モンティーホール問題を高校生にわかるように説明してくれ [無断転載禁止]©2ch.net

**SOUTH** · 2017/03/12(日) 18:23:31.38

モンティーホール問題とは...
プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

プレーヤーはドアを変更すべきだろうか？
(wikiより)

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/17(日) 16:49:14.37

最初に３つのドアがあるのであれば、
そのひとつを選んだ時点で確率は1/3である
賞品が移動しないのであれば、そのドアを開けない限り、
他のドアがどうなろとも、そのドアに賞品がある確率は1/3のままか、
0になるか１になるかの三通りしかない
しかし、減ったドアの持っていた確率が残りのドアに
均等に分配されるなら話は別だ
そのような事態が起こりうるのかどうかと考えるのはおもしろい

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/19(火) 14:56:04.43

>>225
第○回年末ジャンボ宝くじはただ１回だから、
１等が当たるか当たらないかの50％だよね。

それだと期待値的に毎回買わない理由がないよね。
お金に不足してない大富豪ならともかく。

で、毎回宝くじを１枚買って（めんどくさそうだが）、毎回１等が当たらない訳だが、その時には
「今回はたまたま50％の外れが出た」と思うわけだ。毎回毎回。

ちょっとは疑って自分の運の悪さを検定したらどうかと思うが、
毎回がただ一回の一期一会だから、そのような統計的処理は不可能と言うことだね。

しあわせすぐる！

が、せちがらい現代社会では、あっという間に尻の毛まで毟られそう。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/19(火) 16:40:49.62

二人の男が定刻までにどちらがより多くお金を集めてこれるか
というゲームをしました
一方の男は札束ばかりを集めました
もう一方の男は小銭ばかり大量に集めました
さて、定刻になりそれぞれ集めてきたお金を数えると
札束のほうはすぐに金額がわかりました
しかし、小銭のほうはあまりにも大量にあったため
その日のうちに数え終わることができず
正確な金額がわかりませんでした
これによりこの勝負は引き分けとなりました

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/20(水) 10:42:33.86

まだやってたのか
イチゴちゃんに振り回されるだけ損だよ

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/20(水) 14:26:15.77

１グラムの石と１トンの石を二者択一しても
どちらか一方を選択する確率は５０％です

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/20(水) 23:18:53.06

プレイヤーがドアを選択する前に
「選ばない他のドアのハズレを開けてみせます」
というルールを宣言しているなら交換したほうが確率は上がる
>>10はわかりやすい！

事前に説明せず
プレイヤーが選択してから他のハズレを開けてみせた場合は
プレイヤーの選択結果を知ったあとの提案になるので
確率は分からなくなる
>>230の考え方だ！

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/25(月) 19:45:52.67

１．最初プレーヤーがあたりを引く確率は1/3である

２．ドアを変更しない場合はそのまま1/3の確率である
　　（変更しないのであればモンティがドアを開こうが開くまいが確率は変わらない）

３．モンティがドアを開けた後にドアを変更する場合、
　　最初に選択したドアがハズレであれば変更後のドアはあたりが確定である
　　つまり、最初に選択したドアがはずれである確率＝ドアを変更した場合に
　　あたりを引く確率である

４．最初の選択であたりを引く確率は1/3、はずれを引く確率は2/3である

５．ゆえに、ドアを変更した場合のあたりを引く確率は2/3と考えられる

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/25(月) 19:50:20.02

■ゲームを１回に限定すると

１．最初プレーヤーがあたりを引く確率は1/2である

２．ドアを変更しない場合はそのまま1/2の確率である
　　（変更しないのであればモンティがドアを開こうが開くまいが確率は変わらない）

３．モンティがドアを開けた後にドアを変更する場合、
　　最初に選択したドアがハズレであれば変更後のドアはあたりが確定である
　　つまり、最初に選択したドアがはずれである確率＝ドアを変更した場合に
　　あたりを引く確率である

４．最初の選択であたりを引く確率は1/2、はずれを引く確率も1/2である

５．ゆえに、ドアを変更した場合のあたりを引く確率は1/2である

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/25(月) 20:26:08.47

この問題を巡る人々の反応は、冒頭のエピソードにある様に
『どちらを選んでも変わらない』とする意見が多かった

ドアが2つになった時点でプレーヤーが改めてコイントスによって
決めなおしたと仮定すると、景品を得る確率は1/2となる
ところが、2枚のドアの価値はルールで確率の高い（価値のある）
選択をすることが可能となっている

