モンティーホール問題を高校生にわかるように説明してくれ [無断転載禁止]©2ch.net

**SOUTH** · 2017/03/12(日) 18:23:31.38

モンティーホール問題とは...
プレーヤーの前に閉まった3つのドアがあって、プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

プレーヤーはドアを変更すべきだろうか？
(wikiより)

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/03(水) 11:01:46.91

>>151
　元の問題は、P(B開ける|B当たり)=0、P(B開ける|C当たり)=1になるところが
　問題じゃなかったっけ。当たりは開けるわけにはいかないし、Aを開けるわけにはいかないのが、
　対称的じゃない最大の理由。
　ルールを変える方法が決まれば決まると思うんだけれど。
　

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/05(金) 22:31:35.74

>>151　答えは同じ（変えた方がよい）

モンティホール問題が直観に反するように思えるのは
「一つのドアを選ぶ」とか「開けられたドアの中を見る」が
日常感覚的に対象の状態変化と捉えにくいところにあると思う。
（「見るだけでは確率に影響しないだろう」という直観的感覚）

ドアを選んだ時点でそれは特定されて他のドアからは隔離される。
他のドアはモンティによる言わば「精錬」の操作を受ける。
（「精錬」＝当たりを残すべく外れを捨てる操作）
操作後残ったドアと最初に選んだドア（最初の確率で隔離された）は
同質ではない。151の場合でも（モンティの意思に関わらず結果的に）
「精錬」されたことは変わりない。

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/05(金) 23:09:52.00

>>153
>>151は>>1とはルールを変えたつもりだろう。
どう変えたのかわからないから答えが変わるかどうかもわからない。
モンティが残りの２枚からランダムに開いたというつもりなら答えは変わる。
その場合はドアを変更しても当たる確率は1/2だ。

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/06(土) 00:06:54.29

>>153
　解答者がAを選び、モンティがBを開けるとする
　P(Bを開ける|Aが当たり)を1/2と仮定しているのが間違いらしい。
　それは最初の確率が1/3ずつと違って、事後確率を主観的に決めている点が、
　誤りとのこと。
　

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/06(土) 01:21:15.05

>>154 ランダムでも（>>151が書いた通りの状況であれば）変更した方がよい。
＃モンティの意思に関わらず、外れが排除されているので。

それでも1/2だという人には、こんな例えはどうだろうか？
・濃度1%の塩水が10L（10リットル）ある。そこから1Lを取り分けた。
　残り9Lを煮詰めて1Lにした。
　最初に取り分けた1Lと煮詰めた1L、どちらが濃いか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/06(土) 01:58:07.08

>>156
残り9Lを煮詰めるのは真水だけを選んで取り除いている。
すなわちモンティがハズレとわかっている扉を開けるルールと同じだ。

ランダムに開けるルールを言い換えるとこうなる。
プレイヤーは3人いて、あなたはプレイヤー3だ。
モンティは必ずプレイヤー1、2、3の順で扉を開ける。
3人がそれぞれ別の扉を選んだ。
モンティがプレイヤー1の扉を開けたらヤギがいた。
ここでプレイヤー3にプレイヤー2と扉を交換する権利が与えられる。
あなたは扉を交換した方が良いのか?

プレイヤー1が外した時点でプレイヤー2とプレイヤー3は同条件だ。
プレイヤー2とプレイヤー3の当たる確率は同じでそれぞれ1/2だ。
ここで扉を交換しても当たる確率は変わらない。

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/06(土) 04:45:27.16

>>156
　すごいな、水と食塩を混ぜたときに、
　1Lの中にNa, Clイオンが集まっている確率と、全体に広がっている確率とを比較するのか。
　
　統計力学的にあり得ないがな。
　

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/06(土) 04:49:12.10

　
　AIの技術応用が広がるにつれて、R言語の使い方が楽になるにつれて、
　ベイズ統計学の復活例が増えている。
　
　10,000例の母集団があっても、10,001例目の確率が変化するという
　のがベイズ統計学だよ。そうしないと機械学習の意味がない。
　
　さあて、条件付き確率を主観的に決めて良いのかな？
　

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/06(土) 04:52:31.98

　
　例えば、10年分の株式価格のデータがあったとする。
　そこで、未来を予測するのが旧来の統計学。
　でも、今日1日の値動きをそれに含めて、明日は勝負するのが
　AIであり機械学習。
　
　どっちが勝っているのかねぇ？
　

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/06(土) 04:54:33.66

もうちょとシンプルに...
プレイヤーが選んだ扉をA、
残りふたつの扉の中からモンティが偶然開けてしまった扉をB、
そのどちらでもない扉をCと名付ける。
A,B,Cが当たりである確率は1/3づつである。

A当たりBヤギCヤギの確率が1/3、
AヤギB当たりCヤギの確率が1/3、
AヤギBヤギC当たりの確率が1/3だから、
Bヤギという条件下にAが当たりである条件つき確率は(1/3)/{(1/3)+(1/3)}=1/2。
Bヤギという条件下にCが当たりである条件つき確率も(1/3)/{(1/3)+(1/3)}=1/2。

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/06(土) 05:07:02.89

>>161
　違うのよね。
　　モンティは、当たりとプレイヤーが選んだドアを知っているのよ。
　　モンティがAのドアを開ける確率は０、BヤギでBのドアを開ける確率は０、
　　BヤギでCのドアを開ける確率は1。
　　全部が対称ではないのよ。
　だから、A当たりでBを開ける確率が肝心。
　

