２つの封筒問題 Part.3 [無断転載禁止]©2ch.net

**１３２人目の素数さん** · 2017/03/13(月) 07:38:00.05

２つの封筒があり、一方の封筒に入っている金額はもう一方の封筒に入っている金額の２倍である。
一方の封筒を開けると１万円入っていた。あなたはそのままその１万円をもらってもいいし、もう一方の封筒と交換することもできる
そのまま１万円をもらった方が得か、それとも交換したほうが得か。
※前スレ
2つの封筒問題について Part.2
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1456069074

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/04(火) 01:29:32.75

>>425
>> いや、問題文に規定されていない以上、勝手に「重み付け」を考える必要はなく
>> 等確率で現れると考えることが自然。

この「自然」というものは、同じく425に書かれている

>> 繰り返すが、問題文に記載されていない胴元の妄想に付き合う必要はない。

のそしりには当たらないのか？

株主総会で、「私は貴社の株、二千株か1%の株を持っている。私の提案を無視するのか！」
と発言された時、二千株を持っている確率を50%、1%の株を持っている確率を50%と判断して
応対することが自然なのか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/04(火) 02:05:17.26

>>428
では、どういう話をしているというのか。
君は根拠抜きで主張を繰り返すばかりで、
こちらの説明に何の反論もしていない。

>>429
どちらがどちらを包含するかは重要ではないが、
標本空間が問題の条件を満たす候補を全て
含んでいることは必須だ。それを欠けば、
不十分な標本空間を置いた時点で問題を改変
したことになる。サイコロの例を参照。

>>426について言えば、
理解するしない以前に、>>421 >>426は
主張が間違っているのだから、しかたない。
どこがどう間違っているのかは、
>>423 >>427で説明した。
「理解する」とか、「言うことを聞く」とかは、
事実関係を捻じ曲げる悪しきレトリックだよな。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/04(火) 02:08:24.62

>>425 >>430
胴元の話につきあう必要がないことは同意。
胴元を仮定しても特に障害は生じないが、
胴元の行動パターンの範囲と夫々の生起確率を
明示的に仮定したら、結局、封筒の中身の
ありえる範囲と夫々の確率を仮定するのと
何も変わらないので、一段階増やして
胴元を想定することにあまり意味が無い。
最初から封筒の分布を仮定すれば済む。

敢えて胴元の分布を仮定してそこから封筒の
分布を導く場合には、胴元の分布を正しく仮定
しなければならない。特に指定がないから
一様分布と考えるのは構わないが、どのような
胴元が等確率で現れるのか、その範囲を明示
してからでないと、ただ評語のように
「一様分布」と言ったところで、分布を仮定
したことにはならないし、何の計算もできない。
例：数字が書かれたカードの束がある。
　　一枚引いた数字の期待値はいくらか？
ね、無意味だろ。

二封筒問題で、封筒の事前分布をどのように
仮定しても、その仮定が主観的に同意できる
ものならば構わないが、あまり変な仮定だと
「ふ～ん。それで？」で終わる。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/04(火) 02:12:26.49

二封筒問題で、封筒の事前分布をどのように
仮定しても、その仮定が主観的に同意できる
ものならば構わないが、あまり変な仮定だと
「ふ～ん。それで？」で終わる。

A,B が生じる確率 P(A),P(B) は 10000円を
見る前から決まっていると考えるのが妥当。
その上で、10000円を見た後の事後確率
P(A|AorB)=P(A)/{P(A)+P(B)},
P(B|AorB)=P(B)/{P(A)+P(B)} が決まる。
P(A|AorB)=P(B|AorB)=1/2 と仮定することは、
振り返れば、P(A)=P(B) と仮定していたこと
と同じである。

事前分布を仮定する時点では、開けた封筒が
10000円とは知れていないのだから、
もし P(A)=P(B) を仮定するのであれば、
開けた封筒の中身 y がどんな金額であっても
{y/2,y}, {y,2y} の確率は同じと仮定すべき。
すなわち {x,2x} を一様分布とすべきだが、
>>1 の条件
＞２つの封筒があり、一方の封筒に入っている金額は
＞もう一方の封筒に入っている金額の２倍である
を満たす x の候補が無限にある以上、
可算一様分布が存在しないことで破綻する。
つまり、P(A)=P(B) と仮定することは不合理。

散々言われているように、x の範囲を制限して
事前分布を {{x,2x}|xはM以下の自然数} とすれば、
x を一様分布と仮定することは可能であり、
M≧5000 という条件下には P(A)=P(B) となる。
しかし、x を M≧5000 の一様分布 U(1,M) なり
U(0,M) と仮定することに何の妥当性があるのか？
問題文に無い M を勝手に置くことは、恣意的な
問題の改変ではないか。
改変した問題を解いても、二封筒問題としては
「ふ～ん。それで？」という話でしかない。

わからないものの分布を一様分布に仮定するのは、
理由不十分の原理といって、常識的な仮定だが、
二封筒問題で M を置く分布は、
P(x>M)=0 である以上、>>423 に書いたように
一様分布ではない。
どういう理由で、問題に別の仮定を加えることが
妥当だと思うのか。そこを説明しないかぎり、
「仮定は自由」だけでは、もとの二封筒問題を
解いたことにならない。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/04(火) 07:13:52.08

ここが誤解だと思うのですが、
確率問題とは、「個別の設定の真相を当てる（読み取る）問題」ではないんですね。
不明な設定については、可能なすべての設定の平均を取るのが確率問題の作法でしょう。
つまり、２封筒問題の条件を満たすすべての可能世界にいるプレイヤーからのランダムサンプルの平均をとるのです。
そのような母集団のうち、プレイヤーが選んだ封筒が高額である可能世界と、低額である可能世界は、測度が等しいとするのは必然だと思いますよ。
金額については可能世界の集合に何の条件も付いていないわけですから。

「開封後に他方の封筒が5000である確率と20000である確率は等しいとは限らない。」
という人がいますが、そう主張するならその計算をぜひとも教えてください。
開封前は、プレイヤーが選んだ封筒が高額か低額かの確率は1/2とわかっていたが
開封しただけで、わかっていた確率がわからなくなったというのは論理矛盾です。

ちなみに、条件付確率の条件というのは、知られているすべてのこと、かつそれのみ、です。

開封後も、前提（一方が他方の倍）が変わったわけではないので、プレイヤーが選んだ封筒が高額である場合と低額である場合の確率は依然として同じです。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/04(火) 07:51:04.54

封筒内の合計金額を３Ｎとします。もちろん有限値です。
封筒の一方がＮで他方が２Ｎです。

選んだ封筒の中身がＮである確率と２Ｎである確率はともに1/2です。
封筒を開ける前、中の金額の期待値は、どちらの封筒も１．５Ｎです。
当然、交換による期待値の増減はありません。

封筒を開けて10000を見た。この金額がＮなのか２Ｎなのかはわかりません。
しかし、選んだ封筒の中身10000がＮである確率と２Ｎである確率はともに1/2のままです。
これは開封前後で変わりません。

それ故、交換による期待値は、
5000×1/2＋20000×1/2＝12500
となります。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/04(火) 14:20:25.67

>>434
そこが誤解です。
可能なすべての設定の平均を取るためには、
可能なすべての設定の分布を設定しなくてはなりません。
母集団は何であるか、測度は何であるか。
＞プレイヤーが選んだ封筒が高額である可能世界と
＞低額である可能世界は、測度が等しい
となるような母集団と測度を設定してみてください。
母集団が無限なので、
理由不十分の原理で同意し合える一様分布は存在しません。
高額と低額が等測度になるような分布は設定可能ではある
でしょうが、その設定を明示的に書き出すと
かなり不自然であることが明らかになるようなものでしょうね
と言っているわけです。
実際に仮定を明示せずに、たぶん等測度だろうと
言ってしまっている議論は、ここまでにも多かったのですが。

