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BB＜n次BB＜F4＜ラヨ＜F7＜FOOT＜Little Bigeddon＜FOFT＜Big Bigeddon(未登場) ぶっちゃけBBのデカさは想像がつかない。
もしかしたら人間にBBのデカさを想像することは原理的に不可能なのかもしれないｗ ところで>>249のf(n)って本当に計算不可能か？ いや 16^n - f(n) 個のチューリングマシンが残るまで走らせれば停止性問題が解けることになるから、
計算不可能か。
失礼。 あと1/BB(x)とかBB(x) mod 2とか、いくらでもあるな。 ビジービーバー繋がりで一つ数を作ってみた。
「BB(x+1)-BB(x) が BB(x+2)-BB(x+1) よりも大きい」が成立するような、n番目のBB(x)を k(n) としたときの、 k＾10(100)
ちなみに、k(1)は、BB(1)で、1になるけど、k(2)は、分からない BB mod 2が計算不能かどうかはそんなに自明じゃない wikiaのレイバーのテーブルの記事がおかしい気がするが、あれはZFC+階層内階層基数
の強さで今のところ大きさが見積もられている巨大数の中で最強ということに
なるんだろうか 元々ビッグビッゲドンあってこそのリトルビッゲドンじゃなかったの、知らんけど
計算不可能レベルでは存在を示すことはできても具体的にそれがどういう数かを知ることができない。
おそらく2階集合論を対角化して得られる関数や数にもなると、
存在はしてもその証明は不可能となってくる。
ビッゲドンやらは証明不可能レベルではない? 1階述語論理の性質から、1階の言語で記述されたそれぞれの数について存在するという証明
ができる無矛盾な体系が必ず存在する。もちろん数とされるもの自身が矛盾している場合は論外。
1階のシステムが強力であればあるほど証明が難しくなるが、それだけ巨大な数を生み出せるようになる。
これは計算可能レベルで計算が難しいほど巨大な数を生み出せることに対応する。
計算の難しさ自体を対角化することでビジービーバー関数が得られ、これはいかなる
計算可能関数より強力であり計算不可能である。
計算を証明に置き換えたものがラヨ関数となり、いかなる証明可能関数より強力であり、
ラヨ関数の全域性は1階では証明できない。
こんなところか A(0,a)=ω+a
A(b+1,0)=A(b,ω)
A(b+1,a+1)=A(b,A(b+1,a)) >>269じゃないけど少し計算してみよう
A(3.3)＝A(2.A(2.A(2.A(2.ω))))＝A(2.A(2.A(2.A(1.(2.ω-1)))))
ω-1って何 ωは第ニの0として、A(b+1.aω)＝A(b.(a+1)ω)としてみようかな
＝A(2.A(2.A(2.A(0.3ω))))＝13ω
無知だから間違ってると思う A(0,0)=ω
A(0,1)=ω+1
A(0,2)=ω+2
A(0,3)=ω+3
A(0,ω)=ω+ω=ω×2
A(1,0)=A(0,ω)=ω×2
A(1,1)=A(0,A(1,0))=A(0,ω×2)=ω+ω×2=ω×(2+1)
A(1,2)=A(0,A(1,1))=A(0,ω×3)=ω+ω×3=ω×(2+2)
A(1,3)=A(0,A(1,2))=A(0,ω×4)=ω+ω×4=ω×(2+3)
A(1,ω)=ω×(2+ω)=ω^2
A(2,0)=A(1,ω)=ω^2
A(2,1)=A(1,ω^2)=ω×ω^2=ω^(2+1)
A(2,2)=A(1,ω^3)=ω×ω^3=ω^(2+2)
A(2,3)=A(1,ω^4)=ω×ω^4=ω^(2+3)
A(2,ω)=ω^(2+ω)=ω^ω
A(3,0)=A(2,ω)=ω^ω
A(3,1)=A(2,A(3,0))=A(2,ω^ω)=ω^(2+ω^ω)=ω^ω^ω
A(3,2)=A(2,A(3,1))=A(2,ω^ω^ω)=ω^(2+ω^ω^ω)=ω^ω^ω^ω
A(3,3)=A(2,A(3,2))=A(2,ω^ω^ω)=ω^(2+ω^ω^ω^ω)=ω^ω^ω^ω^ω
A(3,ω)=ε_0 >>272という事は
A(n,ω)＝ω→ω→(n-1) という事になるのか。
