2つの封筒問題 Part.3 [無断転載禁止]©2ch.net
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
2つの封筒があり、一方の封筒に入っている金額はもう一方の封筒に入っている金額の2倍である。 一方の封筒を開けると1万円入っていた。あなたはそのままその1万円をもらってもいいし、もう一方の封筒と交換することもできる そのまま1万円をもらった方が得か、それとも交換したほうが得か。 ※前スレ 2つの封筒問題について Part.2 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1456069074 >>411 > {x,2x} を全て等確率とする一様分布は存在しないのだから 無意味な理由付け >>413 禿同。 プレイヤーにとってのP(A):P(B)は、論理的に推定するものではなく、 主観的に推測するもの。裏読み合戦を愉しめばよいのだ。 それが二封筒問題の正解だと思う。 P(A):P(B)は、論理的には、単に判らない判りようがない。それだけ。 P(A):P(B)=1:1であるべきだと思っている人は、 俺が買った宝くじはアタリであるべきだと考える人と、変わりがない。 >>414 そうでもなかろ。 P(A)=P(B)=1/2と仮定することが「理由不十分の原理」ではない ことは>>411 に解説した。 ベイズ推定を行う上で、事前確率を一様分布と仮定することは、 高校生がサイコロの各面を1/6と仮定するくらい普通の習慣だから、 二封筒問題でも、事前確率を一様分布としたいという気持ちには それなりの理由があるとみるべき。主観的理由ではあるが。 で、用意された封筒の分布には、問題文には書かれていない 金額の上限などを勝手に仮定しない限り、一様分布は設定できない。 可算無限集合上に一様分布が存在しないのは、動かしがたい事実。 一様でない分布を仮定した上で、P(A)=P(B)を仮定するのは、 それこそ理由のない突飛な思いつきだろうと言っている。 ベイズ流で行くなら、P(A),P(B)は事前確率であって、 開けた封筒が 10000 だろうと他の金額だろうと同様に仮定 されていなければおかしいからだ。 これが「無意味」だというなら、この説明のどこが無意味で 意味のある説明はどんなものだか、書いてみろ。 >>414 とか、>>417 とか、こういうの一番腹立つ。 何か言いたいなら、何か言ってみせろ。低能。 >>418 感情丸出しですね >>414 の日本文のとおり、>>411 の一文が無意味と言ってるんでしょうよ >>420 > その根拠を、何か言えるもんならな。 根拠は激しく既出である。 問題文には標本数に関する記述はない。 >>327 でも書いたように、標本空間を有限と仮定しても問題文>>1 は成り立つ。 つまり「標本数の記述がない」⇒「標本数は可算無限に限られる」は成り立たないということだ。 >>361-362 や>>367 でも指摘したが、下記お前の記述は明確に間違っているのである。 >>357 > 標本空間を無限にとるか有限にとるかは自由ではない。 > 標本空間をどう取るかは、問題の設定に含まれる全ての > 場合を包含するように限定されなければならない。 『問題の設定』自体が明確でない。 よって『全ての場合を包含するように限定されなければならない』 とお前が勝手な号令をかけたところでそれは無理筋である。 お前の主張自体がお前の間違いを証明してしまうことも既に示した。 「標本数は可算無限のNでなければならない」という新たな命題Aをもってきて、 「標本数は可算無限なので一様分布は設定できない」と言ってみたところで、 命題Aが問題文から導かれる帰結でない以上、p(5000)=p(10000)を否定する理由にはならないのである。 このことをしっかり分かっている人間は、 > {x,2x} を全て等確率とする一様分布は存在しないのだから が無意味な理由付けであることを理解する。 こんな無理筋な理由付けをしなくてもP(A)=P(B)が恣意的なことくらい分かりきったことだし、 分からない人間に対して可算無限を持ち出して説明したところでやはり分からないだろう。 どちらかというと、この説明を鵜呑みにするほうが論理的にどうかしているのである。 再三言うように可算無限に限定されるなどとは問題文に書かれていないので、 P(A)=P(B)を仮定した人間は有限の標本空間を仮定しているかもしれないのだから。 >>374 胴元次第、というのは、唯一の胴元の行為にかかわる絶対的な真相があるわけではない、ということですよね。 胴元の金額選択とプレイヤーの封筒選択は互いに独立です。 可能なすべての胴元が重ね合わせになっていて、2つめの封筒を開けた瞬間に、胴元の選択が確定する(プレイヤーの属する可能世界の集合が収縮する)、というモデルになりますね。 ひとつめが10000という情報以外まったくオープンな可能世界の集合から収縮するわけです。 無情報ですから、対称性が仮定できるはずなのですけれどね。 こう考えたらどうでしょう。 開封して見た金額が何であっても、それが高額の方である確率は「不明」ですが、同時に次のことも認めざるをえないはず。 A「世界中でなされる2封筒ゲームの、目撃金額のすべてについて通算すると、それが高額の方である頻度は、1/2である」。 ここから、次のことが帰結します。 B「目撃金額すべてについて通算すると、それが高額の方である確率の期待値は、1/2である」 さて、いま、1万円が目撃されました。この1万円は、このゲームのランダムな試行の結果ですから、Bの期待値に反した推測をすることはできない。 よって、1万円目撃時についての統計がない場合、それが高額の方である確率は1/2である。 この考えを確証するために、 問1 表裏どちらか一方がもう一方の10倍出やすいように細工されたことだけがわかっているコインがあります。これを今投げますが、表が出る確率は? 問2 フェアなコインを投げました。すでに着地したので、表か裏かどちらかに決定しました(最も極端に偏りました)。まだ見ていません。表が出ている確率は? どちらも、表である確率の期待値が1/2になるため、正解は1/2です。 >>421 >『問題の設定』自体が明確でない。 馬鹿を言ってはいけない。問題の設定は >>1 >2つの封筒があり、一方の封筒に入っている金額は >もう一方の封筒に入っている金額の2倍である。 だ。事前分布に関して、それ以外の情報は無い。 封筒の金額を確率化して考える際に、この条件を満たす 全ての金額を標本空間として考えなかったら、 一部の金額を除外したことが、事前分布に問題外の 仮定を追加したことになる。それは、問題の改変だ。 標本空間 {{x,2x}|x∈自然数} の上にどんな確率関数を 仮定するかは自由で、有限個の x を除いて p(x)=0 と することもできる。ただし、その場合 「有限個の x を除いて p(x)=0」も確率関数の一部なので、 有限個の x について等確率としたところで、その p は 一様分布ではない。 理由不十分の原理により一様分布とすべきだから p は 一様分布で、従って P(A):P(B)=1:1 となり、 事後確率は P(A|AorB)=P(B|AorB)=1/2 という説明は 大嘘だということだ。 有限の標本空間を仮定するのは問題の改変だということを 解説することは、無意味ではない。 そこを間違っている者が多い以上は。 >>422 可能なすべての胴元の重ね合わせを考えるのならば、 可能なすべての胴元にどのようなものがあって それぞれがどのような確率で現れるのかを仮定しないと、 重ね合わせは考えられない。 >よって、1万円目撃時についての統計がない場合、 >それが高額の方である確率は1/2である。 の「よって」を説明するためには、 胴元の分布の仮定を明らかにすることが欠かせない。 そこを伏せたままでは、何の説明にもなっていないし、 「1/2である」という結論は根拠の無い妄想でしかない。 胴元の分布を考えることは、その胴元が用意する封筒の分布 を考えることと同等なので、言葉遊びに過ぎないとも思う。 