「開封後に他方の封筒が5000である確率と20000である確率は等しいとは限らない。」
その計算は、何度か書いています。>>102 >>126 >>376 >>433
用意された封筒からプレイヤーが高額のほうを開けるか低額のほうを開けるかの
確率は、開封前も開封後も 1/2 で変わりませんが、
開封して 10000 だったという条件下に残りの封筒が 5000 か 20000 かの
確率は、前述のような計算によって２つの封筒の金額の事前分布に依存します。
残りの封筒が 5000 か 20000 かの確率は、
プレイヤーが高額のほうを開けるか低額のほうを開けるかの確率とは
別のものです。ここを混同する人は多いようです。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/04(火) 14:56:13.65

その混同の結果、
＞封筒を開けて10000を見た。この金額がNなのか2Nなのかはわかりません。
＞しかし、選んだ封筒の10000がNである確率と2Nである確率はともに1/2のままです。
＞これは、開封前後で変わりません。
となってしまうわけです。

選んだ封筒の中身がNである確率と2Nである確率がともに1/2であることによって、
もうひとつの封筒が5000である確率は、Nが5000である確率の1/2、
もうひとつの封筒が20000である確率は、Nが10000である確率の1/2です。
両者は等しいとは限りません。

**>>436 >>437** · 2017/04/04(火) 18:58:36.25

>>436 >>437 わからない。詳しく説明して。
「確率は、開封前も開封後も 1/2 で変わりません」
「選んだ封筒の中身がNである確率と2Nである確率がともに1/2」
だとすると、
選んだ封筒が10000なのだから
もうひとつの封筒が5000である確率は、Nが5000である確率の1/1
もうひとつの封筒が20000である確率は、Nが10000である確率の1/1
なのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/04(火) 19:24:16.83

>>438
「選んだ封筒が10000でありかつ、もうひとつの封筒が5000である確率」と
「選んだ封筒が10000であるとき、もうひとつの封筒が5000である確率」
は違う

前者は、Nが5000である確率の1/2
後者は、「選んだ封筒が10000であるとき、Nが5000である確率」

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/04(火) 19:56:44.97

計算過程を書いていませんでしたかね。
>>126と同様に、「一方の中身は他方の２倍」という要請を満たす金額の対
{N,2N} の出現確率を p(N) と置きます。

開けた封筒が10000で、かつ、もうひとつの封筒が5000である確率は、
ふたつの封筒が{5000,10000}で、かつ、そのうち10000のほうを開けた確率なので、
p(5000)*(1/2)と書けます。
開けた封筒が10000で、かつ、もうひとつの封筒が20000である確率のほうは、
ふたつの封筒が{10000,20000}で、かつ、そのうち10000のほうを開けた確率なので、
p(10000)*(1/2)です。
ここで、選んだ封筒の中身がNである確率と2Nである確率がともに1/2であること
を使っていますね。

開けた封筒が10000という条件下に、もうひとつの封筒が5000である条件付き確率は、
Prob(もうひとつが5000|開けたのが10000)
=Prob(もうひとつが5000∧開けたのが10000)/Prob(開けたのが10000)です。
これが、ベイズの定理です。
開けた封筒が10000であるのは、
ふたつの封筒が{5000,10000}で、かつ、そのうち10000のほうを開けたたか、
ふたつの封筒が{10000,20000}で、かつ、そのうち10000のほうを開けたたか
のどちらかなので、
Prob(開けたのが10000)=p(5000)*(1/2)+p(1000)*(1/2) です。
結局、Prob(もうひとつが5000|開けたのが10000)
={p(5000)*(1/2)}/{p(5000)*(1/2)+p(1000)*(1/2)}
=p(5000)/{p(5000)+p(1000)} となります。
開けた封筒が10000という条件下に、もうひとつの封筒が20000である条件付き確率も、
同様に、Prob(もうひとつが20000|開けたのが10000)
=p(10000)/{p(5000)+p(1000)} と計算できます。

これが、>>102 >>126に出てきた式の導出です。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/04(火) 21:00:12.29

>>431
> 標本空間が問題の条件を満たす候補を全て
含んでいることは必須だ。それを欠けば、
> 不十分な標本空間を置いた時点で問題を改変
したことになる。サイコロの例を参照。

問題の条件など書かれていないし、『必須である』というのもお前の思い込みである。
そんなことは一切書かれていない。

書かれていない以上、帰結は得られない。
有限としようが無限としようが、NにしようがQにしようがRにしようが、なんの矛盾も起こらないことがそれを証明している。

一歩譲ってお前の思い込みが正しいとすれば、1以上の自然数しか含んでいないお前の標本空間は自動的に間違いとなる。
1以上の自然数しか封筒に入らないとはどこにも書いてないのだからな。

『全ての候補』など明示されていないので、『それを全て含めなければいけない』と言われても無茶である。
子どもでも分かる理屈だろう。
そもそも『全てを含めなければならない』とも書いていないのだから大無茶である。

ここまで言ってもお前はサイコロの例を出してお茶を濁すのだろう。
サイコロはなんの反論にもなっていない、ということすらお前には分からない。

お前は根本的に論理が分かっていないのである。
仮定と結論の区別は他人と議論する前に終えておくべきこと。
でなければ紛糾するのは必然だ。

お前のような奴がデカイ顔をしてるのを見てられないのでコメントしたが、お前の馬鹿コメントはしっかり記録された。
あとはお前の好きに、自由にやったらよろしい。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/04(火) 21:03:30.33

そもそも、ふたつの封筒が{5000,10000}や{10000,20000}である確率などゼロだ。
何のために無意味な計算をしているのか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/05(水) 00:30:35.82

>>436
>
>高額のほうを開けるか低額のほうを開けるかの
>確率は、開封前も開封後も 1/2 で変わりませんが、（中略）
> 残りの封筒が 5000 か 20000 かの確率は、
>プレイヤーが高額のほうを開けるか低額のほうを開けるかの確率とは
>別のものです。
>

別のもの？　同じものとしか読み取れない……

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/05(水) 01:10:54.62

>>441 ほら、また、今回も。
罵って否定しているだけで、何の根拠も書いていないから、
反論になっていない。「そんなのやだ」と言ってるだけだ。

＞有限としようが無限としようが、NにしようがQにしようがRにしようが、
＞なんの矛盾も起こらないことがそれを証明している。

アホか。事前分布を、例えば
{10,20}, {100,200}, {1000,2000}, {100000000,200000000} の
一様分布と仮定したら、開けた封筒が 10000 だった時点で矛盾する。
自分が何言ってるのか判って言ってるのか？

>>442
＞そもそも、ふたつの封筒が{5000,10000}や{10000,20000}である確率などゼロだ。

それでどうやって、最初に 10000 を引き当てるつもりなのか。
{10,20} の対から確率 1/2 でかな？　へー

>>443
＞別のもの？　同じものとしか読み取れない……

そこまで鈍い頭では、二封筒問題には手がでないだろう。
そんなに難しい話じゃないんだが。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/05(水) 07:19:29.26

>>444
>それでどうやって、最初に 10000 を引き当てるつもりなのか。

阿呆かいな。開封版だろ。
10000を引いてからの話だろうが。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/05(水) 15:58:57.45

