モンティーホール問題を高校生にわかるように説明してくれ [無断転載禁止]©2ch.net

**SOUTH** · 2017/03/12(日) 18:23:31.38

モンティーホール問題とは...
プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

プレーヤーはドアを変更すべきだろうか？
(wikiより)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 12:14:11.39

前提　　挑戦者が扉1を選んでホストが扉3を開ける

仮説事象①　　　扉1が当り
仮説事象②　　　扉2が当り
証拠事象　　　　ホストが扉3を開ける
条件付事象①　　扉1が当りでホストが扉3を開ける
条件付事象②　　扉2が当りでホストが扉3を開ける

扉1と扉2が当る確率はともに1/3。挑戦者が扉1を選んだならば
扉1が当りのときにホストが扉3を開ける確率は1/2で、扉2が当りでホストが扉3を開ける確率は1だから
扉1が当りでホストが扉3を開ける確率は1/6 、扉2が当りでホストが扉3を開ける確率は1/3である
従って、ホストが扉3を開けたとき、扉2が当たりの確率は(1/3)／(1/6+1/3)=2/3 となる

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 19:29:08.76

ホストがどういう動きをするかなんて関係ない

ゲームの回数が少ないときは確率５０％に近く

多数回になるにつれて

選択変更時の当たりの確率が２倍に近づくだけ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 20:21:14.49

三枚のカードがあります。うち一つに当たりがあります。
AさんとBさんが一枚づつ選びます（同じカードは選ばない）
ここでBさんが、人並み外れて運が悪く、３分の１より低い確率でしかカードが当てられないとします。
すると残ったカードには３分の１以上の確率であたりがあるでしょう。
モンティホールの問題は、Bさんのあてる確率はゼロですから、残されたカードは当たる確率がとても高くなります。
こう考えるとだれもが正答を導くのに、モンティホールでは、正確な確率評価をさせないような心理的トリックがあるといわざるを得ません。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 21:07:51.29

最初>>4を数学的に正しい説明と書いたけど、よく考えてみるとこれもちょっと不親切だね。
すくなくともこれは、あらかじめ答えを知っている人の解説と言われても仕方がない。
なぜなら、「じゃあ司会者があたりのドアを開けたら、
挑戦者のあたりの確率はゼロになって、確率は変化するのに、
司会者がはずれのドアを開けたら、少なくとも一つの可能性を消しているのに確率が変わらないのはなぜ」と言われたとき、説明に苦しむ。
実際心理的トリックのキモもここにいるから。

さっきの三枚のカードの例だと、Bさんが１００パーセントあてることになるから、
そもそもAさんはあてられっこないわけだがｗ

>>10の説明をする人だけが、この問題を理解している。
マリリンの正答はやらせ、少なくとも最初は理解していないｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 21:18:39.87

トリックなんてない

ゲームの回数が少ないときは確率５０％に近く

多数回になるにつれて

選択変更時の当たりの確率が２倍に近づくだけ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 21:44:52.76

□当たり　■ハズレ

ゲームが一回だけなら
二つの可能性からの二者択一のみ
□■■

ゲームが多数回に向かうと
最初にハズレを引く可能性が上がっていく
１□■■
２■□■
３■■□
　　　：
　　　：

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 21:51:41.98

>>511
二者択一であることと、確率が５０％（近く）であることは何の関係もない
あなたは今日中に生きるか死ぬかの二通りであるから、今日中に死ぬ確率は５０％と考えるのかｗ
明日の降水確率はつねに５０％なのかｗ
サハラ砂漠でもそうなんだなｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 21:54:55.82

>>512
明日という日は地球上で一回だけ

『つねに』なんて存在しません(´･ω･`)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 21:58:26.54

>>512
二者択一が確率５０％でないとは
いったいどういう状態なのかね？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 21:58:46.40

>>だったら一回だけの試行であり、お前の論理によれば確率５０％じゃん。
じゃあ、今日中に５０％の確率で死ねばいいｗｗｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 22:00:29.57

>>514
お前は今日中に生きるか死ぬかだろ？
ならばお前の理屈によれば５０％の可能性で死ぬわけだｗ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 22:01:28.88

二者択一が確率５０％でないと主張するのであれば
これはもう入院するしかないでしょう

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 22:41:42.83

サイコロを振って
１の目が出る確率 1/6 と１以外の目がでる確率 5/6 の比較なんてどうかな？
１の目が出るか、それ以外が出るかの二者択一だけど50％じゃない

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 22:59:42.91

>>517
下げで自信なげに何くだらないことを言っているんだよ。
お前は自分が何か深いことでも考えていると思っているのかｗ
御託はいいからおまえは今日中（あと一時間ｗ）に５０％の可能性で死ねばいいよ
生きるか死ぬかの二通りしかないんだからｗ
バーカバーカバーカ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 23:24:16.89