問2: 「フェアなコイン」という言葉は「表裏が1/2の確率で出るコイン」と 解釈するのが慣例なので、問題文中に「表裏が1/2の確率で出る」と 明示されていると受け取るのが常識的。その結果、表が1/2は自明 なのであって、表である確率の期待値が1/2になるためではない。 そもそも「表である確率の期待値」を考えるためには「表である確率」の 確率分布を仮定しなければならないが、いつ、どのように仮定したのか? その辺が無自覚であってはいけないというのが、前半への批評でもあった。 問1: 表が10倍出やすいコインと裏が10倍出やすいコインの現れる確率は何か? それを1/2づつと「仮定するならば」、伏せたコインの表裏は確率1/2。 それは、表が10倍出やすいコインと裏が10倍出やすいコインの確率を 1/2づつと「仮定したから」であって、その仮定は恣意的に置いたもの。 何かから論理的に導かれたわけではない。 正解も何も、「私はこう思う」と言っているに過ぎない。 どの問題に対しても、何を仮定したのかと何は必然的に導かれるのかの区別 を自覚することは必要で、それを欠くと何を言ってるのか意味不明になる。 >>424 >可能なすべての胴元の重ね合わせを考えるのならば、 >可能なすべての胴元にどのようなものがあって >それぞれがどのような確率で現れるのかを仮定しないと、 >重ね合わせは考えられない。 いや、問題文に規定されていない以上、勝手に「重み付け」を考える必要はなく 等確率で現れると考えることが自然。 >>よって、1万円目撃時についての統計がない場合、 >>それが高額の方である確率は1/2である。 >の「よって」を説明するためには、 >胴元の分布の仮定を明らかにすることが欠かせない。 >そこを伏せたままでは、何の説明にもなっていないし、 >「1/2である」という結論は根拠の無い妄想でしかない。 問題文に規定されていない以上 A:<5千円、1万円> B:<1万円、2万円> A、Bの割合は、Aが0から1まで(Bは1から0まで)等確率で分布すると考えるべき。 問題文に記載されていない胴元の妄想に付き合う必要はない。 そうすれば、平均的なA、Bの割合 A:0.5、B:0.5 が自然に出てくる。 >胴元の分布を考えることは、その胴元が用意する封筒の分布 >を考えることと同等なので、言葉遊びに過ぎないとも思う。 繰り返すが、問題文に記載されていない胴元の妄想に付き合う必要はない。 >>423 >>421 で懇切丁寧に説明済み。 無限であろうが有限であろうが、NだろうがQだろうがRだろうが、どれを取ったとしても後付けの確率空間の仮定に過ぎない。 どのように標本空間を取るべきかが問題文に記述されていない以上、それらは問題文から帰結されるものではない、と言っているのである。 このことは理解しているのか? yes/noで答えろ。 >>426 君がアンカしている>>423 で懇切丁寧に説明済みなんだがな。 確率空間は、どう置いても後づけの仮定だが、 問題の条件下にあり得る候補を全て表現できるものでなければ 意味がない。 例えば、サイコロの目を {1,2,3,4,5,6,7} 上に p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6,p(7)=0 と表すことはできるが、 {1,2,3,4,5} 上の確率分布と仮定することはできない。 なぜだか解るね? 二封筒問題で封筒の中身を有限と仮定することは、 サイコロの目を5以下と仮定するのと同様だ。 >>1 には >2つの封筒があり、一方の封筒に入っている金額は >もう一方の封筒に入っている金額の2倍である。 としか書かれておらず、それを満たす金額の対には 上限は無いのだから。 どちらがどちらを包含するか、という話をしているのではない。 >>426 の問いにyes/noで答えろと言っている。 >>425 >> いや、問題文に規定されていない以上、勝手に「重み付け」を考える必要はなく >> 等確率で現れると考えることが自然。 この「自然」というものは、同じく425に書かれている >> 繰り返すが、問題文に記載されていない胴元の妄想に付き合う必要はない。 のそしりには当たらないのか? 株主総会で、「私は貴社の株、二千株か1%の株を持っている。私の提案を無視するのか!」 と発言された時、二千株を持っている確率を50%、1%の株を持っている確率を50%と判断して 応対することが自然なのか? >>428 では、どういう話をしているというのか。 君は根拠抜きで主張を繰り返すばかりで、 こちらの説明に何の反論もしていない。 >>429 どちらがどちらを包含するかは重要ではないが、 標本空間が問題の条件を満たす候補を全て 含んでいることは必須だ。それを欠けば、 不十分な標本空間を置いた時点で問題を改変 したことになる。サイコロの例を参照。 >>426 について言えば、 理解するしない以前に、>>421 >>426 は 主張が間違っているのだから、しかたない。 どこがどう間違っているのかは、 >>423 >>427 で説明した。 「理解する」とか、「言うことを聞く」とかは、 事実関係を捻じ曲げる悪しきレトリックだよな。 >>425 >>430 胴元の話につきあう必要がないことは同意。 胴元を仮定しても特に障害は生じないが、 胴元の行動パターンの範囲と夫々の生起確率を 明示的に仮定したら、結局、封筒の中身の ありえる範囲と夫々の確率を仮定するのと 何も変わらないので、一段階増やして 胴元を想定することにあまり意味が無い。 最初から封筒の分布を仮定すれば済む。 敢えて胴元の分布を仮定してそこから封筒の 分布を導く場合には、胴元の分布を正しく仮定 しなければならない。特に指定がないから 一様分布と考えるのは構わないが、どのような 胴元が等確率で現れるのか、その範囲を明示 してからでないと、ただ評語のように 「一様分布」と言ったところで、分布を仮定 したことにはならないし、何の計算もできない。 例:数字が書かれたカードの束がある。 一枚引いた数字の期待値はいくらか? ね、無意味だろ。 二封筒問題で、封筒の事前分布をどのように 仮定しても、その仮定が主観的に同意できる ものならば構わないが、あまり変な仮定だと 「ふ〜ん。それで?」で終わる。 二封筒問題で、封筒の事前分布をどのように 仮定しても、その仮定が主観的に同意できる ものならば構わないが、あまり変な仮定だと 「ふ〜ん。それで?」で終わる。 A,B が生じる確率 P(A),P(B) は 10000円を 見る前から決まっていると考えるのが妥当。 その上で、10000円を見た後の事後確率 P(A|AorB)=P(A)/{P(A)+P(B)}, P(B|AorB)=P(B)/{P(A)+P(B)} が決まる。 P(A|AorB)=P(B|AorB)=1/2 と仮定することは、 振り返れば、P(A)=P(B) と仮定していたこと と同じである。 事前分布を仮定する時点では、開けた封筒が 10000円とは知れていないのだから、 もし P(A)=P(B) を仮定するのであれば、 開けた封筒の中身 y がどんな金額であっても {y/2,y}, {y,2y} の確率は同じと仮定すべき。 すなわち {x,2x} を一様分布とすべきだが、 >>1 の条件 >2つの封筒があり、一方の封筒に入っている金額は >もう一方の封筒に入っている金額の2倍である を満たす x の候補が無限にある以上、 可算一様分布が存在しないことで破綻する。 つまり、P(A)=P(B) と仮定することは不合理。 散々言われているように、x の範囲を制限して 事前分布を {{x,2x}|xはM以下の自然数} とすれば、 x を一様分布と仮定することは可能であり、 M≧5000 という条件下には P(A)=P(B) となる。 しかし、x を M≧5000 の一様分布 U(1,M) なり U(0,M) と仮定することに何の妥当性があるのか? 問題文に無い M を勝手に置くことは、恣意的な 問題の改変ではないか。 改変した問題を解いても、二封筒問題としては 「ふ〜ん。