>>445
何言ってんだ？
事前分布に10000の封筒を含む封筒の組が無かったら、
10000を引きようが無いだろ！って話だよ。
事前分布は、問題文に書かれてないから何にしてもいい
ってんなら、そういう事が生じるだろ？ということ。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/05(水) 16:09:34.31

>>446
何を馬鹿なことを言ってるんだ。
無数にある封筒の組の中から10000の封筒を含む封筒の組を引き当てる確率はゼロに決まってるだろうが。
一体何のためにp(5000)/{p(5000)+p(1000)}やp(10000)/{p(5000)+p(1000)} ような無意味な計算をしようとしているのか？
と聞いてるんだ。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/05(水) 18:12:23.20

全部ざっと読んだところ>>422>>425>>445>>447あたりが正論かと感じられます。
（それらお互いの間で不同意があるかもしれませんが……）

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/05(水) 18:36:17.82

>>448
そう感じるようなら、賭事・勝負事には
決して手を出すさないことを勧める。
ネットなら、言い張り続ければ敗けは来ないし、
試験なら、ペケ１個もらうだけだが、
金が絡むと、悲惨な話もよく聞くからね。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/07(金) 02:14:03.85

このスレやり取り見てて何か難しくてよく分かんないけど
すごく面白い。
だから、持論と感想文を書いてみました。
以下のとおりです。

正論は>>422>>425>>445>>447あたりと感じます。
が、なにか根本的にモヤモヤする部分もあるけど
まぁ
ベイズなくせに、事前分布不明なんて問題ですから
どんな正論でも、トンデモに見えるのだろう。

ちなみに、私の考えでは、以下のとおりです。

P(10000) / (P(10000)+ P(5000)) は、[0,1] で不定値
P(5000) / (P(10000)+ P(5000)) も、[0,1] で不定値

交換が「得」つまり、２回目が高額の確率を P とし
１回目の期待値 E1 とし、
２回目の期待値 E2 とするとき

１回目の開封前
　　P=0.5 E1=E2
　　ただし、E1 E2は、不定（事前分布不明のため）

１回目の開封で 10000円を見た　尚、２回目の開封前
　　Pは、0.5からベイズ改訂で[0,1] の不定値に逆収縮
　　　　※不定値に改訂は、事前分布不明だから
　　E1 = 10000 に収縮
　　E2 は [5000,20000]の範囲に収縮 but 不定値
　　　　※不定値となるのは、事前分布不明だから

２回目の開封後
　　(P,E1,E2) = (0,10000,5000) または、
　　(P,E1,E2) = (1,10000,20000) のいずれかに収縮

最後に感想を書きます。以下のとおりです。
交換するだけで期待値が1.25倍。
100回交換すると、1.25^100倍まあこれは無理か
どんな金額を見ても期待値が1.25倍になる事前分布
そんなものを作ろうとしてるのかな。
今後の議論展開を楽しみにしてます。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/07(金) 10:23:11.45

あーギャンブルはやめたほうがいいや
仮に期待値が1.25倍になるんなら
ショバ代に0.05倍引かれても
1.2倍になって得するだろ？
１枚目に書かれた金額はあなたが投資する掛け金です
手数料として0.05倍分追加が必要です
交換した２枚目に書かれた金額分だけ現金が貰えます
あなたはこのギャンブルをやりますか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/07(金) 10:53:28.83

最初は交換する。
その後は、一度見た金額の２倍だったら交換しない。他の金額だったら必ず交換する。
これを続ければ平均で１．２５倍になる。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/07(金) 11:55:41.22

>>452
その理屈が言ってる「平均」の取り方は恣意的過ぎて
常人の考える平均の意味とは乖離している

それと同じような「平均」の取り方するなら
「どんな金額を見ても交換する」という場合も平均1.25倍となるぞ

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/07(金) 12:53:29.46

>>453
>その理屈が言ってる「平均」の取り方は恣意的過ぎて
>常人の考える平均の意味とは乖離している

普通に常人の考える平均だけど。
単純に「交換後に得る金額の合計÷最初に見た金額の合計」だよ。
もちろん、交換しなかった場合はノーカウント。

>それと同じような「平均」の取り方するなら
>「どんな金額を見ても交換する」という場合も平均1.25倍となるぞ

ならない。
繰り返しゲームをすれば、Ｎと２Ｎは相殺しあう。
その結果、
「交換後に得る金額の合計÷最初に見た金額の合計」
は、「不定」となる。
（１に収束するという人もいるが。）

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/07(金) 13:19:31.35

>>452　>>454 の言ってることがすんなり理解できるかどうかで知能がバレますね。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/07(金) 13:31:08.06

>>452
何だよ、「最初は」「その後は」って。
何度もやるなら、初回の交換をしたことで
両方の封筒の中身が判っているから、
回数を増やせば期待値は2倍へ近づいてゆくだろ。
２つの封筒の中身が固定でなく何回もやるなら、
毎回毎回10000が出るのを見て、イカサマを疑うべき。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/07(金) 15:32:16.84

>>456
全く意味不明

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/07(金) 15:51:04.40

１万円を見てから交換して、
得か損かの確率が２分の１ではないと言ってる人が多いようだが、
頭を冷やすべき。
交換で損得の確率は全体で２分の１なので、各金額について損得の確率の期待値は２分の１。これは動かない。
金額の上限がないので、どの開封金額についても損得の確率は２分の１。金額によって差別を付けるためには追加情報が必要。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/07(金) 17:23:42.20

大きいツヅラと小さいツヅラがあります
一方は当たりで一方はハズレです
当たる確率は？
選ぶ前なら1/2
どちらも同じ条件で選べるから
あなたは大きいツヅラを選びました
当たる確率は50％？いやいや
そもそも大きいツヅラに当たりを入れる確率が
1/2とは限らない
雀はいつも小さいツヅラに当たりを入れている
つまり、選んだ後の確率は50％では無い
偏りがあるならば

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/07(金) 17:34:02.28

２つの封筒も同じ事
１万円と、２倍か1/2倍かの封筒
どちらを選ぶかは1/2
でも１万円が当たる確率は50％では無い
(10000,5000)のパターンしか無い場合は
１万円を選んだ人は100％負ける

選んだ封筒を開けたら１万円だった、でも同じ事
もう一方を選んでいたら、５千円が入っていただけの事
1/2で選んだんだから、当たる確率も1/2。と思う人は
ギャンブルはやめましょう
万馬券が当たる確率は1/2では無いから

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/07(金) 17:46:20.12

>>459 >>460
それはキミの「脳みそ不十分の原理」に基づくわけか。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/07(金) 20:17:25.76

>>461
「脳みそ不十分の原理」に従っているのは、誰だろうねえ？
「理由不十分の原理」というのは、不定量を確率化して考察するときに、
分布関数を絞りこむ情報が特に無い場合は、所与の拘束条件を満たす全ての
候補の上での一様確率を想定してみましょうという方法論のこと。
定理ではなくムーブメントなんだが、同意する人が多いので
仮定として広く用いられる。私も、概ね同意している。
問題点は、拘束条件の内容によっては、一様分布が存在しない場合があること。
どんな問題にも適用できるわけではないのだ。二封筒問題もソレにあたる。
二封筒問題の場合、問題の条件を満たす金額の組は可算無限だから、
その集合の上に一様分布は存在しない。何でも等確率と仮定してしまえばいい
というほど安易なものではないのだ。これを言うと、
考えることが苦手な人逹からは、いつも猛反発を喰らうのだが。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/07(金) 21:01:52.58

