巨大数探索スレッド12 [無断転載禁止]©2ch.net
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フィッシュの巨大数論を読んで、ご本人のなかではすでに解決してるかも
ラヨ関数は1階の集合論を対角化して得られる関数であり、1階の集合論は1階の述語論理で
記述される。
ラヨ命名する論理式によってある変数a_0はある自然数nに決定される。
1階の述語論理の完全性により、ラヨ命名する論理式の元でa_0=nが真であること
、nでない自然数mについてa_0=mが偽であることがそれぞれ証明可能である。
要するにラヨ命名する論理式が理論的な公理の役割を果たしている。
1階述語論理の完全性が重要でZFCとかフォン・ノイマン宇宙の対角化とかいうのは
あまり重要でないような
いっそのこと証明不可能レベルなんだとふっきれて、証明できないけれどある自然数を決定している
論理式が存在すると言ってしまうのもありだと思う。
ビッゲドンは真理述語が定義不能だからこそ形式的に真理述語を導入することで
強力な表現を可能としているし、さらに階層を高くしていくことでもうくぁｗせｄｒｆｔｇ
なんだろう
階層を高くしていくことで Hardyっぽいの
a, n: 自然数
X: 0個以上の自然数
Y: 0個以上の0
Rule 0. 表記ルール
0-1: (X1(0)X2) = (X1,X2)
0-2: (X1(X2)(X2)X3) = (X1(X2)0(X2)X3)
0-3: (Y(X1)X2) = (X2)
Rule 1. 終了ルール: (Y)[n] = n
Rule 2. 破滅ルール
2-0: (X)+1[n] = (X)[n+1]
2-1: (X)[n] = (next_n(X))[n]
2-2: next_n(X,a+1) = (X,a)+1
2-3: next_n(X,a+1,0,Z) = (X,a,n,Z)
2-4: next_n(X1,a+1(X2)Z) = (X1,a(X2)1{"(next_n(X2))" * n})
(1(1))[3]
= (0(1)1(0)(0)(0))[3] = (1(0)0(0)0(0)0)[3] = (1,0,0,0)[3]
= (3,0,0)[3] = (2,3,0)[3] = (2,2,3)[3] = (2,2,0)[6] = (2,1,0)[12] = (2,0,0)[24] = (1,24,0)[24] = (1,0,0)[2^24*24] = (2^24*24,0)[2^24*24]
= 2^(2^24*24)*2^24*24 = 2^(2^24*24+24)*24 ≒ 10^121210694*6.895
(1,0)[n] = (0,n)[n] = (n)[n] = f_2(n)
(1,0,0)[n] = (n,0)[n] = f_3(n)
(1(1))[n] = (0(1)1,0,0,...)[n] = (1,0,0,...)[n] = f_ω(n)
(1,0(1))[n] = (n(1))[n] = f_ω+1(n)
(1(1)(1))[n] = f_ω2(n)
(1(2))[n] = f_ω^2(n)
(1(1,0))[n] = f_ω^ω(n)
(1(1,1))[n] = f_ω^(ω+1)(n)
(1(2,0))[n] = f_ω^(ω2)(n)
(1(1,0,0))[n] = f_ω^ω^2(n)
(1(1(1)))[n] = f_ω^ω^ω(n)
(1(1(1(1))))[n] = f_ω^ω^ω^ω(n)
たぶん。
リスト部分だけ取り出すと順序数のリスト表記として使える >>335
ZFCやらがあまり重要でないことはないが、最低限自然数に関する公理を事前に準備しておけば
それだけで十分ということか。強力な公理を準備しておけばそれだけ命名する文字数も短くてすむようになるが、
Rayo(n+a)程度の効果にしかならないし、可能性を狭めかねない。
ところでフォン・ノイマン宇宙の対角化というのはラヨ自信の言葉なんだろうか? 順序数崩壊関数をある程度理解してこねこねできるようになったのでこんな関数を作った
θ(0) = 1
θ(1) = ω
θ(ω) = ω^ω
θ(Ω) = ε_0
