モンティーホール問題を高校生にわかるように説明してくれ [無断転載禁止]©2ch.net

[0001 SOUTH 2017/03/12(日) 18:23:31.38 ID:/Eul2Kt1]

モンティーホール問題とは...
プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

プレーヤーはドアを変更すべきだろうか？
(wikiより)

[0802 １３２人目の素数さん 2018/07/19(木) 02:08:47.06 ID:Q8iFYOVr]

逆バージョンで、ドアＣではなくドアＡが開いたとする

�@　P(開A｜当B)＝3/8*3/5＝9/40
�A　P(開A｜当C)＝3/8*1＝3/8

�@＋�A＝9/40＋3/8＝3/5

P(B)＝�@/(�@＋�A)＝(9/40)/(3/5)＝3/8
P(C)＝�A/(�@＋�A)＝(3/8)/(3/5)＝5/8

よって　P(B)＝3/8 で不変であり、ドアＣとドアＡのどちらが開いたとしても
　　　　ドア４枚における連続チェンジ戦略の当たり確率は 5/8 である

[0803 １３２人目の素数さん 2018/07/19(木) 02:18:01.15 ID:Q8iFYOVr]

>>802
×　P(開A｜当B)　　　○　P(当B・開A)
×　P(開A｜当C)　　　○　P(当C・開A)

[0804 １３２人目の素数さん 2018/07/19(木) 02:57:16.57 ID:MfxQjqYK]

　　　　　　　　,,＿＿,,
　　　　　　 ／ 　　　 ｀､
　　 　　　/　　　　　　　ヽ
　　　　　/　●　　　 ●　|
　　　 ／l　 '''''　し　 ''''''　|
　　 /　　l　　　＿＿.　　 |
　　 l　　/ヽ＿ ` --' ＿ノ
　　 ＼　　　　　 ￣　　ヽ∩
　　　　⌒l 　　　　　　　l三 |
　　　　　 |　　　　　　　 ヽ.__|

[0805 １３２人目の素数さん 2018/07/19(木) 13:03:04.71 ID:P3+FHHhD]

やはり、モンティホール問題が分からないレベルの初学者には
「情報を得れば(例えそれが無駄な情報でも)確率は変わるもの」と徹底して教えるべきだな

そうすれば
> P(B)が不変なのであり、P(A)は不変ではない
などというアホな表現が出てくることもない
(ここまでのアホは稀だが、同様の間違いは割とよくある)

[0806 １３２人目の素数さん 2018/07/19(木) 19:54:27.90 ID:Q8iFYOVr]

ん？　不変自体を完全否定の そもそも論なわけ？

ドア３枚の標準モンティ・ホール問題で
最初にドアＡを選択した後、ドアＣが開けられた場合
P(A)＝1/2　　P(B)＝1/2　　になるっていうこと？

P(A)＝1/3　　P(B)＝2/3　　になるなら
P(A)が不変で別に間違ってないと思うけど

[0807 １３２人目の素数さん 2018/07/19(木) 22:49:09.49 ID:MfxQjqYK]

>>801
■ドア４枚でドアＢにチェンジした時のドアＡの確率

P(A)＝１／４　　P(B)＝３／８　　P(C)＝３／８

ドアＣが開けられた時のドアＡの確率P(Ａ|Ｃ−)は

ドアＣがハズレの時P(C−)＝５／８かつ
ドアＡが当たりの時P(A)＝１／４であるから

P(Ａ|Ｃ−)＝P(A)∧P(C−)＝（１／４）ｘ（５／８）＝５／３２

[0808 １３２人目の素数さん 2018/07/19(木) 23:19:02.13 ID:P3+FHHhD]

ある状況(事前分布)における事象Aの確率を(確率測度Pを用いて)
P(A)
と表すとすると
それから事象Dに相当する情報を得た状況(事後分布)における事象Aの確率は
Pとは別の記号(確率測度Q)を用いて
Q(A)
と表される

このように状況が事前と事後の関係になっているとき、PとQは
任意の事象Xに対してQ(X)＝P(X|D)
という関係が成り立っている

つまり、事前と事後では、事象Aの確率は
P(A)から別物Q(A)に変化する

この基本中の基本をまず頭に叩き込め！

AとDが事象として独立のとき
P(A)の値とQ(A)の値は、数値として一致する
(独立でないときはP(A)の値とQ(A)の値は一致しない)
ので
「事前と事後で、事象Aの確率は1/3のまま不定、事象Bの確率は1/3から2/3に変動する」
などということはあるが
「事前と事後で、P(A)は1/3のまま不変、P(B)は1/3から2/3に変動する」
などの表現は、完全に間違い
P(B)自体はどこまでいっても1/3のまま変動することはない

このような間違いを犯すくらいだから「ちょっとした表現の違いで、大した問題ではない」と軽く思うかもしれないが
この手の話題では
語句の有無や省略の仕方、言い回しのちょっとした違い、記号や図式の書き方の少しの違いで
それが指し示す内容が変わり、式や数値が別物になることもある
正しくない、あるいは雑な記号化が致命的になることを肝に銘じ、深く反省しろ！

[0809 １３２人目の素数さん 2018/07/19(木) 23:48:28.02 ID:MfxQjqYK]

誰に言っているの？

[0810 １３２人目の素数さん 2018/07/19(木) 23:56:58.92 ID:P3+FHHhD]

ID:Q8iFYOVr や ID:MfxQjqYK

[0811 １３２人目の素数さん 2018/07/19(木) 23:57:54.61 ID:Q8iFYOVr]

>>807
条件付き確率の定義
・事象Ｂが起きたと分かったもとでの、事象Ａが起こる確率
・P(A｜B)＝P(A∩B)/P(B)