↑
ゲームを１回に限定されるとこの限りではありません
2枚のドアの価値は最初から同じです

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/25(月) 20:31:05.13

ゲームが１回だけの時の確率1/3とは

プレイヤーが『3枚のドアから1つを選ぶ』という

事象を表している、ただそれだけです

その背後には何ら特別な傾向はありません

よく考えると、

たしかに最初の選択時にはずれを引く確率は2/3ありそうです

しかし、『ゲームは1回だけ』という強力な制約条件によって

この傾向は無効化されてしまいます

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/25(月) 20:32:03.80

100枚のドアを使った場合も同じです

ゲームが１回だけの時、

最初にプレイヤーがあたりを引く確率は1/100

はずれを引く確率も1/100になります

ゲームから98枚のドアが除外された後に

残った2枚のドアの内、選択後のドアのあたりの確率が99%だと

証明する方法はゲームが１回に限定されている以上

存在しないのです

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/25(月) 20:33:41.87

>>241
選択変更後の

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/25(月) 20:37:30.92

ゲームが１回だけの時の確率1/3とは

プレイヤーが『3枚のドアから1つを選ぶ』という

事象を表している、ただそれだけです

その背後には何ら特別な傾向はありません

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/25(月) 20:55:04.94

ゲームを１回に限定された場合、
モンティホール問題の本質は、ドアの背後にある『傾向』は
関係ないという事です

当たりの確率はドアの数が何億個だろうが
最後に2つのドアから１つを選択する以上50％です

たとえ選択変更後のドアの当たりの傾向が99%だと知って
見事に当たりを引き当てても、それが99%の確率で当たったと
証明する方法がない以上、選択変更後の当たりの確率は50％です

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/25(月) 21:30:19.14

'Let's Make a Deal' host Monty Hall dies aged 96
ITV News-2017/09/30

Monty Hall, one of the US's most popular television game show hosts,
has died aged 96, his son has said. Born Monte Halperin on 25 August 1921, for nearly
three decades Hall hosted 'Let's Make a Deal', the hugely successful television show
that he co-created.

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/26(火) 21:35:52.00

▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓

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▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓ 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/27(水) 22:05:48.24

「偶数が表に書かれたカードの裏は赤色である」という
仮説を検証するにはどのカードをひっくり返すべきか？
https://ds055uzetaobb.cloudfront.net/image_optimizer/315d3d3cdc153302a1892adb9216e9f0570abbeb.png

赤色のカードをひっくり返したくなるのが『確証バイアス』

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/28(木) 00:10:13.50

ゲームが多数回の時
３３％　　　６６％

ゲームが1回限定の時
３３％　　　３３％　　　３３％　　　

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/28(木) 00:17:40.23

ひとつの幸せのドアが閉じる時、もうひとつのドアが開く

しかし、私たちは閉じたドアばかりに目を奪われ、

開いたドアには気がつかない

-ヘレン・ケラー-

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/28(木) 22:10:51.18

1/2とか言っちゃうバカ草

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/29(金) 14:29:45.65

納得できること、できないこと

モンティーホール問題を納得できない人に対し、教科書的な確率論の計算を
示したところで、やはり納得させることはできない

1）確率は3分の1のまま変わらない
2）確率は2分の1に上がる
3）確率は3分の2に上がる

正直ものの常識人は1）を支持する人がが多いかもしれない
まっとうな数学者の多くが2）こそ正しいとした
論理の奥に分け入って3）と回答できる人間はあまりいない

3）が事実として正しいことは、コンピュータのシミュレーションによって
実証されている
だが論理を擁護するためにはその結果だけでは不十分であり
『上手に説明できる』ことを示す必要がある
ウィキにいろいろ書いているが、文字通り、いろいろと並べてあるだけだ
私は自分自身に説明するための理屈を思いつくまで、まるまる一日かかった

説明が上手であることは単なるテクニックの問題なのか、
それとも世界の真理とつながる何事かなのか
いやそもそも上手な説明などなく、単なる自己満足の勘違いなのか

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/29(金) 17:01:06.49

とりあえずリツコたんに再登場願いたい

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/30(土) 09:38:00.63

wiki読んだ
心理戦と考えたら、司会者側の作戦は悪魔モンティがベストな戦術かな

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/30(土) 09:50:24.84

補足
司会者は景品を渡したくない
プレイヤーは景品が欲しい
という「暗黙の条件」を考慮した場合ね

**１３２人目の素数さん** · 2018/01/01(月) 00:11:48.92

　∩　　　　　新年
　∩∪　　　　　あけまして
　∪.| |∩　　　　　おめでとう
.　| |.| |∪　　　　　　ございます
.　| |.| |.| |
(∩∩∩∩)　　　　2018年元旦.
(∪∪∪∪)
　|≡≡≡|
／≠≠≠＼