θ(ε_(Ω+1)) = ψ_0(ψ_1(0))
θ(1,0) = Ω
θ(1,1) = Ω*ω
θ(1,Ω) = Ω*ω^Ω = Ω*Ω = Ω^2
θ(1,Ω^2) = Ω*ω^Ω^2 = Ω*(ω^(Ω*Ω)) = Ω*(ω^Ω)^Ω = Ω*Ω^Ω = Ω^Ω
θ(1,Ω_2) = ε_(Ω+1)
θ(2,0) = Ω_2
θ(Ω,0) = Ω_Ω
θ(Ω_Ω,0) = Ω_Ω_Ω
θ(I,0) = ψ_I(0)
θ(1,0,0) = I
θ(1,1,0) = I_2
θ(1,I,0) = I_I
θ(1,I_I,0) = I_I_I
θ(2,0,0) = χ(1,0)
θ(1,0,0,0) = M
θ(K,0,0,0) = Ξ(K,0)
θ(1,0,0,0,0) = K
こんな関数
多変数のいいところはどれだけでかい順序数を入れてもいいところだよね、とか言いつつ
計算があってるか怪しいし本当に定義できるかどうかも怪しいあやしーた関数
あやしーた関数で定義できないほど大きい巨大基数を仮に∞と置いて順序数崩壊関数的に使える
逆に定義を変えてθ(1,0)=ω_1^CK, θ(1,0,0)=I^CK, ...みたいにして∞=Ωにもできそう
θ(Ω) = ω_1^CK
θ(Ω^2) = I^CK
θ(Ω^3) = M^CK
θ(Ω^4) = K^CK
θ(Ω^ω) = ?
θ(Ω^Ω) = ??
θ(Ω^Ω^Ω) = ???
θ(1,0) = Ω
θ(1,Ω) = Ω^2
θ(1,Ω*2) = Ω^3
θ(1,0,0) = I ビジービーバー関数のそれぞれの値は、任意の推論が妥当かどうかを判断するアルゴリズムが
存在しないほど高度な、健全かつ無矛盾な論証体系で求めることができる（かもしれない）。
そんなもの本当に発見出来たらゲーデルの不完全性定理を計算可能な理論全体で克服できて
ZFCの無矛盾性やらが健全かつ無矛盾に証明できたりするし、そういう言語を対角化することで
現代の論理では根本から及ばないほど強力な関数が出来上がったりする。
フィールズ賞受賞レベル ラヨ数<BIG FOOT<Little Biggedon<ふぃっしゅ数バージョン7<Big Biggedon
かな。定義不可能な関数を導入した方が効率が良さそうだし、それでふぃっしゅ数バージョン8的なものを作りたい。
でももしかしたらDeedlit氏が既に何か作ってるのかもしれない。 どうやら(省略に無理あるけど)
魚4<ラヨ数<魚7<BIGFOOT<リトルビッケドン<サスクワッチ(ビッグビッケドン)
となるみたいですよ リトルビッゲドンについて初歩的な勘違いをしていた。
話変わるけど、oodle theory はウードル論理と訳したほうがいいんじゃなかろうか。
意味ではなく形式を定義するものだから。 logicじゃなくてtheoryだからFirst Order Set Theoryにあわせてウードル論で良さげか
ある言語で記述される理論の総称と考えればただ単に形式を定義したものでもないし >>341
Deedlitは去年の暮れにFOFTという理論を使ってBIG FOFTという巨大数を作っててそれがBig Biggedonが出るまでは長らく一位だったよ
http://googology.wikia.com/wiki/User_blog:Deedlit11/My_humble_extension_of_FOOT?useskin=oasis
比較に関しては
FOFT の func^0_0 = FOOT の Ord
FOFT^1_0 = FOOT
FOFT^1_0 = Little Biggedon の言語 {∈,T} < FOFT^2_0
なので
BB<F4<Rayo<F7<FOOT<Little Biggedon<FOFT<Big Biggedon ミスりました
FOFT^1_0 = FOOT
FOFT^1_1 = Little Biggedon の言語 {∈,T}
<FOFT^2_0
の間違い 可算個の字母集合で記述されるすべての有限の文字列の集合とすべての自然数から自然数への写像
の集合は同じ濃度を持つ。
可算個の字母集合からなる有限の文字列で任意の自然数から自然数への写像を定義すること