A(n,n)＝ω→(n+2)→(n-1) という事になりそう >>273
そうなりますね
多変数化
ω：最初の極限順序数
X：0個以上の（0以上の整数または順序数）
a,b,n：0以上の整数または順序数
x#y：y個のx
A(0#n,a)=ω+a
A(X,b+1,0#(n+1))=A(X,b,ω#(n+1))
A(X,b+1,0#n,a+1)=A(X,b,A(X,b+1,0#n,a)#(n+1)) >>274
三行目がなんかわけわからんが計算してみる
A(1,1,1)＝A(1,0,A(1,1,0))＝A(1,0,A(1,0,ω))＝A(1,0,A(0,A(1,0,(ω-1)))) あれ、また間違えたかな。無理に計算して
A(1,0,A(0,A(0,･･････【ω回】･･････0,A(1,0,0)＝A(1,0,A(0,A(0,･･････【ω回】･･････0,A(0,ω,ω) うーん >>275
３行目の例
A(1,2,3,4)=A(1,2,3,0#0,4)=A(1,2,2,0#0,A(1,2,3,0#0,3)#1)=A(1,2,2,A(1,2,3,3))
A(1,2,0,4)=A(1,2,0#1,4)=A(1,1,A(1,2,0#1,3)#2)=A(1,1,A(1,2,0,3),A(1,2,0,3))
A(1,0,0,4)=A(1,0#2,4)=A(0,A(1,0#2,3)#3)=A(0,A(1,0,0,2),A(1,0,0,2),A(1,0,0,2))=A(A(1,0,0,2),A(1,0,0,2),A(1,0,0,2))
A(1,0,0)=A(0,ω,ω)=A(ω,ω)=ω→ω→ω=ω→(ω)→(ω)を0回再帰的に入れ子
A(1,0,1)=A(0,A(1,0,0),A(1,0,0))=A(A(1,0,0),A(1,0,0))=A(ω→ω→ω,ω→ω→ω)=ω→(ω→ω→ω)→(ω→ω→ω)=ω→(ω)→(ω)を1回再帰的に入れ子
A(1,0,2)=A(A(1,0,1),A(1,0,1))=ω→(ω→(ω→ω→ω)→(ω→ω→ω))→(ω→(ω→ω→ω)→(ω→ω→ω))=ω→(ω)→(ω)を2回再帰的に入れ子
A(1,0,3)=A(A(1,0,2),A(1,0,2))=ω→(ω)→(ω)を3回再帰的に入れ子
A(1,0,ω)=ω→(ω)→(ω)をω回再帰的に入れ子
A(1,1,0)=A(1,0,ω)=ω→(ω)→(ω)をω回再帰的に入れ子
A(1,1,1)=A(1,0,A(1,1,0))=A(1,0,A(1,0,ω))=(ω→(ω)→(ω)をω回再帰的に入れ子)を(ω→(ω)→(ω)をω回再帰的に入れ子)回再帰的に入れ子 A(1,0,0)=ω→ω→ω
A(1,0,n+1)=ω→A(1,0,n)→A(1,0,n)
A(1,0,ω)=ω→A(1,0,ω)→A(1,0,ω) を満たす極限順序数をWとする
A(1,1,0)=A(1,0,ω)=W
A(1,1,1)=A(1,0,A(1,1,0))=A(1,0,A(1,0,ω))=A(1,0,W)=ω→W→W 274を自分流に拡張
定義
ω：最初の極限順序数
X：0個以上の（0以上の整数または順序数）
a,b,n,m：0以上の整数または順序数
@:順序数
x#y：y個のx
A(n#A(n#A････【Aがω個】･･･A(n#n))))･･･))＝B(n)
B(0#(n+1),a)=B(a#(n+1))
B(X,b+1,0#(n+1))=B(X,b,ω#(n+1))
B(X,b+1,0#n,a+1)=B(X,b,B(X,b+1,0#n,a)#(n+1))
B(X,@#m)＝B(X,(@→→m)
計算例 ただしk＝B(ω),J＝B(1,ω#2)
B(1,ω#2)＝B(1,(ω→ω→ω))＝B(1,B(1,(ω→ω→ω-1)))＝【「B(1,」がω→ω→ω回】k＝、、、＝J ハイパー演算子っぽいからBEAFみたいな拡張で良いんじゃない? テトレーション空間というのはある空間に配置された値によって任意の座標が定まる新たな空間を定義する、
という操作について閉じている空間
レギオン空間とはその空間とそこに配置された情報に定義されたもろもろの計算ルールで
新たな空間を定義する、という操作について閉じている空間。そう考えるとあんまり自明ではない。 A(ω#ω)