**１３２人目の素数さん** · 2018/01/02(火) 00:24:21.87

■モンティホール問題（カードシャッフル）

このゲームができるのは1回だけです

ハートのエース99枚とスペードのエース1枚を合わせた
トランプカード100枚をシャッフルします

その中から1枚のカードを選びます

山札から98枚のハートのエースを取り除きます

最後に残った2枚のカードの中から1枚のカードを選びます

スペードのエースを引く確率は何％でしょう？

**１３２人目の素数さん** · 2018/01/04(木) 22:24:53.80

■理由不十分の原則(principle of insufficient reason)

事象の発生確率の予測が全くできない場合に、
全ての事象の発生確率が等しいと仮定する

**１３２人目の素数さん** · 2018/01/06(土) 15:39:46.74

どう考えても５０％
https://cdn.amanaimages.com/cen3tzG4fTr7Gtw1PoeRer/32157000127.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/01/06(土) 23:59:58.35

「同」考えたからだろうな

**１３２人目の素数さん** · 2018/01/08(月) 17:09:25.39

無限の部屋があるホテルに無限の客が泊まって
満室の状態だと思って下さい
そこに1人の客が泊まりにきました
そこで、既に泊まっている全員に隣の部屋に移動してもらうことで、
その人を泊めることができました

**１３２人目の素数さん** · 2018/01/08(月) 23:59:34.67

>>257
＞確率の予測が全くできない場合に、

ここが問題だ。
宝クジは、当たるか外れるかふたつにひとつだが、
当たる確率は50%かどうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/01/09(火) 17:49:53.02

■アンカリング（英: Anchoring）

認知バイアスの一種であり、先行する何らかの数値（アンカー）に
よって後の数値の判断が歪められ、
判断された数値がアンカーに近づく傾向のことをさす
係留と呼ばれることもある

**１３２人目の素数さん** · 2018/01/10(水) 16:50:10.76

ハートのエース99枚の中から選んだのだから

確率も99%であると錯覚する

**１３２人目の素数さん** · 2018/01/11(木) 18:23:07.33

Aのツボは99個の青い球と1個の赤い球が詰まっている

Bのツボは99個の赤い球と1個の青い球が詰まっている

このとき、自分の目の前のツボから1個球を
取り出してみたら赤い球であった

目の前のツボはAのツボだろうか、Bのツボだろうか

**１３２人目の素数さん** · 2018/01/13(土) 21:44:28.73

回答者が当たりの扉を選んでいる場合は、
残りの扉からランダムに1つを選んで開けるとするという条件は、
頻度確率では何の意味も持たないことに留意すべきである
もっとも、ベイズ確率の計算においても、
理由不十分の原理を適用すれば、
「Aが当たりである場合に司会者が Bを開ける確率P(B | A) 」を
1/2とすることに合理性がある

**１３２人目の素数さん** · 2018/01/14(日) 17:34:28.43

>>264
存在可能な確率は

『１００個の中から赤い球を一つを選んだ』という意味の１／１００と

『青い球と赤い球の二種類から一つを選ぶ』という１／２

**１３２人目の素数さん** · 2018/01/15(月) 00:13:17.86

■Obituary - John Forbes Nash, Jr. (1928 - 2015)
Swarajya-2015/05/25

Nash is mostly known for his equilibrium concept called as
“Nash Equilibrium”. For many years before his seminal paper,
legends like von Neumann were working on the theory of
games with a special focus on Zero-sum games.