>>518
ちなみに、１グラムの石と１トンの石を二者択一しても
どちらか一方を選択する確率は５０％です

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 23:34:56.64

>>530
サゲで自信無げにバーカバーカバーカ
お前はあと３０分以内に50％の確率で死ね。生きるか死ぬかしかないのだからｗ
あす東京に雪が降るか降らないかも二者択一だから、あす東京に雪が降る確率は５０％
もちろん、明日東京に小惑星がぶつかる可能性もお前の論理では50％
バーカバーカバーカ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 23:36:00.70

□当たり　■ハズレ

ゲームが一回だけなら
二つの可能性からの二者択一のみ
□■■

ゲームが一回の時、
最初に当たりを引く確率は１／３ではなくて
１／２になる

そもそも一回しか選択していないのに
『三回のうち一回は当たる』という主張は
矛盾している

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 23:36:56.05

>>520
サゲで自信無げにバーカバーカバーカ
お前はあと３０分以内に50％の確率で死ね。生きるか死ぬかしかないのだからｗ
あす東京に雪が降るか降らないかも二者択一だから、あす東京に雪が降る確率は５０％
もちろん、明日東京に小惑星がぶつかる可能性もお前の論理では50％
バーカバーカバーカ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/06(水) 23:40:19.14

私が地球壊滅作戦の最高司令官と承知していただこうか(´・ω・`)

私は、長い歴史を持った知的種族の滅亡する直前の悲壮美が好きだ

生存の意思が強ければ強いほど悲しいまでの美しさが生じる

地球人類は今、終末を迎えた

死に物狂いで抵抗し、有終の美を際立たせてくれたまえ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/07(木) 00:08:04.15

登場人物：僕(当たりがどれか知らない)彼(当たりがどれか知ってる)
３つの玉があります
内一つは当たりです

(i)
①彼が外れの玉を一つ取り除きました
②僕は残ったふたつの玉で当たりを引き当てようとして、ひとつの玉を選択しました

(ii)
①僕はみっつの玉から当たりを引き当てようとして、ひとつの玉を選択しました
②彼が当たりの玉を一つ取り除きました
③僕は改めて残ったふたつの玉で当たりを引き当てようとして、ひとつの玉を選択しました

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/07(木) 00:08:14.29

挑戦者が扉を変えて当たる確率は
最初に選んだ扉がハズレの確率に一致するので 2/3 となる

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/07(木) 00:36:07.50

「明日雨が降るかどうかは決まっていない」のに対し

「昨日雨が降ったかどうかは決まっている」と考えられる

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/07(木) 00:41:36.99

>>523
『生きるか死ぬかしかないのだから』

『仮死状態になる』という可能性が除外されているので

誤った二分法になります(｀・ω・´)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/07(木) 01:15:54.84

>>525
続きを待ってたんだけど、ないのか？
何を言いたいのか言葉足らず
(ⅱ)②の「当たりの玉」は「外れの玉」の間違いか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/07(木) 01:17:37.27

>>529
何となく似たような問題設定を書いてみただけだよ
(ii)については「当たりの玉」であってる

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/07(木) 07:32:07.17

>>530
なるほど、そういうことね
じゃあ普通に、僕が(改めて)選択した玉が当たる確率は
(ⅰ)　1/２　　(ⅱ)　０

と思ったけど、もしかして主観確率と客観確率の違いをテーマにできるかも
何も知らない「僕」から見たら両方とも１/３というのは深読みしすぎか

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/07(木) 15:23:53.10

https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/E/Esper1029/20160114/20160114110725.png
変えれば当たる確率2/3

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/07(木) 22:10:59.90

>>505
⑤の仮定は不要だよ.
何でそんな間違いるのかなあと思ってウィキペディアのモンティホールの項目見たら
間違いだらけのことが書いてあったｗ
思いっきり訂正しておいたけどね。なんかまだ間違いが残ってるんじゃないかな。
こういう記事が１０年近く放置されているってことは、いかにこの問題がわかりにくいかを示していると思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/07(木) 22:26:53.99

モンティが「もう一つのハズレのドアがどれかを教えてくれる」のではなく
モンティも当てようとする（モンティが当てたらプレーヤーは自動的に外れる）場合
　　　↑
モンティは必ずハズレのドアを開けるから
これではルール違反になる

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/07(木) 22:55:37.65

モンティが残ったドアのうち必ずはずれのドアをあけるのが、この問題のキモだから、
たとえモンティが無作為にドアを開けたとしても、挑戦者の選んだドアを開けたり、
あたりのドアを開けた場合はゲームは不成立とする条件を付けていれば、結局普通のモンティホールの問題と変わりなく、選択を変えるのが正しい回答になる。
ウィキぺディアは、無作為に開けていれば、選択を変えても変えなくても変わらないかのように言っているが、実際には前記の不成立条件を付けているから、間違っている。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/07(木) 23:03:37.47

無作為に開けていれば１／２になるであっている
改悪はやめて元に戻せ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/07(木) 23:44:37.18

・標準仮定
①当たり扉はランダムかつ等確率に設定される
②ホストは挑戦者の選んだ扉を開けない
③ホストは必ず残りの扉を一枚開ける
④ホストはハズレの扉しか開けない
⑤ホストは挑戦者の選んだ扉が当たりのとき、ハズレ扉をランダムかつ等確率に選んで開ける
⑥ホストは扉を開けた後に必ずswitchの機会を挑戦者に与える

仮定⑤の条件は必要か否か
もちろん直感的には必要ないっぽいけど
直感が当てにならないケースである可能性も否定しきれない

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/07(木) 23:56:30.51

挑戦者が扉を選んだ瞬間に確率は発生するの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/08(金) 00:07:28.36

>>533>>535
お前が間違ってるぞ

司会は選ぶ扉は必ず、プレイヤーが始めに選んだ扉ではない(司会の扉≠プレイヤーの扉である確率が１)
司会は選ぶ扉は必ず、ハズレの扉である(司会の扉がハズレの確率が１)
というのはどちらもモンティホール問題に必要な条件

司会は、プレイヤーの扉を除く残りの２つの扉からランダムに選ぶ(司会がアタリを選ぶかもしれない)という設定
や
司会は、アタリの扉を除く残りの２つの扉からランダムに選ぶ(司会はプレイヤーと同じ扉を選ぶかもしれない)という設定
司会は、３つの扉からランダムに１つ選ぶという設定
などでは
A「司会がプレイヤーと異なる扉を選び、かつ、司会が選んだ扉がハズレ」という条件の下での
B「プレイヤーが選んだ扉がアタリ」である確率P(B|A)
は1/2
になり
本来のモンティホール問題の設定の時のみ、この確率は1/3になる

条件付き確率P(B|A)がP(B)から変わらない(同じ値になる)のは
事象Aと事象Bが独立のとき(特にP(A)が確率1のとき、AとBは独立である)

本来のモンティホール問題の設定では、AとBは独立なのでP(B|A)＝P(B)＝1/3だが
上の３設定では独立ではないことからP(B|A)≠P(B)＝1/3と確認できる

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/08(金) 00:36:16.15

□当たり　■ハズレ

ゲームがN→∞に向かうと
最初にハズレを引く可能性が２／３に
限りなく近づく
１□■■
２■□■
３■■□
　　　：
　　　：
N■■□

ゲームの回数が少ないN＜１０の時は
３回連続で一回目で当りを引いてしまうなど
極端な結果になることが往々にして起きる

ゲームを数百回連続で行うことによって
こういった極端な例がならされて
最後の二択の時、
チェンジし続けていれば当たりの確率が２／３になるという
『傾向』が観察されるのです(´・ω・`)

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/Monty_problem_monte_carlo.svg

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/08(金) 00:44:02.95

>>537
⑤が必要か否かは何の確率を考えたいかによる

例えばこれからゲームをするとして、switchしない戦略でのアタリの確率
すなわち
「ルールの下で司会が選んだ扉がハズレである」時の「自分が最初に選らんだ扉がアタリである」確率
を考えたいだけなら、⑤は不要
仮に司会に何らかの癖があったとしても、この確率は他の条件から1/3と計算できる

逆に例えば
今、正にゲームの最中で選択を迫られている場面であり、その具体的状況での
「ルールの下で司会が選んだ扉はドア２であり、ドア２がハズレである」時の「自分が最初に選らんだ扉：ドア１がアタリである」確率
を考えたくて、その確率が1/3となるためには
「プレイヤーの選んだ扉がドア１でそれがアタリのとき、司会はドア２とドア３の内ランダムに１つ選んで開ける」
という条件が必要

もし司会に癖があって、例えば「ドア２とドア３がハズレのとき、司会は確率１でドア２を選ぶ」という場合
司会がドア２を選んだら、残った扉：ドア３はハズレであることが確定してしまう
(司会がドア３を選んだら、残った扉：ドア２はアタリであることが確定する)ので
「司会がドア２を開けてハズレである」時の「始めに選んだドア１がアタリである」確率は１となる