それで?」という話でしかない。 わからないものの分布を一様分布に仮定するのは、 理由不十分の原理といって、常識的な仮定だが、 二封筒問題で M を置く分布は、 P(x>M)=0 である以上、>>423 に書いたように 一様分布ではない。 どういう理由で、問題に別の仮定を加えることが 妥当だと思うのか。そこを説明しないかぎり、 「仮定は自由」だけでは、もとの二封筒問題を 解いたことにならない。 ここが誤解だと思うのですが、 確率問題とは、「個別の設定の真相を当てる(読み取る)問題」ではないんですね。 不明な設定については、可能なすべての設定の平均を取るのが確率問題の作法でしょう。 つまり、2封筒問題の条件を満たすすべての可能世界にいるプレイヤーからのランダムサンプルの平均をとるのです。 そのような母集団のうち、プレイヤーが選んだ封筒が高額である可能世界と、低額である可能世界は、測度が等しいとするのは必然だと思いますよ。 金額については可能世界の集合に何の条件も付いていないわけですから。 「開封後に他方の封筒が5000である確率と20000である確率は等しいとは限らない。」 という人がいますが、そう主張するならその計算をぜひとも教えてください。 開封前は、プレイヤーが選んだ封筒が高額か低額かの確率は1/2とわかっていたが 開封しただけで、わかっていた確率がわからなくなったというのは論理矛盾です。 ちなみに、条件付確率の条件というのは、知られているすべてのこと、かつそれのみ、です。 開封後も、前提(一方が他方の倍)が変わったわけではないので、プレイヤーが選んだ封筒が高額である場合と低額である場合の確率は依然として同じです。 封筒内の合計金額を3Nとします。もちろん有限値です。 封筒の一方がNで他方が2Nです。 選んだ封筒の中身がNである確率と2Nである確率はともに1/2です。 封筒を開ける前、中の金額の期待値は、どちらの封筒も1.5Nです。 当然、交換による期待値の増減はありません。 封筒を開けて10000を見た。この金額がNなのか2Nなのかはわかりません。 しかし、選んだ封筒の中身10000がNである確率と2Nである確率はともに1/2のままです。 これは開封前後で変わりません。 それ故、交換による期待値は、 5000×1/2+20000×1/2=12500 となります。 >>434 そこが誤解です。 可能なすべての設定の平均を取るためには、 可能なすべての設定の分布を設定しなくてはなりません。 母集団は何であるか、測度は何であるか。 >プレイヤーが選んだ封筒が高額である可能世界と >低額である可能世界は、測度が等しい となるような母集団と測度を設定してみてください。 母集団が無限なので、 理由不十分の原理で同意し合える一様分布は存在しません。 高額と低額が等測度になるような分布は設定可能ではある でしょうが、その設定を明示的に書き出すと かなり不自然であることが明らかになるようなものでしょうね と言っているわけです。 実際に仮定を明示せずに、たぶん等測度だろうと 言ってしまっている議論は、ここまでにも多かったのですが。 「開封後に他方の封筒が5000である確率と20000である確率は等しいとは限らない。」 その計算は、何度か書いています。>>102 >>126 >>376 >>433 用意された封筒からプレイヤーが高額のほうを開けるか低額のほうを開けるかの 確率は、開封前も開封後も 1/2 で変わりませんが、 開封して 10000 だったという条件下に残りの封筒が 5000 か 20000 かの 確率は、前述のような計算によって2つの封筒の金額の事前分布に依存します。 残りの封筒が 5000 か 20000 かの確率は、 プレイヤーが高額のほうを開けるか低額のほうを開けるかの確率とは 別のものです。ここを混同する人は多いようです。 その混同の結果、 >封筒を開けて10000を見た。この金額がNなのか2Nなのかはわかりません。 >しかし、選んだ封筒の10000がNである確率と2Nである確率はともに1/2のままです。 >これは、開封前後で変わりません。 となってしまうわけです。 選んだ封筒の中身がNである確率と2Nである確率がともに1/2であることによって、 もうひとつの封筒が5000である確率は、Nが5000である確率の1/2、 もうひとつの封筒が20000である確率は、Nが10000である確率の1/2です。 両者は等しいとは限りません。 >>436 >>437 わからない。詳しく説明して。 「確率は、開封前も開封後も 1/2 で変わりません」 「選んだ封筒の中身がNである確率と2Nである確率がともに1/2」 だとすると、 選んだ封筒が10000なのだから もうひとつの封筒が5000である確率は、Nが5000である確率の1/1 もうひとつの封筒が20000である確率は、Nが10000である確率の1/1 なのでは? >>438 「選んだ封筒が10000でありかつ、もうひとつの封筒が5000である確率」と 「選んだ封筒が10000であるとき、もうひとつの封筒が5000である確率」 は違う 前者は、Nが5000である確率の1/2 後者は、「選んだ封筒が10000であるとき、Nが5000である確率」 計算過程を書いていませんでしたかね。 >>126 と同様に、「一方の中身は他方の2倍」という要請を満たす金額の対 {N,2N} の出現確率を p(N) と置きます。 開けた封筒が10000で、かつ、もうひとつの封筒が5000である確率は、 ふたつの封筒が{5000,10000}で、かつ、そのうち10000のほうを開けた確率なので、 p(5000)*(1/2)と書けます。 開けた封筒が10000で、かつ、もうひとつの封筒が20000である確率のほうは、 ふたつの封筒が{10000,20000}で、かつ、そのうち10000のほうを開けた確率なので、 p(10000)*(1/2)です。 ここで、選んだ封筒の中身がNである確率と2Nである確率がともに1/2であること を使っていますね。 開けた封筒が10000という条件下に、もうひとつの封筒が5000である条件付き確率は、 Prob(もうひとつが5000|開けたのが10000) =Prob(もうひとつが5000∧開けたのが10000)/Prob(開けたのが10000)です。 これが、ベイズの定理です。 開けた封筒が10000であるのは、 ふたつの封筒が{5000,10000}で、かつ、そのうち10000のほうを開けたたか、 ふたつの封筒が{10000,20000}で、かつ、そのうち10000のほうを開けたたか のどちらかなので、 Prob(開けたのが10000)=p(5000)*(1/2)+p(1000)*(1/2) です。 結局、Prob(もうひとつが5000|開けたのが10000) ={p(5000)*(1/2)}/{p(5000)*(1/2)+p(1000)*(1/2)} =p(5000)/{p(5000)+p(1000)} となります。 開けた封筒が10000という条件下に、もうひとつの封筒が20000である条件付き確率も、 同様に、Prob(もうひとつが20000|開けたのが10000) =p(10000)/{p(5000)+p(1000)} と計算できます。 これが、>>102 >>126 に出てきた式の導出です。 >>431 > 標本空間が問題の条件を満たす候補を全て 含んでいることは必須だ。それを欠けば、 > 不十分な標本空間を置いた時点で問題を改変 したことになる。サイコロの例を参照。 問題の条件など書かれていないし、『必須である』というのもお前の思い込みである。 そんなことは一切書かれていない。 書かれていない以上、帰結は得られない。 有限としようが無限としようが、NにしようがQにしようがRにしようが、なんの矛盾も起こらないことがそれを証明している。 一歩譲ってお前の思い込みが正しいとすれば、1以上の自然数しか含んでいないお前の標本空間は自動的に間違いとなる。 1以上の自然数しか封筒に入らないとはどこにも書いてないのだからな。 