>>462
もともと不明な事前分布を一生懸命考えようとするから「脳みそ不十分・・」と言われていることにまだ気づかないのか。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/07(金) 21:13:18.34

分からないから暫定的に等確率
その確率を信じて期待値を求める人は
万馬券ばかり買って負けてればいいでしょ

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/07(金) 21:41:53.10

>>462
P（10000,5000）＝P（10000,20000）を恣意的と言う人がいるが、
現実に10000が出たなら10000が特別なのは当たり前で、恣意的でも何でもない。
P（10000,5000）＝P（10000,20000）それ自体がなぜ「可算無限の上に一様分布」になるのか、
厳密な数学的証明を希望する。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/07(金) 22:57:34.78

ベイズ確率では
10000が出たという情報を知った後の確率を考えるためには
10000が出たという情報を知る前に
{10000, 5000}の組が選ばれる確率P({A,B}={10000,5000})
{10000,20000}の組が選ばれる確率P({A,B}={10000,5000})
などを予め決めなければいけない

10000が出たと知った後にそれらを1:1と決めるのはベイズ確率ではない

金額を確認した後に確率を決める(仮定する)のも別にいいけど
そうして決めた確率は客観確率でもベイズ確率でもないから
客観確率やベイズ確率で成り立つ常識(命題)は成り立たなくなる

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 00:58:31.82

え？1方が１万円ならもう1方は五千円か二万円だよね？その確率は半分だよね。じゃあ期待値は12500円になる。じゃあ片方の方でいいでしょ？何が問題になるの。それで五千円引いてもそんな端金大した問題じゃないでしょ。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 02:11:08.91

状況が変われば確率空間が変わるのは当然で、いま
開封前の状況における確率測度をP
封筒Aを開封してa円入っていたという状況における確率測度をQ_a
とすると

ベイズ確率では
P(・|A=a)＝Q_a(・)
となり
Pは事前分布、Q_aは事後分布という関係になる

開封後の測度Q_aが、開封前の測度Pや見た金額aで表せるので確率や期待値によって
開封前後の比較や、他の金額を確認した場合同士の比較、戦略同士の比較
などを行える

一方、ベイズ確率ではなく
封筒Aを開封して金額aを確認した後にQ_aを
Q_a(<A,B>=<a,a/2>)＝1/2
Q_a(<A,B>=<a,2a>) ＝1/2
と決める(仮定する)やり方だと
Pと無関係にQ_aを決めるので開封前後の比較は不可(PとQ_aは事前分布、事後分布の関係でない)
他の金額を確認した場合Q_a1,Q_a2もそれぞれ個別に仮定してるので比較不可
従って戦略同士の比較も不可となる

某分析哲学者さんも後者の(ベイズ確率でない)確率が好きなようだが
この確率は、矛盾はないが、確率的に分析できることもない

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 02:16:00.06

>>465
> P（10000,5000）＝P（10000,20000）それ自体がなぜ「可算無限の上に一様分布」になるのか、
> 厳密な数学的証明を希望する。

証明できないのはおろか、可算無限の一様分布でなければならない、の対偶が偽であることが証明される。
証明できないのに、これが所与の条件から導かれる、とか屁理屈コネる馬鹿がいるんだよ笑

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 02:25:04.49

　p(5000)＝p(10000)
という確率を見たら条件反射で
　任意のn∈Nでp(n)＝p(n+1)でなければならない
と考えちゃう理想主義的バカがいるんだよ。

［証明］
p(5000)＝p(10000)
を仮定するならば
p(1)＝p(2)＝p(3)＝・・・＝p(1000000000)＝p(1000000001)＝・・・
でなければならない。
なぜなら問題文には何も書かれておらず、5000と10000に限定されないからである（証明終）

で証明になってるわけねーだろアホ

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 05:22:31.70

何年か前、数学系の雑誌に某大学教授のコラムが載っていた。

「一般雑誌の編集者から『徳川吉宗が将軍になる確率を計算して欲しい。』という依頼があった。
どうも、若いときの吉宗は、将軍になる可能性が極めて低かったということを理論づけたいとの考えのようだった。
私は、『実際に起こってしまったことの確率を計算しようとするのは無意味ですよ。』と教えたがその編集者は理解できなかったようだ。」

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 06:50:50.49

>>469-470
p(5000)＝p(10000)から∀n∈N,p(n)＝p(n+1)が導けると言ったのではなく、
10000を見てp(5000)＝p(10000)と仮定するのが自然だと考えるのなら、
設定上任意的のnを見る可能性がある以上、同じ考え方で、
∀n∈N,p(n)＝p(n+1)と仮定するのが自然だということになるだろう
と書いたんだがな。
nの中で実際に現れた10000だけを特別扱いした確率分布を仮定することは、
イベントの情報を加味して事前分布を決めたことになるから、
時系列がおかしい。
理由不十分の原理に従ったことにはならない以前に、単純に支離滅裂だろと。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 09:00:39.04

>>427
> ∀n∈N,p(n)＝p(n+1)と仮定するのが自然だということになるだろう

二枚舌乙

以下はおまえが書いたものだ
>>325
> その確率空間の全事象が自然数全体だ、と考えるのは仮定ではない。
> 金額の組 {x,2x}(xは自然数) は全て「一方の中身は他方の２倍」
> を満たすのだから、どれもが問題の条件に合う。
> x を有限の範囲に制限する追加の仮定を何か置かない限り、
> x の範囲は自然数全体となっている。それは、
> 所与の条件から論理的に導かれたのであって、第二の仮定ではない。

はっきり2度も
　仮　定　で　は　な　い
と言っているではないか。

さらにお前はこうも書いている。
>>357
> 標本空間を無限にとるか有限にとるかは自由ではない。

すなわち、
『標本空間は可算無限のNでなければならない』
『このことは所与の条件から導かれるものであり、仮定ではない。』

お前はこのように主張してきたのである
それに対し、
『Nは仮定である。仮定と帰結をしっかり区別しろ』
と主張してきたのが俺である。

ところがここにきて>>472で『Nは自然な仮定である』と言い出した。
自然か自然でないかという言い争いに興味はないが、ともかく仮定であることは認めたわけだ。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 09:01:22.73

>>427ではなく>>472だったな。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 09:38:14.44

>>472はこうも言っている。

>>321
> 一方、「一方の中身は他方の２倍」という条件を
> 満たす封筒の中身の候補は {x,2x}(xは自然数)
であり、Xが可算無限あることは、仮定ではなく
> 導かれる結論。追加の仮定はしていない。
> むしろ、Xの範囲を有限に制限することこそ、
> 問題文に与えられていない追加の条件だろう。
> 落ち着いて、よく考えてごらん。

あらためて落ち着くまでもなく、
可算無限のNを標本空間に取ることは
有限の標本空間を取ることと同じく、
確率空間をこしらえた人間が勝手に設定した仮定である。
自然数全体の濃度と、お前が勝手にこしらえた標本空間をどう取るかは別問題である。
俺はずっとそう主張してきた(>>322)

問題文には
・10000円という記述がある。
・定義域が書かれていない。
この2つの情報だけから、
標本空間がNに限られるのは『仮定ではなく導かれる結論である』
と声高に主張してきたのがお前である。

>>359や>>362では、お前の論理のおかしさを誰にでも分かる形で説明した。
問題文には
・100^100^100円が確率的に現れる
という記述もなければ、
・0円や5銭が確率的に現れない
という記述もないのである。
何も記述がなければ下記お前の号令は無茶である。
>>357
> 標本空間をどう取るかは、問題の設定に含まれる全ての
> 場合を包含するように限定されなければならない。