**１３２人目の素数さん** · 2018/01/17(水) 19:19:55.97

頻度主義とは、

『ある事象が起きる頻度の観測結果に基づいて、
無限回繰り返した際の極限値』として定義される

『一回』は繰り返すことができない

したがって、一度きりの出来事に頻度主義の極限値を
当てはめることはできない

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/01/20(土) 09:55:46.86

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**１３２人目の素数さん** · 2018/01/21(日) 23:15:03.55

英国ロンドン・ビジネススクールの
リンダ・グラットン教授の研究によると
2007年に日本で生まれた子供は
107才まで生きる確率が50％もあるという

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/09(金) 15:25:17.17

せっかくだから、おれはヤギのドアをとるぜ

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 19:43:14.90

ゲームが一回きりの時→結果は確率５０％のみ

ゲームが多数回になるほど→ドア変更時の当たりの確率が３分の２に収束する

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/08(木) 14:12:45.82

回数に関係なく2/3の確率でイノシシ鍋

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/14(水) 19:59:29.77

■ホーキング博士が死去宇宙論、車いすの天才科学者
日本経済新聞-6 時間前

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/17(土) 03:17:31.24

ほう、Kingが死んだか。そうか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/17(土) 18:47:36.83

ホーキングパラドックスを高校生にわかるように説明してくれ～(・ω・)ノ

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/18(日) 01:33:13.78

ドアが101個あるじゃん。
１個のドアと、100個のドアの２つのグループに分ける。
ルールに従ってプレイヤーが１個の側をとりあえず選択したのち、
親が100個のドアのうち、99個のハズレを全部開いてくれる、
と考えればいいと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/18(日) 01:57:55.90

>>285
ブラックホールで「情報」が消え去るのっておかしくね？。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/18(日) 09:49:08.63

ホーキング放射によって、全てのブラックホールはいずれ蒸発する。
↓
ブラックホールに飲み込まれた情報は、ブラックホールの外には出てこれない。
↓
飲み込まれた情報は、ブラックホールが蒸発したあとどうなっちゃうの？？？

っていうのじゃなかったっけ？＞ホーキングのパラドクス

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/18(日) 13:59:10.08

単に「保存されない」んじゃないの？
何か問題でも

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/18(日) 20:21:10.93

「情報は保存されなきゃおかしい」って結構な論争になってたんだ。

くわしくは「ブラックホール戦争　スティーブン・ホーキングとの20年越しの闘い」って本を読め。
俺なんかにはとてもくわしくは説明できん。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/01(日) 02:25:41.29

A = 1/3
B = 1/3
C = 1/3
例えば回答者がAを選ぶ。
すると、そのAを「除外」して司会者がBとCの二つを篩にかけてハズレを明かす。
それが例えばハズレはCだったとする。Cは0/3になる。
で、残ったAとBの間には、この過程の中でどんな違いがあったのか？
もうお分かりのとおり、司会者がAを除外してBとCの二つを検定したということ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/01(日) 02:29:19.81

Bは司会者の篩を通り抜けている。しかしAは司会者の篩にかけられなかった。
違いがあるといえばそこ。
人びとの直感はおそらく司会者の篩を一度通ったBのほうが当たりの確率が高いと
踏むんじゃないだろうか？
よって、モンティ・ホール問題は人間の直感に反していない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/03(火) 20:14:08.85

3つの選択肢のうちハズレが２つで当たりが1つ。
あり得る可能性はこの3つ
TFF, FTF, FFT
（Tは当たり、Fはハズレ）

一番左を選択した場合
[T]FF, [F]TF, [F]FT
3つのうち1つの確率で当たる。確率1/3

真ん中を選択した場合
T[F]F, F[T]F, F[F]T
3つのうち1つの確率で当たる。確率1/3

一番左を選択した場合
TF[F], FT[F], FF[T]
3つのうち1つの確率で当たる。確率1/3

つづくよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/03(火) 20:21:44.45

ここで回答者が最初に選択したドアを除外するという条件が
モンティ・ホール問題の特徴なんだ。
モンティ・ホール問題のタネ明かしはここ。
この点を理解したかしないかで結果が違ってしまうんだ。
それじゃあ、回答者が最初に選択した[]で囲ったドアを取り除こう。

[T]FF, [F]TF, [F]FT　-> FF, TF, FT
T[F]F, F[T]F, F[F]T -> TF, FF, FT
TF[F], FT[F], FF[T] -> TF, FT, FF

ここで司会者は、取り除いた後の残りのハズレ(F)のドアだけを1つ開ける。
開けられたハズレのドアを{}で表すよ。
F{F}, T{F}, {F}T -> F, T, T
T{F}, F{F}, {F}T -> T, F, T
T{F}, {F}T, {F}F -> T, T, F
->は開けられてハズレだと分かったドアを取り除いた後に残ったドアだ。

これらがドアを変更した場合に選択することになる最終的なドアだ。
F, T, T = 3つのうちで2つが当たり。確率2/3
T, F, T = 3つのうちで2つが当たり。確率2/3
T, T, F = 3つのうちで2つが当たり。確率2/3