P(A｜C−)＝P(A∩C−)／P(C−)
　　　　　＝(1/4*1)／(2/5)
　　　　　＝5/8

＞ドアＣが開けられた時のドアＡの確率P(Ａ|Ｃ−)は 　　　　　
＞ドアＣがハズレの時P(C−)＝５／８かつ
＞ドアＡが当たりの時P(A)＝１／４であるから
＞P(Ａ|Ｃ−)＝P(A)∧P(C−)＝（１／４）ｘ（５／８）＝５／３２

P(C−)≠5/8　　　　　　　　　P(C−)＝2/5
P(Ａ|Ｃ−)≠P(A)∧P(C−)　　　P(A｜C−)＝P(A∩C−)／P(C−)

ドアAが当たりの時は、ドアＣが100％の確率で開けられる
>>747はドアＣが開けられたということが前提条件
その条件下での P(A) と P(B) の比較なので、条件付き確率の問題

[0812 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 00:02:27.15 ID:BtY8bP2t]

>>811
P(C−)＝2/5って何？

[0813 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 00:07:09.00 ID:BtY8bP2t]

Ｃのドアの当たりの確率が３／８の時

Ｃのドアのハズレの確率は５／８だよ

余事象

[0814 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 00:16:59.86 ID:BtY8bP2t]

P(Ａ|Ｃ−)＝P(A)∧P(C−)＝（１／４）ｘ（５／８）＝５／３２

分母にP(C−)追加して計算しなおしても

P(Ａ|Ｃ−)＝｛P(A)∧P(C−)｝／P(C−)

　　　　　　＝｛（１／４）ｘ（５／８）｝／（５／８）

　　　　　　＝（５／３２）／（５／８）

　　　　　　＝１／４

見事にP(A)は不変

[0815 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 00:46:00.01 ID:BtY8bP2t]

>>811
〜ドアＣが開けられたということが前提条件
その条件下での P(A) と P(B) の比較なので〜

ドアＣが開けられた時のドアＡの確率P(Ａ|Ｃ−)求めれば
同じことだよ

[0816 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 00:58:44.39 ID:qfTX2KgX]

１００歩譲って、本来とは異なる記号の使い方などをしていても、自分の中だけの計算で確かめるだけならば認めよう
だが、正しく理解し運用しなければ、他人(特に初学者)に説明や解説することなど不可能だ
(自分が理解してると勘違いしてる者が一番タチが悪い)


問題
以下はモンティホール問題やその変形問題などに関する、よくある『間違った』推論です。
文の細かな意味や記号の書き方などに注意し、間違っている行を全て挙げ、正しく書き直しなさい。

問１(２行)
標準モンティで、プレイヤーは扉Aを選び、司会は扉Cを開けたらハズレであった時の、扉Aがアタリの確率はP(A:当|C:外)と表せる。
P(A:当|C:外)＝1/2である。

問２(４行)
標準モンティで、プレイヤーは扉Aを選び、司会は扉Cを開けたらハズレであった時の、扉Aがアタリの確率はP(A:当|C:外)と表せる。
P(A:当|C:外)＝1/3である。
変形モンティ(司会は残った２つからランダムに選んで開ける)で、プレイヤーは扉Aを選び、司会は扉Cを開けたらハズレであったときに限れば、扉Aがアタリの確率はP(A:当|C:外)と表せる。
従って、変形モンティでもP(A:当|C:外)＝1/3である。

問３(３行)
標準モンティで、司会が選んだ扉がハズレのときの、プレイヤーがはじめに選んだ扉Aがアタリの確率が1/3になるためには「プレイヤーが選んだ扉Aがアタリの場合に、司会は残った２つの扉からランダムに選んで開ける」という条件が必要である。
実際、「プレイヤーが選んだ扉Aがアタリの場合に、司会は扉Bを確率pで選び、扉Cを確率1-pで選ぶ」という場合、司会は扉Cを開けたらハズレであった時の、扉Aがアタリの確率は(1-p)/(2-p)である。
(1-p)/(2-p)＝1/3となるのは、p＝1/2のときだけである。

[0817 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 01:17:12.10 ID:TBvdj7N5]

>>813
P(A)：P(C)＝1/4：3/8＝２：3
∴　P(A−)：P(C−)＝３：２
P(A−)＋P(C−)＝１
∴　P(A−)＝3/5　　P(C−)＝2/5

P(A)＝P(B)＝P(C)＝1/3　のケースで、最初にドアＡを選択した場合
P(B−)＝P(C−)＝1/2　になるのは明らか
某謎理論だと、P(B−)＝P(C−)＝1−(1/3)＝2/3　になるので明らかに矛盾する
ゆえに、P(C−)＝１−P(C)　の式は間違っている

[0818 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 01:44:52.56 ID:BtY8bP2t]

>>817
P(A)＝P(B)＝P(C)＝1/3　のケースで、最初にドアＡを選択した場合
P(B−)＝P(C−)＝1/2　になるのは明らか

P(B−)＝P(C−)＝２/３だよ

□当たり　■ハズレ

A　　B
□|■■

ドア三枚で最初に当たりを引く確率は１／３
ハズレを引く確率は２／３

[0819 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 02:04:27.30 ID:BtY8bP2t]

比率なんて関係ない

ただの余事象

P(A−)＋P(C−)＝１１／８

>>811
P(A｜C−)＝P(A∩C−)／P(C−)
　　　　　＝(1/4*1)／(2/5)
　　　　　＝5/8

なんで同じP(C−)掛けているのに数値が違うんだよ

仮にP(C−)＝２／５で計算しなおしても

P(A｜C−)＝P(A∩C−)／P(C−)
　　　　　＝｛(1/4)*(2/5)｝／(2/5)
　　　　　＝１/４

見事に不変

[0820 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 02:29:54.29 ID:BtY8bP2t]

Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝Ｐ(Ａ)×Ｐ(Ｂ)であるからして

>>811の式は

P(A|C−)＝P(A∩C−)／P(C−)
　　　　　
　　　　　　＝｛Ｐ(Ａ)Ｐ(C−)｝／P(C−)