にも関わらず、お前は『Nは仮定ではない』と言い続けてきた。

お前が今やるべきことは二枚舌で言い逃れを図ることではない。
完全に論破されているのだから、ここまでに犯した論理の誤りをハッキリと認めるべきだ。
それがまともな議論の前提となる誠実な態度というものだ。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 09:53:32.09

ああ、>>472は書き方が悪くて伝わらなかったか。

>>469-470
p(5000)＝p(10000)から∀n∈N,p(n)＝p(n+1)が導けると言ったのではなく、
10000を見てp(5000)＝p(10000)と仮定するのが自然だと考えるのなら、
設定上任意的のnを見る可能性がある以上、同じ考え方で、
∀n∈N,p(n)＝p(n+1)と仮定するのが自然だということになるだろう。
君らの考えに従えば、そういうことになる。
それで、∀n∈N,p(n)＝p(n+1)と仮定すると、今度は
そのようなp()が存在しないから、破綻する。
要するに、p(5000)＝p(10000)と仮定するのは
筋が悪い。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 10:02:49.08

>>476

　筋が良いか悪いか
　
　自然か不自然か

俺はそういうボヤケた話をしているのではない。

　何が仮定で何が結論か

をハッキリさせるべきだと言っている。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 11:46:08.76

>>476
「設定上任意的のnを見る可能性がある以上」って、
可能性があるのは10000と5000と20000だけじゃないんですか？
10000を見た、という問題設定なのだから。

476は、「設定上、一方の封筒は他方の封筒の『任意のｎ倍』である可能性がある以上」
と考えるんですか？
考えないでしょ？
２倍って書いてあるんだから、２倍の場合だけ考えればいい。
３倍や４倍の場合は無視。
これでどこが悪んですか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 13:58:34.22

>>477
ボヤケているのは、話ではなく、君の頭のようだ。
事前分布は、導けるものではなく、仮定だと、
君自身が強調していたではないか。
二封筒問題は、サイコロやトランプより
仮定の置き方が難しくて、変な置き方をすると
意味のある議論にならない…というのが
一番のポイントだよ。筋の良し悪しが本論。
そのことを説明し続けているんだかな。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 14:10:19.51

>>478
いったい、何の話をしている？
３倍や４倍の場合など、誰も持ち出していない。
一方が他方の２倍という組み合わせの候補は
有限個に限定されないだろう？と言っている。

＞10000を見た、という問題設定なのだから。
については、既に書いたが、
イベントの情報を事前分布に組み込んではいけない。
開けた封筒が10000であることは、開けて初めて判るのであって、
事前分布を仮定する時点では判明していない。
結論の先取りは、論理の破綻だよ。

サイコロを降って２の目がでたからといって、
このサイコロには６の目が無いと
仮定して良いわけでもあるまい？

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 14:15:14.91

>>478
横レスだが、さすがにこれは言いがかりにも程があるだろう。>>1の問題設定は

＞２つの封筒があり、一方の封筒に入っている金額はもう一方の封筒に入っている金額の２倍である。
＞一方の封筒を開けると１万円入っていた。あなたはそのままその１万円をもらってもいいし、もう一方の封筒と交換することもできる

というものだ。「2倍」という情報は封筒を開ける前の段階から既にルールとして決まっているのだ。
これを「n倍の可能性もある」と解釈するバカがどこにいるんだ。

・２つの封筒がある。
・一方の封筒を開けると１万円入っていた。
・この段階で、一方の封筒に入っている金額はもう一方の封筒に入っている金額の２倍であると知らされた。

という問題を考えるのなら、「n倍」みたいなのも考慮すべきだろうがね。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 14:31:12.17

なお、>>478にはもう1つの勘違いがある。

＞「設定上任意的のnを見る可能性がある以上」って、
＞可能性があるのは10000と5000と20000だけじゃないんですか？
＞10000を見た、という問題設定なのだから。

これは、「書いてあること全てが固定されたルール」と解釈していることになる。
そのような問題を考えたいのならば、

・目の前に1枚の封筒がある。中身は5000円か2万円である。
・あなたは封筒を開けずに無条件で1万円をゲットするか、
　もしくは1万円をゲットせずに封筒を開けて中身をゲットするかのいずれかを選択する。
・どちらの行為の方が得か。

と表現すればいいのである。この場合、このゲームを何度繰り返そうとも、
そのたびに「 5000円, 2万円, 1万円」というルールのもとで試行されることが示唆される。
これなら、封筒の中身が5000円か2万円であるかを 1/2 ずつの確率だと思うことは極めて自然である。

しかし、>>1 はそのようには表現していない。>>1 は

＞２つの封筒があり、一方の封筒に入っている金額はもう一方の封筒に入っている金額の２倍である。
＞一方の封筒を開けると１万円入っていた。あなたはそのままその１万円をもらってもいいし、もう一方の封筒と交換することもできる

と表現しているのである。この書き方では、試行を繰り返すたびに、
最初に入っていた封筒の中身が変化しうることが示唆されている。
>>478 のような解釈はできないのである。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 14:41:09.50

>>481
「ルールとして決まっているのだ」は言い過ぎでは。
２倍も10000円も胴元が勝手に決めた点では同じ
未開封の状態からすると、
「２倍」が先に与えられるか、「10000円」を先に見るかは、問題の本質に関係ない。
ベイズでは　情報の与えられる順番　は無関係。

２倍以外に設定される事前分布など誰も考えない。
同じく、10000,5000,20000以外の事前分布など必要ない、という話なんだが。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 14:47:17.82

>>479
> ボヤケているのは、話ではなく、君の頭のようだ。
> 事前分布は、導けるものではなく、仮定だと、
> 君自身が強調していたではないか。

分布は仮定である。
確率空間自体が仮定なのだから当たり前だ。

それがどうかしたか？
どこに俺の頭がボヤケていることの説明がある？

お前は2chだからと言いたい放題だな。
相手を見下すならせめて理由付けをしろよ。
他の人間に俺が馬鹿だと知らしめたいんだろ？
だったら>>473-475に正面から立ち向かえよ。
書き方の問題(>>476)で収拾がつく話のわけねえだろ。

> 変な置き方をすると
> 意味のある議論にならない…というのが
> 一番のポイントだよ。筋の良し悪しが本論。
> そのことを説明し続けているんだかな。

筋の良し悪しが本論？
馬鹿じゃねーのw
筋だの自然だの、何の話してんの？
そもそも俺の主張をきちんと理解できてるの？

まずはきちんと>>473-475を読みなさい。
君の過去の主張と今の主張の間の食い違いを認識しなさい。
そしてどちらが君の本当の主張なのか、きちんと態度を表明しなさい。
それをせずに、頭がボヤケてるなどと他人を罵倒する態度は大変非誠実である。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 14:57:31.71

>>482
「最初に入っていた封筒の中身が変化しうることが示唆されている」
とはいっても、10000,5000,20000の三通りの中で変化しうるだけですよね？
しかも「かりに5000が出ていたら」「20000が出ていたら」と考えるのは無意味。
「10000が出た」場合に限定して答えよ、という問題だから。
「二倍」と事情は同じ。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 15:01:03.40

>>484
分布は仮定である。
仮定だから、どう置いても好き放題なのではなく、
仮定たから、どう置くかで見識が問われる。
二封筒問題は、そういう問題だ。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 15:17:50.39