単純でしょ？
でもこれを文章題で表すと数学者でもひっかかるんだ。
文章読解って大切だね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/04(水) 18:42:44.68

最初の段階で下のように3列3行の可能性がある。
[]は回答者が最初に選択した扉を意味する。
[T]FF [F]TF [F]FT
T[F]F F[T]F F[F]T
TF[F] FT[F] FF[T]

その全ての可能性からハズレのFを1つ取り除く。
ただしこのとき、回答者が最初に選択した扉がハズレかどうか
そこの種明かしだけはしない。ここがいちばん重要。
そのため、これらの各要素から[F]を残してFだけを引き算する。
そうすると
[T]F [F]T [F]T
T[F] [T]F [F]T
T[F] T[F] F[T]
になる。

回答者が選択した扉
[T] [F] [F]
[F] [T] [F]
[F] [F] [T]
※[T]は3つ。

回答者が選択肢なかった扉
F T T
T F T
T T F
※Tは6つ。

後者のほうが当たりを意味するTの数が多いのは一目瞭然。
後者は回答者が最初に選択肢なかった扉を意味するから
選択を変更して選択肢なかったほうに乗り換えたほうが有利なことが分かる。

しかしこんなことをしなくてもこの文章題さえ回答者が理解すれば、
数学の教養ゼロで人びとは直感によって後者を選択するはず。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/06(金) 02:03:42.65

モンティホール問題をその出題文に基づいて整理してみる。

1. 1番2番3番の3つのドアがあり、
いずれか1つのドアの背後にはクルマ、他にはヤギ。

Cがクルマのドア、Gがヤギのドアだとすると
CGG GCG GGC
の3通りが考えられる。

2. 回答者が1番のドアを選択する。

それを[]で囲むと
[C]GG [G]CG [G]GC
となる。

3. ドアの背後に何があるか知っている司会者が3番のドアを開ける。
するとそこにヤギがいた。

司会者が開けたドアを{}で表すと
[C]G{G} [G]C{G} [G]G{C}
だけど、 [G]G{C}のケースはクルマのドアを開けてしまうことになるから
この可能性は消える。よって
[C]G{G} [G]C{G}に絞られるのでこれらから{G}を除去すると
[C]G [G]C
となる。

4. 司会者が回答者に訊く。「2番のドアに変更したいですか」
回答者は2番のドアを選ぶことでクルマを当てやすくなるだろうか。

[C]G [G]C -> C[G] G[C]

Gを選ぶ可能性は五分五分に見える。私はいったいどこで間違えた？

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/06(金) 02:12:02.62

普通に条件付き確率の式で計算するのが一番分かりやすい気がするなあ・・・。

>>296
回答者が開けるドアを1番目とするのはいいんだけど、
モンティが開けるドアを3番目に固定してはいけない。
モンティはどのドアが当たり・外れか知っている上で必ず外れを選ぶのだから、

> [C]G{G} [G]C{G} [G]G{C}
ではなく

> [C]G{G} [G]C{G} [G]{G}C
となる。

ここから{G}を取り除けば、

[C]G [G]C [G]C

となり、このまま選択を変えなければ1/3でC、2/3でG。
選択を変えれば2/3でC、1/3でGになる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/06(金) 13:47:25.11

モンティホール問題は結局は文章題の読解における誤解または誤読
から生んだものっぽい。数学問題というよりも文章問題。

サヴァント氏によるモンティホール問題（クイズ番組問題）のソースでは
http://marilynvossavant.com/game-show-problem/
{
You pick a door, say #1, and the host, who knows what’s behind the doors,
opens another door, say #3, which has a goat.
He says to you, "Do you want to pick door #2?"
}
となっていた。
日本語訳：
「あなたはある1つのドア（例えば1番の）を選びます。
すると、ドアの背後に何があるか知っている司会者が、
ヤギがいる別のドア（例えば3番の）を開けます。
司会者はあなたに「2番のドアを選びたいですか」と言います」

これをどう読解するかに数式の立て方が左右される。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/06(金) 14:19:05.24

>>298
その問題文ならば誤読のしようがないと思うが
その問題文ならば出場者が選択するドアや司会者が開けるドアの番号は固定されず
一定の条件（出場者の選択では無条件、司会者はヤギのいるドアという条件）の範囲で自由選択できるとしか読めない
何故ならばドアの番号には「例えば」という意味での"say"を付けられているからだ

最後の質問文においてドア番号が#2と固定された言い方になっているのはその前の"say #1"と"say #2"を受けて（つまりそれら例えばで選んだ２つ以外は一意になるから）と
読む以外に前の文章での選択と矛盾しない読み方はない

少なくとも最後の司会者から出場者への質問文でドア番号が#2と固定された表現になっているから
その前の出場者の選ぶドア番号も司会者が開けるドア番号もそれぞれ固定されている（つまり出場者が選べるドアの番号は#1と固定なのだから
実際には出場者には選択の余地はなく番組側によってドアは最初から#1と決められている）されているのだ、とは決して読めない
何故ならばそれら２つの選択においてドア番号には注意深く"say"が付けられているからだ

英語で"say"（しかも英語では"door"についている冠詞が定冠詞"the"でなく不定冠詞の"a"）、日本語で「例えば」が付いているのに
番号が固定していると呼んで数式を立てたとしたらその数式は明らかに間違い

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/06(金) 15:09:26.07

>>1
プレーヤーが正解を選んでいた場合に
司会者が残りの二つのドアのどちらを開けるかの確率が未知なのがネックだよな
これが2分の1である保証がどこにもない以上ドアを変更するのがプレーヤーに有利とは言えない

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/06(金) 18:40:24.82

>>299さんは2/3でなく1/2という答えを出した多くの人が文章読解で誤解していた
可能性は極めて低いとお考えのようだけど、実際には誤読した人が多かったんじゃ？

ポール・エルデシュ氏は、ウィキペディアによれば、
組合せ論、グラフ理論、集合論、確率論で業績を残している数学者だという。
数学は広い分野で自分の専門外には疎い数学者もいるのかもしれないが、
彼がこの分野の専門外だったとは見なしにくい。
理系の多くの人が間違えているからね。計算が複雑なわけでもない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/06(金) 19:15:18.23

"Do you want to pick door #2?"
ではなく
"Do you want to pick the remaining closed door?"
となっていたら多くの人びとは直感で2/3と計算したに違いないと思えるんだよなあ。

例えばのsay #1, say #3におそらく読者の思考が引っ張られてしまった。
そのため、[G]G{C}に限って[G]{G}C（#3でなく#2）になるなんて想像できなくなる。
[G]G{C}のケースはなくなるから、その他の2つのケースに絞られると考えた。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/06(金) 19:44:43.94

モンティ・ホール問題は、
大学の哲学科中退のマリリン・ヴォン・サヴァント氏が出した問題に
理系の博士号を持つ複数の人びと、数名の数学者たちが正しく答えられず、
しかも反論するサヴァント氏の間違えを強い口調で正そうとした事件でもあります。
実際間違っていたのはサヴァント氏ではありませんでした。
つまり、理系が文系の数学リテラシーの無さをさんざん糾弾しておきながら、
けっきょくその論争に完敗した事件なのです。

このことを理解してください。
モンティ・ホール問題の計算は複雑ではなく、非常に単純なはずです。
小学生低学年レベルの算数的な推論で解けます。
それにもかかわらず、理系が文系に痴態を曝してしまったのです！
そんなことが文章の誤読抜きに考えられるでしょうか？

**299** · 2018/04/06(金) 21:22:51.37

>>301
いや、誤読するしないということと正しく答えられるか否かということとは別だと言いたいのです
逆に言えば、間違った人が誤読を言い訳にしたり元の問題文が誤読しやすいとばかりに問題文に責任転嫁するのはフェアでないと言いたいわけです

>>298の問題文を見る限り、その問題文には誤読の余地はないというのが私の判断です
但し、それから導かれる答えは直感に反している（心理的な盲点を突いている、という表現のほうが適切かも知れない）ので
多くの人（著名な数学者も含め）が間違えた解答をしてしまった現実は充分に理解できると言ってるわけです

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/06(金) 22:05:52.68

ゲームが一回きりの時→結果は確率５０％のみ

ゲームが多数回になるほど
　　　　　　　　↓
ドア変更時の当たりの確率が３分の２に収束する

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/06(金) 22:33:37.62

>>300
それ以前に、プレーヤーが正解を選んでいた場合の
司会者が残りの二つのドアのどちらを開けるかが
確率現象かどうかさえ決められていない。その意味では、
二封筒問題に一脈通づるものがあるのかもしれない。
仮に確率現象だと考えた場合に、司会者が二つの
ハズレのドアから番号が小さいほうを開ける確率を
p (p≠1/2) とした際の、選びなおして当たる確率は、
番号が小さいほうのドアが開けられた場合に 1/(1+p)、
番号が大きいほうのドアが開けられた場合に 1/(2-p)。
どちらの確率も p=0〜1 で 1/2〜1 の範囲なので、
選び直したほうが有利であることに違いはない。
p の値によらないということが、意外といえば意外。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/07(土) 01:44:55.90

