一様なのか、とか。どうにでもなる。
２つの封筒の問題でも、封筒の金額が一様分布と
5000と20000が等確率では、話が違ってくる。
0540１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/12(水) 08:48:18.61ID:XdBMQtld
そもそも真実が「わからない」から「確率」が出てくるのであって、
２択Ａ、Ｂで、いずれかが必ず真だがいずれが真か全く「わからない」のであれば
そのわからない（情報を持っていない）人にとっては
Ａが真である「確率1/2」、Ｂが真である「確率1/2」と言い換えたものと全く同義。

「わからない」という言葉のままにしておくべきという「へ理屈」を理解しろったって無理だろ。
0542１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/12(水) 13:56:07.43ID:8biiYZNG
>>540
Ａ、Ｂどちらが出るかわからないのと
Ａ、Ｂどちらが出やすいかわからないのでは、
わからないものが違っている。
白石10個黒石10個の壺から石を取り出すのと
比率不明で石が20個入っている壺から取り出すのでは、
白石が出る確率は違うはずだ。
「解る」は「わかる」。
似たように見えるが実は違うものを区別することから
理解は始まる。
糞味噌一緒では、話にならない。
0543１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/12(水) 14:12:26.92ID:XdBMQtld
>>542
１個の石を取り出して、それが白石である確率は

>白石10個黒石10個の壺から石を取り出すのと

ベイズ確率　1/2
頻度確率　1/2　（実際に多数回やれば大数の法則により1/2に収束する）


>比率不明で石が20個入っている壺から取り出すのでは、
>白石が出る確率は違うはずだ。

ベイズ確率　1/2（白か黒かは必ず決定されるが、どちらかは全く不明だから）
頻度確率　0～1（実際に多数回やれば大数の法則により0～1のいずれかに収束する）

ただそれだけのこと。
もっとも後者では、「頻度確率ってのは使えねえなあ。」となるが。
0544１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/12(水) 14:50:49.81ID:YgczLMmH
「ベイズ確率」ってのも定義不明な言葉だが、
ベイズ改訂を経ていない確率を「ベイズ確率」とは言わないんじゃないか？

白石10個黒石10個の壺から石を取り出す場合
確率論的確率　1/2
統計学的確率　1/2　（実際に多数回やれば大数の法則により1/2に収束する）

比率不明で石が20個入っている壺から取り出す場合
私の仮定　　　1/2　 （だって、そう思う）
統計学的確率　0～1　（実際に多数回やれば大数の法則により0～1のいずれかに収束する）

とでも言うべき。
0545１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/12(水) 14:52:28.88ID:7eL4KZYW
>>542 >>543
>比率不明で石が20個入っている壺から取り出す
↑これしか書かれていないならば、
「その条件を満たすどの壺」かは自由だから、
白黒の頻度確率の期待値をとれば、頻度確率でも1/2。
0547１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/12(水) 16:16:44.49ID:7eL4KZYW
>>546
「この壺」とはどの壺かは自由だから……
とやってると終わらないからやめるけど、
「この壺」の中身ははじめから決まっている」というのは
統計学的にはＯＫでも、確率の話をしてる文脈ではＮＧだな。
「ヒッグス粒子が存在する確率」とか普通に言ってたし、
過去の決定済みのことについてゼロと一以外の確率はいくらでも言えるし言うべき。

　1/2組の勝ちだな。
0548１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/12(水) 17:06:25.69ID:1AZEzS/d
そもそも確率ってのは
同様に確からしい
でないと成立しないのでは
0550１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/12(水) 21:11:26.36ID:7CN2m/s8
主観確率(非統計学的確率)でも
理由不十分の原則から、直ちに白石の確率1/2とした場合の確率と
ベイズ推定の前提となる分布を仮定して、その仮定から白石の確率1/2と導出した場合の確率
は区別すべき
「ベイズ確率」と呼ぶに相応しいのは後者だろう

前者について
数学的には「理由不十分の原則」は単なる仮定だから
「白石の確率1/2と仮定したので、白石の確率1/2」というトートロジーな主張と数学的には同じ

後者について
ここでの話では情報が与えられてないのでベイズ推定のしようがない
しかしこの手の話ではこの後、壺からいくつか取り出して見た後の確率について考えるのがベイズ統計の例話として定番で
その場合そういう情報を得た後の確率(事後確率)を求める為には、情報を得る前に壺の分布をなにかしら仮定するのだが
その分布を用いれば、ここでの話のような情報を得る前の確率も計算によって導出することができる