　　　　　　＝｛(１／４）ｘ（２／５）｝／(２／５)
　　　　　
　　　　　　＝（１／１０）ｘ（５／２）

　　　　　　＝１／４

[0821 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 02:38:18.77 ID:BtY8bP2t]

P(C−)＝５／８で計算しても

P(A|C−)＝P(A∩C−)／P(C−)
　　　　　
　　　　　　＝｛Ｐ(Ａ)Ｐ(C−)｝／P(C−)

　　　　　　＝｛(１／４）ｘ（５／８）｝／(５／８)
　　　　　
　　　　　　＝（５／３２）ｘ（８／５）

　　　　　　＝１／４

見事に同じ結果が導けました(*´▽｀*)

[0822 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 02:44:17.66 ID:BtY8bP2t]

つまりこれは

（２／５）ｘ(５／８)＝１／４ということです

[0823 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 02:58:09.83 ID:TBvdj7N5]

>>807
＞ドアＣが開けられた時のドアＡの確率P(Ａ|Ｃ−)は

この書き方だと、P(C−)がドアＣが開けられる確率になるだろうが
そもそも、開けられる確率とハズレである確率は一致しない

[0824 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 03:02:02.01 ID:BtY8bP2t]

ちなみにP(A)∧P(C−)は論理積

[0825 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 03:04:03.44 ID:BtY8bP2t]

計算結果が一致したのには驚いた

つまり、余事象はさておいて

本質的に同じことを言っていたとは……(*´▽｀*)

[0826 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 03:40:46.92 ID:TBvdj7N5]

>>820
時系列　　事象Ａ　→　事象Ｂ
P(A∩B)≠P(A)*P(B)
P(A∩B)＝P(A)*P(B｜A)

P(当A｜開C)＝{P(当A)*P(開C｜当A)}／P(開C)
　　　　　　＝(1/4*1)／2/5
　　　　　　＝5/8

[0827 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 12:33:18.30 ID:TBvdj7N5]

P(開C)＝2/5　　の主張を撤回する

司会者には当たりが見えてるので、ドアＢが当たりの場合に
ドアＡを開けるか、それともドアＣを開けるかは完全なランダム
ゆえに、P(開Ａ｜当B)＝1/2　　P(開C｜当B)＝1/2

�@　P(当A・開C)＝1/4*1＝1/4
�A　P(当B・開C)＝3/8*1/2＝3/16

�B　P(開C)＝�@＋�A＝(1/4)＋(3/16)＝7/16

P(当A｜開C)＝�@/�B＝(1/4)/(7/16)＝4/7
P(当B｜開C)＝�A/�B＝(3/8)/(7/16)＝3/7

[0828 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 12:58:26.59 ID:TBvdj7N5]

逆パターンで、最初に選んだドアＡが開いたとする

�@　P(当B｜開A)＝3/8*1/2＝3/16
�A　P(当C｜開A)＝3/8*1＝3/8

�B　P(開A)＝�@＋�A＝9/16

P(当B｜開A)＝�@/�B＝(3/16)/(9/16)＝1/3
P(当C｜開A)＝�A/�B＝(3/8)/(9/16)＝2/3

[0829 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 13:32:16.71 ID:TBvdj7N5]

ドア４枚で１回目にチェンジしたケースをまとめると

�@司会者が最後に開けたドアが、それまで手付かずのドアだった場合(確率7/16)　
最初に選んだドアが当たりの確率　　　　　　4/7　(チェンジ　→　チェンジ)
１回目にチェンジしたドアが当たりの確率　　3/7　(チェンジ　→　ステイ)

�A司会者が最後に開けたドアが、挑戦者が最初に選んだドアだった場合(確率9/16)
１回目にチェンジしたドアが当たりの確率　　1/3　(チェンジ　→　ステイ)
２回目にチェンジしたドアが当たりの確率　　2/3　(チェンジ　→　チェンジ)

ドア４枚の場合に、連続チェンジ戦略で勝てる確率
(7/16)*(4/7)＋(9/16)*(2/3)＝5/8

[0830 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 14:16:20.70 ID:TBvdj7N5]

>>828　訂正

×　�@P(当B｜開A)　　　○　�@P(当B・開A)
×　�AP(当C｜開A)　　　○　�AP(当C・開A)

[0831 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 17:08:52.02 ID:BtY8bP2t]

>>827
P(当A｜開C)＝�@/�B＝(1/4)/(7/16)＝4/7
P(当B｜開C)＝�A/�B＝(3/8)/(7/16)＝3/7

Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝Ｐ(Ａ)×Ｐ(Ｂ)であるからして

P(当A｜開C)＝�@ｘ�B＝(1/4)ｘ(7/16)＝７/６４
P(当B｜開C)＝�Aｘ�B＝(3/8)ｘ(7/16)＝２１/１２８

何で割り算してんの？

[0832 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 18:35:14.60 ID:TBvdj7N5]

>>827　を訂正
×　P(当B｜開C)＝�A/�B＝(3/8)/(7/16)＝3/7
○　P(当B｜開C)＝�A/�B＝(3/16)/(7/16)＝3/7

>>831
事象Ｘ　→　事象Ｙ
(部分Ｘ)／(全体)　じゃなくて　(部分Ｘ)／(部分Ｙ)　
事象Ｙが起こったと分かったもとでの、事象Ｘが起こる確率

(部分Ｘ)にあたるのが、当たりがドアＡかつドアＣを開く確率
(部分Ｙ)にあたるのが、当たりがドア(ＡまたはＢ)かつドアＣを開く確率

[0833 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 18:42:24.70 ID:BtY8bP2t]

(部分Ｘ)／(全体)　じゃないと

P(当A｜開C)は求められないよ

(部分Ｘ)／(部分Ｙ)　は

P(当A｜開C)にあらず

[0834 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 18:44:35.53 ID:BtY8bP2t]