はできない。
証明は高校生の宿題にしよう kを非可算な基数とし、
濃度がkより小さい字母集合で記述されるすべての長さがkよりも短い文字列の集合
と、すべての自然数から自然数への写像の集合は同じ濃度を持つ。
が成り立たないとき、kは弱コンパクト基数 変なこと言ってしまったがこれ弱コンパクト基数でもなんでもないわ ↗m(0#n+1)＝n+1
↗0(X[n変数],b+1)＝↗0(X[n変数],b)↑↑↑(n+1)
↗m+1(X[n変数],b+1)＝↗m(↗m+1(X[n変数],b)#n+1)
↗m(X,a+1,0#n+1)＝↗m(X,a,↗m(X,0#n+1,a+1),0#n)
T(n)＝↗n(n#n)とした時の T＾1301(1301) なんかこういうの、無数に考えられてるけど、テキスト入れたら「はい、80点！」みたいに大きさ出てくるようにならないかな。
「はい、それは<f_θ(Ω_ε_ω+1)(0)！」でもいいし >>352
多分計算不能だろう。
テキストに制限をいれたらいけるかもだが。 いや、だいたいの大きさの見積もりをする話で。
みんなやってるじゃん。>>30 みたいな感じで。
2chに書き込めるってことは1024文字以内で見積もれてるわけで。 どう見積もるかにもよる。
計算可能であれば全部<ω^CKですませてもいいんだし 算術と巨大基数は関係ある？何というか、順序数に使われるけど 証明論的順序数、興味あるな。
ペアノ算術がε0とかだっけ？ >>357
巨大基数は、算術に対してというよりもZFCに対して使われる >>360
横からですまんけど、巨大基数っていうのは全部無限の向こう側で、巨大数wikiに出てくるような順序数はまだ有限のめちゃくちゃ巨大な数ってこと?
なんか基数、順序数、א数とかもう訳わからない
ちゃんと高校生のとき数学勉強しとけばよかった 高校じゃならわんだろ。
大学でも数学科とかじゃないと習わんのじゃないか。 大学の数学科でもマニアックな部類に入るんじゃなかろうか。
藻の人も結構知らないことあるようだし 只でさえマニアックな公理的集合論の更にマニアックな分野。 >>362
いや、せめて数学記号だけでも読めたらちょっとは違ったのかなって思ったから ちなみにBIG FOOTを発見した人は今18才だって。
発見したのは3年前だから高校1年生くらいの時になるのか。
ノルウェー出身で今アメリカの大学に行ってるんだって。 進まないので適当に一つ(弱いけど)
回転斜め矢印表記
①多変数タワー表記
小文字アルファベット : 1以上の整数
X : 0個以上の1以上の整数
[a]↑b＝a^b
[X,a]↑b＝[X]↑^b a 注意
[X,a]↑^n b＝[X,a]↑b
[X,a]↑^(n+1) (b+1)＝[X,a]↑^n([X,a]↑^(n+1) b)
注意について:変数が1つの時は上のルールを使います。0変数のときに、1変数に変える事はできます。
②シャープ収納表記
[X]"＝[X]↑^y z
[a#b]"＝[a,a,a(b個)a,a,a]"
[a#^n 1]"＝[a]"
[a#^(n+1) (b+1)]"＝[a#^n ([a#^(n+1) b]")]"
③右上矢印表記
[a]↗b＝[a#^b a]↑^a b
この他は①の↑を↗に変えるだけです。
④回転斜め矢印表記
③の定義の部分を、↗,↘,↙,↖,↗1,↘1,↙1,↖1,↗2 と言うように強化していきます。
⑤例
[52,7,43]{↘7}{↘7}{↘7}5＝[52,7,43]{↘7}{↘7}([52,7,43]{↘7}{↘7}{↘7}4) 未だに新しい記号使って新しい関数作って～とかやってんのか。 逆に全く新しい記号を使わずに何とかしようとすると最終的に0と1だけで頑張ることになる。
渋いな 左の値を加法でm個並べ、n個の演算子全てをhyper(n)に変更し
変更後の式を全て加法になるまで展開しn'個の演算子全てをhyper(n')に……という工程をm回繰り返す演算子¶
例) 2¶3 → 2+2+2 → 2*2*2 → 2+2+2+2 → 2^2^2^2 → 2+...(計32768個)...+2 →2(32767)2(32767)...2
タワー表記同様、¶をn個連ねた物を¶(n)と表記し、
A¶(n)BはB個のAに¶(n-1)を挟んだ式になる。
3¶(3¶(3¶3)3)3と入れ子にも出来る。 さっさと～演算子を～回繰り返すとかいう拡張の限界をもとめて終止符を打てばいいんじゃね？ 演算子の拡張って手段として強いのか弱いのかよくわからん
でも矢印表記とかのわりとクラシックな巨大関数の頃からある手法だから陳腐感は否めないと思う >>391を見直して意味不明だったので改良
拡張ハイパー演算子の定義
A[hyper(N)M]B =
A[hyper(N+B)M-1]A[hyper(N+B)M-1]A[...]A
└── B ──┘
[hyper(N)0] = hyper(N)
3[+1]2 = 3^3 3[+1]3 = 3↑↑3↑↑3 3[+1]4 = 3↑↑↑3↑↑↑3↑↑↑3
3[↑1]2 = 3↑↑↑3 3[↑1]3 = 3↑↑↑↑3↑↑↑↑3 = 3→3→5
3[+2]3 = 3[↑↑1]3[↑↑1]3
= 3[↑↑1](3→3→6)
= 3 hyper(4 + 3→3→6) 3 hyper(4 + 3→3→6) 3 (...) 3
3[+(3[+3]3)]3 = 3[+(3[+3]3 - 1)]3[+(3[+3]3 - 1)]3... ZFC+マーロ基数とマーロ基数を崩壊させた関数。例えばこの二つに違いはあるのかとか、比べる意味がないとか、具体的な大きさが両方わからないけれど知りたい。 ZFC+マーロ基数(が存在するという公理)はこの理論で全域性を証明できるかどうかで強さを計れる。
マーロ基数を崩壊させる方はどう崩壊させるかによる。 マーロ基数や弱コンパクト基数の扱い方がまれによく間違われているような気がする。
Ξ(3,0)=C(Ω_2^3,0)=1-マーロ基数
Ψ[Ξ(3,0)](2,0)=C(Ω_2^2*C(Ω_2^3,0),0)=α→M_αとなる最小の不動点
Ψ[Ψ[Ξ(3,0)](2,0)](1,0)=C(Ω_2^2+Ω,0)=M+1-到達不可能基数
Ψ[Ψ[Ψ[Ξ(3,0)](2,0)](1,0)](0,0)=C(Ω_2^2+C(Ω_2^2+Ω,0),0)=M_M_M_･･･ 何が分かりやすいかってある程度突き詰めたところから先は人それぞれとしか言いようがなくて、
最終的にその人の努力に委ねられるなと思った。 順序数を崩壊させる方法と関数を対角化させる方法ってどういう関係にあるの。 とりあえず崩壊過程が複雑であればそれだけ強力な関数を対角化できる。
話変わるけどあれは論理的帰決と定理、存在論からいえば隔絶された神話的世界
から存在すると言われていることと観測可能であることを同列に語っている点が
どうしてももやもやするんだ。 やりたいことは巨大数の成長率の比べっこだから、じゃあ欲張りクリーク列とかはFGHで評価できるか、みたいな問いになるのかな テトレーション以降の複素数域への拡張は、ただ見解が統一されてないだけで
無数にあるのね 3^3^3^{3^(1/3)}かな
有理数のテトレーションは一般化可能だが無理数のテトレーションとなると見当もつかない ていうか有理数で可能ならその極限としてそのまま無理数に持って行けるんじゃ。 f(0)=ω
f(n+1)=ω^f(n)
f(0)=ω
f(1)=ω^ω
f(2)=ω^ω^ω
f(ω)=ε_0
f(ω+1)=ω^ε_0
f(ω+2)=ω^ω^ε_0
f(ω×2)=ε_0^ε_0
f(ω×3)=ε_0^ε_0^ε_0
f(ω^2)=ε_1
f(ω^2+1)=ω^ε_1
f(ω^2+2)=ω^ω^ε_1
f(ω^2+ω)=ε_0^ε_1
f(ω^2+ω×2)=ε_0^ε_0^ε_1
f(ω^2×2)=ε_1^ε_1
f(ω^2×3)=ε_1^ε_1^ε_1
f(ω^3)=ε_2
f(ω^4)=ε_3
f(ω^ω)=ε_ω
f(ω^ω+1)=ω^ε_ω
f(ω^ω+2)=ω^ω^ε_ω
f(ω^ω+ω)=ε_0^ε_ω
f(ω^ω+ω×2)=ε_0^ε_0^ε_ω
f(ω^ω+ω^2)=ε_1^ε_ω
f(ω^ω+ω^2×2)=ε_1^ε_1^ε_ω
f(ω^ω+ω^3)=ε_2^ε_ω
f(ω^ω+ω^4)=ε_3^ε_ω
f(ω^ω×2)=ε_ω^ε_ω
f(ω^ω×3)=ε_ω^ε_ω^ε_ω