『全ての候補』など明示されていないので、『それを全て含めなければいけない』と言われても無茶である。 子どもでも分かる理屈だろう。 そもそも『全てを含めなければならない』とも書いていないのだから大無茶である。 ここまで言ってもお前はサイコロの例を出してお茶を濁すのだろう。 サイコロはなんの反論にもなっていない、ということすらお前には分からない。 お前は根本的に論理が分かっていないのである。 仮定と結論の区別は他人と議論する前に終えておくべきこと。 でなければ紛糾するのは必然だ。 お前のような奴がデカイ顔をしてるのを見てられないのでコメントしたが、お前の馬鹿コメントはしっかり記録された。 あとはお前の好きに、自由にやったらよろしい。 そもそも、ふたつの封筒が{5000,10000}や{10000,20000}である確率などゼロだ。 何のために無意味な計算をしているのか? >>436 > >高額のほうを開けるか低額のほうを開けるかの >確率は、開封前も開封後も 1/2 で変わりませんが、(中略) > 残りの封筒が 5000 か 20000 かの確率は、 >プレイヤーが高額のほうを開けるか低額のほうを開けるかの確率とは >別のものです。 > 別のもの? 同じものとしか読み取れない…… >>441 ほら、また、今回も。 罵って否定しているだけで、何の根拠も書いていないから、 反論になっていない。「そんなのやだ」と言ってるだけだ。 >有限としようが無限としようが、NにしようがQにしようがRにしようが、 >なんの矛盾も起こらないことがそれを証明している。 アホか。事前分布を、例えば {10,20}, {100,200}, {1000,2000}, {100000000,200000000} の 一様分布と仮定したら、開けた封筒が 10000 だった時点で矛盾する。 自分が何言ってるのか判って言ってるのか? >>442 >そもそも、ふたつの封筒が{5000,10000}や{10000,20000}である確率などゼロだ。 それでどうやって、最初に 10000 を引き当てるつもりなのか。 {10,20} の対から確率 1/2 でかな? へー >>443 >別のもの? 同じものとしか読み取れない…… そこまで鈍い頭では、二封筒問題には手がでないだろう。 そんなに難しい話じゃないんだが。 >>444 >それでどうやって、最初に 10000 を引き当てるつもりなのか。 阿呆かいな。開封版だろ。 10000を引いてからの話だろうが。 >>445 何言ってんだ? 事前分布に10000の封筒を含む封筒の組が無かったら、 10000を引きようが無いだろ!って話だよ。 事前分布は、問題文に書かれてないから何にしてもいい ってんなら、そういう事が生じるだろ?ということ。 >>446 何を馬鹿なことを言ってるんだ。 無数にある封筒の組の中から10000の封筒を含む封筒の組を引き当てる確率はゼロに決まってるだろうが。 一体何のためにp(5000)/{p(5000)+p(1000)}やp(10000)/{p(5000)+p(1000)} ような無意味な計算をしようとしているのか? と聞いてるんだ。 全部ざっと読んだところ>>422 >>425>>445 >>447あたりが正論かと感じられます。 (それらお互いの間で不同意があるかもしれませんが……) >>448 そう感じるようなら、賭事・勝負事には 決して手を出すさないことを勧める。 ネットなら、言い張り続ければ敗けは来ないし、 試験なら、ペケ1個もらうだけだが、 金が絡むと、悲惨な話もよく聞くからね。 このスレやり取り見てて何か難しくてよく分かんないけど すごく面白い。 だから、持論と感想文を書いてみました。 以下のとおりです。 正論は>>422 >>425>>445 >>447あたりと感じます。 が、なにか根本的にモヤモヤする部分もあるけど まぁ ベイズなくせに、事前分布不明なんて問題ですから どんな正論でも、トンデモに見えるのだろう。 ちなみに、私の考えでは、以下のとおりです。 P(10000) / (P(10000)+ P(5000)) は、[0,1] で不定値 P(5000) / (P(10000)+ P(5000)) も、[0,1] で不定値 交換が「得」つまり、2回目が高額の確率を P とし 1回目の期待値 E1 とし、 2回目の期待値 E2 とするとき 1回目の開封前 P=0.5 E1=E2 ただし、E1 E2は、不定(事前分布不明のため) 1回目の開封で 10000円を見た 尚、2回目の開封前 Pは、0.5からベイズ改訂で[0,1] の不定値に逆収縮 ※不定値に改訂は、事前分布不明だから E1 = 10000 に収縮 E2 は [5000,20000]の範囲に収縮 but 不定値 ※不定値となるのは、事前分布不明だから 2回目の開封後 (P,E1,E2) = (0,10000,5000) または、 (P,E1,E2) = (1,10000,20000) のいずれかに収縮 最後に感想を書きます。以下のとおりです。 交換するだけで期待値が1.25倍。 100回交換すると、1.25^100倍 まあこれは無理か どんな金額を見ても期待値が1.25倍になる事前分布 そんなものを作ろうとしてるのかな。 今後の議論展開を楽しみにしてます。 あーギャンブルはやめたほうがいいや 仮に期待値が1.25倍になるんなら ショバ代に0.05倍引かれても 1.2倍になって得するだろ? 1枚目に書かれた金額はあなたが投資する掛け金です 手数料として0.05倍分追加が必要です 交換した2枚目に書かれた金額分だけ現金が貰えます あなたはこのギャンブルをやりますか? 最初は交換する。 その後は、一度見た金額の2倍だったら交換しない。他の金額だったら必ず交換する。 これを続ければ平均で1.25倍になる。 >>452 その理屈が言ってる「平均」の取り方は恣意的過ぎて 常人の考える平均の意味とは乖離している それと同じような「平均」の取り方するなら 「どんな金額を見ても交換する」という場合も平均1.25倍となるぞ >>453 >その理屈が言ってる「平均」の取り方は恣意的過ぎて >常人の考える平均の意味とは乖離している 普通に常人の考える平均だけど。 単純に「交換後に得る金額の合計÷最初に見た金額の合計」だよ。 もちろん、交換しなかった場合はノーカウント。 >それと同じような「平均」の取り方するなら >「どんな金額を見ても交換する」という場合も平均1.25倍となるぞ ならない。 繰り返しゲームをすれば、Nと2Nは相殺しあう。 その結果、 「交換後に得る金額の合計÷最初に見た金額の合計」 は、「不定」となる。 (1に収束するという人もいるが。) >>452 >>454 の言ってることがすんなり理解できるかどうかで知能がバレますね。 >>452 何だよ、「最初は」「その後は」って。 何度もやるなら、初回の交換をしたことで 両方の封筒の中身が判っているから、 回数を増やせば期待値は2倍へ近づいてゆくだろ。 2つの封筒の中身が固定でなく何回もやるなら、 毎回毎回10000が出るのを見て、イカサマを疑うべき。 1万円を見てから交換して、 得か損かの確率が2分の1ではないと言ってる人が多いようだが、 頭を冷やすべき。 交換で損得の確率は全体で2分の1なので、各金額について損得の確率の期待値は2分の1。これは動かない。 金額の上限がないので、どの開封金額についても損得の確率は2分の1。金額によって差別を付けるためには追加情報が必要。 大きいツヅラと小さいツヅラがあります 一方は当たりで一方はハズレです 当たる確率は? 選ぶ前なら1/2 どちらも同じ条件で選べるから あなたは大きいツヅラを選びました 当たる確率は50%?いやいや そもそも大きいツヅラに当たりを入れる確率が 1/2とは限らない 雀はいつも小さいツヅラに当たりを入れている つまり、選んだ後の確率は50%では無い 偏りがあるならば 2つの封筒も同じ事 1万円と、2倍か1/2倍かの封筒 どちらを選ぶかは1/2 でも1万円が当たる確率は50%では無い (10000,5000)のパターンしか無い場合は 1万円を選んだ人は100%負ける 選んだ封筒を開けたら1万円だった、でも同じ事 もう一方を選んでいたら、5千円が入っていただけの事 1/2で選んだんだから、当たる確率も1/2。