巨大数探索スレッド12 [無断転載禁止]©2ch.net
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みんな立ち去ってしまったと思ってたけど
ROMってただけで巨大数を愛する気持ちは変わってなかったんだな >>636
ふぃっしゅさん、お久しぶりです。
>>638
もやしっ子さん、お久しぶりです。
お二人とも、出版おめでとうございます。
あの時から10年ですか。
浦島太郎状態のたろうでした。 浦島太郎の方でしたか。
「帰ってきたウルトラマン」かと思っていました。 だいぶ怪しいからここに投下
KP+There exist Recursively Mahlo ordinals=CoC(文脈にΠ_0-文のみ)？
KP+There exist Recursively Weaky Compact ordinals=KP+Π_3-Reflection
Degrees of Reflection=KP+Π_n-Reflection=ZFC\P?=pDAN?
Z_2=DAN?
ZFC
ZFC+There exist Mahlo cardinals=CoC(文脈にΠ_n-文を含む)？
Taranovsky's C ?
Cはもっと弱いかもしれない。 ω：最初の極限順序数
X：0個以上の0以上の整数または順序数
a,b,n：0以上の整数または順序数
x#y：y個のx
{0}=ω
{a+1}=ω^{a}
{0#(n+1),0}={ω#(n+1)}
{0#(n+1),a+1}={{0#(n+1),a}#(n+1)}
{X,b+1,0#(n+1)}={X,b,ω#(n+1)}
{X,b+1,0#n,a+1}={X,b,{X,b+1,0#n,a}#(n+1)}
[0]={ω#ω}
[a+1]={[a]#[a]}
[0#(n+1),0]=[{ω#ω}#(n+1)]
[0#(n+1),a+1]=[[0#(n+1),a]#(n+1)]
[X,b+1,0#(n+1)]=[X,b,{ω#ω}#(n+1)]
[X,b+1,0#n,a+1]=[X,b,[X,b+1,0#n,a]#(n+1)] CoC(文脈にΠ_0-文のみ)って自分で書いておきながら何言ってるのか分からない。
hypcos氏はCはZ_2と同等かより弱いとみているようだ おお、古参メンバーさんたち何年ぶりかの生存レスですか
かく言う自分も１２、３年ぐらいも前から巨大数スレの住人になってて、
今までぼちぼちROM続けてます ω={全ての自然数より大きな最初の極限順序数}
ε_0=ω^ω^ω^…{ω個}…^ω^ω
A=ε_0^ε_0^ε_0^…{ω個}…^ε_0^ε_0
B=ω^ω^ω^…{ε_0個}…^ω^ω
AとBはどちらが大きいの？ Bのほうはそもそもwell definedなんだろうか B=ε_0
ω^ε_0=ε_0なので、ω個から増えない ω^ω・・・ω^ε_0=ε_0
有限の高さの指数タワーならわかるけど超限の高さの場合は自明でないと思う >>658
α=ω^α を満たす2番目の極限順序数 強配列表記の雑な説明
テトーレーション配列まではだいたいBEAFといっしょ、テトーレーション配列という言い方はしてないけど
ドット . または{1^.}（わかりづらいけどドットをすこし上に上げる）をテトーレーション空間の区切りとして使う。
さらに二次元方向のテトレーション空間の区切りは{2^.}、3次元で{3^.}、以下{1{2^.}2^.}とやっていって
ε_1まで。
つぎに{1^.}を{1´2}と表し、´2がテトレーション空間の区切りを意味するものとする。
すると´3でペンテーション空間の区切りを表すようになったり{1{1'1'2^'}2}となったりあれやこれやで
θ(ε_{Ω+1})まで
さらに{1''2}とか{1'''2}とかいう区切りを導入していってθ(Ω_ω)まで {1´2}がテトレーション空間の1次元方向の区切り、{2´2}で2次元、{3´2}で3次元
{1,2´2}でω次元方向への区切り 強配列とバシクはBEAFとは一線を画すと思ってる
それの本質は何か
それを語ってくれるのはほんとにうれしい 強配列とバシクまでいくと本人の考えを辿るのが難しい
発想をどうにか共有できたらなと思う
哲学というか 俺にはBEAFも難しいわ
アッカーマンは辛うじてわかる ビジービーバーより小さいのしか語られないのはなんでたぜ やっぱ具体的に計算する方法が無いのが痛いんじゃない バシク行列は展開することである素体を繰り返すことになるけれど、この素体がどんどん複雑になる
性質を加えればさらに強化できるのでは、