>>482
その問題で
封筒の中身が5000円か20000円かは1/2
だと思うんなら
本当にギャンブルはやめとけよ

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 15:33:23.45

>>486

>>473-475は、見識とか筋の良し悪しとか自然の度合いとか、
定量化のための定義すらハッキリしない曖昧な問題を扱っているのではない。

標本空間Nが仮定(>>472)なのか結論(>>325)なのか、お前の主張に矛盾があると指摘しているのだ。

お前はずっと、標本空間Nは所与の条件から導かれるものだ(>>325)と主張してきた。
俺の一連のレスはそれに対する反論であり、帰結ではなく仮定であることを説明してきたのである。

俺の>>473-475に対して

>>479
> 筋の良し悪しが本論

では反論になっていない。

お前が今やるべきことは二枚舌で言い逃れを図ることではない。
完全に論破されているのだから、ここまでに犯した論理の誤りをハッキリと認めるべきだ。
それがまともな議論の前提となる誠実な態度というものだ。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 19:29:31.58

>>487
参加者が損するということは胴元が儲かるわけだ。
キミは、その問題で胴元が儲かると思っているのか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 22:23:30.71

>>489
目の前に封筒があります
胴元は20000円か5000円を仕込んでいます
20000円を1/3、5000円を2/3で仕込めば胴元に儲けはありません
胴元が儲けるには、20000円の比率をもっと低く設定しているでしょう
まあでも胴元は赤字覚悟で20000円を多く仕込んでいるかもしれません
それは胴元にしか分かりません
それをあなたは、1/2で20000円だと言う

ギャンブルをやめたほうがいいと言うよりも
詐欺師に騙されないように進言しますよ

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 22:33:08.70

>>490
何を馬鹿なことを言ってるのか。
胴元が仕込んだ段階では、客が１万円を引いてくれる保証はないんだが。
胴元に一体どうやって儲けさせる気かね。
キミの頭の中に詰まってるのは生ゴミか。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/08(土) 23:37:10.19

>>491
>>482の設定では
目の前に封筒があるだけですので
封筒の中身は如何様にでも仕込めますが

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/09(日) 00:05:32.31

>>491
それなそれな。
胴元が仕込んだ段階では客が１万円を引いてくれる保証はないので、
客が１万円を見た時に他方の封筒が５千円と２万円の確率が1/2づつと考えることは、
客がa円を見た時に常に他方の封筒がa/2円と2a円の確率が1/2づつと考えることと
セットでないと、不自然過ぎる。つまり、>>476。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/09(日) 01:04:37.22

客が１万円を引いてくれる保証は無い
ここに答えが書いてるじゃん
つまり、１万円を引かなかった時、客が引いた金額は？
５千円だな
２万円なんて入れてないよ俺
客が１万円を引いた時だけを切り取って考えるから
２万円という幻を見るんだな

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/09(日) 06:34:50.98

二つの封筒問題で、他方の封筒に5000円が入っている確率、20000円が入っている確率
いずれも1/2だと考えている方々に、設定の異なる問題を作りましたので、お考えてみてください。

二つの封筒があります。異なる金額の小切手が入っていることだけが判っています。

case1：一つを選んで中を確認したところ、10000円の小切手が入っていました。
case2：一つを選んで中を確認したところ、100000円の小切手が入っていました。
case3：一つを選んで中を確認したところ、1000000円の小切手が入っていました。
case4：一つを選んで中を確認したところ、10000000円の小切手が入っていました。

もう一つの封筒に入っている小切手の金額が、選んだ封筒の金額より大きい確率はどのcaseでも1/2なのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/09(日) 08:31:51.47

>>492
客の見ている前で封筒の中身をすり替えるのか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/09(日) 08:41:19.04

>>495
>異なる金額の小切手が入っていることだけが判っています。

この条件がある限り、選んだ封筒が高額側か低額側かの確率は1/2
封筒を開けて中の金額を確認しても、確率を改訂する情報は依然として得られない。
結局、case1～4のすべてにおいて

>もう一つの封筒に入っている小切手の金額が、選んだ封筒の金額より大きい確率はどのcaseでも1/2なのでしょうか？

の答えは当然yesになる

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/09(日) 09:08:46.65

予想通りの回答ありがとう。
続いて、さらに条件を少し加えます。

小切手に書かれている金額に、上限が設定されていることが判りました。
ただし、先ほど確認したいずれの金額よりも、十分大きいことは保証されています。
これにより、回答は変化しますか？

さらに、小切手に書かれている金額として、0円　もokとします。
これにより、回答は変化しますか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/09(日) 09:58:43.12

>>498
確認した【いずれの】金額よりも、
十分大きいことは保証されている

従って、
すべての整数の金額を見ても
胴元は、その2倍金額のを用意できる
すなわち、
1/2のまま、変化しない

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/09(日) 11:14:00.38

同一人物かどうか判りませんが、「1/2派」としてのスタンスの確認ありがとう。問題を拡大します。

三つの封筒があります。全て異なる金額の小切手が入っています。
小切手の金額に上限があること、その上限は、これから確認するであろう
金額よりも十分大きいことも知ってます。また、0円小切手もあり得るとします。
三つの内、二つの封筒を確認しました。10000と100000でした。
残りの封筒の中の金額が、10000未満である確率、10000より大きく100000未満である確率、
100000より大きい確率、それぞれ1/3づつだということでokですね。

三つの封筒には、順番をつけられる。確認前はその順序づけとして3!通りあるが、そのどれなのかは
全く対等、．．．等と検討の結果、上のように結論すると予想されますが、いいでしょうか。

さらに拡大します。五つの封筒があります。全て異なる金額の小切手が入っています。
小切手の金額に上限があること、その上限は、これから確認するであろう
金額よりも十分大きいことも知ってます。また、0円小切手もあり得るとします。
五つの内、四つの封筒の中身を確認しました。小さい順にならべると、x,y,z,w
残った封筒の小切手の金額について、
xより小さい確率、xとyの間にある確率、yとzの間にある確率、zとwの間にある確率、wより大きい確率、
これらは、x,y,z,wがどのような値であろうとも、常に1/5づつだという事でよろしいですね。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/09(日) 11:31:59.88

>>>500
>>497>>499とは別人物ですが、よろしいと思います。
五つでも幾つでも、確率はみな同じです。「幾つ」が特定される限りは。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/09(日) 14:08:28.00

>>500
三つの封筒の件のみ、そして、
1万円未満の確率のみ、以下に解答します

まあ
封筒F1 　封筒F2　封筒F3　として
金額の順列　3P3 = 3! = 6通りですね

開封前だと、
　　P（F1＜F2＜F3）= 1/6
　　P（F1＜F3＜F2）= 1/6
　　P（F2＜F1＜F3）= 1/6
　　P（F2＜F3＜F1）= 1/6
　　P（F3＜F1＜F2）= 1/6
　　P（F3＜F2＜F1）= 1/6
　　よって
　　P（F1＜F2）= 1/3　 ──　◎

3つの封筒内、2つのを開封後
　　F2=10000 F3=100000を見たのだから
　　◎に　F2=10000を　代入だぁ!
　　P（F1＜10000）= 1/3

ということで、

残りの封筒の中の金額が、
1万円未満の確率は、1/3となるんです。

以上

せっかくだから、
数式をほぼ使わず解説すれば次の通り

開封前は、
F1が一番小さいくなる確率は、
1/3である。

順列3P3=6通りのうち、
（F1＜F2＜F3）と（F1＜F3＜F2）の2通り
のため

開封により、新たな情報が加わった
10000円という情報だ
従って、ベイズ流アプローチで、
10000円未満の確率は、1/3

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/09(日) 21:57:21.46

なんだこの遅々として進まん問答は

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/09(日) 22:34:36.15

のらりくらり対策だろ。詰将棋だよ。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/09(日) 23:14:41.49