と思う人は ギャンブルはやめましょう 万馬券が当たる確率は1/2では無いから >>459 >>460 それはキミの「脳みそ不十分の原理」に基づくわけか。 >>461 「脳みそ不十分の原理」に従っているのは、誰だろうねえ? 「理由不十分の原理」というのは、不定量を確率化して考察するときに、 分布関数を絞りこむ情報が特に無い場合は、所与の拘束条件を満たす全ての 候補の上での一様確率を想定してみましょうという方法論のこと。 定理ではなくムーブメントなんだが、同意する人が多いので 仮定として広く用いられる。私も、概ね同意している。 問題点は、拘束条件の内容によっては、一様分布が存在しない場合があること。 どんな問題にも適用できるわけではないのだ。二封筒問題もソレにあたる。 二封筒問題の場合、問題の条件を満たす金額の組は可算無限だから、 その集合の上に一様分布は存在しない。何でも等確率と仮定してしまえばいい というほど安易なものではないのだ。これを言うと、 考えることが苦手な人逹からは、いつも猛反発を喰らうのだが。 >>462 もともと不明な事前分布を一生懸命考えようとするから「脳みそ不十分・・」と言われていることにまだ気づかないのか。 分からないから暫定的に等確率 その確率を信じて期待値を求める人は 万馬券ばかり買って負けてればいいでしょ >>462 P(10000,5000)=P(10000,20000)を恣意的と言う人がいるが、 現実に10000が出たなら10000が特別なのは当たり前で、恣意的でも何でもない。 P(10000,5000)=P(10000,20000)それ自体がなぜ「可算無限の上に一様分布」になるのか、 厳密な数学的証明を希望する。 ベイズ確率では 10000が出たという情報を知った後の確率を考えるためには 10000が出たという情報を知る前に {10000, 5000}の組が選ばれる確率P({A,B}={10000,5000}) {10000,20000}の組が選ばれる確率P({A,B}={10000,5000}) などを予め決めなければいけない 10000が出たと知った後にそれらを1:1と決めるのはベイズ確率ではない 金額を確認した後に確率を決める(仮定する)のも別にいいけど そうして決めた確率は客観確率でもベイズ確率でもないから 客観確率やベイズ確率で成り立つ常識(命題)は成り立たなくなる え?1方が1万円ならもう1方は五千円か二万円だよね?その確率は半分だよね。じゃあ期待値は12500円になる。じゃあ片方の方でいいでしょ?何が問題になるの。それで五千円引いてもそんな端金大した問題じゃないでしょ。 状況が変われば確率空間が変わるのは当然で、いま 開封前の状況における確率測度をP 封筒Aを開封してa円入っていたという状況における確率測度をQ_a とすると ベイズ確率では P(・|A=a)=Q_a(・) となり Pは事前分布、Q_aは事後分布という関係になる 開封後の測度Q_aが、開封前の測度Pや見た金額aで表せるので確率や期待値によって 開封前後の比較や、他の金額を確認した場合同士の比較、戦略同士の比較 などを行える 一方、ベイズ確率ではなく 封筒Aを開封して金額aを確認した後にQ_aを Q_a(<A,B>=<a,a/2>)=1/2 Q_a(<A,B>=<a,2a>) =1/2 と決める(仮定する)やり方だと Pと無関係にQ_aを決めるので開封前後の比較は不可(PとQ_aは事前分布、事後分布の関係でない) 他の金額を確認した場合Q_a1,Q_a2もそれぞれ個別に仮定してるので比較不可 従って戦略同士の比較も不可となる 某分析哲学者さんも後者の(ベイズ確率でない)確率が好きなようだが この確率は、矛盾はないが、確率的に分析できることもない >>465 > P(10000,5000)=P(10000,20000)それ自体がなぜ「可算無限の上に一様分布」になるのか、 > 厳密な数学的証明を希望する。 証明できないのはおろか、可算無限の一様分布でなければならない、の対偶が偽であることが証明される。 証明できないのに、これが所与の条件から導かれる、とか屁理屈コネる馬鹿がいるんだよ笑 p(5000)=p(10000) という確率を見たら条件反射で 任意のn∈Nでp(n)=p(n+1)でなければならない と考えちゃう理想主義的バカがいるんだよ。 [証明] p(5000)=p(10000) を仮定するならば p(1)=p(2)=p(3)=・・・=p(1000000000)=p(1000000001)=・・・ でなければならない。 なぜなら問題文には何も書かれておらず、5000と10000に限定されないからである(証明終) で証明になってるわけねーだろアホ 何年か前、数学系の雑誌に某大学教授のコラムが載っていた。 「一般雑誌の編集者から『徳川吉宗が将軍になる確率を計算して欲しい。』という依頼があった。 どうも、若いときの吉宗は、将軍になる可能性が極めて低かったということを理論づけたいとの考えのようだった。 私は、『実際に起こってしまったことの確率を計算しようとするのは無意味ですよ。』と教えたがその編集者は理解できなかったようだ。」 >>469-470 p(5000)=p(10000)から∀n∈N,p(n)=p(n+1)が導けると言ったのではなく、 10000を見てp(5000)=p(10000)と仮定するのが自然だと考えるのなら、 設定上任意的のnを見る可能性がある以上、同じ考え方で、 ∀n∈N,p(n)=p(n+1)と仮定するのが自然だということになるだろう と書いたんだがな。 nの中で実際に現れた10000だけを特別扱いした確率分布を仮定することは、 イベントの情報を加味して事前分布を決めたことになるから、 時系列がおかしい。 理由不十分の原理に従ったことにはならない以前に、単純に支離滅裂だろと。 >>427 > ∀n∈N,p(n)=p(n+1)と仮定するのが自然だということになるだろう 二枚舌乙 以下はおまえが書いたものだ >>325 > その確率空間の全事象が自然数全体だ、と考えるのは仮定ではない。 > 金額の組 {x,2x}(xは自然数) は全て「一方の中身は他方の2倍」 > を満たすのだから、どれもが問題の条件に合う。 > x を有限の範囲に制限する追加の仮定を何か置かない限り、 > x の範囲は自然数全体となっている。それは、 > 所与の条件から論理的に導かれたのであって、第二の仮定ではない。 はっきり2度も 仮 定 で は な い と言っているではないか。 さらにお前はこうも書いている。 >>357 > 標本空間を無限にとるか有限にとるかは自由ではない。 すなわち、 『標本空間は可算無限のNでなければならない』 『このことは所与の条件から導かれるものであり、仮定ではない。』 お前はこのように主張してきたのである それに対し、 『Nは仮定である。仮定と帰結をしっかり区別しろ』 と主張してきたのが俺である。 ところがここにきて>>472 で『Nは自然な仮定である』と言い出した。 自然か自然でないかという言い争いに興味はないが、ともかく仮定であることは認めたわけだ。 >>472 はこうも言っている。 >>321 > 一方、「一方の中身は他方の2倍」という条件を > 満たす封筒の中身の候補は {x,2x}(xは自然数) であり、Xが可算無限あることは、仮定ではなく > 導かれる結論。追加の仮定はしていない。 > むしろ、Xの範囲を有限に制限することこそ、 > 問題文に与えられていない追加の条件だろう。 > 落ち着いて、よく考えてごらん。 あらためて落ち着くまでもなく、 可算無限のNを標本空間に取ることは 有限の標本空間を取ることと同じく、 確率空間をこしらえた人間が勝手に設定した仮定である。 自然数全体の濃度と、お前が勝手にこしらえた標本空間をどう取るかは別問題である。 俺はずっとそう主張してきた(>>322 ) 問題文には ・10000円という記述がある。 ・定義域が書かれていない。 