このように
司会が具体的にどの扉(ドア１、ドア２、ドア３のどれ)を選んで開けたか
まで考えた確率を計算する上では、司会の癖の条件の記述が必要となる

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/08(金) 01:04:46.45

モンティが当たりのドアを開けるなんて言う勝手なルールを作るな

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/08(金) 15:01:12.23

>>532
マリリンが言ったとおり変えれば当たる確率は倍か。
てかこれで合ってんだろうけど何か誤解してグダグダになってる人がいる感じ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/08(金) 17:29:16.93

>>543
ゲームの回数が少ないときに
二倍の確率が見えるのかい？(´･ω･`)

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/Monty_problem_monte_carlo.svg

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/08(金) 18:09:38.49

>>544
https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/E/Esper1029/20160114/20160114110725.png
見えるんじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/09(土) 21:16:02.69

　　　　　　　　,,＿＿,,
　　　　　　／　　　｀､
　　　　　/　　　　　　　ヽ
　　　　　/　●　　　 ●　|
　　　／l　 '''''　し　 ''''''　|
　　 /　　l　　　＿＿.　　 |
　　 l　　/ヽ＿ ` --' ＿ノ
　　＼　　　　　￣　　ヽ∩
　　　　⌒l 　　　　　　　l三 |
　　　　　 |　　　　　　　ヽ.__|

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/09(土) 21:31:14.18

□当たり　■ハズレ

ゲームが一回だけなら
二つの可能性からの二者択一のみ
□■■

ゲームが一回の時、
最初に当たりを引く確率は１／３ではなくて
１／２になる

そもそも一回しか選択していないのに
『三回のうち一回は当たる』という主張は
意味不明である

( ´∀｀)『変更すれば三回のうち二回は当たるから
　　　　　お得だよ』

(´･ω･`)『自分、一回しかゲームしないんですけど・・・』

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/10(日) 09:28:25.73

三枚のドアABCがあります。そのうち1枚にあたりのドアがあります。
挑戦者が１枚のドアを選びます。
ここで急に風が吹いてきて、たまたま挑戦者が選ばないドアが開いてしまい、
しかもそのドアがはずれであることがわかってしまいました。
さて、挑戦者は空いてないドアを選び直したほうが、当たる確率が高くなるでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/11(月) 21:43:33.19

「ゲームが一回の時のプレイヤーが当たりを引く」
という確率を考える場合、
プレイヤーは当たりを引くかハズレであるかのいずれかであり、
そこには頻度は存在しないです
つまり、そこには何の期待値も存在しないという事です

□■■（二つの可能性からの二者択一のみ）

頻度主義を取った場合、一回限りの出来事について
確率を割り当てることができない

大数の法則は裏を返せば「サンプルサイズが小さい方が、
より極端な値をとる確率が高い」ということでもある

以上のことからゲームが一回限りの場合は
『当たりとハズレどちらが出るかわからない』
と判断するのが良い

ゆえに、ゲームの回数を一回に限定すると
当たりの確率は５０％になります

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 18:49:04.69

□当たり　■ハズレ

ハズレのドアの面積は当りのドアの面積の二倍あるので
ゲームが多数回（N→∞）に向かうと
最初の選択（ファーストチョイス）時にハズレを引く
確率が２／３に限りなく近づく

１□■■
２■□■
３■■□
　　　：
　　　：
N■■□

プレイヤーは最後に当たりとハズレのドアのうち
一つを開ける二択を必ず行う

□■（ステイ　or　チェンジ）

この事象だけ単独で取り出せば確率は５０％
しかし、プレイヤーが多数回のゲームを行えば
ファーストチョイス時の確率２／３を保持したまま
二択を行うことになる

ステイのハズレの確率はチェンジの当たりの確率に
等しいので、チェンジし続ける（Changing）なら
当たる確率が二倍になるといえる

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 19:44:56.14

>>504
条件7. 回答者が複数人か、その同じゲームが何回も試行される権利があること。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 20:26:13.85

大数の法則により、ファーストチョイス時の当たりの確率が
１／３になるのはゲームが多数回（N→∞）の時のみ

プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率…事象A

モンティがハズレのドアを一枚開ける…事象B

□■（ステイ　or　チェンジ）…事象C

モンティがハズレのドアを開けても
プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率に
何の影響も及ぼさない
また、プレイヤーが当たりを引こうがハズレであろうが
モンティはハズレのドアを一枚だけ開ける
したがって、

『事象A』と『事象B』は互いに独立である

また、

『事象C』は『事象B』によって導出される

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 20:47:40.78

■Let's Make a Deal -- Big Deal of the Day (Monty Hall)
https://www.youtube.com/watch?v=T5QYTrDReTo

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 22:23:26.19

数学の専門書とかによく出てくる奇妙な慣用句「簡単のため（に）」は言葉の乱れですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 23:08:58.38

