モンティーホール問題を高校生にわかるように説明してくれ [無断転載禁止]©2ch.net

[0001 SOUTH 2017/03/12(日) 18:23:31.38 ID:/Eul2Kt1]

モンティーホール問題とは...
プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

プレーヤーはドアを変更すべきだろうか？
(wikiより)

[0979 １３２人目の素数さん 2018/10/16(火) 02:26:29.25 ID:A32TNFue]

簡単なプログラムを作って乱数シミューレーションすればあっさり＆はっきり結果が出た
もでなぜわからなかったかの理由がまだわからない

[0980 １３２人目の素数さん 2018/10/16(火) 02:38:11.50 ID:jrV1s/Gw]

�@　P(当A ∧ 開B)＝(65/100)*(1/2)
�A　P(当C ∧ 開B)＝(33/100)*(1)

�@：�A＝65：66

P(当A｜開B)＝�@/(�@+�A)＝65/131
P(当C｜開B)＝�A/(�@+�A)＝66/131　

扉Cに変更するべき

[0981 １３２人目の素数さん 2018/10/16(火) 18:39:14.80 ID:jrV1s/Gw]

>>978
Aの確率が変化しないのは、BとCの確率が等しいときだけ

[0982 １３２人目の素数さん 2018/10/16(火) 22:32:52.91 ID:ZvEx7rpJ]

これは司会者がＢを開けた後に
選び直しますか？と聞くのがミソかな

確率的には全く変わらないが、開く前だと残り2つのどちらに当たりが入っていても
自分の物になることが理解しやすいと思う

扉1つと2つどちらがいいですか？と言ってるのと同じなんだよね

[0983 １３２人目の素数さん 2018/10/17(水) 00:03:55.09 ID:zWThBcqr]

男『ここにＡＢＣＤ４枚のカードがあります。』
男『４枚のうち１枚が当たりです。』
男『私はどれが当たりか知っています。』
男『さあ、好きなの１枚選んで。』
女『じゃあＡ』
男『では、貴方の選ばなかったＢＣＤのうちＤはハズレであることを教えよう。』
　（Ｄをめくる。確かにハズレだった。）
男『もう一度残ったＡＢＣの３枚から選び直していいよ。変えてみる？』
女『（モンティホールの応用だから変えたほうが若干得そうね）じゃあＢ。』
男『選ばなかったＡＣのうちＣもハズレなことを教えよう。』
　（Ｃをめくる。確かにハズレだった。）
男『ラストチャンス。ＡＢどっち？』
女『…(やっぱりＡに戻したくなってきたw）』

女はAに変更すべきだろうか？

[0984 １３２人目の素数さん 2018/10/17(水) 00:11:58.77 ID:LxNRGIwD]

男『私はどれが当たりか知っています』

つまり、確定情報なのでAの確率は１／４まま不動

女はAに変更すべきではない

Bの確率は３／４と高確率

[0985 １３２人目の素数さん 2018/10/17(水) 14:27:27.04 ID:zWThBcqr]

�@　当(A,B,C,D)＝(1/4、1/4、1/4、1/4)
↓　(選A、開D)
�A　当(A,B,C)＝(1/4、3/8、3/8)
↓　(選B、開C)
�B　当(A,B)＝(4/7、3/7)

女はAに変更すべき

[0986 １３２人目の素数さん 2018/10/17(水) 17:04:29.17 ID:LxNRGIwD]

�A　当(A,B,C)＝(1/4、3/8、3/8)

�Aで確定情報をもとにCの3/8がオープンになるから
通常のモンティホールと同じで
Aの1/4は変化しない

[0987 １３２人目の素数さん 2018/10/17(水) 17:17:26.86 ID:zWThBcqr]

当(A,B,C)＝(1/4、3/8、3/8)
(選B、開C)

�@　P(当A ∧ 開C)＝(1/4)*(1)
�A　P(当B ∧ 開C)＝(3/8)*(1/2)

�@：�A＝4：3

P(当A｜開C)＝�@/(�@＋�A)＝4/7
P(当B｜開C)＝�A/(�@＋�A)＝3/7

[0988 １３２人目の素数さん 2018/10/17(水) 17:30:11.91 ID:LxNRGIwD]

�@　当(A,B,C,D)＝(1/4、1/4、1/4、1/4)

�@の確率1/4はドアの枚数と分母が一致するので
ここから選択した確率は、確定情報を持った（すなわち不成立ゲームがゼロ）
男がドアを開けるのでゲーム最後まで固定される

�A　当(A,B,C)＝(1/4、3/8、3/8)

�Aから女が選択したBの3/8も確率固定されるが
Aのドアの確率固定力のほうが強力なので
Cのドアオープンとともに強制的に3/4に上げられる

[0989 １３２人目の素数さん 2018/10/17(水) 17:34:40.26 ID:LxNRGIwD]

>>985
�@から�Aになる時にはAのドアの確率が1/4で固定されているのに

�Aから�Bになる時には4/7に変化するのはおかしい

確定情報を持っている男がドアを開けるのなら
�BのAのドアの確率も1/4のまま不変である

[0990 １３２人目の素数さん 2018/10/17(水) 23:09:51.54 ID:zWThBcqr]