この2つの情報だけから、 標本空間がNに限られるのは『仮定ではなく導かれる結論である』 と声高に主張してきたのがお前である。 >>359 や>>362 では、お前の論理のおかしさを誰にでも分かる形で説明した。 問題文には ・100^100^100円が確率的に現れる という記述もなければ、 ・0円や5銭が確率的に現れない という記述もないのである。 何も記述がなければ下記お前の号令は無茶である。 >>357 > 標本空間をどう取るかは、問題の設定に含まれる全ての > 場合を包含するように限定されなければならない。 にも関わらず、お前は『Nは仮定ではない』と言い続けてきた。 お前が今やるべきことは二枚舌で言い逃れを図ることではない。 完全に論破されているのだから、ここまでに犯した論理の誤りをハッキリと認めるべきだ。 それがまともな議論の前提となる誠実な態度というものだ。 ああ、>>472 は書き方が悪くて伝わらなかったか。 >>469-470 p(5000)=p(10000)から∀n∈N,p(n)=p(n+1)が導けると言ったのではなく、 10000を見てp(5000)=p(10000)と仮定するのが自然だと考えるのなら、 設定上任意的のnを見る可能性がある以上、同じ考え方で、 ∀n∈N,p(n)=p(n+1)と仮定するのが自然だということになるだろう。 君らの考えに従えば、そういうことになる。 それで、∀n∈N,p(n)=p(n+1)と仮定すると、今度は そのようなp()が存在しないから、破綻する。 要するに、p(5000)=p(10000)と仮定するのは 筋が悪い。 >>476 筋が良いか悪いか 自然か不自然か 俺はそういうボヤケた話をしているのではない。 何が仮定で何が結論か をハッキリさせるべきだと言っている。 >>476 「設定上任意的のnを見る可能性がある以上」って、 可能性があるのは10000と5000と20000だけじゃないんですか? 10000を見た、という問題設定なのだから。 476は、「設定上、一方の封筒は他方の封筒の『任意のn倍』である可能性がある以上」 と考えるんですか? 考えないでしょ? 2倍って書いてあるんだから、2倍の場合だけ考えればいい。 3倍や4倍の場合は無視。 これでどこが悪んですか? >>477 ボヤケているのは、話ではなく、君の頭のようだ。 事前分布は、導けるものではなく、仮定だと、 君自身が強調していたではないか。 二封筒問題は、サイコロやトランプより 仮定の置き方が難しくて、変な置き方をすると 意味のある議論にならない…というのが 一番のポイントだよ。筋の良し悪しが本論。 そのことを説明し続けているんだかな。 >>478 いったい、何の話をしている? 3倍や4倍の場合など、誰も持ち出していない。 一方が他方の2倍という組み合わせの候補は 有限個に限定されないだろう?と言っている。 >10000を見た、という問題設定なのだから。 については、既に書いたが、 イベントの情報を事前分布に組み込んではいけない。 開けた封筒が10000であることは、開けて初めて判るのであって、 事前分布を仮定する時点では判明していない。 結論の先取りは、論理の破綻だよ。 サイコロを降って2の目がでたからといって、 このサイコロには6の目が無いと 仮定して良いわけでもあるまい? >>478 横レスだが、さすがにこれは言いがかりにも程があるだろう。>>1 の問題設定は >2つの封筒があり、一方の封筒に入っている金額はもう一方の封筒に入っている金額の2倍である。 >一方の封筒を開けると1万円入っていた。あなたはそのままその1万円をもらってもいいし、もう一方の封筒と交換することもできる というものだ。「2倍」という情報は封筒を開ける前の段階から既にルールとして決まっているのだ。 これを「n倍の可能性もある」と解釈するバカがどこにいるんだ。 ・2つの封筒がある。 ・一方の封筒を開けると1万円入っていた。 ・この段階で、一方の封筒に入っている金額はもう一方の封筒に入っている金額の2倍であると知らされた。 という問題を考えるのなら、「n倍」みたいなのも考慮すべきだろうがね。 なお、>>478 にはもう1つの勘違いがある。 >「設定上任意的のnを見る可能性がある以上」って、 >可能性があるのは10000と5000と20000だけじゃないんですか? >10000を見た、という問題設定なのだから。 これは、「書いてあること全てが固定されたルール」と解釈していることになる。 そのような問題を考えたいのならば、 ・ 目の前に1枚の封筒がある。中身は5000円か2万円である。 ・ あなたは封筒を開けずに無条件で1万円をゲットするか、 もしくは1万円をゲットせずに封筒を開けて中身をゲットするかのいずれかを選択する。 ・ どちらの行為の方が得か。 と表現すればいいのである。この場合、このゲームを何度繰り返そうとも、 そのたびに「 5000円, 2万円, 1万円 」というルールのもとで試行されることが示唆される。 これなら、封筒の中身が5000円か2万円であるかを 1/2 ずつの確率だと思うことは極めて自然である。 しかし、>>1 はそのようには表現していない。>>1 は >2つの封筒があり、一方の封筒に入っている金額はもう一方の封筒に入っている金額の2倍である。 >一方の封筒を開けると1万円入っていた。あなたはそのままその1万円をもらってもいいし、もう一方の封筒と交換することもできる と表現しているのである。この書き方では、試行を繰り返すたびに、 最初に入っていた封筒の中身が変化しうることが示唆されている。 >>478 のような解釈はできないのである。 >>481 「ルールとして決まっているのだ」は言い過ぎでは。 2倍も10000円も胴元が勝手に決めた点では同じ 未開封の状態からすると、 「2倍」が先に与えられるか、「10000円」を先に見るかは、問題の本質に関係ない。 ベイズでは 情報の与えられる順番 は無関係。 2倍以外に設定される事前分布など誰も考えない。 同じく、10000,5000,20000以外の事前分布など必要ない、という話なんだが。 >>479 > ボヤケているのは、話ではなく、君の頭のようだ。 > 事前分布は、導けるものではなく、仮定だと、 > 君自身が強調していたではないか。 分布は仮定である。 確率空間自体が仮定なのだから当たり前だ。 それがどうかしたか? どこに俺の頭がボヤケていることの説明がある? お前は2chだからと言いたい放題だな。 相手を見下すならせめて理由付けをしろよ。 他の人間に俺が馬鹿だと知らしめたいんだろ? だったら>>473-475 に正面から立ち向かえよ。 書き方の問題(>>476 )で収拾がつく話のわけねえだろ。 > 変な置き方をすると > 意味のある議論にならない…というのが > 一番のポイントだよ。筋の良し悪しが本論。 > そのことを説明し続けているんだかな。 筋の良し悪しが本論? 馬鹿じゃねーのw 筋だの自然だの、何の話してんの? そもそも俺の主張をきちんと理解できてるの? まずはきちんと>>473-475 を読みなさい。 君の過去の主張と今の主張の間の食い違いを認識しなさい。 そしてどちらが君の本当の主張なのか、きちんと態度を表明しなさい。 それをせずに、頭がボヤケてるなどと他人を罵倒する態度は大変非誠実である。 >>482 「最初に入っていた封筒の中身が変化しうることが示唆されている」 とはいっても、10000,5000,20000の三通りの中で変化しうるだけですよね? しかも「かりに5000が出ていたら」「20000が出ていたら」と考えるのは無意味。 「10000が出た」場合に限定して答えよ、という問題だから。 「二倍」と事情は同じ。 >>484 分布は仮定である。 仮定だから、どう置いても好き放題なのではなく、 仮定たから、どう置くかで見識が問われる。 二封筒問題は、そういう問題だ。 >>482 その問題で 封筒の中身が5000円か20000円かは1/2 だと思うんなら 本当にギャンブルはやめとけよ >>486 >>473-475 は、見識とか筋の良し悪しとか自然の度合いとか、 定量化のための定義すらハッキリしない曖昧な問題を扱っているのではない。 