ギャグでしょ
ベイズ確率じゃないのにベイズ流アプローチとか言ってる部分が笑う所

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/09(日) 23:16:59.67

まんまと罠にハマり見てて面白いのだが、テンポが悪いのが頂けない

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/10(月) 07:13:15.35

２封筒問題は、
【どの金額についても】交換で25％得になる
　から
【すべての金額で交換して25％得】になる
を導き出して勝手に不思議がってしまうという、単なる誤謬推論の問題。

しかしその前段階に、
「10000円を見たときに、それが高額の方である確率は未開封時の1/2から改訂されるか」
「事前分布の後出しは正当か」（本当は「事後分布の先決め」ですが）
というステップが控えているのでした。

　「1/2から不明に変わる」と答える人は、「事前確率」というものが規約的な概念であり、どこに設定するかは自由であるという基本がわかってないのではないか。
　「{10000,5000}の事前確率が不明なので事後確率も不明であるべき」というのはナンセンスです。
　金額の大小の事前確率は明瞭であり、そこへ確率不明の別カテゴリの事象が影響を及ぼすことはありえないからです。
　不明な事前確率はいかなる問題設定の前にも想定できるので、「不明」派の主張に従うと、すべての確率問題の事後確率は「不明」が正解になってしまうでしょう。
　事前確率は、事後確率へ改訂するベースとしてあるのであって、推論を妨害するために立ちはだかる障害などではありません。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/10(月) 08:54:31.70

>> 残った封筒の小切手の金額について、
>> xより小さい確率、xとyの間にある確率、yとzの間にある確率、zとwの間にある確率、wより大きい確率、
>> これらは、x,y,z,wがどのような値であろうとも、常に1/5づつだという事でよろしいですね。

によって、もう詰ましたつもりだったのですが、判らなかったのでしょうか？
具体的な数字を入れてみれば判るでしょうか
例えば、x,y,z,w　が　10,20,1000000,1000010　だとすると、
10未満である確率も、20より大きく1000000より小さい確率も、
1000000より大きく1000010より小さい確率も、全て1/5だといっているのです。
とんでもない主張です。

別の説明を与えましょう。
五人の生徒に好きな正の数字を思い浮かべてもらいます。
途中で変更しないよう、何かに記録してもらうのがいいでしょう。
念のため、同じ数字を思い浮かべた人がいないかチェックしておきます。これで準備完了です。

五人の中から適当に四人を選び、思い浮かべた数字を公開してもらいます。
思い浮かべた数字を小さい順に、x,y,z,w　とし、残った一人の人が思い浮かべた数字をa　とすると、
P(a<x)=P(x<a<y)=P(y<a<z)=P(z<a<w)=P(w<a)=1/5
だと主張されているのです。x,y,z,w　がどのような値であろうと等しいというのです。全く滑稽だと思いませんか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/10(月) 08:55:00.60

1/5という確率が与えられるのはつぎのようなケースです。
四人に黒板の前に来てもらい、四人の中だけで、数字を見せ合って、「順位確認」を行い、
その順番に従って横一列に並んでもらいます。
その状態で、五人の数字を知らない人が、残った人がその列に入るとしたら、どの位置に入るか
予想してもらう。この時、正答する確率です。
x,y,z,w　等の生の値は非公開、四人の中での大小関係、順位付け情報だけを知っている立場の人が、
第五の人がどの順位に入り込むか、それが問われたときに正当する確率です。

第五の人が思い浮かべた値が、残りの四人が思い浮かべた数字によって、
可能性が1/5づつに等分されるように、範囲が限定される、等ということがあり得るわけが無いでしょう。

これが、二つの封筒問題とどのように関連するか？

生の数字は関係ない。大小関係、あるいは、順位だけが関与しているということを認識してもらうためです。
二つだと、生の数字が確認でき、その値自身が重要な意味を持っていると考えてしまいがちですが、
それを三つだとか、五つに拡大すると、数字の値自身は関係なく、大小関係・順位の方にこそ
本質があるのだと気づくはずです。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/10(月) 08:55:31.07

くどくなりますが、もう一例。
三人に好きな数字を思い浮かべてもらいます。勝手に変更しないよう、どこかに記録だけしてもらいましょう。
そのうち二人に前に来てもらい、横に並んでもらいます。

この状態で、第三の人が、「入るべき位置」を予想してもらいます。
目標は、三人が思い浮かべた数字が、順に並ぶようにすること。昇順か降順かは問いません。
正当の確率は明らかに1/3です。
もし、前にいる人が数字を明らかにすると、どうなるでしょう。
例えば、一人はきわめて大きな値、もう一人は、非常に小さい値。
たぶん、第三の人は、両者の間に入る確率が高くなります。
もし、二人の数字が非常に近かったらどうでしょう。両者の間に入る確率は小さくなります。

このように、数字が公開されると、確率を変動させる要因になります。三人だと、こんな感じですが、
五人だとどうでしょう。たとえば、前に出た四人が思い浮かべた数字が、10,20,1000000,1000010 だったら？
20と1000000の間に入る確率と、1000000と1000010の間に入る確率が同じとは思わないでしょう。
数字が公開されても、1/5づつという主張はこういう主張です。

二つの封筒問題では、金額確認前は確率1/2づつですが、確認するともう使えません。これと同様です。
三人や五人だと、なるほどおかしいなと思うとっかかりを見いだすことができますが、二人だと難しい。
これが二つの封筒問題から未だに抜け出せない人がいる要因の一つなのでしょう。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/10(月) 08:56:01.94

【今まで確率1/2だったものが、金額を見ると確率不明になる】というのをみて、「情報が減った？」などと思って
いる人たちがいるようだけど、全くの間違い。その説明を与えます。

二つの封筒をAとBとします。Aの中の金額をx、Bの中の金額をyとし、x-y平面上に点で表すと
二つの封筒の組み合わせと、第一象限のどこかにプロットされる点が一対一に対応されます。
まずは「金額は正、二つの封筒の中の金額は同じではない」という条件だけを課すことにします。
第一象限は直線y=xによって対称的に二分されます。この二つの領域が対称だから、二つの封筒の中身を
表す点は、それぞれの領域に確率1/2でプロットされると考えることができます。
これは、xとyの入れ替え、あるいは、封筒のAとBの名前の入れ替えや、右の封筒を選ぶか、左の封筒を選ぶか等、
一連の対称性を起源として、確率1/2が与えられます。
「封筒の中の金額は同じでは無い」とした以上、x>yか、x<yかのどちらかであり、領域が対称だから確率1/2づつだという、
至極当然な事に由来する結論です。言い換えれば、ほとんど情報が無い状態ともいえます。

ここに、「一方が他方の二倍」という条件を課すと、第一象限を二分した二つの領域のどこだか、全く不明だった状況から、
直線y=2xかx=2y上のどこかへと変化します。「領域のどこか」から「V字状の直線上のどこか」へと変化します。
この二つの直線は、対称軸y=xに対し対称な直線だから、依然として、対称性が保たれ、
y>xの領域にある直線y=2x上にある確率が1/2、y<xの領域にある直線x=2y上にある確率が1/2　は維持されます。
【今まで確率1/2だったものが、金額を見ると確率不明になる】の前半に現れる確率1/2というのは、将にこれ。
しかし、本来は点で表される封筒の金額が、線上のどこかだと言っているだけ。
「点」という視点で見ると、未だに候補が無限にあります。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/10(月) 08:56:34.67