�@　当(A,B,C,D,E)＝(1/5、1/5、1/5、1/5、1/5)
↓　(選A、開E)
�A　当(A,B,C,D)＝(1/5、4/15、4/15、4/15)
↓　(選B、開D)
�B　当(A,B,C)＝(9/29、8/29、12/29)

[0991 １３２人目の素数さん 2018/10/18(木) 04:38:11.99 ID:gj9Mj7fw]

当(A,B,C,D)＝(1/100、32/100、33/100、34/100)

(選A、開D)　当(A,B,C)＝(2/197、96/197、99/197)
(選A、開C)　当(A,B,D)＝(2/200、96/200、102/200)
(選A、開B)　当(A,C,D)＝(2/203、99/203、102/203)

[0992 １３２人目の素数さん 2018/10/18(木) 16:33:12.39 ID:gj9Mj7fw]

>>974
最初に選んだ扉の当たり確率が変化しないための条件は

a＝a/(a+2b)
1＝1/(a+2b)
a+2b＝1
2b＝1−a
2b＝ｂ+c　(∵a+b+c＝1)
b＝c

[0993 １３２人目の素数さん 2018/10/18(木) 17:08:05.42 ID:gj9Mj7fw]

当(A,B,C,D)＝(a,b,c,d)
a+b+c+d＝1
P(当A｜選A,開D)＝2a/(2a+3b+3c)

最初に選んだ扉の当たり確率が変化しないための条件は

a＝2a/(2a+3b+3c)
1＝2/(2a+3b+3c)
2a+3b+3c＝2
3(a＋b＋c)＝2＋a
3(1−d)＝2＋a
d＝(1−a)/3　　　　(必ずしも　b＝c＝d　である必要はない)

[0994 １３２人目の素数さん 2018/10/19(金) 00:43:49.68 ID:ecUXrhdS]

・よくある勘違い
モンティ・ホール問題で選択を変えることは
「最初に選んだドア以外の2つのドアを選ぶ」ことと同じである

普通のモンティ・ホール問題については、この勘違いでも(たまたま)正しいが
一般的な状況でも成り立つと思っているとマズい

[0995 １３２人目の素数さん 2018/10/19(金) 02:06:45.47 ID:5btDxqP5]

勘違いではない
確定情報を持っているモンティがハズレのドアを開けるのなら
選択を変えることは
「最初に選んだドア以外の2つのドアを選ぶ」ことと同じである

[0996 １３２人目の素数さん 2018/10/19(金) 02:36:59.69 ID:ecUXrhdS]

モンティ・ホール問題で出てくるゲームをやることになった挑戦者。
前日に猛勉強してコツ(a.k.a. 勘違い)をつかんだ。

「結局これは3つのドアのうち、1つを選ぶか、他の2つを選ぶかということだ。
司会者は必ず、挑戦者が選んだ1つのドア以外の2つのドアから、外れのドアを開ける。
ということは、選択を変えることは、他の2つのドアを選ぶのと同じだ。
1つより2つの方が当たる確率が高いのは当然だ。実際、確率は変えるときの方が変えないときの倍になっている。
簡単な話だ。選択を変えた方が勝ちだ！」

[0997 １３２人目の素数さん 2018/10/19(金) 02:40:02.49 ID:ecUXrhdS]

翌日、ゲームの説明を受ける挑戦者。
基本的にはモンティ・ホール問題なのだが、1つだけ違いがあった。

3つのドアA、B、Cのどれに賞品を入れるか、くじで決めるのだが、この確率が1/3ずつではなかった。
Aに9999/10000、Bには99/10000、Cには1/10000の確率で賞品を入れる。
以降は同じで、司会者はどのドアに賞品が入ったか知っている。

こんなの絶対Aに決まってると思った挑戦者はあまりの興奮のため、誤ってBを選んでしまった。
だが選択を変えるチャンスが1回あるのはルールで決まっているのだ。
そのときAに変えればいい…
しかし司会者が開けたのはAだった！
Aは外れだったのだ。

[0998 １３２人目の素数さん 2018/10/19(金) 02:42:18.53 ID:ecUXrhdS]

挑戦者は思った。

「Aが外れだったのは驚きだな…奇跡的な確率じゃないか？
でもこれでBが当たりというのは確実だろう。
BにはCの100倍近い確率で賞品が入るんだから。
…待てよ？
選択を変えるということは、残り2つのドアを選ぶということだったはずだ。
司会者がAを開けるまで、B以外が当たる確率は(9900/10000)+1/10000だった。
これはBが当たる確率より100倍以上大きい。
そしてそれがそっくり、Cが当たる確率になるはず…なのか？
だとすればBを選び続けるのはあまりに無謀すぎる。
しかしCが当たりとはとても…」

[0999 １３２人目の素数さん 2018/10/19(金) 02:42:51.33 ID:ecUXrhdS]

当たる確率が高いのは選択を変える方なのだろうか、変えない方なのだろうか？

[1000 １３２人目の素数さん 2018/10/19(金) 02:44:09.25 ID:ecUXrhdS]

変える　　　2/101
変えない　　99/101