>>305
中心極限定理によれば、ゲームが多数回になるほど
ドア変更時の当たりの確率が近づいてゆく分布の平均は
ゲームが一回きりの時ドア変更して当たる確率と同じ
なのだけれど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/07(土) 12:08:21.17

>>304
文章題の誤読をいっさい含まない意味で「心理的な盲点を突いている」ところとは
いったい何でしょうか？

サヴァント氏の出題文を>>293-295や>>297のように読解していれば
「心理的盲点」なんてどこにも見当たらないように見えるんですけどね。
いったどこに心理的盲点なんてものがあるんでしょう？

読者の多くは最初に1/3の確率があることは理解していたが、
しかし最終的に変更したとき、その確率が5分5分になるか変更したほうが有利に
なるかで人びとの見解が分かれた。
このときの思考回路で働いた心理的盲点とはいったい何であったのか？
数学者をも惑わす盲点とは？
それがいかにもあったかのようにモンティホール問題は語られているが、
その存在を証明している人を知らない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/07(土) 12:40:47.51

モンティホール問題が人びとの「直感に反する」問題だということが
まことしやかに語られている。しかしそれは証明されているのだろうか？

数学の知識ゼロの人びとに次のように問うてみてほしい。

「あなたがあるクイズ番組に出ました。そこでは3つの箱の選択肢が与えられます。
その箱のうちの1つは当たり、他はハズレです。
あなたはそのうちのどれか1つの箱を選んだとします。
すると、当たりの箱がどれかを知っている司会者があなたが選んだ箱を除外し、
残りの2つの箱だけを篩にかけてハズレの箱を1つ取り除きます。
残った箱は2つ。
あなたが最初に選んだが司会者が篩にかけなかった1つの箱と、
司会者が篩にかけて合格した1つの箱、
どちらの箱のほうがより当たる可能性が高いと思いますか。
数学的にいっさい考えずに直感だけで答えてください」

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/07(土) 12:54:18.18

例えば>>296は、
答えを1/2と考えたであろう人の推論の過程を事例として1つ挙げたものだが、
>>297が言っているのはけっきょく文の読解に関することでしかない。
>>298で引用してある出題文をある意味で理解すれば必然的に1/2が導かれるし、
別の意味で理解すれば必然的に2/3が導かれるということにすぎない。

それはすでにここで証明された。
では「心理的直感に反する」と語られていることの実体のほうは・・・・
誰もそれが何であったのか明らかにしていないように見えるが・・・・

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/07(土) 12:54:59.06

数学知識ゼロのひとにそんな質問したら、
「いや、数学にがてだから・・・」
とか何とか言って　答えずに逃げられるんじゃないかな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/07(土) 13:02:25.63

考えるとかえって間違える可能性が高まるんじゃないかな。
数学の訓練をなるべく受けていない人の直感だけに頼ったほうが正解する。
モンティ・ホール問題とはむしろそういう性質の問題だと思えるんだけどね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/07(土) 13:21:17.20

2人の男性ABがいてそのうちの1人だけが数学が得意だという。
Aさんは高校中退、Bさんは大卒だとする。
果たして数学が得意な人はAさんかBさんか？
どちらがその可能性が高いと感じる？

ここで多くの人の直感はBさんだと答えるのではないだろうか？
なぜならBさんは大学受験という篩にかけられているからだ。
逆の可能性がないわけじゃないが、どっちが高い可能性かといえばBさんだと
大多数の人が答えるのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/07(土) 13:35:41.00

いや待てよ。受験勉強によって数学の勉強を朝から晩まで強いられ、
数学の奥深さや難解さを思い知らされ、「自分には数学的センスがない」と
心理的に思い知らされてしまっている可能性だって考えられるじゃないか？
受験勉強が数学への苦手意識を強化している効果だって考えられるし無視できない。
それは決して低く見積もれないんじゃないか、なんて深く考えようとする人は
外れてしまうかもしれないｗ