f(ω^(ω+1))=ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+1)=ω^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+2)=ω^ω^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+ω)=ε_0^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+ω×2)=ε_0^ε_0^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+ω^2)=ε_1^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+ω^2×2)=ε_1^ε_1^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+ω^3)=ε_2^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+ω^4)=ε_3^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+ω^ω)=ε_ω^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)+ω^ω×2)=ε_ω^ε_ω^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)×2)=ε_(ω+1)^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+1)×3)=ε_(ω+1)^ε_(ω+1)^ε_(ω+1)
f(ω^(ω+2))=ε_(ω+2)
f(ω^(ω+3))=ε_(ω+3)
f(ω^(ω×2))=ε_(ω×2)
f(ω^(ω×3))=ε_(ω×3)
f(ω^ω^2)=ε_(ω^2)
f(ω^ω^3)=ε_(ω^3)
f(ω^ω^ω)=ε_(ω^ω)
f(ε_0)=ε_(ε_0)
f(ε_(ε_0))=ε_(ε_(ε_0))
f(ε_(ε_(ε_0)))=ε_(ε_(ε_(ε_0)))
f(η_0)=η_0 n状態のチューリングマシンでチューリング完全でないものが読み取ることができる関数の上限
ビジービーバー的な関数の値を求めるのはある程度探究されてるがこっち方面も面白そう たとえばSコンビネータだけ、Kコンビネータだけとか。
Iコンビネータだけだと定数関数、ステップ数を数えあげても後者関数にしかならない。 Kコンビネータだけだと加法の計算しかできないし、ステップ数かぞえてもx+aくらいの
関数にしかならんな。
Sコンビネータはいろいろできそうだ。Sを0、SSSを後者関数としてなんやかやと。
Sコンビネータのみに限定したΞ関数は計算可能なはずだが、どれくらいの強さになるだろう。 Sのみによる計算が終了するかどうかを評価するΩコンビネータを考える。ビッゲドンみたいに高階化してもよい。
KのみIのみと違い計算が終了しないことがある。
S(S(SSS))(S(SSS)(SSS))とか
とても強そう。計算可能? バシク行列もそうだけど、チューリング完全よりも弱い言語を対角化した関数を定義できる言語を・・・
という構造は型システムで表現できる。これは見方を変えれば、チューリング完全な言語による
表現の内、計算が終了すると証明できる形(バシク行列でいう標準形)のみを対角化できる言語を・・・
ということになる。型システムの場合は型検査で証明する。バシク行列システムでは
まだもろもろ証明もできてないし、標準形の判断方法も定まっていない。
しかしそれらの問題を解決できたら、CoCはおろかCICをはるかに上回る証明支援システム
として扱うことができるのではなかろうか。 このレベルになると計算可能レベルも計算不可能レベルと同じように言語を開発して殴り合う戦いに
なりそうだ。
出来上がったら証明支援ツールにそのまま応用が利くし、プログラミング業界にも何か恩恵があるかもしれない、
とか適当なことを言ってみる チューリング完全な言語で遺伝的アルゴリズムとか使って巨大数を生成したら
ビジービーバーにどこまで迫れるんだろう？
チューリング完全をはずれて真の乱数生成装置とかが使えると仮定したら
ビジービーバーに追いつく可能性も出てくるんだろうか。 計算可能性の証明って、システムが強力であればある程、必然的になにかしらの巨大基数公理を
生み出すのだな ε0は切がいい順序数のように見えるけどその次の切の良い順序数ってГ0あたり？ 巨大基数公理ってどこまで巨大になっていくんだろ
計算不可能レベルの巨大数も可算基数も不可算基数も、大きさのイメージとかが掴めない
それぞれの違いがわかりやすい解説とか無いのかな >>419
ε_0は文字が変わるから切りがいいように見えて本質はω↑↑ωっていうだけだよ。
ω^ωに比べて大したことない。 >>419
多変数ヴェブレン関数で表すと、
ε_0(イプシロン・ノート) = φ(1,0)
Г_0(フェファーマン・シュッテの順序数) = φ(1,0,0)
どちらの順序数もヴェブレン関数の変数が1個増えるターニングポイントという点では
キリがいいのかも
（※同様の順序数として
ω = φ(1)、アッカーマン順序数φ(1,0,0,0)、小ヴェブレン順序数φ(1,0,…,0)(0がω個)
等がある模様） しかし>>421さんを見るとε_0が人為的に文字に置き換えられてる感も否めなくなるな…
ε0より大きい順序数でもわざわざ新しい記号を使わなくともωだけでも表せそうな気もするし
（例えばω↑↑↑↑ω、{ω,ω,1,2}みたいな感じで）
その方が直感的で分かり易そうなんだが今の所そういう表し方は見た事が無い
やはりこの表し方だと何かしらの問題があるのだろうか？ バードがやっているよ
http://mrob.com/users/chrisb/Beyond_Nested_Arrays_I.pdf
ここに書かれているように、
ω^^(ω+1) = ω^(ω^^ω) = ω^ε_0 = ε_0
となってしまうため、通常の計算規則だとε_0よりも大きくならない。
そこで、バードは
ω^^(ω+1) = ω^(ε_0+1)
かつ、 ω^^β = ε_αのときに
ω^^(β+1) = ω^(ε_α+1)
であると「定義を変える」ことで、ωに関する演算の定義を拡張している。
ただ、このように「定義を変える」ことは必ずしも自明のことではないので、
表記するときにはいちいちことわらなければならないし、
数学的には Veblen 階層や順序数崩壊関数を使う方が自然なので、
そのような表記法はあまり一般的ではない。 {ω,ω,1,2}みたいなのを発展させたのがレギオン配列とかじゃないの？ そう。それで、ω^^(ω+1)がε_0よりも強くならないから、BEAFのテトレーション配列
以上は定義がうまくできていない、と Hyp cos が指摘をした、ということが「巨大数論」の
221ページに書かれている。 なるほど、ありがとう
という事は矢印表記は右結合だからω↑↑…↑↑ωの矢印を幾ら増やそうが
この調子でその拡張であるチェーンやBEAFを使おうが
結局はω↑↑(ωの式)の形に行きついてε_0止まりなのか…
超限順序数ならではの奇妙な現象だ
左結合である下矢印表記を使えばより大きくできるのかとか
そもそもなぜω^ε_0 = ε_0が成り立つのかとか
まだまだ謎が尽きないな
自分でももっと色々調べてみた方がよさそうだ 配列を記述する配列の計算ルールを左結合になるよう変えて成り立つようにしてたよな 御風結界
巨大数を作ったけど
近似してくれないですか
画像で説明したいけど
どう貼り付けたらいいの
ふぃしゅ数ver1.2よりはでかいのはわかってるけど
自分でも大きさがわからない
バード数よりも大きい気がする
タワー数とチェーン表記に行きつくけど
行きつかないくらいでかい感じがする
バードの拡張表記をさらに拡張した感じの巨大数
合成前のスタート地点を(3.3.3.3)$(3.3)と配列表記では定義する ★★★数学徒は論理的な考察により客観的に暮らし、日頃から深い学術を志すべき。★★★
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