前者と後者は
「直に白石の確率を仮定する」か「壺の分布を仮定して、白石の確率を導出する」かの違いで
どちらも勝手な仮定(主観的に決めた仮定)をしていて、どちらの仮定の妥当性についても数学的には何も言えないが
有用性については断然後者の方が上
前者の仮定だけから導出される事柄はほとんどないが
後者の仮定はそれだけで(新たに別の仮定をすることなく)多くの事柄を導出できる
0551１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/13(木) 07:30:12.53ID:6x/u+uIG
>>543 >>544 >>545 >>546

>>比率不明で石が20個入っている壺から取り出す
>↑これしか書かれていないならば、
>「その条件を満たすどの壺」かは自由だから、
>白黒の頻度確率の期待値をとれば、頻度確率でも1/2。


白黒あらゆる比率で石が20個入っている壺から石を取り出すことを想定し、
それら可能世界全ての平均を取らなければならない。
当然、１個の石を取り出して、それが白石である確率は1/2。
0552１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/13(木) 08:13:39.28ID:c2kmhn5w
神様が白い石（＝生命が誕生している惑星）、黒い石（＝生命が誕生していない惑星）併せて２０個を
地獄の壺にいれ、一つだけ拾い出して、命の水（生命の誕生または進化を促進するもの）を与えることにした。
全宇宙で平均を取ると白い石も黒い石も半々なのか？
0553１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/13(木) 09:48:24.73ID:k7lVHqsY
>>551
その「取らなければならない」が、勘違い。
「私は取りたい」をすり替えてしまっている。
証拠に、その予想は目の前の「この壺」に対して
めったに当たらない。
「白石である確率は1/2」が当たる確率
を計算してみたら？
0554１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/13(木) 12:25:49.56ID:953bkBtO
>>553
>その「取らなければならない」が、勘違い。
> 「私は取りたい」をすり替えてしまっている。

一体何を勘違いしてるのか。

> 証拠に、その予想は目の前の「この壺」に対して
> めったに当たらない。

目の前の「この壺」って黒白の比率が不明の石が20個入っているのだろ。

黒0白20の壺から黒20白ｾﾞﾛの壺までを平等に考慮しなければならない。

> 「白石である確率は1/2」が当たる確率
>を計算してみたら？

阿呆か
全てのケースで得られる確率を平均すれば白石である確率は1/2とならざるを得ない。
1/2より大きいか小さいかどちらにも偏る理由はない。
0555１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/13(木) 15:01:08.01ID:gIr1XQS5
壺には白石と黒石のみが入っているとして
目の前にある壺が以下のどちらかだということは分かっている;
白石２個と黒石１８個が入った壺A
白石４個と黒石１６個が入った壺B

目の前にある壺から１つ取り出して、それが白石である確率は？


[a] 1/2である。取り出した石は白石か黒石のどちらかだから

[b] 1/10か1/5のどちらか一方である。目の前の壺はAかBのどちらか一方で、Aなら1/10、Bなら1/5だから

[c] 1/10以上1/5以下のどれかである。壺がAである確率が0から１の間のどれかだから

[d] 3/20である。AとBを平均すると3/20だから(あるいは、壺がAである確率が1/2として計算すると3/20になるから)

[e] 0以上1以下のどれかである。確率だから0より小、1より大ではないことは言えるが、それ以上のことはわからないから

[f] 確率は定義されてない。確率空間が定義されてないから
0556１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/13(木) 15:47:22.41ID:GiJ90PhB
>>554
イデオロギーに囚われた人は、現実から目を背ける。
＞黒0白20の壺から黒20白ｾﾞﾛの壺までを平等に考慮しなければならない。
「なければならない」って何だよ？
違反したら、銃殺されるのか？
農業生産を上げるためには、畑に作物を密に植えなければならない！
とやった結果がどうなったかは、歴史が証明しているけどな。
その考えで、目の前の壷をどうするつもりなんだか。

>>555
[c]+[f]だよ。条件に沿うどんな分布を仮定できるかって話だから。
[a]は白痴、[b],[d]は独善、[e]は無関心。
0557１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/13(木) 17:03:04.18ID:4yDwh8Le
>>554
マシな解答はあるが、
a～f　どれもダメ　

>>555
素晴らしい出題だと思われます。
a～f　どれもダメ
モチロン、1/6が正解!