**299** · 2018/04/07(土) 16:25:05.47

>>308
> 文章題の誤読をいっさい含まない意味で「心理的な盲点を突いている」ところとは
> いったい何でしょうか？

誤読を含まずかつ心理的な盲点を突かれるというのは可能だよ
例えば、この問題が３つのドアでなく100個のドアで司会者が98のドアを開くという問題であったならば間違った答えをする人間は極めて僅かになる
少なくとも数学者で間違う者は皆無になるだろう

つまり、100個のドアの場合に正しい答えができるということは問題文を誤読していないということの証なのだよ

元の３個のドアで間違う人間が多い原因は、開けられずに残ったドアが２個で１個が最初に選ばれたドア、もう１個はチェンジの対象のドアという
見掛け上は１：１という対等な状態（もちろん実際には当りの確率は１：１ではないのだが）に、たった１つのドアを開けるだけで至るという点にある

これが１つのドアを開けるのでなく98個のドアを開けるのならば正解できるということは、１つのドアを開けるオリジナル問題のケースでは
開けたドアがたった１つに過ぎないということから残りの確率も１：１という錯覚に陥りやすいからだ
これは問題文の誤読が原因ではなく、心理的な盲点を突かれたことが間違いの原因ということだ

もちろん実際に問題文を誤読して間違う本物の馬鹿もいるだろうが、問題文を誤読する人間ならば100個のドアで98個開ける問題でも同じように間違うはずだ
３個のドアでも100個のドアでも問題文の論理構造は同じだから３個の問題文の論理構造を誤読する人間は100個でも誤読する
従って誤読して間違う本物の馬鹿は100個の問題でも間違うことになる

誤読とは問題文の正しい論理構造（や具体的な数値つまりデータ）を把握し損なうということであり、
他方、心理的盲点とは把握した問題の論理やデータから論理的な推論を行うプロセスにおいて間違った推論を行うことだ
これら両者は全く別だよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/07(土) 16:49:07.52

>>307
大数の弱法則は中心極限定理から導出することはできません

モンティホール問題を無限回繰り返すことができれば

変更時の当たりの確率は３分の２に等しくなる

しかし、無限回の施行は実行不可能なので

一回の出来事に中心極限定理を当てはめることはできないのです(´・ω・`)

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/07(土) 17:12:43.35

つまり１回の試行では０か１かしかあり得ないということです

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/07(土) 18:13:34.16

ドアが10,000あり、その中で当たりのドアは1つだけだとする。
回答者がそのうちの1つのドアを選ぶ。
すると司会者が残りの9,999のドアのうちの1つを開けてこのドアはハズレだと開かす。
回答者は最初に選んだドアをやめて
他の9,998のドアのうちのどれか1つに変更したほうが得策だろうか？

ドアが10,000あり、その中で当たりのドアは1つだけだとする。
回答者がそのうちの1つのドアを選ぶ。
すると司会者が残りの9,999のドアのうち1つのドアを除いて全て開けて
ハズレだと開かす。回答者は最初に選んだドアをやめて
そこで司会者が開けなかった唯一のドアに変更したほうが得策だろうか？

ドアが3つあり、その中で当たりのドアは1つだけだとする。
回答者がそのうちの1つのドアを選ぶ。
すると司会者が残りの2つのドアのうちの1つのドアを開けてハズレだと開かす。
回答者は最初のドアを選ぶことをやめて
そこで司会者が開けなかった唯一のドアに変更したほうが得策だろうか？

このように問題のバリエーションを複数与えて
回答者がどう答えたか統計データを採ってみたいものだね。 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2018/04/07(土) 20:59:24.71

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**１３２人目の素数さん** · 2018/04/08(日) 09:44:56.34

>>315
それはマリリン・サヴァントさんのソースを読んでもお分かりのとおり
http://marilynvossavant.com/game-show-problem/
マリリンさんが読者に正解を説明する際に同時に述べたことです。
彼女はそこで100万のドアがあり、司会者が777,777番以外の全てのドアを
順番に開けていったとしたら、回答者は変更を選ぶだろうと解説しています。

高名な数学者を含めた理系の人びとはこれに反論したんですよ！

**１３２人目の素数さん** · 2018/04/08(日) 10:18:41.85

ドアを100枚にする説明方法は、モンティーホール問題の解説では
非常にしばしば見かけるけれども、おかしなもんだと思う。
ドアが3枚でも100枚でも100万枚でも、定性的には同じ問題だから、
正解する人は正解するし、間違う人は間違う。差は出ないだろう。
特に数学者の場合は、そこで正誤が変わってくる可能性は低そう。