安全のために
正義のために
と同じ使い方

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 23:37:10.81

ゲームが多数回（N→∞）の時…事象N

プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率…事象A

モンティがハズレのドアを一枚開ける…事象B

□■（ステイ　or　チェンジ）…事象C

『ステイのハズレの確率はチェンジの
当たりの確率に等しい』…事象D

『事象A』は『事象N』によって導出される

『事象A』と『事象B』は互いに独立である

『事象D』は『事象C』によって導出される

『事象C』は『事象B』によって導出される

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 23:37:41.79

「安全を考える」とは言えるけど「簡単を考える」とは言えない。
簡単という語を名詞のように使うのは誤用だよ。
そのため、その用法は一般社会に広がっていない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/12(火) 23:39:04.61

確率論はパラレルワールドを想定しているんだっけ？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/13(水) 00:16:31.55

「簡単のために」について同じ質問を数学の先生にしたことがあるけど、「理系の学問だとよく使うよ」と言ってた
そんなもんかと思って軽く納得した記憶がある

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/13(水) 13:24:40.23

何が起こるかわからない時は
予想しないほうがいい

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/13(水) 15:50:19.38

モンティはプレイヤーのファーストチョイスのあと
プレイヤーの選ばなかった二つのドアのうち
ハズレのドアを一つ開ける（ゲームから除外）

□■

モンティはハズレのドアを一つゲームから除外するので
ハズレのドアが二枚残ることはない

■■（存在しない）

プレイヤーは最後に当たりとハズレのドアのうち
一つを開ける二択を必ず行う

□■（ステイ　or　チェンジ）

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/13(水) 15:51:27.95

〈１回の試行で，ある事象の起こる確率がpであるとき，

この試行を独立にn回繰り返したとき，

この事象が起こる回数をfとすると，

これが起こる割合f/nは試行回数nが大きくなるに従って

pに近づく〉という定理

1713年J.ベルヌーイが初めて定式化

これにより経験的確率と数学的確率が一致し，

確率論の実際的応用の根拠が与えられる

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/13(水) 19:52:18.16

ゲームの回数N＜３の時…事象ｎ

プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率…事象A

ゲームの回数N＜３の時の事象Aの確率 P(A|ｎ)

事象Aの尤度関数P(ｎ|A)＝３／２

事象Aの主観確率P(A)＝１／３

∵ベイズの定理より

P(A|ｎ)＝P(A) * P(ｎ|A)＝１／３ * ３／２＝１／２

以上により、
ゲームの回数N＜３の時
プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率は
多数回（N→∞）の時の１．５倍に改定される

**sage** · 2018/06/13(水) 21:42:15.87

>>548
その場合は、同じ。
このことから>>4や>>10は、しょせん答えを知っている者の後知恵とわかる。
>>4や>>10が説明になるのなら、なぜ>>548ではそれが適応されないのかすぐに説明することは難しい。
素直に場合分けをするのが、最善だろう。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/13(水) 23:30:33.44

同感だけど、結局場合分けって全部で何通りと考えればいいのかな？

当たり入れ　→　選択　→　外れ開け　→　変更するか否か
３×３×２×２=36　っていう単純式で合ってる？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/14(木) 00:08:21.71

外れ開けは２通りじゃなくて３通りだわ
３×３×３×２=54通りで
変更なしだと９勝18敗、変更すると18勝９敗

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/14(木) 00:40:04.18

大数の法則（少数の法則）により
ゲームが二回の時は極端な結果になりやすい
頻度主義による確率を割り当てることもできない
以上のことから
ゲームが二回の時は
『当たりとハズレどちらも同じくらい出る』
と判断するのが良い

ゆえに、ゲームの回数を二回にすると
当たりの確率は５０％になると予想できます

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/14(木) 09:49:41.93

>>566を訂正
全54通りのうち30通りは確率０だから実質全24通り？
場合の数だけで考えると、６勝６敗　→　６勝６敗
「１通りの確率が全て等しいというわけではない」という点がややこしい
３勝６敗　→　６勝３敗　という結果に最終的にはなる

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/14(木) 18:31:52.10

ゲームが多数回（N→∞）の時…事象N

プレイヤーがチェンジした時の当たりの確率…事象E

■事象Eの確率を求める

ゲームが多数回（N→∞）の時の事象Eの確率 P(E|N)

事象Eの尤度関数P(N|E)＝１

事象Eの主観確率P(E)＝２／３

∵ベイズの定理より

P(E|N)＝P(E) * P(N|E)＝２／３ * １＝２／３（主観確率と一致）

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/14(木) 18:50:52.23

■モンティホール問題（カードシャッフル）

このゲームができるのは1回だけです

ハートのエース99枚とスペードのエース1枚を合わせた
トランプカード100枚をシャッフルします

その中から1枚のカードを選びます

山札から98枚のハートのエースを取り除きます

最後に残った2枚のカードの中から1枚のカードを選びます

スペードのエースを引く確率は何％でしょう？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/14(木) 21:47:39.08