■ドア４枚でドアＢにチェンジした時のドアＡの確率

P(A)＝１／４　　P(B)＝３／８　　P(C)＝３／８

ドアＣが開けられた時のドアＡの確率P(Ａ|Ｃ−)は

ドアＣがハズレの時P(C−)＝５／８かつ
ドアＡが当たりの時P(A)＝１／４であるから

P(Ａ|Ｃ−)＝P(A)∧P(C−)＝（１／４）ｘ（５／８）＝５／３２

論理積使えば一発で答えが出る

[0835 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 18:55:16.87 ID:BtY8bP2t]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E4%BB%98%E3%81%8D%E7%A2%BA%E7%8E%87

でたらめな式は使うな

[0836 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 19:21:58.61 ID:TBvdj7N5]

>>831
＞Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝Ｐ(Ａ)×Ｐ(Ｂ)であるからして

その式が成り立つのは事象Ａと事象Ｂが独立であるときのみ
当たりドアや選択ドアを開けられないルールによって
事象Ａと事象Ｂは独立事象ではなく従属事象

[0837 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 19:42:28.91 ID:BtY8bP2t]

>>836
Ｐ(Ｂ)はプレーヤーが選択していて確定事象

このとき

Ｐ(Ａ)とＰ(Ｃ)は互いに排反事象になるので

Ｐ(Ａ∩Ｃ)＝０

Ｐ(Ａ)とＰ(Ｃ)の関連性だけ調べればいいのであって
Ｐ(Ｂ)の確率は関係ない

[0838 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 19:49:37.88 ID:TBvdj7N5]

>>833
(部分Ｘ∩Ｙ)／(部分Ｙ)
(部分Ｙ)を新しい全体の分母として考えなさいという問題

>>834
ドアＢが当たりで 且つ ドアＣが開けられる確率も計算過程に入れないと
P(A｜C−)は求められない
横着せずにきちんと場合分けをしないといけない

[0839 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 19:54:29.04 ID:BtY8bP2t]

>>838
P(A｜C−)は求められない
横着せずにきちんと場合分けをしないといけない

単なる思い込みだよ
普通に計算できる

[0840 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 19:59:12.89 ID:BtY8bP2t]

尤度P(C−｜Ａ)＝５／８をドアＡの当たりの確率P(A)に

掛ければいいだけ

このとき、事象Ｃが起きた時のという意味の

P(C−)＝１で分母に入れなくてもいい

[0841 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 20:01:16.74 ID:BtY8bP2t]

シンプルだよシンプル

Ｐ(Ｂ)の確率は関係ない

それが条件付確率の本質

[0842 １３２人目の素数さん 2018/07/20(金) 21:20:26.99 ID:TBvdj7N5]

>>840
ドア３枚の標準問題で
P(A)＝P(B)＝P(C)＝1/3　　ドアＢを選択

ドアＣが開けられた場合のドアＡが当たりである確率が
P(当A｜開C)＝2/3　っていうことですら共通認識でないのか？

P(C−)＝2/3と思ってるみたいだから、謎の論理積の公式とやらに代入すると
以下みたいな訳が分からん数字が出るけど、本当にこれが正解と思ってる？
P(Ａ|Ｃ−)＝P(A)∧P(C−)＝1/3*2/3＝2/9

一応、バカ正直に条件付き確率の問題として解くと

�@　P(当A ∩ 開C)＝1/3*1＝1/3
�A　P(当B ∩ 開C)＝1/3*1/2＝1/6

�B　P(開C)＝�@＋�A＝(1/3)＋(1/6)＝1/2

P(当A｜開C)＝�@/�B＝(1/3)/(1/2)＝2/3
P(当B｜開C)＝�A/�B＝(1/6)/(1/2)＝1/3

[0843 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 01:57:32.13 ID:z7jjEcyg]

■ドア四枚が三枚になった時の確率は次の通り

P(A)＝１／４　　P(B)＝３／８　　P(C)＝３／８

[0844 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 02:04:15.51 ID:z7jjEcyg]

>>842
最初からドアが三枚の時は
チェンジで当りの確率が二倍になるから

P(当A｜開C)＝2/3

訳が分からん数字が出てくるのは
しなくていい計算をしているからだよ

ドア四枚の時もP(B)の計算は不要なのに
計算が必要だと思い込んでいる

[0845 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 02:11:50.40 ID:z7jjEcyg]

トランプ問題において
シャッフルしてからカードを３枚続けて引くと
すべてダイヤになるという『事象』の生起確率

これは確率１で必ず起きる

山札から三枚続けてダイヤのカードが出る
三枚の個別の確率の積でいい
　
そうじゃなくて山札をシャッフルした後に
三枚ダイヤが出る
（これはトランプ問題の大前提で必ず起きる）
この確率が１という事です

[0846 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 02:13:07.43 ID:z7jjEcyg]

モンティホール問題において
『最初にハズレを引く確率は当たりを引く確率の二倍になる』
という気づきが重要なように

トランプ問題においては
『個別のダイヤのカードの確率は計算不要』
という気づきが重要になります

これに気が付かないと
余計な確率の計算をしてしまうことになります

実際の条件付確率の式

P(A)＝(１３ｘ１２ｘ１１ｘ１０)／(５２ｘ５１ｘ５０ｘ４９)
P(B)＝(３９ｘ１３ｘ１２ｘ１１)／(５２ｘ５１ｘ５０ｘ４９)

分母(５２ｘ５１ｘ５０ｘ４９)は不要
分子の(１３ｘ１２ｘ１１)も不要

P(A)＝１０
P(B)＝３９

P(A)＋P(B)＝４９

P(A)／｛P(A)＋P(B)｝＝１０／４９

[0847 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 02:37:43.16 ID:z7jjEcyg]

>>845
山札から三枚続けてダイヤのカードが出る
確率であれば三枚の個別の確率の積でいい

[0848 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 02:49:58.35 ID:aMMyvPDW]

確率が1越えてるねw
高校生より馬鹿な拗らせ君は記号もまともに使えないw

[0849 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 03:18:22.58 ID:z7jjEcyg]

