では、自然数論の公理PAに、∃n (H_M(n))を加えたことによって追加される自然数とは何か。
自然数論が無矛盾なら、Mは1ステップ目で停止しないだろう。同様に、2,3,4,...ステップ目でも停止しない。
追加される自然数はMが停止するまでにかかるステップ数だから、これをcとすると、
0<c, 1<c, 2<c, 3<c, 4<c,...が成り立つことになる。つまり、PAだけから存在を証明できるいかなる自然数
よりもcのほうが大きい、という奇妙な性質があることが分かる。このcが超準的自然数と呼ばれるもので、
これを含むモデルは超準モデルと呼ばれる。
冒頭の話に戻ると、状態数m以下でMを構成できるなら、Mが停止するモデルを選択すれば、
BB(m)の値は超準的自然数になってしまい、意味をなさなくなってしまう。
ならばBB(n)の定義に補足を加え、
"状態数n以下で(いかなる自然数のモデルでも)停止する機械のうち最も多く1を出力するもの"
とすればこのような問題は起きないと思うかもしれない。
実はそれでもBB(n)の値は超準的自然数になってしまうのだが、それはまた後日の話とする。