>>565
モンティホール問題は、厳密に言えば
➀司会者があたりを知っており、わざとはずれのドアを当てる
②司会者もあたりを知らず、試しにあけたドアがはずれだった

の２ケースがあり、それぞれで答えが異なる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/14(木) 21:50:42.14

➀の場合
一般性を失うことなくあたりを１と考えると
（挑戦者の選ぶドア、司会者の選ぶドア）は
（１、２か３）（２，３）（３，２）
がそれぞれ等確率でおきる。
よって、最初のドアがあたりの確率：選びなおすと当たる確率＝１：２

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/14(木) 21:53:19.98

②の場合、司会者はあたりのドアを知らないから
（１，２）（１，３）（２，１）（２，３）（３，１）（３，２）
が等確率で全て起きる。
このうち問題の条件を満たすのは
（１．２）（１．３）（２．３）（３．２）であり
最初のドアがあたりの確率：選びなおすと当たる確率＝１：１となる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/14(木) 21:58:06.09

ここで興味深いのは➀でも②でも、もっぱら司会者の「内面」がちがうだけで、
外見的な行動は同じなのである。
モンティホール問題は、もともとクイズ番組という設定であるから
実際には➀のケースでも、あたかも②であるかのように演出することが可能である。
こうなれば、大多数の人間が引っかかるのはむしろ当然である。
>>4や>>10がいかに「答えを知っている人の後知恵」にすぎないかがよくわかる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/14(木) 22:00:12.25

□■■　ファーストチョイス

□■　セカンドチョイス

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/14(木) 22:20:03.66

思うんだが
②の場合は二人挑戦者がいて司会がいない場合みたいだね

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/15(金) 00:41:56.63

□■（ステイ　or　チェンジ）…事象C

ゲームの回数N＜３の時…事象ｎ

ゲームの回数N＜３の時の事象Cの確率 P(C|ｎ)

事象Cの尤度関数P(ｎ|C)＝１（確率はそのまま）

事象Cの主観確率P(C)＝１／２

∵ベイズの定理より

P(C|ｎ)＝P(C) * P(ｎ|C)＝１／２ * １＝１／２

ゲームが一回と二回の時は
『当たりとハズレどちらも同じくらい出る』
と判断するのが良い

ゆえに、ゲームの回数をN＜３にすると
当たりの確率は５０％になると予想できます

ゲームが一回と二回の時に限り
「直感で正しいと思える解答と、論理的に正しい解答が一致する」

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/15(金) 17:53:50.28

□■■　ファーストチョイス

　　　■　モンティチョイス

　 □■　セカンドチョイス

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/15(金) 20:35:00.61

■モンティは何をしたのか？

モンティがハズレのドアを一枚開ける…事象B

□■（ステイ　or　チェンジ）…事象C

『ステイのハズレの確率はチェンジの
当たりの確率に等しい』…事象D

事象Bが起きたことによって
事象Cと事象Dも同時に発生する

この一連の事象を事象Fとする

■ゲームが多数回（N→∞）の時

P(F|N)＝P(B|N) * P(C|N) * P(D|N)＝１

■ゲームの回数N＜３の時

P(F|ｎ)＝P(B|ｎ) * P(C|ｎ) * P(D|ｎ)＝１／２

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/15(金) 20:53:19.29

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/16(土) 00:10:04.16

　　　　　　　　,,＿＿,,
　　　　　　／　　　｀､
　　　　　/　　　　　　　ヽ
　　　　　/　●　　　 ●　|
　　　／l　 '''''　し　 ''''''　|
　　 /　　l　　　＿＿.　　 |
　　 l　　/ヽ＿ ` --' ＿ノ
　　＼　　　　　￣　　ヽ∩
　　　　⌒l 　　　　　　　l三 |
　　　　　 |　　　　　　　ヽ.__|

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/16(土) 00:11:49.32

モンティはハズレのドアを一つゲームから除外するので
ハズレのドアが二枚残ることはない

■■…空事象

プレイヤーは最後に当たりとハズレのドアのうち
一つを開ける二択を必ず行う

□■（ステイ　or　チェンジ）…排反事象

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/16(土) 00:15:47.10

■事象Dとは何か？

ステイでは、当たりとハズレが同時に出ることはない（排反事象）

チェンジでも当たりとハズレが同時に出ることはない（排反事象）

ステイの当たりの確率がPなら

チェンジの当たりの確率は１－P

ステイのハズレの確率は１－P

チェンジのハズレの確率はP

ゆえに、
『ステイのハズレの確率はチェンジの
当たりの確率に等しい』…事象D

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/16(土) 00:21:11.37

■ゲームの回数N＜３の時

P(F|ｎ)＝P(B|ｎ) * P(C|ｎ) * P(D|ｎ)＝１／２になるのは

事象Cの尤度関数P(ｎ|C)＝１（確率はそのまま）であるから

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/16(土) 11:37:13.07

【悲報】モンティホール問題を解説するだけのスレ、5chで600くらいまで伸びてる

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/16(土) 12:57:42.36

しかも「後知恵の間違った解説」が、本質を突いた解説として最初のうちはもてはやされているのがキモ。
>>10のことだけどね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/16(土) 13:01:51.93