標本空間Nが仮定(>>472 )なのか結論(>>325 )なのか、お前の主張に矛盾があると指摘しているのだ。 お前はずっと、標本空間Nは所与の条件から導かれるものだ(>>325 )と主張してきた。 俺の一連のレスはそれに対する反論であり、帰結ではなく仮定であることを説明してきたのである。 俺の>>473-475 に対して >>479 > 筋の良し悪しが本論 では反論になっていない。 お前が今やるべきことは二枚舌で言い逃れを図ることではない。 完全に論破されているのだから、ここまでに犯した論理の誤りをハッキリと認めるべきだ。 それがまともな議論の前提となる誠実な態度というものだ。 >>487 参加者が損するということは胴元が儲かるわけだ。 キミは、その問題で胴元が儲かると思っているのか? >>489 目の前に封筒があります 胴元は20000円か5000円を仕込んでいます 20000円を1/3、5000円を2/3で仕込めば胴元に儲けはありません 胴元が儲けるには、20000円の比率をもっと低く設定しているでしょう まあでも胴元は赤字覚悟で20000円を多く仕込んでいるかもしれません それは胴元にしか分かりません それをあなたは、1/2で20000円だと言う ギャンブルをやめたほうがいいと言うよりも 詐欺師に騙されないように進言しますよ >>490 何を馬鹿なことを言ってるのか。 胴元が仕込んだ段階では、客が1万円を引いてくれる保証はないんだが。 胴元に一体どうやって儲けさせる気かね。 キミの頭の中に詰まってるのは生ゴミか。 >>491 >>482 の設定では 目の前に封筒があるだけですので 封筒の中身は如何様にでも仕込めますが >>491 それなそれな。 胴元が仕込んだ段階では客が1万円を引いてくれる保証はないので、 客が1万円を見た時に他方の封筒が5千円と2万円の確率が1/2づつと考えることは、 客がa円を見た時に常に他方の封筒がa/2円と2a円の確率が1/2づつと考えることと セットでないと、不自然過ぎる。つまり、>>476 。 客が1万円を引いてくれる保証は無い ここに答えが書いてるじゃん つまり、1万円を引かなかった時、客が引いた金額は? 5千円だな 2万円なんて入れてないよ俺 客が1万円を引いた時だけを切り取って考えるから 2万円という幻を見るんだな 二つの封筒問題で、他方の封筒に5000円が入っている確率、20000円が入っている確率 いずれも1/2だと考えている方々に、設定の異なる問題を作りましたので、お考えてみてください。 二つの封筒があります。異なる金額の小切手が入っていることだけが判っています。 case1:一つを選んで中を確認したところ、10000円の小切手が入っていました。 case2:一つを選んで中を確認したところ、100000円の小切手が入っていました。 case3:一つを選んで中を確認したところ、1000000円の小切手が入っていました。 case4:一つを選んで中を確認したところ、10000000円の小切手が入っていました。 もう一つの封筒に入っている小切手の金額が、選んだ封筒の金額より大きい確率はどのcaseでも1/2なのでしょうか? >>492 客の見ている前で封筒の中身をすり替えるのか? >>495 >異なる金額の小切手が入っていることだけが判っています。 この条件がある限り、選んだ封筒が高額側か低額側かの確率は1/2 封筒を開けて中の金額を確認しても、確率を改訂する情報は依然として得られない。 結局、case1〜4のすべてにおいて >もう一つの封筒に入っている小切手の金額が、選んだ封筒の金額より大きい確率はどのcaseでも1/2なのでしょうか? の答えは当然yesになる 予想通りの回答ありがとう。 続いて、さらに条件を少し加えます。 小切手に書かれている金額に、上限が設定されていることが判りました。 ただし、先ほど確認したいずれの金額よりも、十分大きいことは保証されています。 これにより、回答は変化しますか? さらに、小切手に書かれている金額として、0円 もokとします。 これにより、回答は変化しますか? >>498 確認した【いずれの】金額よりも、 十分大きいことは保証されている 従って、 すべての整数の金額を見ても 胴元は、その2倍金額のを用意できる すなわち、 1/2のまま、変化しない 同一人物かどうか判りませんが、「1/2派」としてのスタンスの確認ありがとう。問題を拡大します。 三つの封筒があります。全て異なる金額の小切手が入っています。 小切手の金額に上限があること、その上限は、これから確認するであろう 金額よりも十分大きいことも知ってます。また、0円小切手もあり得るとします。 三つの内、二つの封筒を確認しました。10000と100000でした。 残りの封筒の中の金額が、10000未満である確率、10000より大きく100000未満である確率、 100000より大きい確率、それぞれ1/3づつだということでokですね。 三つの封筒には、順番をつけられる。確認前はその順序づけとして3!通りあるが、そのどれなのかは 全く対等、...等と検討の結果、上のように結論すると予想されますが、いいでしょうか。 さらに拡大します。五つの封筒があります。全て異なる金額の小切手が入っています。 小切手の金額に上限があること、その上限は、これから確認するであろう 金額よりも十分大きいことも知ってます。また、0円小切手もあり得るとします。 五つの内、四つの封筒の中身を確認しました。小さい順にならべると、x,y,z,w 残った封筒の小切手の金額について、 xより小さい確率、xとyの間にある確率、yとzの間にある確率、zとwの間にある確率、wより大きい確率、 これらは、x,y,z,wがどのような値であろうとも、常に1/5づつだという事でよろしいですね。 >>>500 >>497 >>499とは別人物ですが、よろしいと思います。 五つでも幾つでも、確率はみな同じです。「幾つ」が特定される限りは。 >>500 三つの封筒の件のみ、そして、 1万円未満の確率のみ、以下に解答します まあ 封筒F1 封筒F2 封筒F3 として 金額の順列 3P3 = 3! = 6通りですね 開封前だと、 P(F1<F2<F3)= 1/6 P(F1<F3<F2)= 1/6 P(F2<F1<F3)= 1/6 P(F2<F3<F1)= 1/6 P(F3<F1<F2)= 1/6 P(F3<F2<F1)= 1/6 よって P(F1<F2)= 1/3 ── ◎ 3つの封筒内、2つのを開封後 F2=10000 F3=100000を見たのだから ◎に F2=10000を 代入だぁ! P(F1<10000)= 1/3 ということで、 残りの封筒の中の金額が、 1万円未満の確率は、1/3となるんです。 以上 せっかくだから、 数式をほぼ使わず解説すれば次の通り 開封前は、 F1が一番小さいくなる確率は、 1/3である。 順列3P3=6通りのうち、 (F1<F2<F3)と(F1<F3<F2)の2通り のため 開封により、新たな情報が加わった 10000円という情報だ 従って、ベイズ流アプローチで、 10000円未満の確率は、1/3 ギャグでしょ ベイズ確率じゃないのにベイズ流アプローチとか言ってる部分が笑う所 まんまと罠にハマり見てて面白いのだが、テンポが悪いのが頂けない 2封筒問題は、 【どの金額についても】交換で25%得になる から 【すべての金額で交換して25%得】になる を導き出して勝手に不思議がってしまうという、単なる誤謬推論の問題。 しかしその前段階に、 「10000円を見たときに、それが高額の方である確率は未開封時の1/2から改訂されるか」 「事前分布の後出しは正当か」(本当は「事後分布の先決め」ですが) というステップが控えているのでした。 「1/2から不明に変わる」と答える人は、「事前確率」というものが規約的な概念であり、どこに設定するかは自由であるという基本がわかってないのではないか。 「{10000,5000}の事前確率が不明なので事後確率も不明であるべき」というのはナンセンスです。 