《超天才であるアタクシの解説》

観測した白石が壺A由来の確率を　P(A)
観測した白石が壺B由来の確率を　P(B)
求める確率を　P(白)
とすると、

条件付確率だから、
P(白) = P(白 | A)P(A)+P(白 | B)P(B)

さて、
白石は、壺Aに2個、壺Bに4個　で
取り出したら1個の石が白との題意と、
ベイズ流アプローチにより

出題者が定義する事前確率分布空間は、
P(A) = 1/3 P(B) = 2/3
だということが、分かるんです。

然るに、
P(白) = (1/10) * (1/3) + (1/5) * (2/3) = 1/6

今度こそ正解だね。
0558１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/13(木) 19:05:43.00ID:GiJ90PhB
＞ベイズ流アプローチにより
＞出題者が定義する事前確率分布空間は、

なんやそれ。
ベイズ流なら、事前確率分布を定義するのは
出題者じゃなくお前だが。
0559１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/13(木) 19:32:06.70ID:6x/u+uIG
>>556
>＞黒0白20の壺から黒20白ｾﾞﾛの壺までを平等に考慮しなければならない。
>「なければならない」って何だよ？
>違反したら、銃殺されるのか？

一体何を馬鹿なことを言ってるのか。
全く逆だろ。
わざわざ偏らせろ、さもないと殺すぞと言われてるのか？
違うだろ。

わからないで済むなら確率なんていらんぞ。
0560１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/13(木) 19:32:07.24ID:c2kmhn5w
>>557
「白が出る確率は？」≠「石を取ると白が出た。その石を戻し、その壺から石を取ったとき、白が出る確率は？」
0562１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/13(木) 19:49:17.47ID:GiJ90PhB
一番簡単なのは、壷の石を非復元で取り出してしまうことなんだが、
頓智じゃなく数学の話題だから、それは禁じ手としておこう。

統計学的確率でいえば、
復元抽出を独立反復して、回数が多くなれば
取り出した石の白石率は壷中の比率に近くなる。
壷の白石率をp、抽出がn回反復として、
取り出した石の白石率Xは二項分布B(p,p(1-p)/n)に従うから
n→∞でXはB(p,0)に従い、ほぼほぼ定数pとみなせる…
というのは、実は単に数学上の説明で、
統計学上では、それが任意抽出の定義だからに過ぎない。
頻度主義の立場では、白石率pの壷から白石をとりだす確率
というものがそもそも存在せず、反復抽出でX→pとなること
を援用して初めて白石を取り出す確率が定義される。
そこでは、中心極限定理は、定理ではなく観測された自然現象であり
確率の定義の一部なのだ。「中心極限原理」とでも呼ぶ？

確率論的確率というか、ベイズの方法論でいえば、
P(A),P(B)という確率は存在するので、求めることができる。
復元独立反復抽出n回中w回白石が出たとすれば、
P(白|A)=1/10,P(白|B)=1/5,P(白)=w/nより
P(白)=P(白|A)P(A)+P(白|B)P(B)が
w\n=(1/10)P(A)+(1/5){1-P(A)}となって、 P(A)が求まる。
P(A)=P(B)=1/2と仮定する必要は、特に無かった。
0563１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/13(木) 20:32:16.38ID:6x/u+uIG
>>561
最も不合理でない「仮定」ということだ。
それとも
・何の理由もなく０や１に偏らせる
・ボクわかんな～い
が好きか？
0564１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/13(木) 20:51:09.95ID:GiJ90PhB
ベイズで行きたいなら、ベイズ改訂しろや。
それをしないなら、その「事前確率」とやらは
何の根拠も無い言ったっぱなしの仮定に過ぎない。
0566１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/13(木) 21:17:28.31ID:4yDwh8Le
>>560　>>558
核心的ご指摘より、
重要なことを気がつかせていただき、
感謝いたします。

詳しく解説してみると次の通りです。

>>557における確率で、
壺Aから白 ────　P1
壺Aから別の白 ────　P2
壺Bから白 ────　P3
壺Bから別の白 ────　P4
壺Bからさらに別の白 ────　P5
壺Bからさらに別の別の白 ────　P6

これらのP1～P6が等しいと計算するのは、
その手の確率計算する方々の暗黙の前提
と感じます。
また、その手の確率計算する方の主観です。
もっとも、ワタクシもまぁ自然だと
思います。もっとも
ギャンブルでプレイヤとして
期待値を計算するには、甘すぎます。

さて
1つとりだした石が白なら、
その白は、1/3の確率でAから取り出した
ものとなるでしょう
A由来の確率
　P(A)=(P1+P2)/(P1+P2+…+P6)=1/3　だから