モンティホール問題を、「こう考えればすぐにわかる」とか言って、
極端に簡単な解説
たとえば「挑戦者が選ばないほうにあたりの確率が２倍あり、
そのうち一つの可能性を消したのだから、残りのカードに３分の２のあたりがあるのは当たり前」
という類い。
はすべて、答えを知っている人のこじつけであって、正しい解説とはいいがたい。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/16(土) 17:34:24.51

>>570
１００枚で一組のトランプから１枚のカードを引いたとき
「ハートが出る」、「スペードが出る」ということは
同時に起きないので、
これらは互いに排反事象です

スペードのエースが出る確率　P
ハートのエースが出る確率　１－P

Pは出るか出ないかの二つの可能性のみ（余事象）
１－Pも出るか出ないかの二つの可能性のみ（余事象）

ゆえに、
Pの確率は５０％
１－Pの確率も５０％

この確率を維持したまま
最後にもう一度二者択一を行うので
スペードのエースが出る確率は５０％です

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/16(土) 17:44:01.63

ゲームが多数回（N→∞）の時…事象N

プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率…事象A

□■（ステイ　or　チェンジ）…排反事象C

排反事象Cの尤度関数P(N|C)＝２

モンティがハズレのドアを一枚開ける事によって
引き起こされる事象…事象F

■事象Aの確率はチェンジで二倍になるか？

事象Aの主観確率 P(A)＝１／３

事象Fの確率 P(F|N)＝P(B|N) * P(C|N) * P(D|N)＝１

∵ベイズの定理より

P(A|N)＝P(A) * P(N|C)／P(F|N)＝｛１／３ * ２｝／１＝２／３（確率が二倍になる）

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/16(土) 23:44:05.37

■排反事象Cの尤度関数P(N|C)＝２とは何か？

P(N|C)＝ｃとおく

ゲームが多数回（N→∞）であるからcのとる値は

1＜ｃ＜３の範囲になる可能性が高い

ｃ＝１ならチェンジでも当たりの確率は１／３のまま

ｃ＝３ならチェンジで１００％当たりになる

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 00:44:51.27

モンティホール問題の解説だけで本一冊書けちゃう？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 00:55:39.71

意味不明が過ぎる

> ゲームの回数N＜３の時…事象ｎ
> ゲームが多数回（N→∞）の時…事象N

「ゲーム回数」と「事象」という別のものに同じ記号Nを用いている所にまずセンスの無さを感じる
そもそも元のゲームの設定や
ここらで話題に挙がっていたようなゲーム回数が少数の場合と多数の場合の比較では
ゲーム回数は確率的に定まるものではないので
「ゲームの回数N＜３の時」等を事象として扱うのは不適当
「～の時の確率」という語句が「～という事象が起きた時の条件付き確率」とは限らないことを知れ

> プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率…事象A
> □■（ステイ　or　チェンジ）…排反事象C

これらも意味不明
確率は事象ではない
図？が意味することも不明

> 排反事象Cの尤度関数P(N|C)＝２

尤度関数として条件付き確率をそのまま用いているのに１を超えているのは明らかな間違い
条件付き確率でないとするなら、ベイズ定理の式にそのまま代入しているのは間違い

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 01:48:04.78

■０＜ｃ＜１の範囲の場合はどうか？

ｃ＝０．５ならチェンジすると当たりの確率が１／６

これはつまりファーストチョイス時の当たりの確率が１／６
（６回につき一回しか当りが来ない）

※しかしこのくらいのことはよく起こる

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 07:08:30.85

>>587
じゃあ>>10は？極端に簡単だけどこじつけには見えない

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 08:22:19.56

>>594
>>10のような説明だと
>>548の時だって、ドアを変えたほうが確率が２倍になるように思えてしまう。
実際には違う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 11:00:30.72