金額の大小の事前確率は明瞭であり、そこへ確率不明の別カテゴリの事象が影響を及ぼすことはありえないからです。 不明な事前確率はいかなる問題設定の前にも想定できるので、「不明」派の主張に従うと、すべての確率問題の事後確率は「不明」が正解になってしまうでしょう。 事前確率は、事後確率へ改訂するベースとしてあるのであって、推論を妨害するために立ちはだかる障害などではありません。 >> 残った封筒の小切手の金額について、 >> xより小さい確率、xとyの間にある確率、yとzの間にある確率、zとwの間にある確率、wより大きい確率、 >> これらは、x,y,z,wがどのような値であろうとも、常に1/5づつだという事でよろしいですね。 によって、もう詰ましたつもりだったのですが、判らなかったのでしょうか? 具体的な数字を入れてみれば判るでしょうか 例えば、x,y,z,w が 10,20,1000000,1000010 だとすると、 10未満である確率も、20より大きく1000000より小さい確率も、 1000000より大きく1000010より小さい確率も、全て1/5だといっているのです。 とんでもない主張です。 別の説明を与えましょう。 五人の生徒に好きな正の数字を思い浮かべてもらいます。 途中で変更しないよう、何かに記録してもらうのがいいでしょう。 念のため、同じ数字を思い浮かべた人がいないかチェックしておきます。これで準備完了です。 五人の中から適当に四人を選び、思い浮かべた数字を公開してもらいます。 思い浮かべた数字を小さい順に、x,y,z,w とし、残った一人の人が思い浮かべた数字をa とすると、 P(a<x)=P(x<a<y)=P(y<a<z)=P(z<a<w)=P(w<a)=1/5 だと主張されているのです。x,y,z,w がどのような値であろうと等しいというのです。全く滑稽だと思いませんか? 1/5という確率が与えられるのはつぎのようなケースです。 四人に黒板の前に来てもらい、四人の中だけで、数字を見せ合って、「順位確認」を行い、 その順番に従って横一列に並んでもらいます。 その状態で、五人の数字を知らない人が、残った人がその列に入るとしたら、どの位置に入るか 予想してもらう。この時、正答する確率です。 x,y,z,w 等の生の値は非公開、四人の中での大小関係、順位付け情報だけを知っている立場の人が、 第五の人がどの順位に入り込むか、それが問われたときに正当する確率です。 第五の人が思い浮かべた値が、残りの四人が思い浮かべた数字によって、 可能性が1/5づつに等分されるように、範囲が限定される、等ということがあり得るわけが無いでしょう。 これが、二つの封筒問題とどのように関連するか? 生の数字は関係ない。大小関係、あるいは、順位だけが関与しているということを認識してもらうためです。 二つだと、生の数字が確認でき、その値自身が重要な意味を持っていると考えてしまいがちですが、 それを三つだとか、五つに拡大すると、数字の値自身は関係なく、大小関係・順位の方にこそ 本質があるのだと気づくはずです。 くどくなりますが、もう一例。 三人に好きな数字を思い浮かべてもらいます。勝手に変更しないよう、どこかに記録だけしてもらいましょう。 そのうち二人に前に来てもらい、横に並んでもらいます。 この状態で、第三の人が、「入るべき位置」を予想してもらいます。 目標は、三人が思い浮かべた数字が、順に並ぶようにすること。昇順か降順かは問いません。 正当の確率は明らかに1/3です。 もし、前にいる人が数字を明らかにすると、どうなるでしょう。 例えば、一人はきわめて大きな値、もう一人は、非常に小さい値。 たぶん、第三の人は、両者の間に入る確率が高くなります。 もし、二人の数字が非常に近かったらどうでしょう。両者の間に入る確率は小さくなります。 このように、数字が公開されると、確率を変動させる要因になります。三人だと、こんな感じですが、 五人だとどうでしょう。たとえば、前に出た四人が思い浮かべた数字が、10,20,1000000,1000010 だったら? 20と1000000の間に入る確率と、1000000と1000010の間に入る確率が同じとは思わないでしょう。 数字が公開されても、1/5づつという主張はこういう主張です。 二つの封筒問題では、金額確認前は確率1/2づつですが、確認するともう使えません。これと同様です。 三人や五人だと、なるほどおかしいなと思うとっかかりを見いだすことができますが、二人だと難しい。 これが二つの封筒問題から未だに抜け出せない人がいる要因の一つなのでしょう。 【今まで確率1/2だったものが、金額を見ると確率不明になる】というのをみて、「情報が減った?」などと思って いる人たちがいるようだけど、全くの間違い。その説明を与えます。 二つの封筒をAとBとします。Aの中の金額をx、Bの中の金額をyとし、x-y平面上に点で表すと 二つの封筒の組み合わせと、第一象限のどこかにプロットされる点が一対一に対応されます。 まずは「金額は正、二つの封筒の中の金額は同じではない」という条件だけを課すことにします。 第一象限は直線y=xによって対称的に二分されます。この二つの領域が対称だから、二つの封筒の中身を 表す点は、それぞれの領域に確率1/2でプロットされると考えることができます。 これは、xとyの入れ替え、あるいは、封筒のAとBの名前の入れ替えや、右の封筒を選ぶか、左の封筒を選ぶか等、 一連の対称性を起源として、確率1/2が与えられます。 「封筒の中の金額は同じでは無い」とした以上、x>yか、x<yかのどちらかであり、領域が対称だから確率1/2づつだという、 至極当然な事に由来する結論です。言い換えれば、ほとんど情報が無い状態ともいえます。 ここに、「一方が他方の二倍」という条件を課すと、第一象限を二分した二つの領域のどこだか、全く不明だった状況から、 直線y=2xかx=2y上のどこかへと変化します。「領域のどこか」から「V字状の直線上のどこか」へと変化します。 この二つの直線は、対称軸y=xに対し対称な直線だから、依然として、対称性が保たれ、 y>xの領域にある直線y=2x上にある確率が1/2、y<xの領域にある直線x=2y上にある確率が1/2 は維持されます。 【今まで確率1/2だったものが、金額を見ると確率不明になる】の前半に現れる確率1/2というのは、将にこれ。 しかし、本来は点で表される封筒の金額が、線上のどこかだと言っているだけ。 「点」という視点で見ると、未だに候補が無限にあります。 その後、一方を引いて10000と確認します。 確認した封筒を仮にAだとすると、x=10000という制限が加わることになりますが、x=10000という直線は、 直線y=xに関して対称ではありません。つまり、これまで、用いてきた「対称性」という道具はもう使えなくなります。 先のレスでも書いたようにこのような生のデータが加わると、対称性由来の確率は使えなくなります。 つまり、確率1/2と判断していた前提が失われます。 しかし、x=10000を得て、(x,y)=(10000,5000)または(10000,20000)のように、点としての候補が二つに限定されます。 「V字直線上のどこか」と、無限にあった候補が、たった二つに絞られたわけで、「情報が減った?」等 と言うことは断じてありません。ただし、どちらの点なのか、それぞれの確率は不明だと言っているだけです。 >>512 やっとまともな人が来てくれた兆候。 では質問。 情報は減ってない件について。 「どっちが高額か当てるギャンブル」をやっているとすると、情報が減ってますよね。 開封前は1/2を指針として掛金を決めて、それでうまくいっていたのに、 開封したとたんに掛金を決める指針がなくなってしまうのだから。 それは合ってますか? ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.5 2024/06/08 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる