モンティーホール問題を高校生にわかるように説明してくれ [無断転載禁止]©2ch.net

**SOUTH** · 2017/03/12(日) 18:23:31.38

モンティーホール問題とは...
プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

プレーヤーはドアを変更すべきだろうか？
(wikiより)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 09:01:43.58

>>629
もしかしたらマリリンのいうことを否定した数学者側視点だったりする可能性もあるか…

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 11:24:13.41

>>629
数字上は以下のようになっても、にわかには納得しづらいという気持ちは分かる
もう既にゲームが成立してる状況なんだから
ゲームが中止になる確率は関係ないんじゃないかってね

標準モンテ　1/3 → 2/3
変形モンテ　1/3 → 1/3　1/3 中止
突風モンテ　2/9 → 2/9　5/9 中止

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 11:53:10.63

ちなみに変形モンテの定義は、当たりを知らない司会者が
残り２扉から開けたドアが「たまたま」外れだったという場合

自分一人でもトランプ３枚を使って300回やれば、以下のようになるはず
そのうち 100回は途中で当たりカードを開けてしまってゲーム中止
ゲームが成立した200回のうち、100回はステイで当たり、100回はチェンジで当たり

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 14:07:43.07

>>630
マリリン否定の視点じゃないことは明らかだと思うけど？
どういう人が、どういう場合に、どういう錯覚をしてるのかを、いったん整理ね

普通の人は直感的に以下のように考える
(標準・変形・突風)モンテのいずれの場合でも
最終的には二者択一にしかならないんだから、変えても変えなくても50％で当然

その考え方は(変形・突風)モンテの場合には、結果的には正しくなる
ところが、標準モンテの場合だけは 1/3 が 2/3 になると主張したのがマリリン
当時マリリンは袋叩きにあったが、シミュレートその他で正しいことが証明？された

しかし、なお現在に至っても納得できない人達が一定数存在するので
認知心理学？その他の分野で直感と確率が一致しない好例として有名な問題である

標準モンテの場合で 1/3 が 1/2 になると錯覚する人は珍しくないけど
(変形・突風)モンテの場合でも、標準モンテの場合と同じように
1/3 が 2/3 になると錯覚する人は、個人的には相当レアだと思う

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 19:17:13.57

標準モンテの場合で 1/3 が 1/2 になると
錯覚する人は珍しくない

■錯覚ではない

シミュレーション効果の薄い
ゲームを二回以下プレイまたは観察する者にとって
確率は限りなく５０％に見える

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 19:25:55.02

http://bright-magazine.com/wp-content/uploads/2015/01/20150126_27.png
林修のテレビだと100万個のドアで説明してた。
風で999998個のドアが開いたら変えたら当たる確率高そう

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 19:49:54.17

モンティがハズレのドア９８個開けるのよりも

風がハズレのドアを９８枚開けるほうが

遥かに難易度が高い

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 20:49:36.81

>>635
標準モンテの場合は、以下の通りで間違いないということは
とりあえずの共通認識でよろしいかな？

ドアの枚数　　　　　　　Ｎ枚
ステイで当たる確率　　　１／Ｎ
チェンジで当たる確率　　(Ｎ－１)／Ｎ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 22:00:57.88

>>637
了解

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 22:23:54.75

マリリンさんの問題の表現の仕方には
次のように考えさせる言葉（文章題）の「ひっかけ」がある。
abcは場合、ドアは左から#1, #2, #3という番号がふられている。

a. 当外外
b. 外当外
c. 外外当

ここで回答者が#1のドアを選ぶとするとaの場合になるのでそれを除外する。
b. 外当外
c. 外外当

モンティさんは#3のドアを開けるので、cの場合だと「当たり」になってしまう。
したがってcの場合はないのでcを除外。

2. 外当外

残ったのはこれ。つまり1/3で同じ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 22:29:02.05

>>636
色んな人達が色んな錯覚をするんだよなぁ
「必ず」と「たまたま」とは全く違う現象の問題である
ということを納得させるのは一筋縄じゃいかんわ

ちなみに、ドアの枚数を増やして考えるのは定番だけど、個人的にはあまり好みじゃない
３枚でも100枚でも100万枚でも、本質的には同じことだからね　　　　

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 22:34:15.88

確率は「偶然」のことだから「偶然＝たまたま」。
モンティさんは「作為的＝選択的」。
モンティ・ホール問題は、偶然に作為が混入する。
だから確率から逸脱する。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 22:44:38.45

司会者はサイコロをふらない神。
サイコロをふらない神は作為的な神だから、外れのドアだけを作為的に開ける能力がある。
これによって偶然性がそのぶんだけ除去される。
偶然の要素が減るということは確実性が高まることを意味している。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 23:09:28.16

１００枚のドアを使った場合

モンティなら９８枚開けることができる

突風だと４８枚とか５２枚なんて言う場合もある

同じ取り扱いができない

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 23:34:20.54

※１００枚のドアを使って突風モンティを行う

□当たり　■ハズレ

突風は必ず９８枚のドアを開けるとすると

１□■■■■■■■■■■……■１００

最初にプレイヤーが当たりを引く確率は１／１００…ｐ１

最初にプレイヤーがハズレを引く確率は９９／１００…ｐ２

最初にプレイヤーが当たりを引いて
ゲームが成立する確率は９９／１００…ｐ３

最初にプレイヤーがハズレを引いて
ゲームが成立する確率は１／１００…ｐ４

ｐ１＊ｐ３＝９９／１００００

ｐ２＊ｐ４＝９９／１００００

ともに等確率になる

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/23(土) 23:45:55.10

※３枚のドアを使って突風モンティを行う

□当たり　■ハズレ

最初にプレイヤーが当たりを引く確率は１／３…ｐ１

最初にプレイヤーがハズレを引く確率は２／３…ｐ２

最初にプレイヤーが当たりを引いて
ゲームが成立する確率は２／３…ｐ３

最初にプレイヤーがハズレを引いて
ゲームが成立する確率は１／３…ｐ４

ｐ１×ｐ３＝２／９

ｐ２×ｐ４＝２／９

ともに等確率になる

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 00:37:32.90

ドアの枚数　　　　　　　Ｎ枚
ステイで当たる確率　　　１／Ｎ
チェンジで当たる確率　　(Ｎ－１)／Ｎ

突風モンティは突風がプレイヤーのドアを開けたり
プレイヤーの選択したドア以外で当りのドアを開けてしまう
などの偶然性を含むといいながら、ドアの数が増えた時には
突風が開けるドアの数はＮ－２で固定されるという
必然性を含んでいる

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 01:21:29.06

■突風モンティ

ドアの枚数　　　　　　　Ｎ枚
ステイで当たる確率　　　１／Ｎ
チェンジで当たる確率　　(Ｎ－１)／Ｎ
突風が開ける枚数　　　Ｎ－２

ステイで当たりを引いて
ゲームが成立する確率　　(Ｎ－１)／Ｎ

チェンジで当たりになって
ゲームが成立する確率　　１／Ｎ

ステイとチェンジで当たる確率はともに

（１／Ｎ）×｛(Ｎ－１)／Ｎ｝＝Ｎ－１／Ｎ^2

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 01:34:01.47

>>644>>645
そんな単純な計算式で良かったのか！　目から鱗
ドア３枚なら全27通りで、なんとか表を作れたけど
ドア４枚の全パターンを列挙しようとしたら、途中で挫折したｗ

Ｎ=３、４、５、、、Ｎ
Ｐ= 2/9、3/16、4/25、、、(Ｎ－１)／Ｎの２乗

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 01:54:50.70

>>646
＞突風が開けるドアの数は(Ｎ－２)で固定されるという必然性を含んでいる

自分的にはコロンブスの卵
言われてみればそうだなという感じで、気づかなかった着眼点
>>647は先に書かれてたけど、さすがに上手くまとまってるな

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 07:57:15.74

ドアに鍵がかかっている場合、突風が吹いても一枚のドアも開かないから
突風の喩え話はよくないｗ
てか、自然現象が必ずランダム（サイコロ振り）だとは限らないからね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 16:04:55.26

選択を変えても変えなくても1/2で変わらないと考えた人の直感がなんであったか、
その1つを想定してみよう。

Aは当たり
Hは外れ
[]は回答者が最初に選択する1番目のドア
()は司会者が開ける3番目のドア
以下は起こり得るケース

[A]H(H) [H]A(H) [H]H(A)
[H]A(H) [H]H(A) [A]H(H)
[H]H(A) [A]H(H) [H]A(H)
9ケース中[A]を持つのは3ケース：3/9=1/3

この中から起こり得ないケースを消そう。
司会者が当たりであるAのドアを開くことはないので
(A)を含むケースは起こり得ないことになる。
残ったケースは次のとおり。

[A]H(H) [H]A(H)
[H]A(H) [A]H(H)
[A]H(H) [H]A(H)
6ケース中[A]を持つのは3ケース：3/6=1/2

じゃあ、マリリンの提案どおり[]を乗り換えてみよう。
A[H](H) H[A](H)
H[A](H) A[H](H)
A[H](H) H[A](H)
6ケース中[A]を持つのは3ケース：3/6=1/2

どちらも1/2で変わらない、という結論が得られる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 18:01:06.66

起こり得るケースは9通りじゃない18通りだと思う人がいるかもしれない。
なので18ケースを用意にしてみよう。

[A]H(H) [H]A(H) [H]H(A)
[H]A(H) [H]H(A) [A]H(H)
[H]H(A) [A]H(H) [H]A(H)

[A](H)H [H](A)H [H](H)A
[H](A)H [H](H)A [A](H)H
[H](H)A [A](H)H [H](A)H

18ケース中[A]を持つのは6ケース：6/18=1/3
司会者は正解のAを開けることはないので
(A)というケースは起こりえないことになる。
そのケースを取り除いてみよう。

[A]H(H) [H]A(H)
[H]A(H) [A]H(H)
[A]H(H) [H]A(H)

[A](H)H [H](H)A
[H](H)A [A](H)H
[H](H)A [A](H)H

12ケースに減った。12ケース中[A]を持つのは6ケース：6/12=1/2
では、マリリン氏が提案するように選択ドアを乗り換えてみよう。

A[H](H) H[A](H)
H[A](H) A[H](H)
A[H](H) H[A](H)

A(H)[H] H(H)[A]
H(H)[A] A(H)[H]
H(H)[A] A(H)[H]

12ケース中[A]を持つのはやはり6ケース：6/12 = 1/2

やはり1/2で変更しても変わらない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 20:08:43.60

どこにトリックがあるかは、パッと見では分かりづらいな

選択１、開扉３に固定するのは別に問題ないとして
それなら、そもそも起こり得るケースは
[Ａ]H(Ｈ)　と　[Ｈ]Ａ(Ｈ)　の２通りしかない
単純に[Ａ]と[Ｈ]の比較で 1/3 と 2/3 だな

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 21:30:36.04

ラスト１行はさすがに我田引水が過ぎたか？
これだと、まんまと 1/2説を補強してるみたいだな

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 22:02:45.56

(全パターン12通りの中で)選択Ａ、扉開Ｃとなる場合を考える
(当たり　選択　扉開)　の起こり得るケースは
ＡＡＣ　と　ＢＡＣ　の２通りのみ

ＡＡＣ　の起こる確率　1/3 × 1/3 × 1/2 ＝ 1/18
ＢＡＣ　の起こる確率　1/3 × 1/3 × 1＝ 1/9

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 22:09:19.98

https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/E/Esper1029/20160114/20160114110750.png
標準モンテに関してはこの図とかドア増やした例えとかわかりやすいんで
こういう感じに突風モンテも説明できれば…

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/24(日) 23:20:03.64

マリリンさんの発想はすごくシンプル
100 010 001 (3/9 = 1/3)
00 10 01 (2/6 = 1/3)
0 1 1 (2/3)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 05:20:16.24

1,000枚のうち1枚が正解のドア。
回答者がそのうち1枚を選ぶ。
a. すると司会者が残りの999枚のドアのうちハズレのドアを1枚開ける。
b. すると司会者が残りの999枚のドアのうちハズレのドアを998枚開ける。
回答者は最初の選択を変えたほうが賢明ですか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 05:31:56.68

>>653
話をシンプルにしてみた。

1. [A]H(H)
2. [H]A(H)
3. [H]H(A)

3ケース考えられるが、このうち(A)をもつ3.のケースは起こりえないので、3.を消す。

1. [A]H(H)
2. [H]A(H)

2ケースのうち当たりを選択した[A]を持つのは1のケースだけ。
つまり1/2になる。
マリリンさんの提案通りここで選択ドアを乗り換えてみる。

1a. A[H](H)
2a. H[A](H)

それでもやはり[A]を持つケースは1/2のまま。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 09:07:37.78

全部で●通りの場合、それぞれの１通りが起こる確率は(1/●)で全て等しい
という思い込みが錯覚の原因だな
場合分けをする時は、それぞれの１通りが起こる確率も計算に入れる必要がある
(当たり　選択　開扉)　の起こり得る組み合わせは全12通り

AAB　　BAC　　CAB　　
AAC　　BBA　　CBA　　
ABC　　BBC　　CCA　
ACB　　BCA　　CCB

ステイで当たりが６通り　　1/18 が６通りで 1/3
チェンジで当たりが６通り　　1/9 が６通りで 2/3

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 10:14:33.85

こっちのほうがイメージしやすいか
確率 1/9 と確率 1/18 の両方が混在するというのが分かるはず

AA(BC)　　　BAC　　　　CAB
ABC　　　　BB(AC)　　　CBA
ACB　　　　BCA　　　　CC(AB)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 12:06:47.85

>>660-661
それらABCはそれぞれ何を意味する記号ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 12:34:00.58

モンティ・ホール問題には選択の機会が２度ある。

1番目の機会
司会者がハズレの扉を開ける前の起こり得るケース：
AHH
HAH
HHA

２番目の機会
司会者がハズレの扉を開けた後の起こり得るケース：
AH
HA

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 12:48:56.83

見た目の区別がつかないコインを2枚投げた時でも
区別した場合の数を数えるのが確率(高校数学)の定石
ハズレの2つも区別すべし

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 12:58:07.31

>>658
試しにドア(４、５、６)枚でハズレ扉を１枚だけ開けるケースを
全パターン(36、80、150)通りを考慮した上で計算してみた

ステイで当たる確率　　　1/4　　1/5　　　1/6　　　　
チェンジで当たる確率　　3/8　　4/15　　5/24

規則性が正しいと推測すると
ステイ：チェンジ　＝　１／Ｎ　：　(Ｎ－１)／Ｎ(Ｎ－２)

変更したほうが期待値が上がるのは間違いないが、Ｎ＝1000枚とかだと
どっちでも現実的には、あんまり変わらんなという気がしないでもない

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 13:20:02.58

>>662
単に３つのドアを区別できるように名前をつけただけ
別に扉１・扉２・扉３って名前をつけてもいいけど
確率計算の数字と紛らわしくなるから、個人的には好みじゃない

例えばABCは、賞品(当たり)をＡのドアに配置した後に
挑戦者がＢのドアを選択して、司会者がＣのハズレ扉を開いたってこと

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 14:54:12.28

>>663
(A)・(H1)　　1/6
(A)・(H2)　　1/6
(H1)・(A)　　1/3
(H2)・(A)　　1/3

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 15:10:14.28

□当たり　■ハズレ

A　　B
□|■■←Bに突風が吹いてもゲームは成立
■|□■
■|■□
□|■■←Bに突風が吹いてもゲームは成立
■|□■
■|■□
□|■■←Bに突風が吹いてもゲームは成立
■|□■
■|■□←当たりに突風が吹いたらゲームは不成立
↑
最初に当たりを引く確率は１／３

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 18:57:36.38

御免。L1yARLEyさんが用いていらっしゃる記法が解らない。(´；ω；｀)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 22:10:22.33

>>669
>>667はスルーして
以下はABC表記の意味の再解説(すでに理解してるならスマン)

ゲームの流れとして、まず３つのドア(Ａ、Ｂ、Ｃ)を用意する
①当たりの賞品を(ＡまたはＢまたはＣ)に配置する
②挑戦者は最初に(ＡまたはＢまたはＣ)のドアを選択する
③司会者は必ずハズレの(AまたはBまたはC)のドアを１枚だけ開ける

①②③の流れを時系列的にワンセットで表現したのが(ABC)という表記の仕方
標準モンテの全パターンは>>660の 12通り
分かりやすいように①②③の記号付きで表示してみる

AAB　　①A ②A ③B　　1/3 × 1/3 × 1/2 ＝ 1/18　　ステイ○　チェンジ●
AAC　　①A ②A ③C　　1/3 × 1/3 × 1/2 ＝ 1/18　　ステイ○　チェンジ●
ABC　　①A ②B ③C　　1/3 × 1/3 × 1 ＝ 1/9　　　ステイ●　チェンジ○
ACB　　①A ②C ③B　　1/3 × 1/3 × 1 ＝ 1/9　　　ステイ●　チェンジ○

以下省略

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 22:43:55.75

③に「挑戦者が選ばなかった残り２つのドアから」という条件を追加

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/25(月) 23:27:03.05

標準も変形も突風も扉増加も全部まとめてみた↓

n個の扉からプレイヤーが１つ選び、それがアタリであるという事象をXとし、確率は1/nとする
司会がn個の中から、n-2個選び
司会が選んだ中にアタリがない(司会が選んだ扉は全部ハズレ)という事象をY
司会が選んだ中にプレイヤーが選んだ扉がない(司会はプレイヤーとは別の扉を選ぶ)という事象をW
プレイヤーも司会も選ばなかった扉の中にアタリがあるという事象をZとする

p＝P(Y|notX,W) ; プレイヤーが選んだ扉がハズレで、かつ、その扉を司会は選んでない時に、司会の選んだ扉が全部ハズレの確率
q＝P(W|X) ;　プレイヤーの選んだ扉がアタリの時に、司会がプレイヤーと同じ扉を選ばない確率
r＝P(W|notX) ;プレイヤーの選んだ扉がハズレの時に、司会がプレイヤーと同じ扉を選ばない確率
とすると

司会がプレイヤーと同じ扉を選ばず、かつ、司会が選んだ中にアタリがない時の、プレイヤーが選んだ扉がアタリの確率
P(X|Y,W)
＝q/{q + (n-1)pr}
とくにq=rのときは
＝1/{1 + (n-1)p}

司会がプレイヤーと同じ扉を選ばず、かつ、司会が選んだ中にアタリがない時の、残った扉がアタリの確率
P(Z|Y,W)
＝{(n-1)pr}/{q + (n-1)pr}
とくにq=rのときは
＝{(n-1)p}/{1 + (n-1)p}
となる

標準では
p=1,q=r=1だからP(X|Y,W)＝1/n, P(Z|Y,W)＝(n-1)/n

変形では
p=1/(n-1),q=r=1だからP(X|Y,W)＝1/2, P(Z|Y,W)＝1/2

突風では
p=1/(n-1),q=r=2(n-1)/{n(n-1)}だからP(X|Y,W)＝1/2, P(Z|Y,W)＝1/2

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 10:51:42.39

３枚のカードが袋に入っています。
１枚は両面赤（Ａ）、１枚は両面青（Ｂ）、１枚は片面が赤で片面が青（Ｃ）です。
今、目をつぶって袋からカードを１枚選び、机の上に置いて目を開けたところ、
カードは赤でした。
このカードの裏が赤である確率は？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 19:28:52.61

「突風」はどういう意味ですか？　ランダムという意味？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 19:45:11.21

>>674
そうランダム。詳しくは>>548
このとき「本来ならゲーム不成立になる」という御仁がいるが
この意見については意味が分からん

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 21:56:18.57

ドッピオが１のドアを選択する

モンティがハズレのドアを開ける

２つの選択可能なドアがある

ディアボロが現れてその内一つを選ぶ

当たりの確率は５０％

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 21:58:39.86

つまり、クイズの司会者もどのドアの後ろに車があるのか山羊がいるのか知らなくて
回答者が選択したドア以外をどれか一枚を適当に選んで開けるってことですね？
その場合、このクイズが想定していない事態が起こるので新たにルールを設ける必要がありそうですね。
不成立にした場合は標準形式と同じことになりそうですね。繰り返しゲームならば。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 22:00:58.88

>>666
ABCがドアの名前だとすると、なぜAACとかいう並びがあるのか不思議で。
ドアの並び方が動くというのはおかしいので。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 22:32:23.75

□当たり　■ハズレ

ハズレのドアの面積は当りのドアの面積の二倍あるので
ゲームが多数回（N→∞）に向かうと
最初の選択（ファーストチョイス）時にハズレを引く
確率P（H）が２／３に限りなく近づく

１□■■
２■□■
３■■□
　　　：
　　　：
N■■□←P（H）＝２／３

プレイヤーは最後に当たりとハズレのドアのうち
一つを開ける二択を必ず行う

□■（ステイ　or　チェンジ）

この事象だけ単独で取り出せば確率は５０％
しかし、プレイヤーが多数回のゲームを行えば
ファーストチョイス時の確率P（H）＝２／３を保持したまま
二択を行うことになる

１□■
２■□
３■□
　　：
　　：
N■□←チェンジすると当たりの確率が２倍

ステイのハズレの確率はチェンジの当たりの確率に
等しいので、チェンジし続ける（Changing）なら
当たる確率が二倍になるといえる

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/26(火) 23:31:04.37

>>678
確かに ABC がドアの名前だという説明部分は紛らわしかったな
あらためて説明すると、ABC はゲームの流れ①②③を表したもの
①当たりを扉Ａに配置　②挑戦者が扉Ｂを選択　③司会者がハズレ扉Ｃを開ける
分かりにくいかもしれんが、文字数省略の一手段として大目に見てくれ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/27(水) 00:33:35.70

>>677
何が同じことになると思ってるの？
不成立 → やり直し → ゲーム成立　で結局は同じ状況になるってことかな？
その場合でも確率は違ってくるので誤解のなきよう

標準形式　　　　　　変更しないで当たる確率 1/3　　変更して当たる確率 2/3
(変形・突風)形式　　変更しないで当たる確率 1/2　　変更して当たる確率 1/2

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/27(水) 16:11:21.20

コンピュータでシミュレーションしたらマリリンが正しかった、ってなったとかいうから
突風モンテもシミュレーションしたら…

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/27(水) 18:23:51.63

計算が複雑な問題ならシミュレーションも有効かもしれんが
この手の問題は、与えられた設定や状況を正しい式で表すのが難しい(間違えやすい)だけで
計算自体は簡単な「文章題」だから、シミュレーションはほぼ意味はないぞ

「正しい式で表す」が「正しくシミュレートする」に置き換わるだけだから
前者を正しく理解できてる人にとってはシミュレートするまでもなく正解は分かるし
前者を間違える人は後者も間違える

この手の問題で間違ったシミュレーション(正しくカウントしない等)を持ってきて
間違った答えの正当性を主張したり「そういう解釈もできる」とかのたまう輩のなんと多いことか・・・
確率をシミュレーションで求めるのは止めた方が良い

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/27(水) 18:46:40.45

大数の弱法則はちゃんと証明されとりますがな(´・ω・`)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/27(水) 19:18:53.27

大数の法則は否定しないぞ
正しく適用できない人が居るという話

「どう数式化するのか(どうシミュレートするのか)」が問題の肝なのに
「シミュレーションの結果、数値は○○になりました。だから○○が正しい答えです」
という解答、解説は本質を誤魔化して理解した気にさせてるだけ
間違った答えも導きやすいから辞めた方が良いということ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/27(水) 19:20:42.64

標準モンテであくまで 1/2だと言い張ってて、頑なに納得しない人がいるじゃん？
いくら「正しい式」とやらを示したところで、平行線の議論が永久ループするだけの場合もある
そういう場合には「そんなに納得できないなら自分でシミュレーションしてみろ」
と突き放すぐらいしか最終的にはなさそうな気がするけどね

「シミュレーションはほぼ意味ない」は語弊を恐れず言いきったね
「もしかしたら自説(直感・思い込み)が間違ってたのかも？」
と気づかせる、あるいは疑問を持つキッカケぐらいにはなると補足しておく

ねらい
確率の実験での確率的現象の不思議さを感得させ、生徒の確率の学習に対する興味・関心を覚醒する。
実験・観察から予想された結果について、その根拠を樹形図に基づいて論理的に分析することを通して、
確率の考え方とその重要性(よさ)を体験的に理解させ、そして数学的確率の定義を確立する。
また、確率の考え方に基づいて分析的に調べていく過程で「同様に確からしい」ことの意味とその重要性に気づかせる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/27(水) 21:12:03.99

頑なに理解しようとしない人に実験させたところで
実験のやり方を間違える(自説に沿うように実験を改変する)と正しい答えは導かれない
そういう人はやり方が間違ってると指摘されても頑なに納得しないだろうし
「やっぱり自説は正しかったんだ」と更に信じ込んでしまう危険性もある

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/27(水) 21:48:16.56

シミュレータを使うと試行回数5回くらいだとチェンジの正解率100%から20%まで幅が生じる。
試行回数1回だと2/3くらいの確率で100%、1/3くらいの確率で0%になる。
試行回数を30回くらいにするとチェンジ後の正解率が50%以下になることはまずなくなる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/27(水) 21:51:12.88

ゲームの観測数が少ない者にとっては

確率は５０％です

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/27(水) 21:58:17.12

4万か5万くらいから10万回くらいの試行回数で66%から67%くらいの間にほぼ収束しますね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/27(水) 22:02:53.08

>>681
例えばモンティ・ホールさんがロボットだと考えてみます。
モンティ・ロボが残りの2枚のドアから外れのドアを選択するまでの内部処理を考えてみます。

1. 残りの2枚のドアから1枚のドアをランダムに選ぶ。
2. モンティ・ロボがセンサーでドアの後ろを確認する。
3a. 1.で選んだドアが当たりのドアだったら取り消して1.の処理に戻る。
3b. 1.で選んだドアが外れのドアだったら実際にそのドアを開けるアクションを起こす。

でも外部的にはモンティ・ロボは外れのドアだけを選んで開けているように見えます。
だから標準パターンと同じですよね？

ランダムな突風が当たりのドアを開けてしまったときはゲームを不成立にし、
車と山羊を並び替えるところからゲームをリセットし、
ゲームがやり直される場合と3a.とはどう異なるんでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/27(水) 22:08:38.94

そこまでムキになって実験の有効性を否定しなくても、という気はするけどね
必要以上に実験の無効性を強調したがる、
標準(1/2)派のミスリードと疑われてもしょうがない

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/27(水) 22:11:09.26

最初の一回目にシミュレーションの極限値が
当てはまらないなんて常識

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/27(水) 22:54:17.29

20回の試行回数だとまだチェンジ後の正解率が5割を下回ることがある。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/27(水) 23:31:11.72

>>691
＞だから標準パターンと同じですよね？
その通り(1/3 → 2/3)
しかし、やり直すなら「最初から」やり直すのが鉄則
「途中から」やり直すのなら、わざわざ(1/2)のランダム開けにした意味がなくなる

３a．のモンティ・ロボが当たりのドアを開けてしまう確率０％
突風が当たりのドアを開けてしまう確率　1/3

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/27(水) 23:47:23.77

シミュレーションによる説明は他の説明に比べ
(真の理解が得られなてないのに)分かった気にさせやすいという点と
シミュレーションで得られた数値は正しいはずという思いが先行して
そのシミュレート方法が正しいかどうかの吟味が軽視されがち
という問題点がある

モンティホール問題やその他の確率の問題を話題にした場所で
その手の勘違いや間違いをウンザリするほど見てきたから
それならいっそシミュレーションによる説明はすべきではない、というのが俺の判断だ

それでもどうしてもシミュレーションで説明したいなら
それらの点に十分注意していただきたい

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/28(木) 00:22:28.11

>>691
９０回試行し、プレイヤーははじめに扉Ａを選ぶとして

ロボの場合
扉Ａがアタリなのは３０回で、そのうちの１５回でロボは扉Ｂを開け、もう１５回は扉Ｃを開ける
扉Ｂがアタリなのは３０回で、そのうちの３０回ともロボは扉Ｃを開ける
扉Ｃがアタリなのは３０回で、そのうちの３０回ともロボは扉Ｂを開ける
(正確には、９０回試行したときの回数の期待値がそれぞれ３０回や１５回ということ)

ロボが扉Ｂを開けたのは４５回で、そのうち扉Ａがアタリなのは１５回
ロボが扉Ｃを開けたのは４５回で、そのうち扉Ａがアタリなのは１５回
となる

突風の場合
扉Ａがアタリなのは３０回で、そのうちの１０回で突風は扉Ａを開け、１０回は扉Ｂを開け、１０回は扉Ｃを開ける
突風がＡを開けた１０回はゲーム不成立となる
扉Ｂがアタリなのは３０回で、そのうちの１０回で突風は扉Ａを開け、１０回は扉Ｂを開け、１０回は扉Ｃを開ける
突風がＡかＢを開けた２０回はゲーム不成立となる
扉Ｃがアタリなのは３０回で、そのうちの１０回で突風は扉Ａを開け、１０回は扉Ｂを開け、１０回は扉Ｃを開ける
突風がＡかＣを開けた２０回はゲーム不成立となる

突風が扉Ｂを開け、かつゲーム成立だったのは２０回で、そのうち扉Ａがアタリなのは１０回
突風が扉Ｃを開け、かつゲーム成立だったのは２０回で、そのうち扉Ａがアタリなのは１０回
となる

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/28(木) 01:41:37.48

完璧な説明、乙！
試行回数 90回、選択扉Ａ固定はナイスアイデア
こういうふうに丁寧に場合分けすれば間違いようがないよね

標準モンテ　　成立(１)　　　不成立(０)
変形モンテ　　成立(2/3)　　不成立(1/3)
突風モンテ　　成立(4/9)　　不成立(5/9)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/29(金) 01:18:37.68

【リフレーミング】は
先入観にとらわれず
物事を視点や焦点、解釈を変えて
色んな角度から見ることで
別のものや前向きな考え方が見えてくるということ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/29(金) 16:00:37.13

パンツに穴が空いたwwwwwww

パ　ン　テ　ィ　ー　ホ　ー　ル　問　題

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/30(土) 16:21:04.74

賞品の　　挑戦者　　司会者が開けた扉
配置　　　の選択　　扉１開　　扉２開　　扉３開

扉１当　　扉１選　　　０　　　１／２　　１／２
扉１当　　扉２選　　　０　　　　０　　　　１
扉１当　　扉３選　　　０　　　　１　　　　０

扉２当　　扉１選　　　０　　　　０　　　　１
扉２当　　扉２選　　１／２　　　０　　　１／２
扉２当　　扉３選　　　１　　　　０　　　　０

扉３当　　扉１選　　　０　　　　１　　　　０
扉３当　　扉２選　　　１　　　　０　　　　０
扉３当　　扉３選　　１／２　　１／２　　　０

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/30(土) 16:57:05.01

>>701を基に(標準・変形・突風)を列挙。　()内はゲーム不成立
(当たり扉１固定、以下省略)

0　1/2　1/2　　　　 0　　1/2　　1/2 　　　　(1/3)　　1/3　　1/3
0　　0　　1　　　 (1/2)　　0　　1/2 　　　　(1/3)　　(1/3)　　1/3
0　　1　　0　　　(1/2)　　1/2　　0 　　　　(1/3)　　1/3　　(1/3)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/30(土) 21:06:11.98

モンティがランダムに残りのドアを開け、
かつ、車のドアを開けてもゲームが有効なままならば、
それが繰り返しゲームの場合、
スイッチングのほうがステイングよりも有利だと
直感的に思うでしょう。
なぜなら、モンティ自らが車のドアを開けて種明かしする偶然もそこに加わるのですから
プレイヤは車を直接指差すチャンスにも恵まれます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/30(土) 21:27:34.60

モンティがランダムに残りのドアを開けるか選択的に開けるかの違いは、
果たして根本的な違いでしょうか？

モンティ・ホール問題には暗黙の前提があるように思われます。
・それが繰り返し試行ゲームであること。
・繰り返しのたびに回答を変えてはいけないこと。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/30(土) 23:17:00.76

>>703
＞モンティがランダムに残りのドアを開け、
＞かつ、車のドアを開けてもゲームが有効なままならば、

無効(不成立)
この場合でも有効(成立)と解釈するのは相当無理がある(最初からやり直し)
それこそ暗黙の前提

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/01(日) 00:10:15.09

>>677
＞その場合、このクイズが想定していない事態が起こるので新たにルールを設ける必要がありそうですね。
このクイズが想定してるのは、最終的に未開扉が２枚残ったうえで
そのうちのどちらの扉を選べば得かということ
そういう状況にならないと、そもそもゲームとは呼べない(＝無効・不成立)

＞不成立にした場合は標準形式と同じことになりそうですね。
逆だよ。　不成立にした場合は標準形式と異なることになるわけで。
そもそも不成立にしかならない

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/01(日) 00:19:56.19

□当たり　■ハズレ

A　　B
□|■■
■|□■
■|■□
□|■■
■|□■
■|■□
□|■■
■|□■
■|■□
↑
最初に当たりを引く確率は１／３

A　B
□|■
■|□
■|□
□|■
■|□
■|□
□|■
■|□
■|□
　　↑
　　チェンジで当たりを引く確率は２／３

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/01(日) 00:35:10.32

■
■
■
■
■
■
■
■
■
↑
モンティはただひたすらハズレのみ
確率１でチョイス

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/01(日) 00:37:52.16

変形モンティの場合

Ａ｜Ｂ
□｜■
■｜□
■｜■　不成立　(当たり扉を開けてしまった)
□｜■
■｜□
■｜■　不成立　(当たり扉を開けてしまった)
□｜■
■｜□
■｜■　不成立　(当たり扉を開けてしまった)
　　↑
　　チェンジで当たりを引く確率は１／２

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/01(日) 01:32:25.93

突風モンティの場合　(イメージ、厳密には９通りだけの正確な表現は無理)

Ａ｜Ｂ
　｜■■　不成立　(挑戦者が選んだ扉を開けてしまった)
■｜□
■｜■　　不成立　(残り２扉から当たり扉を開けてしまった)
□｜■
　｜■■　不成立　(挑戦者が選んだ扉を開けてしまった)
■｜□
□｜■　　
■｜■　　不成立　(残り２扉から当たり扉を開けてしまった)
　｜■■　不成立　(挑戦者が選んだ扉を開けてしまった)

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/01(日) 02:16:42.08

>>710　訂正

Ａ｜Ｂ
　｜■■　不成立　(挑戦者が選んだ扉を開けてしまった)
■｜□
■｜■　　不成立　(残り２扉から当たり扉を開けてしまった)
□｜■
　｜□■　不成立　(挑戦者が選んだ扉を開けてしまった)
■｜□
□｜■
■｜■　　不成立　(残り２扉から当たり扉を開けてしまった)
　｜■□　不成立　(挑戦者が選んだ扉を開けてしまった)
　　↑
　　チェンジして当たる確率１／２

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/01(日) 16:25:52.10

「不成立」とは何を意味するんですか？
回答者が100％外れになるということ意味するんですか？
それとも、ゲームがリセットされてやり直されることを意味するんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/01(日) 17:23:58.96

不成立とは
「司会がハズレを開け、プレイヤーに変更の機会を与えた」
という状況が成立していないこと(そういう状況ではないこと)でしょ

司会がアタリを開けた場合にゲームとして不成立かどうかはゲームの設定次第
「司会がアタリを開けてしまったら、その回はノーカンとして、ゲームを最初からやり直す」や
「司会がアタリを開けてしまったら不成立としてゲーム終了。プレイヤーはゲームの挑戦権を失う」
「司会がアタリを開けてしまった場合も、プレイヤーに扉変更の機会を与える」
等の設定が考えられるが、いずれの場合でも
変形モンティホール(司会が残りの2つからランダムに選んで開ける)で
「司会がハズレを開け、プレイヤーに変更の機会を与えた」という状況における
ステイがアタリの確率、チェンジがアタリの確率は1/2ずつ
というのは変わらない

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/01(日) 17:52:23.35

標準モンティやモンティロボ(開けようとする扉がアタリの時は、扉を選びなおす)は
アタリの扉を開ける事前確率が0であり、この事前確率によりステイやチェンジのアタリの確率が1/3,2/3と計算される

一方
変形モンティのやり直し設定(開けた扉がアタリの時はゲームを最初からやり直す)で、ゲームが成立した状況に限れば
司会がアタリの扉を開ける確率は0となるが
これは状況成立後の事後確率(事前確率ではない)なので
標準モンティと同様に計算することはできない

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/01(日) 19:38:03.56

不成立とはノーカン(最初からやり直し)の意味として書いてるけどね
①挑戦者が最初に選んだ扉　　②まだ開けられてないもう一方の扉

ゲームの前提条件　(標準仮定>>625)
最終的に①扉と②扉が残る
①扉と②扉のどちらかに必ず当たりがある
(当たりを知らない)挑戦者が①扉と②扉の２択にチャレンジする

ゲームの途中で当たり扉を偶然にも知ってしまった挑戦者が
当たり扉を知りながら100％の確信を持ってチェンジするとか
そんなものは心情的にもゲームとは呼びたくないな

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/01(日) 20:24:00.27

ノーカンで最初からやり直すというゲーム設定は
シミュレーションや期待回数から確率を考える場合に分かりやすい、都合がいい
というだけで
状況が成立しない場合のゲーム設定の内容は変形モンティの確率を求めるのに必要ない、関係ない
ということが分かっていれば良いんだけどね

ゲーム設定を弄くれば変形モンティも標準と同じになることもあるかもしれない！
みたいな勘違いする人が結構いるのよ・・・

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/01(日) 21:51:45.91

>>714
変形(1/2)派だけど、事前と事後とで混乱してきた
モンティ問題って、ある扉がハズレだという新たな情報を示した「後」の確率の問題だよね？
無理やり()内を埋めてみたけど、以下の解釈で合ってるんだろうか？

標準　　当たり扉を開ける確率　　事前(０)　　　　　事後(０)
　　　　ステイ・チェンジ　　　　事前(1/3・1/3)　　事後(1/3・2/3)

変形　　当たり扉を開ける確率　　事前(1/3)　　　　　事後(０)
　　　　ステイ・チェンジ　　　　事前(1/3・1/3)　　事後(1/2・1/2)　　　　

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/01(日) 23:00:01.67

　　　　　　　　,,＿＿,,
　　　　　　／　　　｀､
　　　　　/　　　　　　　ヽ
　　　　　/　●　　　 ●　|
　　　／l　 '''''　し　 ''''''　|
　　 /　　l　　　＿＿.　　 |
　　 l　　/ヽ＿ ` --' ＿ノ
　　＼　　　　　￣　　ヽ∩
　　　　⌒l 　　　　　　　l三 |
　　　　　 |　　　　　　　ヽ.__|

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/01(日) 23:36:12.25

>>717
「チェンジがアタリ」が単に「3つの扉の内、プレイヤーも司会も選ばなかった残りの扉がアタリ」を意味するなら
「チェンジがアタリ」の事前確率は
標準で2/3, 変形で1/3 だ

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/02(月) 11:01:48.06

A　　B　　　Ａ　Ｂ
□|■■　　　１|２３
■|□■　　　４|５６
■|■□　　　７|８９

開ける可能性のある扉　
標準　　(２３)・(６)・(８)
変形　　(２３)・(５６)・(８９)
突風　　(１２３)・(４５６)・(７８９)

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/02(月) 13:06:33.88

単に既存の説明を数字で言い換えてるだけだが
チェンジして当たる確率
残りの１枚が(５)か(９)　＝　最初に(４)か(７)を選ぶ　＝　２／３

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/02(月) 18:40:09.00

□当たり　■ハズレ

□|■■　　　A|B.C
■|□■　　　D|E.F
■|■□　　　G|H.I

モンティと突風が開ける可能性のある扉　

標準　　(BCFH)
変形　　(BCEFHI)
突風　　(ABCDEFGHI)

チェンジして当たる確率
残りの１枚が(E.I)＝最初に(D)か(G)を選ぶ＝２／３

□|■■　　　A|D.G
■|□■　　　B|E.H
■|■□　　　C|F.I

モンティと突風が開ける可能性のある扉　

標準　　(DGFH)
変形　　(DEFGHI)
突風　　(ABCDEFGHI)

チェンジして当たる確率
残りの１枚が(E.I)＝最初に(B)か(C)を選ぶ＝２／３

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/02(月) 19:51:06.04

○|××　　　１|２３
×|○×　　　４|５６
×|×○　　　７|８９

開ける扉の組み合わせ
標準　　268、368
変形　　258、259、268、269、358、359、368、369
突風　　147、148、149、、、、、、、367、368、369

標準　　ステイ２勝　チェンジ４勝　
変形　　ステイ８勝　チェンジ８勝　８不成立
突風　　ステイ18勝　チェンジ18勝　45不成立

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/02(月) 20:46:09.08

モンティが残りのドアから当たりを開いてしまったら、
ゲームを無効としてカウントせず、また並び替えて最初からやり直す
というゲームは、結局のところ>>651-652みたいなケースでしょう？

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/02(月) 22:35:26.64

>>723　訂正

○|××　　　１|２３
×|○×　　　４|５６
×|×○　　　７|８９

開ける扉
標準(268 368)　　　　　ステイ２勝　チェンジ４勝
変形(258 369)　　　　　ステイ２勝　チェンジ２勝　不成立２回
突風(147 258 369)　　　ステイ２勝　チェンジ２勝　不成立５回

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/03(火) 00:21:56.69

標準　　　　　変形　　　　　　　　突風
□|　■　　　□|　■　　　　　　　|■■(無効)
■|□　　　　■|　■(無効)　　　　|□■(無効)
■|　□　　　■|　□　　　　　　　|■□(無効)
□|■　　　　□|■　　　　　　　□|　■
■|□　　　　■|□　　　　　　　■|　■(無効)
■|　□　　　■|■　(無効)　　　■|　□
　　　　　　　　　　　　　　　　□|■
　　　　　　　　　　　　　　　　■|□
　　　　　　　　　　　　　　　　■|■　(無効)

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/03(火) 17:58:27.33

>>724
それはそうかもしれないけど、それとは別に
なぜ標準の場合には、その説明が成立しないかを考えてみた

○|××　　　１|２３
×|○×　　　４|５６
×|×○　　　７|８９

標準の場合は、開ける扉は(268 368)の２パターンのみということは明らか
開ける扉を 369 に固定するという設定自体が間違いなのかな？
開け扉固定と○×図形とは、標準に限っては相性が悪そう

挑戦者が扉１を選んで、司会者がハズレ扉３を開けた場合の、扉２の当たる確率を求めよ
この問題文自体は、何の問題もなく成立するはずなのに不思議だ

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/03(火) 19:51:03.28

？
その問題文は問題なく成立してるし、確率計算も問題なくできるぞ

問題があるとするならその図の表し方の方じゃないか
正直その図式や略語が何を意味してるのかさっぱり分からない

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/04(水) 19:51:46.01

もんちい(*´▽｀*)

**１３２人目の素数さん** · 2018/07/04(水) 20:12:43.90

>>296
[G]G{C}のケースはクルマのドアを開けてしまうことになるから
この可能性は消える――

消えるわけではなく2番のドアを開けるにシフト
[G]{G}C

4. 司会者が回答者に訊く「2番のドアに変更したいですか」
回答者は2番のドアを選ぶことでクルマを当てやすくなるだろうか―

回答者は2番と3番どちらのドアでも選択可能

[C]G [G]C [G]C-> C[G] G[C] G[C]

チェンジでCを選ぶ可能性は２／３にアップ