>>848
どれ？

[0850 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 03:32:23.87 ID:z7jjEcyg]

>>842
ドア四枚からドア三枚になる時には
プレイヤーがBのドアに必ずチェンジするので
P(B)＝１

ドアが最初から三枚の時は
プレイヤーがBのドアを選ぶ確率は
P(B)＝１／３

ゆえに、
P(Ａ|Ｃ−)＝｛P(A)∧P(C−)｝／P(B)

　　　　　　＝（２／９）ｘ３＝２／３

P(C−)＝２／３で正解であり、論理積も正しく
標準問題と一致する

[0851 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 03:58:07.37 ID:z7jjEcyg]

■以下の式は標準モンティホール問題にのみ当てはまる

�@　P(当A ∩ 開C)＝1/3*1＝1/3
�A　P(当B ∩ 開C)＝1/3*1/2＝1/6

�B　P(開C)＝�@＋�A＝(1/3)＋(1/6)＝1/2

P(当A｜開C)＝�@/�B＝(1/3)/(1/2)＝2/3
P(当B｜開C)＝�A/�B＝(1/6)/(1/2)＝1/3

ドア四枚からドア三枚になる時には
プレイヤーがBのドアに必ずチェンジするので
P(B)＝１

したがって、上記の式をドア四枚で行うと
最初に選択したドアの確率が上がるという
不自然な答えが出るのです

[0852 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 03:59:15.19 ID:aMMyvPDW]

P(〜〜)と書きさえすればそれで確率を表した気になってる
というのも拗らせ君たちの頻出勘違いだよな

状況が変わっても全部P(〜〜)と書いてしまうので
P(B)＝1とP(B)＝1/3が併記されてても間違いでないと思い込むｗ

他の問題でよくある例だと
確率が1/2の確率みたいなのを考えるときにP(P(X)=1/2)という馬鹿表現を用いたりとかｗ

[0853 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 04:09:04.69 ID:z7jjEcyg]

>>852
正しい書き方示さないと詭弁になります(*´▽｀*)

[0854 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 04:12:14.44 ID:aMMyvPDW]

数学が苦手な中高生でも
同問題の中なのに未知数は全部xとおく
みたいな間違いする子が稀に居る

同じ問題の中なのにx=1だったりx=1/3して
本人は見分けがついてるつもりらしいが、そのうち自分でも混乱して間違う

ただし、そういう子に「別物は別の記号で置いて表そう」と教えれば
大抵はちゃんと理解して従ってくれる
そこが馬鹿な拗らせ君とは決定的に違う所

[0855 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 04:15:20.33 ID:z7jjEcyg]

P(当A｜開C)＝�@/�B＝(1/4)/(7/16)＝4/7は

三倍大きく見積もられた数値ですので

１／３で補正すると

P(当A｜開C)＝（４／７）ｘ（１／３）＝４／２１

[0856 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 04:17:52.21 ID:z7jjEcyg]

>>854
早く更正文を書きましょう

[0857 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 04:21:00.53 ID:z7jjEcyg]

P(Ａ|Ｃ−)＝P(A)∧P(C−)＝（１／４）ｘ（５／８）＝５／３２

P(当A｜開C)＝（４／７）ｘ（１／３）＝４／２１

悪くない感じではある

[0858 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 21:17:56.02 ID:mnFpkWBR]

>>849
事象Xが起こる確率を P(X) と表すならば　０≦ P(X) ≦１　にしかならない
なのに　P(A)＝10　とか書いちゃってるから
「確率が１超えてるねw」　とつっこまれてるわけ

トランプ問題は　P(A)：P(B)＝10：39　と表現すれば問題はない

[0859 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 21:37:22.49 ID:z7jjEcyg]

A＝１０
B＝３９

A＋B＝４９

A／（A＋B)＝１０／４９

[0860 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 21:43:07.30 ID:mnFpkWBR]

>>845
＞これは確率１で必ず起きる

前提条件を確率１と同等視するのは、よくある典型的な勘違い
前提条件が起こる確率を(新たな全体)と考えて
それを分母にして計算しなさいというのが条件付き確率の問題

突風でドアＣが開いたという問題の場合
ドアCが開いたということは確定で大前提だから
P(開C)＝１　である、というのは典型的な間違った解釈
突風はドア３枚の中からランダムに開けるので　　P(開C)＝1/3

[0861 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 21:50:11.41 ID:z7jjEcyg]

>>860
トランプ問題は三枚のカードの生起確率が１だから

A＝１０
B＝３９

A＋B＝４９

A／（A＋B)＝１０／４９

が導けたんだろう
個別の確率の積を計算してもいいけど
結果は同じになる

[0862 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 21:59:33.35 ID:z7jjEcyg]

分母が１になる部分なんていちいち計算に入れても

条件付確率の式の見た目をよくする効果しかない

トランプ問題の本質は三枚のカードの個別の確率の

計算は必要ないことに気付けるかが問われている

[0863 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 22:30:46.49 ID:mnFpkWBR]

>>790　訂正
ドア100枚　　ステイ連続96回　→　97枚目のハズレのドアを開けた
P(A)＝1/100　　P(B)＝99/200　　P(C)＝99/200

再選択97回目にドアＢにチェンジ　→　98枚目のハズレのドアＣを開けた

�@　P(当A ∩ 開C)＝1/100*1＝1/100
�A　P(当B ∩ 開C)＝99/200*1/2＝99/400

�B　P(開C)＝�@+�A＝103/400

P(当A｜開C)＝�@/(�@＋�A)＝(1/100)/(103/400)＝4/103
P(当B｜開C)＝�A/(�@＋�A)＝(99/400)/(103/400)＝99/103

[0864 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 22:52:00.08 ID:mnFpkWBR]

>>794　訂正
ドアN枚　　連続(Nー4)回ステイ　→　ドアＡからドアＢにチェンジ
P(A)＝1/N　　P(B)＝(Nー1)/２N　　P(C)＝(Nー1)/２N