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/06(土) 05:11:47.91

>>162
　あ、間違えた。
　　モンティがAのドアを開ける確率は０、BとCのどちらかがヤギでBのドアを開ける確率は？
　　BヤギでCのドアを開ける確率は1。
　だから対称じゃないのね。
　

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/06(土) 05:56:41.75

>>162-163 それは、正しいモンティーホール問題の話。
>>161は、>>156-157が話題にしている>>154の
「モンティが残りの２枚からランダムに開いたというつもりなら」
という別問題の話。だから、
「残りふたつの扉の中からモンティが偶然開けてしまった扉をB」
と書いたでしょ。

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/06(土) 06:12:02.47

>>163
正しいモンティーホール問題の話としても確率が正しくない。
BがヤギでCが当たりならCを開ける確率は0。
BがヤギでCもヤギならCを開ける確率は1/2。

対称でないことを言いたいだけなら、こう言えばよい。
「モンティがAのドアを開ける確率は０、BがヤギでBを開ける確率は０」

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/06(土) 06:17:22.75

>>165
うわ、間違った。
投稿するまえに読み直さないとダメだね。

正しいモンティーホール問題が対称でない事を言うにはこう言えばよい。
「モンティがAのドアを開ける確率は０、Bが当たりでBを開ける確率は０」

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/06(土) 06:53:39.94

だから、>>161は別問題の話だって。

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/06(土) 07:42:50.12

>>167
>>157=>>165だから>>161がランダムに開けた場合の話なのは分かっているよ。

でも>>163はモンティが必ずヤギのいる扉を開ける問題について書いている。
それなのにBがヤギでも絶対Bを開けない事になっている。
だから「正しいモンティーホール問題の話としても」と書いて、
その問題の答えとしても間違っていると指摘した。

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/06(土) 14:30:57.42

　
　基本の問題に戻って、数学の説明にはならないんだが、
　　A　プレイヤーが選んだドア
　　B　モンティが開けてみせるドア
　　C　？のドア
　として、Bを開けたときにCに変える方がいいという模範解のサイトや本は減るん
　じゃないかな。

　既に「どちらでも1/2ずつでしょ」という直感解がどうして出るかは認知心理学の
　問題で、心理学には心理学統計という専門分野があって研究されている。

　A当たりの場合にB、Cを開ける確率が1/2ずつになると仮定すること自体が間違いで、
　一様分布とすれば、Aのままで当たる確率は0-1/2まで変化し、最頻値が1/2で中央値が
　1/3になる、この主張が増えるのではないかと思う。
　
　ベイズ統計学による事後確率に主観を入れることへの危険性を指摘する話だ。
　

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/06(土) 15:43:51.50

んな事言ったら
Ａに当たりが入っている確率は1/3では無くなるし
Ａを選ぶ人の比率も1/3では無くなる
仕込むのも選ぶのも人間なので
心理学的偏りが結果を変える

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/06(土) 18:57:26.25

>>170
　じゃあ、どうしてサイコロの目を信じるのってことになる？
　サンプルのサイコロを1万回ぐらい振って、同じ製法のサイコロの母集団の確率を
　推定しているに過ぎない。
　実際、カジノで使っているサイコロやらトランプ、ルーレットの精度管理を
　どうやっているのか知りたいが。
　

**156** · 2017/05/06(土) 23:38:12.04

>>157 本当かな？と思いつつ再考したところ、ランダムの場合は1/2が正しいな。すんません。
ルールによって可能な（取りえる）状態の集合が変わるんだな。

>>169　一様分布で最頻値ってあるの？

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/07(日) 00:40:10.54

>>172
　x=P(B開ける|A当たり)を0<x<1で一様分布と考えるわけ。
　P(A当たり|B開ける)=x/x+1になるはず。
　これを教科書通り、θ=x/x+1とすると、変数変換して、
　眠いから飛ばすと、（必要なら明日書きます。）
　　f(θ)=1/(θ-1)^2　0<θ<1/2
　これの最頻値、中央値を求めると言うことです。
　

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/07(日) 02:32:10.73

試験問題とかだったらこういう風に解答すればいいのかな？

3つの扉の内、プレイヤーが選んだ扉をA、それ以外の扉をB、Cとする。

　P(A=当) = 1/3, P(B=当) = 1/3, P(C=当) = 1/3
　P(B開|A=当) = 1/2, P(C開|A=当) = 1/2
　P(B開|B=当) = 0, P(C開|B=当) = 1
　P(B開|C=当) = 1, P(C開|C=当) = 0

であるから、ベイズの定理より、

　P(A=当|B開) = {P(B開|A=当)P(A=当)} / {P(B開|A=当)P(A=当) + P(B開|B=当)P(B=当) + P(B開|C=当)P(C=当)}
　　　　　　　= (1/2 * 1/3) / (1/2 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1 * 1/3)
　　　　　　　= (1/6) / (1/6 + 0 + 1/3) = (1/6) / (1/2) = 1/3　　…①

　P(A=当|C開) = {P(C開|A=当)P(A=当)} / {P(C開|A=当)P(A=当) + P(C開|B=当)P(B=当) + P(C開|C=当)P(C=当)}
　　　　　　　= (1/2 * 1/3) / (1/2 * 1/3 + 1 * 1/3 + 0 * 1/3)
　　　　　　　= (1/6) / (1/6 + 1/3 + 0) = (1/6) / (1/2) = 1/3　　…②

　P(B=当|B開) = 0　(∵P(B開|B=当) = 0)

　P(B=当|C開) = {P(C開|B=当)P(B=当)} / {P(C開|A=当)P(A=当) + P(C開|B=当)P(B=当) + P(C開|C=当)P(C=当)}
　　　　　　　= (1 * 1/3) / (1/2 * 1/3 + 1 * 1/3 + 0 * 1/3)
　　　　　　　= (1/3) / (1/6 + 1/3 + 0) = (1/3) / (1/2) = 2/3　　…③

　P(C=当|B開) = {P(B開|C=当)P(C=当)} / {P(B開|A=当)P(A=当) + P(B開|B=当)P(B=当) + P(B開|C=当)P(C=当)}
　　　　　　　= (1 * 1/3) / (1/2 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1 * 1/3)
　　　　　　　= (1/3) / (1/6 + 0 + 1/3) = (1/3) / (1/2) = 2/3　　…④

　P(C=当|C開) = 0　(∵P(C開|C=当) = 0)

選択を変えないのは①と②、選択を変えるのは③と④が該当するので、選択を変えるべきである。

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/07(日) 14:49:07.27

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/07(日) 14:50:51.07

　
　すーっと、
　　どうしてインデントするのか？
　という問には
　　python流じゃいけないのか？
　と言えるようになったのがありがたいですよね。
　
　{}でくくりますか？　余計に読みにくいはずです。
　

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/07(日) 19:33:46.78

《 P(A当 | B開) = 1 + ln(0.5) ≒ 0.307 》

>>174 >>175

p=P(B開|A当) が一様分布に従うとする。
そんな訳だから、
P(A当) = P(B当) = P(C当) = 1/3
P(B開 | A当) = p,　P(C開 | A当) = 1-p とする

P(A当でB開) = p/3
P(A当でC開) = (1-p)/3
P(B当でC開) = 1/3
P(C当でB開) = 1/3

P(B開)=P(A当でB開) + P(C当でB開)=(p+1)/3
P(C開)=P(A当でC開) + P(B当でC開)=(2-p)/3

P(A当 | B開)= P(A当でB開) / P(B開)
= p / (p+1)　───★

P(A当 | C開)= P(A当でC開) / P(C開)
= (1-p) / (2-p)　───☆

ここで、検算　p=0.5として、★に代入、
　P(A当 | B開)= 1/3となり ★はOkみたい。
　　　
さて、
(B開|A当) の確率分布関数をF(p)とすると、
F(p) = 1 ちなみに、0≦p≦1, ∫F(p) dp = 1

解析的には解くのは一旦諦めて、まずは、
区分求積的な数値計算で、算出すると
そう、F(0.1)=F(0.3)=…=F(0.9)=0.2で計算

P(A当 | B開) = p / (p+1) というか、まあ、
P(A当 | B開) = (1/5) * Σ{p / (p+1)}
for p is 0.1 , 0.3 , 0.5 , … , 0.9 だ。
P(A当 | B開) =
= (1/5) * (1/11 + 3/13 + 5/15 + 7/17 + 9/19)
≒ 0.308 < 1/3　になる!

さて「積分 x/(x+1) 」ググると、どうやら、
∫ p/(p+1) dp = p - ln|p+1| + C だ。
で、詳細は省くとして、とにかく

P(A当 | B開) = 1 + ln(0.5) ≒ 0.307

【かってに考察】

P(A当 |司会者あまり開けない扉を開けた )
< 1/3

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/08(月) 14:28:02.88

　
　数学の話じゃないんだけれど、
　　↑のような、P(B開ける|A当たり)の確率密度関数は？　1/2ずつではないよ？
　って、話が出るようになって、
　古典的（?）なモンティ・ホール問題を扱っているサイトは、その後のベイズ統計学の説明が
　　「本当に正しいのか？」
　私も疑問に思っているわけ。どこかで主観的な事前確率を入れてしまえば、結論は変わって
　しまう。いかにRなんかでシミュレーションをしても同じだね。
　
　いくつか、モンティ・ホール問題を扱っているサイトが検索できなくなっているのはそういう理由かな
　と思う。これは、科学じゃなくて主観ですけれど。
　

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/08(月) 14:35:14.41

　
　条件付き確率や事後確率を扱う分野は、
　パズルじゃなくて、
　　「医薬業界では巨万の富を生む。」
　産業なのよ。

　ノバルティスの薬事法違反事件はニュースで報道されているでしょ？
　医師が統計学を知らない、製薬会社は数学者を雇うとしたら、その知識の差で
　やり込められてしまうわけ。
　
　AIが正しいかどうか、1万件の事例を集めればFischer流の有意差統計に持ち
　込めるわけだけれど、今日の失敗で学ぶ、という証券業界みたいな交通事故での
　AIブレーキ処理になったときに、今日と明日の自動ブレーキの振る舞いが違っていても
　おかしくないわけよね。
　

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/08(月) 14:40:49.05

　
　まあ、
　　医師・病院スレに
　　http://egg.2ch.net/test/read.cgi/hosp/1493809494/l50
　　を立てているわけなんだけれど、
　この程度に付いていけない医師が診療しているのよね。
　
　自分の医療機関でのNNTを意識していない、製薬会社の言う通りに働いている
　医師は存在意義がないでしょ。専門医に多くのお金を払う時代になったら、
　その差はきちんと消費者が計算すべき話なんだけれど。日本は報酬一定の保険医療
　だからね。その分、医師は努力に見合わない安い給与で働いているわけ。
　
　IT技術者や統計学の先生だって、報酬は見合わないでしょ。
　まあ、そんな戦国時代かな（笑）。
　

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/08(月) 15:23:39.28

>>177
> P(A当 | B開) = p / (p+1) というか、まあ、
> P(A当 | B開) = (1/5) * Σ{p / (p+1)}

なんで条件付き確率(確率の比)の平均をとってるんだ？
求める事後確率は、確率の平均の比と同値だよ

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/08(月) 18:09:10.08

>>181
>求める事後確率は、確率の平均の比と同値

そうだ。なるほど、
P(B開 | A当) = p = 0.5
P(A当 | B開) = p / (p+1) = 0.5/1.5 = 1/3　だ

But
>>175 のリクエストのより、
P(B開 | A当) は一様分布として解いたもの

なお平均とったつもりではなく、
各々が1/5の確率の条件付き確率の計算
もっとも、確率の平均との解釈もOK

では、詳細に解説

P(B開 | A当) = 1/2　→　P(A当 | B開) = 1/3
では、
P(B開 | A当) が平均1/2の離散一様分布で、
P(A当 | B開) = 1/3となるか、吟味する

P(B開 | A当) は、以下よりxとして記載
　　x = 0.1 となる事前確率 1/5
　　x = 0.3 となる事前確率 1/5
　　…
　　x = 0.9 となる事前確率 1/5

さて、
P(A当 | B開) は、以下より pと記載する
　　p = x / (x+1) であるから、

P(A当 | B開) の分布は、
　　p = 0.1 / (0.1+1) = 1/11 となる確率 1/5
　　p = 0.3 / (0.3+1) = 3/13 となる確率 1/5
　　…
　　p = 0.9 / (0.9+1) = 9/19 となる確率 1/5
　　一様でない離散分布となる。

では、P(A当 | B開) 求めると、
条件付き確率の公式から、
P(A当 | B開) = (1/5)(1/11)+…+(1/5)(9/19)
つまり、
P(A当 | B開) = (1/5){(1/11)+…+(9/19)}
　　　　　≒ 0.308 < 1/3

補足
　司会者が開けたドアがBなのかCなのか
　プレイヤーが判断できるのか微妙かも
　P(B開 | A当) = 1/2　→　P(A当 | B開) = 1/3
　との説も捨てがたい。

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/09(火) 00:48:46.35

　
　こういう基本的な科学や数学の知識は、通り過ぎる森のようなもので、そこで得られた
　果実を持って、次に進めばいいんじゃないの？　迷うほどの密林じゃないし...。
　

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/09(火) 01:05:31.19

下草が絡み合ってるようだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/09(火) 01:25:16.43

>>184
　モンティ・ホール問題で、確率が増えると書いてあるから変えた方が良いと、
　タダそれだけしか書いていないサイト・本の説明があると、そこから先が
　信用できるのかどうか、分からなくなった。
　
　P(B開ける|A当たり)=P(C開ける|A当たり)=1/2と考える人は、
　シミュレーションしても間違っているしなぁ。
　でも現実には数値データになると、器用に正解しているしなぁ。
　
　ベイズ統計学で応用をやりたければ、先に進まないとね。
　

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/09(火) 02:17:27.31

>>182
平均とは期待値のことだよ

p_k＝(2k+1)/10
として、いまpが{p0,p1,p2,p3,p4}の一様分布に従うと仮定したんでしょ

だったら正しい表記は
P(A当,B開|p=p_k) ＝ p_k/3
P(A当,C開|p=p_k) ＝ (1 - p_k)/3
P(B当,C開|p=p_k) ＝ 1/3
P(C当,B開|p=p_k) ＝ 1/3
で確かに
P(A当|B開,p=p_k) ＝ P(A当,B開|p=p_k)/P(B開|p=p_k) ＝ p_k/(p_k + 1)
とはなる

これに各P(p=p_k)を掛けた数の合計Σ{(p_k/(p_k + 1)) * P(p=p_k)}
とは
E[P(A当|B開,p)]＝E[P(A当,B開|p)/P(B開|p)]
条件付き確率の期待値、確率の比の期待値である

しかし求める確率P(A当|B開)の正しい式変形は
P(A当|B開) ＝ Σ{P(A当,B開|p=p_k)P(p=p_k)} / Σ{P(B開|p=p_k)P(p=p_k)}
で、右辺は
E[P(A当,B開|p)] / E[P(B開|p)]
確率の期待値の比となっている

p_kやP(p=p_k)に値を入れて実際に計算すると
E[P(A当,B開|p)] ＝1/6、E[P(B開|p)＝1/2
だから、pが0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9の値をとり得て、この一様分布に従うという仮定の下では
P(A当|B開)＝1/3 となる

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/09(火) 02:18:59.48

例えば
表の出やすさpがp_k＝(2k+1)/10 (K=0,1,2,3,4)のどれか(同様に確からしいとする)であるコインを１００回投げたら
１００回連続で表だった時に、１０１回目も表の確率を求めてごらんなさい

君のやり方だと
表の出やすさpで１００回連続表が出た時に、１０１目も表が出る確率は
(１０１回連続表が出る確率)/(１００回連続表が出る確率)
＝(p^101)/(p^100)＝p
を計算して、この条件付き確率の期待値＝1/2 を答えることになる

しかし
１００回も表が出たなら表の出やすさはp4=0.9であるのが尤もらしいと考えて
１０１回目も表の確率はp4=0.9に近い(1/2より大きい)と思うのが直観的にも明らか
実際、求める事後確率は
(101回連続で表が出る確率の期待値)/(100回連続で表が出る確率の期待値)
となり
(101回連続で表が出る確率の期待値)＝4.781…×10^(-6)
(100回連続で表が出る確率の期待値)＝5.312…×10^(-6)
なので、
求める事後確率はほぼ0.9となる

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/09(火) 14:01:24.39

>>186
正しい表記　
P(A当,B開|p=p_k) ＝ p_k/3 　等
とのご指導、感謝いたします。

正しい表記を参考に、p_kに値を入れて
計算し、確かに1/3を確認できました。
ご指導、有り難うごさいました。

計算の過程を以下に記載してみます。

P(B開 | A当)は、
{0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}の一様分布と仮定

P(B開|p=p_k) =
P(C当,B開 | p=p_k) + P(A当,B開 | p=p_k)
∴
P(B開|p=0.1) ＝ 1/3 + 0.1/3 = 11/30
P(B開|p=0.3) ＝ 1/3 + 0.3/3 = 13/30
P(B開|p=0.5) ＝ 1/3 + 0.5/3 = 15/30
P(B開|p=0.7) ＝ 1/3 + 0.7/3 = 17/30
P(B開|p=0.9) ＝ 1/3 + 0.9/3 = 19/30
上記5つの平均は、15/30　∴　1/2
P(B開) = 1/2

P(A当,B開 | p=0.1) = 0.1/3 = 1/30
P(A当,B開 | p=0.3) = 0.3/3 = 3/30
P(A当,B開 | p=0.5) = 0.5/3 = 5/30
P(A当,B開 | p=0.7) = 0.7/3 = 7/30
P(A当,B開 | p=0.9) = 0.9/3 = 9/30
上記5つの平均は、5/30　∴　1/6
P(A当 | B開) = 1/6

P(A当 | B開) ＝ P(A当 | B開) / P(B開) ＝ 1/3

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/09(火) 14:55:27.94

>>186
>>188
　こういう話は、とりあえず、いかに主観的にモデルを構築するかって話だよ。
　そういう主張は間接的に流布するのではなく、
　どちらが正しいか、学会なり、学問的に議論すべきだね。
　
　私は、放送大学の豊田先生の一様分布を今は支持しているけれど、
　モンティ・ホール問題なら、最頻値での1/2は、モンティがBを開ける確率が
　　100%
　と言っているに過ぎない。
　
　その理由は知りたいんだけれどね。
　

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/09(火) 15:05:46.56

　
　もっと言えば、
　　「日本人であること、日本国籍を持っていることは有利なのか？」
　って話だと思うよ。
　
　反論したければ、公的保険に対する期待値を示すべきだね。
　

**１３２人目の素数さん** · 2017/05/09(火) 15:09:53.48

　
　トランプ政権成立という
　　トランプ政権の成立の確率=1
　という前提での事前確率をどう評価するのかね？
　
　統計学者や確率論学者は負け組なのかね。
　

￥ ◆2VB8wsVUoo · 2017/05/10(水) 21:02:30.88

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￥

**１３２人目の素数さん** · 2017/06/30(金) 23:50:52.08

この問題って、
自分が選んだドアをモンティが選ぶ事は無いって事が重要だよね。

自分が選んだドアを含めてモンティが開けるなら、
その瞬間に外れが確定してしまうので全体の勝率は1/3

自分のドアをモンティが開けない=モンティがドアを開けてから自分がドアを選択する
だから、1/3のギャンブルにはそもそも参加していない事になる。

**１３２人目の素数さん** · 2017/07/01(土) 16:49:31.81

>>202
> 自分が選んだドアをモンティが選ぶ事は無いって事が重要だよね。

それだけだと不十分で同時に
アタリのドアをモンティが選ぶことはない
というのも条件も満たしてることも重要

実際
モンティは、プレイヤーのドアを除く残りの２つのドアからランダムに選ぶ
(つまり、モンティはプレイヤーと同じドアは選ばないが、アタリのドアを選んでしまうこともあり得る)
という設定の場合には

「モンティがプレイヤーと異なるドアを選び、かつ、モンティが選んだドアがハズレ」という条件の下での
「プレイヤーが選んだドアがアタリ」である確率Ｐ

は 1/2になる

また同様に

モンティは、アタリのドアを除く残りの２つのドアからランダムに選ぶ
(つまり、モンティはアタリのドアは選ばないが、プレイヤーと同じドアを選んでしまうこともあり得る)
という設定
や
モンティは３つのドアからランダムに１つ選ぶ
(モンティはアタリを選ぶかもしれないし、プレイヤーと同じドアを選ぶかもしれない)
という設定の場合も
確率Ｐは1/2になる

モンティは、プレイヤーの選ばなかったドアの内、アタリでないドアを選ぶ
というオリジナルの設定の場合でだけ
確率Ｐは1/3になる

**１３２人目の素数さん** · 2017/07/01(土) 21:21:50.34

>>203
なるほど。
自分の考えでは1/2になってしまうのが釈然としない所でしたが、
モンティの立場になって反対側から見るとより分かりやすいね。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/14(木) 02:53:20.17

「ベイズ更新」≒「サンプルサイズ増えた」として
選び直すじゃダメなの？？？

黒木玄（数学家）
https://twitter.com/genkuroki/status/783660733066125312
> モンティホール問題とベイズ統計は関係ないよね。

こっちのスレにもカキコしちゃったけど
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1503639450/

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/15(金) 00:10:27.20

(3) モンティは残りのドアのうち1つを必ず開ける
(4) モンティの開けるドアは、必ずヤギの入っているドアである

(3) と(4) は一つにできる
『モンティは残りのドアのうちヤギの入っているドアを開ける』

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/15(金) 00:11:09.84

■モンティホール問題（空箱とダイヤ）

このゲームができるのは1回だけです

外からは中が見えない空箱100個の中のひとつに
ダイヤモンドを1個入れます

その中から1個の箱を選びます

98個の空箱を取り除きます

最後に残った2個の箱の中から1個の箱を選びます

ダイヤモンドが当たる確率は50％です

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/15(金) 00:12:02.85

■主観確率を支持する理由

主観確率の支持者がそれを支持する理由として挙げる
論拠はいくつか存在する

まず、論理説については、何を無差別と見なすかによって答えが
一意に定まらなくなるという問題がある

次に、頻度主義を取った場合、一回限りの出来事について
確率を割り当てることができなくなってしまう
たとえば、「このサイコロで1の目が出る確率」は
「このサイコロを無限回ふったときに1の目が出る頻度」と言い換える
ことができるが、「次にこのサイコロをふったときに1の目が出る確率」は
そのような頻度の言葉に置き換えることができない

また、頻度について語るのが難しい対象、たとえば殺人事件の捜査で
「A氏が犯人である」という確率を考える場合、A氏は犯人であるか
ないかのいずれかであり、そこには頻度は存在しない
しかし、こういう場合に確率という言葉がしばしば使われるのも確かである

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/15(金) 00:22:22.76

>>5
>>6
■モンティホール問題

ゲームの回数を１回に限定すると
当たりの確率は５０％になります

**リツ子** ◆RITUK0dasI · 2017/12/15(金) 10:59:28.05

モンティホール問題が選び直したらお得、って事実が納得できないのかな？
簡単に説明してあげるね。

あのね、最初にドアが３つあって、当たりが１つってところで、挑戦者がどのドアを選んでも当たりの確率が３分の１ってのは大前提なの。
だって、ここで確率がかたよってたらズルになっちゃうじゃない？
このとき、挑戦者が選ばなかったドアのどっちかが当たりの確率は３分の２になるの。ここまではいいかしら？

つぎにモンティは、挑戦者が選ばなかったドアのどちらかを選ぶんだけど、そのとき、必ずハズレのドアを選ぶのがルールなの。
モンティがドアを当てずっぽうで選んだら３分の１の確率で当たりを引いちゃうよね。
だけど、わざと当たりは引かないのね。だから、残ったドアが当たりの確率は３分の１じゃなくなるのよ。
挑戦者が最初に選ばなかった２つのドアのどっちかが当たりの確率は、さっき言ったとおり、３分の２よね？
だからモンティがハズレを開けたら、残ったドアが当たりの確率は、そのまま３分の２ってことになるわけ。
だって、モンティが開けたドアが当たりじゃないってわかっちゃったんだもん。それはどっちか、じゃなくて残ったドアの確率になるよね？。
モンティがどちらのドアを開けても、挑戦者の選んだドアが当たりの確率は変わんないことに注意してね。
だって当たりのドアは変わらないんだから、確率が３分の１から違う値に変わったらズルになっちゃうよね？

挑戦者の選べるドアは２つ。最初に選んだ３分の１の当たり確率のドア？モンティが開けなかった３分の２の当たり確率のドア？
それはもう、選び直さなかったらダンゼン損だよねー？

これがモンティホール問題で選び直したらお得になるカラクリってわけ。みんな、これでわかったかなー？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/15(金) 17:41:28.84

'Let's Make a Deal' host Monty Hall dies aged 96
ITV News-2017/09/30

Monty Hall, one of the US's most popular television game show hosts,
has died aged 96, his son has said. Born Monte Halperin on 25 August 1921, for nearly
three decades Hall hosted 'Let's Make a Deal', the hugely successful television show
that he co-created.

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/15(金) 19:29:47.71

>>210
ゲームを１回に限定しても同じことが言えますか？

**リツ子** ◆RITUK0dasI · 2017/12/15(金) 21:32:17.42

>>212
言えるよ。
確率だからね。条件が同じだったら、１回でも何回でも同じなの。回数で変わったりしないよ。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/15(金) 21:46:34.94

>>213
ゲームを１回に限定するという事は
二者択一を１回だけすることです
これでどうして片方に６６％の確率があるとわかるのでしょう？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/15(金) 22:07:29.17

二者択一を１回だけした場合の結果は５０％のみです
それ以外の数値は存在できません
事前に存在していた３３％や６６％といった傾向は
ゲームの結果確定時にすべてキャンセルされてしまいます

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/15(金) 22:11:55.74

>>213
頻度１は特別なのです
他の回数とは扱いがまるで違ってきます
知らなかったでしょう？

**リツ子** ◆RITUK0dasI · 2017/12/15(金) 22:35:27.70

>>214
ちょっとわかりにくかったかな？
二者択一なのは間違いないんだけど、モンティは２つの強力なルールに縛られていて、挑戦者が選び直したらお得になるような情報を挑戦者に教えなくちゃいけないのね。
それで挑戦者は選び直した方がお得になるわけ。

ルールの１つ目は、モンティは挑戦者が最初に開けたドアを開けてはいけない、ってこと。
ルールの２つ目は、モンティは当たりのドアを開けてはいけない、ってこと。
こういう２つのルールがあるから、モンティは無作為にドアを選ぶことはできなくて、当たりの確率が３分の２のドアから必ず１枚、当たりじゃないほうのドアを教えて、挑戦者を有利にしなくちゃいけなくなるのよ。

でも、モンティは、最初に選んだドアが当たりかハズレか教えてくれないから、最初のドアの当たり確率は３分の１から変わることはないの。
残った３分の２の確率のドアのうち、１枚の可能性をモンティが手の内をさらしてつぶしてくれたから、挑戦者もモンティも選ばなかったドアは３分の２の望みが残った、ってことになるわね。

この問題のポイントは、モンティの指し手が無作為じゃない、ってとこ。
モンティは禁じ手だらけで、挑戦者にとって有利な情報をあえて教えなくちゃいけないから、けっきょく２つのドアの確率は均等じゃなくなるの。
二者択一の確率が均等じゃなくなるから、挑戦者は、自分に有利なほうのドアを選ぶことができるわけね。

こんな説明で……理解、できた？

**リツ子** ◆RITUK0dasI · 2017/12/15(金) 22:51:48.19

>>215
こらこらっ！
そんなリセットなんかしたら、そんなのズルになっちゃうぞ？
インチキしたらダメよ？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/15(金) 22:58:21.47

挑戦者は選び直した方がお得になることは
いっさい否定していませんが

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/15(金) 23:02:36.08

ゲームの結果が確定してヤギさんと新車が目の前に現れたとき
どこに３３％や６６％といった傾向がありますか？
二者択一の結果は５０％のみです

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/15(金) 23:08:18.69

こういう人はくじ引き券を１枚だけもらったとき、結果は当たりか外れか二者択一だから確率は５０％って言うんだろうね
そんなの確率じゃないよ

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/15(金) 23:11:05.75

それであっている
その通り

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/15(金) 23:17:38.91

>>221
逆に聞きたい
たった一枚のくじからあなたはどうやって
当たる確率を求めますか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/15(金) 23:19:23.51

>>222
５０％が「確率じゃない」という事実をお認めになったということで決着ですね

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/15(金) 23:20:06.90

>>218
インチキではないです
頻度１では確率の計算は不可能になります

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/15(金) 23:24:40.71

>>225
ほら、確率じゃないんだってさ。
白状したよ

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/15(金) 23:26:51.02

それでまったく問題ないです

**リツ子** ◆RITUK0dasI · 2017/12/15(金) 23:28:38.47

んー。何だろうね。
やっぱ高校生には確率の話は難しかったかな？
大丈夫！きっとわかるようになるよ！
もっともっと勉強しようね。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/15(金) 23:41:54.59

>>228
あなたの能力評価については下方修正されますが
存在価値がマイナスに転じるわけでなく、運営上あなたは
依然として特質した価値を持つ個人であり、明晰な頭脳、判断力は
来たるべき新たな時代、市民に示す指標として十分な理想形といえます

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/16(土) 09:22:27.47

プレイヤが選んだドアが当たりかハズレか
司会者は、最初から知っている。

「選び直しOK」の提案する者が
プレイヤが選んだドアが当たりかハズレか
既に知ってるんぢゃよ。

確率が1/2とか1/3という考えは怪しいのぢゃ!

司会の視点から見れば1/2とか1/3でなく、
Zeroか1なのワケぢゃからな。

まぁっ、
この類いの提案は疑ってかかることぢゃ!
司会が、「選び直しOK」の提案したら、
選び直さない方が良いぢゃろう。

確率計算での意志決定には、
隠れた罠が存在するハズのぢゃ! 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/17(日) 16:49:14.37

最初に３つのドアがあるのであれば、
そのひとつを選んだ時点で確率は1/3である
賞品が移動しないのであれば、そのドアを開けない限り、
他のドアがどうなろとも、そのドアに賞品がある確率は1/3のままか、
0になるか１になるかの三通りしかない
しかし、減ったドアの持っていた確率が残りのドアに
均等に分配されるなら話は別だ
そのような事態が起こりうるのかどうかと考えるのはおもしろい

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/19(火) 14:56:04.43

>>225
第○回年末ジャンボ宝くじはただ１回だから、
１等が当たるか当たらないかの50％だよね。

それだと期待値的に毎回買わない理由がないよね。
お金に不足してない大富豪ならともかく。

で、毎回宝くじを１枚買って（めんどくさそうだが）、毎回１等が当たらない訳だが、その時には
「今回はたまたま50％の外れが出た」と思うわけだ。毎回毎回。

ちょっとは疑って自分の運の悪さを検定したらどうかと思うが、
毎回がただ一回の一期一会だから、そのような統計的処理は不可能と言うことだね。

しあわせすぐる！

が、せちがらい現代社会では、あっという間に尻の毛まで毟られそう。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/19(火) 16:40:49.62

二人の男が定刻までにどちらがより多くお金を集めてこれるか
というゲームをしました
一方の男は札束ばかりを集めました
もう一方の男は小銭ばかり大量に集めました
さて、定刻になりそれぞれ集めてきたお金を数えると
札束のほうはすぐに金額がわかりました
しかし、小銭のほうはあまりにも大量にあったため
その日のうちに数え終わることができず
正確な金額がわかりませんでした
これによりこの勝負は引き分けとなりました

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/20(水) 10:42:33.86

まだやってたのか
イチゴちゃんに振り回されるだけ損だよ

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/20(水) 14:26:15.77

１グラムの石と１トンの石を二者択一しても
どちらか一方を選択する確率は５０％です

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/20(水) 23:18:53.06

プレイヤーがドアを選択する前に
「選ばない他のドアのハズレを開けてみせます」
というルールを宣言しているなら交換したほうが確率は上がる
>>10はわかりやすい！

事前に説明せず
プレイヤーが選択してから他のハズレを開けてみせた場合は
プレイヤーの選択結果を知ったあとの提案になるので
確率は分からなくなる
>>230の考え方だ！

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/25(月) 19:45:52.67

１．最初プレーヤーがあたりを引く確率は1/3である

２．ドアを変更しない場合はそのまま1/3の確率である
　　（変更しないのであればモンティがドアを開こうが開くまいが確率は変わらない）

３．モンティがドアを開けた後にドアを変更する場合、
　　最初に選択したドアがハズレであれば変更後のドアはあたりが確定である
　　つまり、最初に選択したドアがはずれである確率＝ドアを変更した場合に
　　あたりを引く確率である

４．最初の選択であたりを引く確率は1/3、はずれを引く確率は2/3である

５．ゆえに、ドアを変更した場合のあたりを引く確率は2/3と考えられる

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/25(月) 19:50:20.02

■ゲームを１回に限定すると

１．最初プレーヤーがあたりを引く確率は1/2である

２．ドアを変更しない場合はそのまま1/2の確率である
　　（変更しないのであればモンティがドアを開こうが開くまいが確率は変わらない）

３．モンティがドアを開けた後にドアを変更する場合、
　　最初に選択したドアがハズレであれば変更後のドアはあたりが確定である
　　つまり、最初に選択したドアがはずれである確率＝ドアを変更した場合に
　　あたりを引く確率である

４．最初の選択であたりを引く確率は1/2、はずれを引く確率も1/2である

５．ゆえに、ドアを変更した場合のあたりを引く確率は1/2である

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/25(月) 20:26:08.47

この問題を巡る人々の反応は、冒頭のエピソードにある様に
『どちらを選んでも変わらない』とする意見が多かった

ドアが2つになった時点でプレーヤーが改めてコイントスによって
決めなおしたと仮定すると、景品を得る確率は1/2となる
ところが、2枚のドアの価値はルールで確率の高い（価値のある）
選択をすることが可能となっている

↑
ゲームを１回に限定されるとこの限りではありません
2枚のドアの価値は最初から同じです

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/25(月) 20:31:05.13

ゲームが１回だけの時の確率1/3とは

プレイヤーが『3枚のドアから1つを選ぶ』という

事象を表している、ただそれだけです

その背後には何ら特別な傾向はありません

よく考えると、

たしかに最初の選択時にはずれを引く確率は2/3ありそうです

しかし、『ゲームは1回だけ』という強力な制約条件によって

この傾向は無効化されてしまいます

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/25(月) 20:32:03.80

100枚のドアを使った場合も同じです

ゲームが１回だけの時、

最初にプレイヤーがあたりを引く確率は1/100

はずれを引く確率も1/100になります

ゲームから98枚のドアが除外された後に

残った2枚のドアの内、選択後のドアのあたりの確率が99%だと

証明する方法はゲームが１回に限定されている以上

存在しないのです

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/25(月) 20:33:41.87

>>241
選択変更後の

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/25(月) 20:37:30.92

ゲームが１回だけの時の確率1/3とは

プレイヤーが『3枚のドアから1つを選ぶ』という

事象を表している、ただそれだけです

その背後には何ら特別な傾向はありません

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/25(月) 20:55:04.94

ゲームを１回に限定された場合、
モンティホール問題の本質は、ドアの背後にある『傾向』は
関係ないという事です

当たりの確率はドアの数が何億個だろうが
最後に2つのドアから１つを選択する以上50％です

たとえ選択変更後のドアの当たりの傾向が99%だと知って
見事に当たりを引き当てても、それが99%の確率で当たったと
証明する方法がない以上、選択変更後の当たりの確率は50％です

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/25(月) 21:30:19.14

'Let's Make a Deal' host Monty Hall dies aged 96
ITV News-2017/09/30

Monty Hall, one of the US's most popular television game show hosts,
has died aged 96, his son has said. Born Monte Halperin on 25 August 1921, for nearly
three decades Hall hosted 'Let's Make a Deal', the hugely successful television show
that he co-created.

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/26(火) 21:35:52.00

▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓

▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓

▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓▓ 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/27(水) 22:05:48.24

「偶数が表に書かれたカードの裏は赤色である」という
仮説を検証するにはどのカードをひっくり返すべきか？
https://ds055uzetaobb.cloudfront.net/image_optimizer/315d3d3cdc153302a1892adb9216e9f0570abbeb.png

赤色のカードをひっくり返したくなるのが『確証バイアス』

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/28(木) 00:10:13.50

ゲームが多数回の時
３３％　　　６６％

ゲームが1回限定の時
３３％　　　３３％　　　３３％　　　

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/28(木) 00:17:40.23

ひとつの幸せのドアが閉じる時、もうひとつのドアが開く

しかし、私たちは閉じたドアばかりに目を奪われ、

開いたドアには気がつかない

-ヘレン・ケラー-

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/28(木) 22:10:51.18

1/2とか言っちゃうバカ草

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/29(金) 14:29:45.65

納得できること、できないこと

モンティーホール問題を納得できない人に対し、教科書的な確率論の計算を
示したところで、やはり納得させることはできない

1）確率は3分の1のまま変わらない
2）確率は2分の1に上がる
3）確率は3分の2に上がる

正直ものの常識人は1）を支持する人がが多いかもしれない
まっとうな数学者の多くが2）こそ正しいとした
論理の奥に分け入って3）と回答できる人間はあまりいない

3）が事実として正しいことは、コンピュータのシミュレーションによって
実証されている
だが論理を擁護するためにはその結果だけでは不十分であり
『上手に説明できる』ことを示す必要がある
ウィキにいろいろ書いているが、文字通り、いろいろと並べてあるだけだ
私は自分自身に説明するための理屈を思いつくまで、まるまる一日かかった

説明が上手であることは単なるテクニックの問題なのか、
それとも世界の真理とつながる何事かなのか
いやそもそも上手な説明などなく、単なる自己満足の勘違いなのか