というアイディアが浮かんだけど、すでに行を増やす操作が間接的にそういう役割を果たしているんだろう >>662ペンテーション空間というものはもっと複雑かもしれん、φ(2,0)になるみたいな でもビジービーバーより小さい数しか作れないんでしょ？ 計算可能関数はビジービーバー関数より弱いから競わせないでしょ。勝負はついているもの。 アルゴリズムがわかる方法で定義する
という条件はない 大きな実数を探索って、スレの指向は総じてが正しいか。
話題はこれに限らず自由に出せて、計算可能関数が今ホットだからと言いたかったが… じゃあ条件を勝手に付け加えて、
大きな素数とか大きな友愛数とかを語りはじめても良いのかな >>680
計算不可能関数も定義上は"ある一つの実数"を定義するものだもんな
やっぱり不思議な概念だわ
Wikipediaにあるビジービーバーの計算結果? ってどういう意味なんだろ
やっぱりわからなくなってきた Σ:ビジービーバー関数
n:自然数
f(1)=Σ(2)
f(n+1)=Σ(f(n))
S=f(100) 計算不可能でも、ある数を返すんだろうなって事は何となく分かる
ただ、この計算可能性の概念が数の強さからきているのかそれとも関数の性質からきているのかがイマイチようわからん
ある計算不可能関数によって返されると予想される数の強さがある計算可能関数で返される数より弱い、なんてこともあるのかな f(n) := Σ(n) の1の位
は値は小さいけど
恐らく計算可能ではない >>683構わないだろうがたいがい既存の理論で間に合いそう Σをビジービーバー関数としfを計算可能な無限に発散する単調増加関数とすると
f(Σ(x))はやはり全ての計算可能な関数より増加率が高いといえるか？ >>687
>>688
ありがとう
計算不能関数を越える計算可能関数が見つかるといいな
見つからないことが証明されてしまわないことを祈ってる >>690
そりゃそうだ
>>691
Σ(n)を超える計算可能な関数が無いことの証明は簡単 ふぃっしゅ数バージョン4の神託機械の配備のされかたがよく分かんないんだけどどういうこと？関数って言ってるけど関数も何もテープとオートマトンしかないよね
バージョン7も関数fが出てきてよく分からない。fの定義はどこかにラヨ数で許されてる記号を使って記述するの？
どっちもビジービーバー関数とラヨ関数を書ける部品がほしい、っていう気持ちはなんとなく分かるんだけど F4もF7も定義は書いてない
おそらくふぃっしゅ氏の能力では厳密に定義出来ないと思われる
つまり、ふぃっしゅ数は定まっていない >>691
> 計算不能関数を越える計算可能関数が見つかるといいな
停止性問題が分かってないな…… 今巨大数界隈で主に何が分かってないのか分からない
なんかこう頭打ち感があるような F4はチューリングマシンに、現在のヘッダの位置から右に並んだn個の1を読み取り
読み終わった0の位置からさらにみぎがわにBB(n)個の1を入力(すでに1になっている場合は
上書き)して適当な次の状態に移行するという一連の動作をこなすオラクルな
状態を追加する、とかすることで簡単にwell definedにできる。
F7は式の中でラヨ関数を扱えるようにするとか、そのまんまですでにwell definedになってるんじゃないか? F7は神託式で拡張する方針をとってるけど、ラヨ階層を定義したならもう式の中で
ラヨ階層を扱えることにしたほうがよかったな。
FOOTでいうV_{Ord*2}を対角化した強さになるか? >>698
その「fはBB(n)です」「fはラヨ関数です」という身もふたもない定義がされてたら分かるんだけど、「f」って抽象的に書かれてるとそのfの選び方がよく分からない。
なんでもありにしちゃうとF4のfにラヨ関数のオラクル入れたらF7と同じくらい強くなるしリトルビッゲドン入れたらF7抜くよね ラヨ関数も細部は定義されてないように見えるけど
原文だと書いてあったりする？ ラヨ関数は1番しっかり定義されてる部類じゃない？
どのページにも再帰的な式で定義が書いてあるぞ。 >>700
F4分かりました。再帰的定義の最初にf=x+1ってありましたね。でs(1)の定義に出力はそれを使ったビジービーバー関数とあるのでビジービーバー関数になります。ラヨ関数とかは出てきません。 定義されてないっていう人は、何を見て定義されてないって言ってるんだろうね >>700
関数fから関数gへの写像s'(1)の定義が書かれているわけだから、fとして
なんでも選ぶことができる。
>>703
s'(1)は関数ではなくて関数から関数への写像なので、「s'(1)がビジービーバー」は
正しくない。s'(1)f がビジービーバー関数となる。
そして、s'(1)^2 f は２次のビジービーバー関数、といったような計算はwikiにも
巨大数論にも書いてあるので、よく読めばわかるはず。 矢印表記やハイパー演算の自然な拡張といえば
チェーン表記、強配列表記(LAN)、BEAF/BAN(線形配列)あたりが思い浮かぶが