�@　P(当A ∩ 開C)＝ 1/Ｎ*1＝1/Ｎ
�A　P(当A ∩ 開C)＝(Nー1)/２N*(1/2)＝(Nー1)/4N

�B　P(開C)＝(1/Ｎ)＋(Nー1)/4N＝(N＋3)/4N

P(当A｜開C)＝�@/�B＝(1/Ｎ)/{(N＋3)/4N }＝4/(N＋3)
P(当B｜開C)＝�A/�B＝{(Nー1)/4N}/{(N＋3)/4N }＝(N−1)/(N＋3)

[0865 １３２人目の素数さん 2018/07/21(土) 23:29:25.07 ID:mnFpkWBR]

>>850
当たり確率が変動するのは、ドアが開けられた時であり
ドアが選ばれた時ではない

[0866 １３２人目の素数さん 2018/07/22(日) 00:46:41.19 ID:1KEdqPaH]

ドアN枚　　ステイ連続(Nー4)回　→　(N−3)枚目のドアを開ける　
P(A)＝1/N　　P(B)＝(Nー1)/２N　　P(C)＝(Nー1)/２N

ドアＡからドアＢにチェンジ　→　ドアＡが開けられた

�@　P(当B ∩ 開A)＝{(Nー1)/２N}*1/2
�A　P(当C ∩ 開A)＝{(Nー1)/２N}*1

�@：�A＝(1/2)：1＝１：２
　　　　　　　　
P(当B｜開A)＝�@/(�@＋�A)＝1/3
P(当C｜開A)＝�A/(�@＋�A)＝2/3

ある特定のケースでは
(残り３枚になるまでステイＡ、直後にチェンジＢ、最後にドアＡを開けられる)
当たり確率がドアの枚数とは関係がなくなる、というところが面白い

ただし、最後にドアＡが開けられる確率はドアの枚数と関係がある
P(開A)＝�@＋�A＝3(Ｎ−1)/4Ｎ

[0867 １３２人目の素数さん 2018/07/22(日) 00:58:37.62 ID:84kHkvnw]

>>866　　　　　　　　
P(当B｜開A)＝�@ｘ(�@＋�A)
P(当C｜開A)＝�Aｘ(�@＋�A)

だろ
何で割り算をする

[0868 １３２人目の素数さん 2018/07/22(日) 02:12:35.14 ID:1KEdqPaH]

>>867
事象Ｘ　　ドアＢが当たり
事象Ｙ　　ドアＣが当たり
事象Ｚ　　ドアＡが開けられる
　
事象Ｚが起こったと分かったもとでの、事象Ｘが起こる確率

P(X｜Z)＝P(X∩Z)/P(Ｚ)

(分子)＝P(X∩Z)＝(当たりがドアＢ　かつ　ドアＡが開けられる確率)

(分母)＝P(Z)＝　(当たりがドアＢ　かつ　ドアＡが開けられる確率)
　　　　　　　＋(当たりがドアＣ　かつ　ドアＡが開けられる確率)　　　　

[0869 １３２人目の素数さん 2018/07/22(日) 11:54:17.75 ID:1KEdqPaH]

ドアN枚　　ラスト２回だけ連続チェンジ戦略の平均勝率

�@最後に手付かずのドアが開けられる確率　　　　(N＋3)/4N
�A最後に最初に選んだドアが開けられる確率　　　3(N−1)/4N

�@の場合に、最初に選んだドアが当たりの確率　　4/(N＋3)
�Aの場合に、手付かずのドアが当たりの確率　　　2/3

(平均勝率)＝{(N＋3)/4N}*{4/(N＋3)}＋{3(N−1)/4N}*(2/3)
　　　　　＝(1/N)＋{(N−1)/2N}
　　　　　＝(N＋1)/２N

[0870 １３２人目の素数さん 2018/07/22(日) 18:32:46.13 ID:84kHkvnw]

■ドア四枚が三枚になった時の確率は次の通り

P(A)＝１／４　　P(B)＝３／８　　P(C)＝３／８

ここからプレイヤーは確率１でBのドアを選ぶ

最後にドアAにチェンジする戦略では
モンティがドアAを開けざる負えない確率は５／８
なので、ドアAが当たりの時の確率１／４をこれで割ると

P(A)／P(C)＝２／５……�@

プレイヤーがドアAにチェンジで当たりを引く確率は
２／５に上がる

しかし、プレイヤーは必ず最後にチェンジするので
ドアBが当たりの時でもチェンジする

�@にこの確率をかけると（２／５）ｘ（５／８）＝１／４

チェンジｘ２戦略でもP(A)＝１／４は不変である　

[0871 １３２人目の素数さん 2018/07/22(日) 18:37:57.10 ID:1KEdqPaH]

>>111
>>112
何を言っているのか今頃になってやっと分かった

P(A)＝1/11　　P(B)＝4/11　　P(C)＝6/11
ドアＣを選択　→　ドアＡを開ける
�@　P(当B ∩ 開A)＝(4/11)*(１)＝4/11
�A　P(当C ∩ 開A)＝(6/11)*(1/2)＝3/11
�@：�A＝4：3
P(当B｜開A)＝4/7
P(当C｜開A)＝3/7

Q(A)＝1/11　　Q(B)＝4/11　　Q(C)＝6/11
ドアBを選択　→　ドアＣを開ける
�@　Q(当A ∩ 開C)＝(1/11)*(１)＝1/11
�A　Q(当B ∩ 開C)＝(4/11)*(1/2)＝2/11
�@：�A＝１：２
Q(当A｜開C)＝2/3
Q(当A｜開C)＝1/3

[0872 １３２人目の素数さん 2018/07/22(日) 18:43:21.92 ID:1KEdqPaH]

>>871　訂正

×　Q(当A｜開C)＝2/3　　　○　Q(当A｜開C)＝1/3　
×　Q(当A｜開C)＝1/3　　　○　Q(当B｜開C)＝2/3

[0873 １３２人目の素数さん 2018/07/22(日) 19:19:42.50 ID:84kHkvnw]