これにより、とりだしたのが壺が
Aである確率は【客観的】に1/3となります

ここまでが、
その手の確率計算する方の確率計算かと

さて、ワタクシの主観なら、
白を取り出す確率はほとんど1です

壺の中は暗いのだから黒い石は、
見えない。黒石があっても、見落とす
からで、
白石の確率はほとんど1は、
問題文と矛盾しません。

この問題は、数学的用語を活用した
国語のように思われます。
国語ですから、正解が無数にあるのでしょう

重要なことを気がつかせていただき、
ありがとうございました。
0567１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/13(木) 21:25:20.47ID:GiJ90PhB
要約すれば、「黒石は見落とすから、白石の確率はほとんど1だと思う」だな。
>>558に書いたように、「思う」は「仮定する」の同義。
イカシたアイディアだとは思うが、それを「ベイズ確率」とは呼ばないで欲しい。
ただ仮定しただけで、ベイズ改訂を経ていないのだから。
0568１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/14(金) 12:49:54.87ID:o+2PMpau
ここに1つの箱がある。中味は5000億円か2兆円のどちらかである。
1兆円払えば箱の中味を得ることが出来る。
この賭けには乗った方が得か？
0570１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/14(金) 16:14:03.63ID:pqboyydb
>>568
2つの封筒よりも、さらに
兆バカバカすぎる面白い問題だ
だからどうしても、解答したくなる

では、解答

高額と低額の平均を期待値と見なし
支払い金額が、期待値より少なければ
得だと判断するとよい

期待値の計算方法だか、
小学生のおつむのヤツなら、
(2 + 0.5)/2 = 1.25兆円と計算して
>>568の、この賭けにのるだろうが、

兆天才のワタクシなら
相乗平均　(2 * 0.5)^ 0.5 = 1兆円と計算する
したがって、この賭けには、のらない

要約
　　金額の平均を計算するときは、
　　相加平均ではなく、相乗平均点だ
0571１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/14(金) 18:31:11.04ID:FeJpyUFF
馬鹿だね。
金額が大きい場合は、平均値ではなく
最悪見積りでリスクを評価すべき。
一兆円が「しまった、次は儲けなきゃね」で済む人
だけが損得を平均で評価できる。
一回失敗したら取り返しつかない人には
それなりの戦略がなけりゃ。
これは、問題を数学に翻訳する時点での話で、
数学以前の問題。
0572１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/14(金) 18:44:49.25ID:e6jO4MHX
>>570
>> 2つの封筒よりも、さらに
>> 兆バカバカすぎる面白い問題だ

「よりも」とか、「さらに」という言葉は、異なる問題だという意識があるから発せられる言葉ですが、
この問題は、金額が異なるだけで、二つの封筒問題と本質的に同じ問題です。
お気の毒ですが、自らの○○をさらけ出しただけです。
0574１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/14(金) 19:03:33.26ID:83ksr8gU
何回もやって、頃合いみてやめるのが正解
0576１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/14(金) 19:11:38.46ID:Ap17BDcv
>>572
>この問題は、金額が異なるだけで、二つの封筒問題と本質的に同じ問題です。

阿呆か、本質的に違うだろ。
0579１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/14(金) 23:10:18.02ID:FeJpyUFF
胴元にとっては、損になる賭けだろ。
期待利得はマイナスなんだから。
持ちかけてはみたものの、相手が応じなくて
ほっとするというのが、実態では？
持ちかけられた相手が自分と同等かそれ以上の
金持ちなら、賭けに応じられて不利な賭けになる。
0580１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/14(金) 23:31:28.26ID:FeJpyUFF
>>571にも書いたが、これは数学というより
問題を数学に持ち込む前の問題。
例えば、年収300万くらいでギャンブルに一兆なんて
賭けようもないオトーサンでも、娘に心臓移植が必要で
一億近い金が掛かるけれど募金もなかなか集まらない
という状況なら、外れたときのことなど考えずに
手術費用の得られる可能性に賭けるかもしれない。
想像力を逞しくし過ぎると、いろんな妄想が浮かんでくる。
「損得」とは何かというのは、個別の事情による
というか、数学的には定義次第の代物で
そこを主観的に同意せずに議論するのは
ポエムでしかない。
0581１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/14(金) 23:42:06.21ID:ozTofqti
それは一万円でも同じことが言えるってのと、胴元は5000億円ばっかり用意すれば損しないよね
0584１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/15(土) 00:23:30.86ID:22kXx2mw
>>581
胴元が損する確率と得する確率は50%50%で、
損したときの被害額のほうが大きい。
損得をまとめて評価するときに、期待値を基準にするなら
どちらかというと胴元が損。
期待値だけが損得の基準でもないけれど。
0585１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/04/15(土) 00:23:47.67ID:ldAK3BPD
比率が分からないので確率も分からない
だから期待値も勝率も分からない
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