他にも何か良さそうなのあるかな？
自分でも考えてみたがやはりそう簡単に思いつくものではなかった
というかまず上の3つがよく出来過ぎてるわ… Σ(n) := ビジービーバー関数
a,b,n := 0以上の整数
X := 0個以上の0以上の整数
a;b := b個のa
f()=Σ(10^10^100)
f(0)=Σ(f())
f(a+1)=Σ(f(a))
f(0;n+1,0)=f(f();n+1)
f(0;n+1,a+1)=f(f(0;n+1,a);n+1)
f(X,b+1,0;n,0)=f(X,b,f();n+1)
f(X,b+1,0;n,a+1)=f(X,b,f(X,b+1,0;n,a);n+1)
s=f(f();f())
sはビジービーバー関数にグーゴルコンプレックスをぶち込んだ値を基に
再帰的に多変数化させて肥大化させてみた
これはデカイだろう ゴミ言うのはひどいが、再帰定義不可能なのが計算不可能レベルの強さであって、
計算不可能な関数を再帰で組み立てていくのはあんまり意味がない あそこまでやっても巨大数的なスケールではほぼ変わってないも同然なのか… f(x)<g(x)ならf(g(x))<g(f(x))といえるか？ ビジービーバー関数は、x>yの時、Σ(x)>Σ(y)は成り立たないの？ f(x)<g(x)ならf(g(x))<=g(f(x))といえるか。
ならどう？ あまり実用的でないけど、ウルトラパワーで関数の強さを比較することもできるだろう。 f(x)=x^2
g(x)=3^x
f(g(1))>g(f(1)) うーん。
g(x)がf(x)を支配するならg(f(x))はf(g(x))を支配するか？
だったら成り立つかなぁ？ a<b で f(x)=ax, g(x)=bx とか f(x)=x^a, g(x)=x^b だと f(g(x)) = g(f(x)) ですが、
f(x)=a^x, g(x)=b^x だとxがある値より大きいときに f(g(x)) > g(f(x)) ですね
https://twitter.com/kyodaisuu/status/866735484302639104 なんと
フィッシュさんが既に解決してた問題でしたか 巨大数論p.70参照
あるnがあって、x>nであればf(x)>g(x)が成り立つ時、fはgを支配する(dominate)と言う。 φ(1,0)=ε_0 φ(1,1)=ε_0*ω
φ(1,φ(φ(1,0)))=ε_0*ε_0 φ(1,φ(φ(1,0)+φ(φ(1,0))))=ε_0^ε_0
φ(1,φ(φ(1,0)*2))=ε_1 φ(1,φ(φ(1,0)*2+φ(φ(1,0)+φ(φ(1,0)*2))))=ε_1^ε_1
φ(1,φ(φ(1,0)*2+φ(φ(1,0)+φ(φ(1,0)*2)*2)))=ε_2
φ(1,φ(φ(1,0)*2+φ(φ(1,0)+φ(φ(1,0)*2)*3)))=ε_3
φ(1,φ(φ(1,0)*2+φ(φ(1,0)*2)))=ψ(Ω)
φ(1,φ(φ(1,0)*2+φ(φ(1,0)*2)*2))=ψ(Ω+1)
φ(1,φ(φ(1,0)*3))))=ψ(ε_{Ω+1}) φ(1,φ(φ(1,0)*2+φ(φ(1,0)+φ(φ(1,0)*2)*3)))=ε_3 から間違ってるかも ε_nの収束列ってこういう意味であってる？
ε_0 1,ω,ω^ω,ω^ω^ω
ε_0+ω ε_0,ε_0+1,ε_0+2,ε_0+3,⋯
ε_0×2 ε_0,ε_0+ω,ε_0+ω^ω,ε_0+ω^ω^ω,⋯
ε_0×ω 0,ε_0×1,ε_0×2,ε_0×3,⋯
ε_0^2 ε_0,ε_0×ω,ε_0×ω^ω,ε_0×ω^ω^ω,⋯
ε_0^ω 1,ε_0,ε_0^2,ε_0^3,⋯
ε_0^^2 ε_0,ε_0^ω,ε_0^ω^ω,ε_0^ω^ω^ω,⋯
ε_0^^ω 1,ε_0,ε_0^ε_0,ε_0^ε_0^ε_0,⋯
ε_0^^^2 ε_0,ε_0^^ω,ε_0^^ω^^ω,ε_0^^ω^^ω^^ω,⋯
ε_0^^^ω 1,ε_0,ε_0^^ε_0,ε_0^^ε_0^^ε_0,⋯
ε_1=ε_0^^ω
ε_2=ε_1^^ω=ε_0^^^ω
ε_3=ε_2^^ω=ε_1^^^ω=ε_0^^^^ω もしあっていたらε_nはωだけで表現出来るね
ε_0=ω^^ω
ε_1=ω^^^ω
ε_2=ω^^^^ω
ε_3=ω^^^^^ω つか、俺は根本的なところが分かってないんだが、順序数ってつまるところ集合なんでしょ？
収束列ってホントに厳密に集合を定義してるといえるの？ 収束列による順序数定義の説明は、感覚的に理解するための便宜的なもので、
順序数の厳密な定義を知るにはみっちりと集合論をやらないと、では ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