当扉固定、選択、外扉開の場合分けで９通り

標準モンテ( 1/3 → 2/3 )
確率０が５通り、確率 1/6 が２通り、確率 1/3 が２通り

変形モンテ( 1/2 → 1/2 )
確率０が３通り、確率 1/6 が６通り

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 11:20:30.26

変形モンテの場合でも、最初に選んだ扉が当たりの確率は 1/3 のまま。
チェンジしても 1/3 のままで、
残りの 1/3 は司会者が当たり扉を開けてしまいゲーム終了(不成立)。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 11:49:41.94

標準モンテ( 1/3 → 2/3 ) ゲーム完全成立
変形モンテ( 1/3 → 1/3 ) 1/3 不成立
>>548モンテ( 2/9 → 2/9 ) 5/9 不成立

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 20:37:13.36

ステイでは、当たりとハズレが同時に出ることはない（排反事象）

チェンジでも当たりとハズレが同時に出ることはない（排反事象）

P(N|C)＝P(N|A) * ２

｛P(N|C)／P(N|A)｝＝２

チェンジで当たりの確率は二倍になるのか？

それともステイの当たりの確率が二倍になったのか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 22:23:16.08

賞品配置　→　扉選択　→　(外れ)扉開け
(標準・変形・突風)モンティ・ホール問題のいずれにせよ
３×３×３=27通り　を超えるパターンは絶対にない

標準(1/3 → 2/3)　1/18 が６通り、1/9が６通り　(確率０が15通り)　
変形(1/2 → 1/2)　1/18 が18通り(不成立６通り)　(確率０が９通り)
突風(1/2 → 1/2)　1/27 が27通り(不成立15通り)

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/17(日) 23:28:09.47

【事象】
観察しうる形をとって現れる事柄、できごと

ここでの事象とは自然界の事象という意味で
確率論の事象ではない

修正 · 2018/06/18(月) 01:32:10.42

>>593
■０＜ｃ＜１の範囲の場合はどうか？

ｃ＝０．５ならチェンジすると当たりの確率が１／６

これはつまりファーストチョイス時のハズレの確率が１／６
（６回につき一回しかハズレを引かない）

※この場合、チェンジすると大損

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/18(月) 18:57:46.52

>>518
サイコロを次に一回振って

１の目が出る確率　P＝A

１以外の目がでる確率　１－P＝B

事象AとBは、互いに排反事象なので

P(A∪B）＝P(A)＋P(B)が成り立つ

事象Aが起こる確率：P(A) （Aの生起確率）
０ ≦ P(A) ≦ １
P(A)＝０ : A は絶対に起こらない
P(A)＝１ : A は必ず起こる

Aは起こるか起きないかのどちらか（確率５０％）

余事象（Ac＝Ω－A）～ A が起こらない確率：P(Ac)
P(Ac)＝１－P(A)

P(Ac)＝１－P(A)＝P(B)が成り立つ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/18(月) 19:37:38.00

■ゲームが一回と二回の時の確率を求める

ゲームの回数N＜３の時…事象ｎ

プレイヤーのファーストチョイス時の当たりの確率…事象A

モンティがハズレのドアを一枚開ける…事象B

□■（ステイ　or　チェンジ）…排反事象C

『ステイのハズレの確率はチェンジの
当たりの確率に等しい』…事象D

プレイヤーがチェンジした時の当たりの確率…事象E

モンティがハズレのドアを一枚開ける事によって
引き起こされる事象…事象F

事象Aの主観確率 P(A)＝１／３

事象Bの確率 P(B)＝１（モンティは無条件にハズレのドアを一枚開ける）

排反事象Cの主観確率 P(C)＝１／２

排反事象Cの尤度関数 P(ｎ|C)＝１（確率はそのまま）

排反事象Cの確率 P(C|ｎ)＝P(C) * P(ｎ|C)＝１／２ * １＝１／２

事象Dの確率 P(D)＝１

事象Eの主観確率 P(E)＝２／３

事象Fの確率 P(F|ｎ)＝P(B|ｎ) * P(C|ｎ) * P(D|ｎ)＝１／２

∵ベイズの定理より

P(A∪E|ｎ)＝｛｛P(A)＋P(E）｝ * P(ｎ|A∪E)｝ * P(F|ｎ)

　　　　　　＝｛｛１／３＋２／３｝ * １｝ * （１／２）

　　　　　　＝１／２（直観確率と一致）

（P（A∩E）＝０）とき、
事象AとEは、互いに排反

ゲームが一回と二回の時に限り
直感で正しいと思える解答と、
論理的に正しい解答が一致する

別式 · 2018/06/19(火) 16:26:42.63

P(F|ｎ)＝ｆとおく

P(A∪E|ｆ)＝｛P(A)＋P(E）｝ * P(ｆ|A∪E)

　　　　　　＝｛１／３＋２／３｝ * １／２

　　　　　　＝１／２（直観確率と一致）

（P（A∩E）＝０）とき、

事象AとEは、互いに排反