>>870
P(A)／P(C−)＝２／５……�@

[0874 １３２人目の素数さん 2018/07/22(日) 20:26:39.48 ID:84kHkvnw]

>>871
ドアＣを選択　→　ドアＡを開ける
�@　P(当B ∩ 開A)＝(4/11)*(１)＝4/11
�A　P(当C ∩ 開A)＝(6/11)*(1/2)＝3/11

の式にある*(1/2)の部分は固定値ではなくて

０＜ｎ＜１の範囲を取る

[0875 １３２人目の素数さん 2018/07/22(日) 21:14:21.94 ID:1KEdqPaH]

・標準仮定
�@当たり扉はランダムかつ等確率に設定される
�Aホストは挑戦者の選んだ扉を開けない
�Bホストは必ず残りの扉を一枚開ける
�Cホストはハズレの扉しか開けない
�Dホストは挑戦者の選んだ扉が当たりのとき、ハズレ扉をランダムかつ等確率に選んで開ける
�Eホストは扉を開けた後に必ずswitchの機会を挑戦者に与える

[0876 １３２人目の素数さん 2018/07/22(日) 21:29:19.67 ID:84kHkvnw]

標準じゃないじゃん

[0877 １３２人目の素数さん 2018/07/22(日) 21:37:30.62 ID:84kHkvnw]

ドアAを開けることは自明のことなので

�@　P(当B ∩ 開A)＝(4/11)*(１)＝4/11
�A　P(当C ∩ 開A)＝(6/11)*(１)＝6/11
�@：�A＝4：6
P(当B｜開A)＝２／５
P(当C｜開A)＝３／５

になる

[0878 １３２人目の素数さん 2018/07/23(月) 02:57:38.57 ID:rUUZweWw]

＞例 1 (事前分布が偏っている場合). 扉 A,B,C がアタリである確率をそれぞれ
＞P(A) = 65/100, P(B) = 2/100, P(C) = 33/100とおく．
＞あなたが A を選ぶと司会者は B がハズレだと示した．
＞あなたは扉を C に変更すべきだろうか？

�@　P(当A ∩ 開B)＝(65/100)*(１)＝65/100
�A　P(当C ∩ 開B)＝(33/100)*(1/2)＝66/100

�@：�A＝65：66

P(当A｜開B)＝�@/(�@＋�A)＝65/131
P(当C｜開B)＝�A/(�@＋�A)＝66/131　　　　(答え)　変更すべき

[0879 １３２人目の素数さん 2018/07/23(月) 03:22:51.15 ID:rUUZweWw]

>>878
×　�@P(当A ∩ 開B)＝(65/100)*(１)＝65/100
×　�AP(当C ∩ 開B)＝(33/100)*(1/2)＝66/100

○　�@P(当A ∩ 開B)＝(65/100)*(1/2)＝65/200
○　�AP(当C ∩ 開B)＝(33/100)*(１)＝33/100

[0880 １３２人目の素数さん 2018/07/24(火) 03:14:50.67 ID:hNIWyQlj]

■ドア四枚が三枚になった時の確率は次の通り

P(A)＝１／４　　P(B)＝３／８　　P(C)＝３／８

ここからプレイヤーは確率１でBのドアを選ぶ

モンティがドアAを開けるのは
ドアCに当たりがある時のみとする

ドアAまたはドアBに当たりがある時、
モンティは必ずドアCを開ける

P(A∪B)＝P(C−)

この時、プレイヤーは必ずドアAを選択する

プレイヤーがドアAを開けた時の当たりの割合は
ドアBのハズレの確率と等しい

P(B−)＝５／８

ドアAの当たりの確率にこれらを係数としてかけると

∵P(A)｛P(B−)／P(A∪B)｝＝P(A)

[0881 １３２人目の素数さん 2018/07/24(火) 15:43:15.44 ID:o+aQIn67]

>>864　微修正　(標準仮定>>875に準拠)

ドアN枚　　連続(Nー4)回ステイ　→　(N−3)枚目のドアを開ける

P(A)＝1/N
P(B)＝(Nー1)/２N
P(C)＝(Nー1)/２N

ドアＡからドアＢにチェンジ　→　ドアＣを開ける

�@　P(当A ∩ 開C)＝ (1/Ｎ)*(１)＝1/Ｎ
�A　P(当B ∩ 開C)＝{(Nー1)/２N}*(1/2)＝(Nー1)/4N

�@：�A＝4：(N−1)

P(当A｜開C)＝�@/(�@＋�A)＝4/(N＋3)
P(当B｜開C)＝�A/(�@＋�A)＝(N−1)/(N＋3)

[0882 １３２人目の素数さん 2018/07/25(水) 01:05:44.84 ID:67tACsIv]

ドア３枚ＡＢＣ
Ａが当たりの確率を(ａ)、Ｂが当たりの確率を(ｂ)、Ｃが当たりの確率を(ｃ)とする
ドアＡを選択　→　ドアＣを開ける

�@　P(当A ∩ 開C)＝ａ*(1/2)＝ａ/2
�A　P(当B ∩ 開C)＝ｂ*(１)＝ｂ

�@＋�A＝(ａ/2)＋ｂ＝(ａ＋2ｂ)/2

P(当A｜開C)＝�@(�@＋�A)＝(ａ/2)/{(ａ＋2ｂ)/2}＝ａ/(ａ＋2ｂ)
P(当B｜開C)＝�A(�@＋�A)＝ｂ/{(ａ＋2ｂ)/2}＝2ｂ/(ａ＋2ｂ)

[0883 １３２人目の素数さん 2018/07/25(水) 02:51:37.76 ID:aqoow9/j]

>>785

�B　ピック　→　チェンジ　→　ステイ　　　　３／８
�C　ピック　→　チェンジ　→　チェンジ　　　５／８

�CはP(A)＝１／４　P(C)＝３／８という事ね

つまり、(チェンジ×２)戦略でもP(A)は不変じゃん(*´▽｀*)

[0884 １３２人目の素数さん 2018/07/25(水) 03:16:56.87 ID:67tACsIv]

>>785は間違い
>>112が正しい

[0885 １３２人目の素数さん 2018/07/25(水) 03:32:20.09 ID:67tACsIv]

>>747
P(A)＝1/4　　→　　Q(A)＝4/7
P(B)＝3/8　　→　　Q(B)＝3/7
P(C)＝3/8

[0886 １３２人目の素数さん 2018/07/25(水) 19:16:25.03 ID:aqoow9/j]

■ドア四枚が三枚になった時の確率は次の通り

P(A)＝１／４　　P(B)＝３／８　　P(C)＝３／８

ここからプレイヤーは確率１でBのドアを選ぶ

ピック→チェンジ→ステイ戦略における
ドアBの当たりの確率をQ（B）とおく

Q（B）はドアAとドアCが共にハズレで、どちらかのドアが
開けられた状況下でのドアBの当たりの確率なので

∵Q（B）＝P(B)／｛０．５P(A−∪C−)｝＝６／１１

[0887 １３２人目の素数さん 2018/07/25(水) 19:45:20.08 ID:aqoow9/j]

Q（B）＝１−P(A−∩C−)

でも求められる

∵Q（B）＝１−P(A−∩C−)＝１７／３２

１７／３２＝０．５３１２５

６／１１≒０．５４５４５４５４

[0888 １３２人目の素数さん 2018/07/25(水) 19:58:03.79 ID:67tACsIv]

>>886
＞Q（B）はドアAとドアCが共にハズレで、どちらかのドアが
＞開けられた状況下でのドアBの当たりの確率なので

共にハズレでなくても、どちらか一方は必ず開けられる
共にハズレだったら、Q(B)＝１

[0889 １３２人目の素数さん 2018/07/25(水) 20:10:36.02 ID:aqoow9/j]

状況下でのドアBの当たりの確率

[0890 １３２人目の素数さん 2018/07/25(水) 20:24:14.60 ID:67tACsIv]

状況下でのドアBの当たりの確率　　Q(B)＝１

[0891 １３２人目の素数さん 2018/07/25(水) 20:27:51.68 ID:aqoow9/j]

状況下

０．５P(A−∪C−)＝１１／１６

[0892 １３２人目の素数さん 2018/07/25(水) 20:30:20.74 ID:67tACsIv]

>>887
式が正しいならピッタリ一致しないとおかしいだろ

[0893 １３２人目の素数さん 2018/07/25(水) 20:32:30.83 ID:aqoow9/j]

この誤差よくわからない

[0894 １３２人目の素数さん 2018/07/25(水) 21:02:42.32 ID:67tACsIv]

某戦略別勝率は、Ｃが開いた場合とＡが開いた場合の平均勝率だから
個別ケースの勝率が正しく算定できていることが絶対条件
最初に間違ってたら、後は計算するだけ無駄になるので
適当なところで区切りをつけて、あまり深入りしないことをオススメする

とりあえず、標準仮定の条件なら
Ｃが開けられる確率7/16、Ａが開けられる確率9/16
までは異議がないだろうから、あと一息

[0895 １３２人目の素数さん 2018/07/26(木) 01:20:47.39 ID:ijijjzPi]

>>883
(チェンジ×２)戦略の平均勝率が、P(A)+P(C)
になるのは、よく考えたら当たり前だな
16回ゲームをすると考えたら、当たりの配置は４：６：６

16回のうち７回は、Ｃが開いてＡにチェンジして、４回当たり、３回ハズレ
16回のうち９回は、Ａが開いてＣにチェンジして、６回当たり、３回ハズレ

[0896 １３２人目の素数さん 2018/07/26(木) 20:57:30.92 ID:3NMo3j64]

■ドア四枚が三枚になった時の確率は次の通り

P(A)＝１／４　　P(B)＝３／８　　P(C)＝３／８

ここからプレイヤーは確率１でBのドアを選ぶ

ピック→チェンジ→チェンジ戦略における
ドアAの当たりの確率をQ（A）
ドアCの当たりの確率をQ（C）とおく

プレイヤーがドアAのみにチェンジした時

∵Q(A)＝P(A)｛P(B−)／P(A∪０．５B)｝＝５／１４

プレイヤーがドアCのみにチェンジした時

∵Q(C)＝P(C)｛P(B−)／P(C∪０．５B)｝＝５／１２

[0897 １３２人目の素数さん 2018/07/26(木) 21:47:33.05 ID:3NMo3j64]

>>895
プレイヤーはBのドアの６回当たり分は
決してとることができない

この分の確率が計算されていない

P(B)＝３／８　であるから

プレイヤーがAかCどちらかのドアにチェンジしても
取り分は５／８になる

[0898 １３２人目の素数さん 2018/07/26(木) 21:51:50.51 ID:3NMo3j64]

>>896の

P(A)P(B−)とP(C)P(B−)は

プレイヤーがドアAかドアCにチェンジした時の
自分の取り分を示している

[0899 １３２人目の素数さん 2018/07/26(木) 22:23:06.11 ID:ijijjzPi]

Ｂのドアの６回当たり分は
Ｃが開いてＡにチェンジした場合の、３回ハズレ
Ａが開いてＣにチェンジした場合の、３回ハズレ
として、ちゃんと計算に入れている

[0900 １３２人目の素数さん 2018/07/26(木) 22:36:48.91 ID:3NMo3j64]

式まだできないの？

[0901 １３２人目の素数さん 2018/07/26(木) 22:49:20.44 ID:3NMo3j64]

P(A)／P(A∪０．５B)＝４／７　だよ

これはドアBが当たりでAかCどちらかのドアを開けた時と
ドアAが当たりの状況下での、ドアAの当たりの確率という意味で

まだチェンジしていない！

つまり、Q(A)≠P(A)／P(A∪０．５B)