その後、一方を引いて10000と確認します。
確認した封筒を仮にAだとすると、x=10000という制限が加わることになりますが、x=10000という直線は、
直線y=xに関して対称ではありません。つまり、これまで、用いてきた「対称性」という道具はもう使えなくなります。
先のレスでも書いたようにこのような生のデータが加わると、対称性由来の確率は使えなくなります。
つまり、確率1/2と判断していた前提が失われます。

しかし、x=10000を得て、(x,y)=(10000,5000)または(10000,20000)のように、点としての候補が二つに限定されます。
「Ｖ字直線上のどこか」と、無限にあった候補が、たった二つに絞られたわけで、「情報が減った？」等
と言うことは断じてありません。ただし、どちらの点なのか、それぞれの確率は不明だと言っているだけです。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/10(月) 09:31:02.38

>>512
やっとまともな人が来てくれた兆候。
では質問。
情報は減ってない件について。
「どっちが高額か当てるギャンブル」をやっているとすると、情報が減ってますよね。
開封前は1/2を指針として掛金を決めて、それでうまくいっていたのに、
開封したとたんに掛金を決める指針がなくなってしまうのだから。
それは合ってますか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/10(月) 09:43:45.54

>> 開封前は1/2を指針として掛金を決めて、

それは指針と言えるのですか？

掛け金の金額決定について何か具体的な戦略を持っていて、
その採用している戦略を説明していただけるのなら、何かの
アドバイスができるかもしれませんよ。
基本的にローリスクローリターン、ハイリスクハイリターンの原則は
経済でもギャンブルでも同じです。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/10(月) 10:58:01.23

>>514
二つの封筒から選んで、
高額の方だったら一万円もらえて、低額の方だったら5000円払わされる、というギャンブル。
封筒内の生の金額に関係なく、大小だけを当てるギャンブルです。
参加費2000円ということなら、やるべきですよね。
胴元がアホだったかうっかりしていたということで、つけ込むべきです。
未開封である限り、1/2という指針でやっていけます。
ところが、選んだ方を開封するルールになったら、このギャンブルは得か損か、不明になるってことですね。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/10(月) 13:06:41.67

「不明になる」というのは、今まで採用していた対称性からの帰結、確率1/2とする根拠が無くなるという意味です。

通常このような問題で、新しい情報を得ることは、より高確率で勝ちにつながる情報につながる可能性を秘めています。
しかし、対称性が崩され現状の認識が混沌となる場合もあるし、一気にシンプルになる場合もあるでしょう。
情報の内容にもよるのでしょうから、ケースバイケースと言っておくのが無難でしょうか。

このギャンブルの場合、もともと有利なゲームです。
金額を確認せずに行うと、一回当たり+500円が期待されるゲームです。
開封後、交換の選択が可能となった場合には、+500円以上(ただし正確な値は不明）が期待される
ゲームとなるでしょう。
なお、ギャンブルと言うことで、繰り返し行うことや、データの蓄積により、封筒内金額の傾向を
分析し優秀な戦略を作れることを前提にしてます。

二つの封筒問題では、繰り返し行うことによるデータの蓄積は考えません。
問題に現れる生の数字は事実上10000だけで、比較対象として存在するのは人為的な5000と20000。
これらとの比較は、高額側か低額側か以上の深い意味はありません。
10000と言う数字の観測により対称性が崩され、高額側か低額側かという視点で与えられる確率1/2づつ
という認識を捨てなければならなくなります。
しかし、きわめて重要な情報も得ています。他方の金額は確率１で、5000か20000です。
確認前は、100もあれば、100^100の可能性すらありました。無限にあった候補が二つだけに絞られたのです。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/10(月) 17:09:33.71

小学生にも分かる説明するぞ
２つの封筒に大きい金額と小さい金額が入っています
片方を選んで開けてみたら、「当たり」と書かれた封筒が出てきました
「当たり」と書かれた封筒には100％高い金額が入っています
これで確率は50％から100％に変わりました

別の機会に、片方の封筒を開けました
今度は、金の封筒が出てきました
金の封筒には、80％の確率で高い金額が入っています
これで、確率は50％から80％に変わりました

また別の機会に、片方の封筒を開けました
今度は、10000円が入っていました
10000円が高い金額である確率は、分かりません
なので、確率は50％から分からないに変わりました

10000円が高い金額である確率が分かっていたら
交換の期待値も出せたのにね

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/10(月) 19:11:30.37

良いアプローチだが、

「当たり」と書かれた封筒には100％高い金額が入っています
これで確率は分からないから100％に変わりました

金の封筒には、80％の確率で高い金額が入っています
これで、確率は分からないから80％に変わりました

10000円が高い金額である確率は、分かりません
なので、確率は分からないのまま変わりません

でないとな。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/10(月) 20:37:29.49

まあ確かに、
右の封筒、大きい封筒、汚れた封筒、
そっちを選んだ時点で確率は分からないになるね

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/10(月) 21:08:12.56

ただ、
右の封筒が当たりの確率は90％です
開けてみたら黒い封筒が入っていました
黒い封筒が当たりの確率は10％です
つまり当たり：はずれ＝9/100：9/100で
当たりの確率は50％になりました

なので、右の封筒の確率が分からないと
黒い封筒が出ても、当たる確率は分かりません
金の封筒が出ても分かりません
確実なのは、「当たり」の封筒だけです
って事になるね

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/11(火) 07:02:48.52

>>516
>「不明になる」というのは、今まで採用していた対称性からの帰結、確率1/2とする根拠が無くなるという意味です。

違うでしょ。
「不明」というのは、結局、「確率1/2」を言葉で言い換えただけだよ。

封筒を開けて１万円を確認したら、高額か低額かの「確率1/2」が「不明」になったって（爆）。
「不明」と「確率1/2」は同じ意味だろうが。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/11(火) 07:44:59.72

>>521
ついに小学生まで参戦

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/11(火) 07:52:11.00

>>522
小学生はキミだろ。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/11(火) 09:37:08.66

>>521
いやあ、言われてみれば全くその通り。
一体今まで何を議論してきたんだろうね。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/11(火) 09:58:37.16

>>521
類題：「不明」について

ここに、ひとつの封筒があり、その中には
5000円か20000円かのどちらかが入っています。
あなたは、これを12500円で買いますか？

いいカモだな。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/11(火) 12:18:40.29

>>525
少し脳みそが足りないな。
それは２封筒問題じゃ無い。
参加するのはキミぐらい。

２封筒問題では、
顧客が最初に選ぶ封筒が高額側か低額側かを胴元はコントロールできない。
できるなら胴元はボロ儲けできるが。
それとも顧客が見ている前で封筒の中身をすり替えるのかね。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/11(火) 14:02:08.75

参加するのは、>>521だろ。
好きにさせとけば良いんだろうがね。

二封筒問題で、確率1/2なのは
用意された封筒から高額側を引くか低額側を引くか。
{5000,10000}から10000を引く確率が1/2
{10000,20000}から10000を引く確率が1/2 なだけで、
{5000,10000}が用意されていたか
{10000,20000}が用意されていたかはそれとは別問題。
どんな封筒を用意するかは、胴元にコントロールされている。

私なら、{5000,10000}を用意して
10000を引かれた時だけ交換のオプションを提示するな。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/11(火) 17:56:43.28

阿呆か
封筒を選んでから、交換してもいいなんて言われたら疑うに決まってるだろ。

**１３２人目の素数さん** · 2017/04/11(火) 20:12:24.01

>>528
それが、二封筒問題の正解。
ようやく>>331に追いついたな。