これはどれくらいの大きさになるんかな？ >>281
A(1#1)＝A(1)＝ω+1
A(2#2)＝A(2,2)＝ω＾4
A(3#3)＝A(3,3,3)＝分からない(法則推理だとω↑↑↑9になったけどもっとでかそう)
A(ω#ω)＝ 法則推理だと ω→(ω＾2)→(ω×2-1) だけどもっとでかそう >>278で思いついた
定義
ω：最初の極限順序数
X：0個以上の（0以上の整数または順序数）
a,b,n,m：0以上の整数または順序数
@:順序数
x#y：y個のx
A[m+1](n)＝A[m](n#A(n#A････【Aがω個】･･･A(n#n))))･･･))
A[0](n)＝ω+n
A[m](0#(n+1),a)=[m](a#(n+1))
A[m](X,b+1,0#(n+1))=[m](X,b,ω#(n+1))
A[m](X,b+1,0#n,a+1)=A[m](X,b,A[m](X,b+1,0#n,a)#(n+1))
A[m](X,@#n)＝A[m](X,(@→→n) FGHで考えると
f[ω↑↑(ω+1)](x)=f[ω↑↑ω](x+1)
順序数部分の右辺をすべて展開しなければ左辺を展開できない。順序数部分を
すべて展開しなければxに関数を適用できない。
そういうわけで順序数のテトレーション以降の右結合って効率が悪い。
SGHではそこそこ効果が出る。 多重括弧がゲシュタルト崩壊してきたので演算子風に
ω（0）n = ω+1
ω（1）n = ω（0）…【n個のn】…（0）n = ω+ｎ
ω（2）n = ω（1）…【n個のω】…（1）ω = ω*ｎ
ω（1,0）n = ω（ω）…【n個のω】…（ω）ω
ω（1,1）n = ω（1,0）…【n個のω】…（1,0）ω
ω（2,0）n = ω（1,ω）n
ω（1,0,0）n = ω（ω,ω）…【n個のω】…（ω,ω）ω
ε_0ぽいものをつくって拡張
α_0 = ω（ω,…【ω個のω】…,ω）ω
α_0（0）n = ω（ω,…【ω（0）n個のω】…,ω）ω
α_0（X）Y = ω（ω,…【ω（X）Y個のω】…,ω）ω
α_1 = ω（ω,…【α_0個のω】…,ω）ω 間違えた
ω（2,0）n = ω（1,ω）…【n個のω】…（1,ω）ω つまりそれって
ω(a+1)n＝ω(a)n(a)n(a)･･･
ってことだと思うけど、それってどういう定義なんですか? あ、修正
ω(1)n＝ω(0)n(0)n(0)･･･
ってことだと思うけど、それってどういう定義なんですか? ハイパー演算子の拡張として定義したから
a（0）nはｈyper（a,0,n）つまりsuc（a）
ω（1）5
= ω（0）5（0）5（0）5（0）5（0）5
= ω+1（0）5（0）5（0）5（0）5
= ω+2（0）5（0）5（0）5
= ω+3（0）5（0）5
= ω+4（0）5
= ω+5 こんなのとか
X：0個以上の、0以上の整数または順序数
a,b,c,d：0以上の整数または順序数
a#b：b個のa
BM(a,0,X)＝ωa
BM(a,b,0#c)＝ωa→→ωb
BM(a,b+1,0#c,d+1,X)＝BM(a#(c+1),BM(a,b,0#c,d,X),d,X)
BM(3,3,3)＝BM(3,BM(3,2,2),2)＝BM(3,BM(3,BM(3,1,1),1))＝BM(3,BM(3,(3ω→→3ω＾2)) >>291って
BM(a,b+1,0#c,d+1,X)＝BM(a#(c+1),BM(a,b,0#c,d,X),d,X) じゃなくて
BM(a,b+1,0#c,d+1,X)＝BM(a#(c+1),BM(a,b,0#c,d+1,X),d,X) だとオモう 自分も参加してみる
→：コンウェイのチェーン表記
ω：最初の極限順序数
X：0個以上の、0以上の整数または順序数
a,b：0以上の整数または順序数
a#b：b個のa
C(0#n,0)=ω
C(0#n,a+1)=C(a)→C(a)→...C(a)回繰り返し...→C(a)→C(a)
C(X,b+1,0#[n+1])=C(X,b,C(ω)#[n+1])
C(X,b+1,0#n,a+1)=C(X,b,C(X,b+1,0#n,a)#[n+1]) >>293 のC(ω)は
f(x)＝ω↓ω↓２とした時の
C(ω)≒f＾ω(ω) かな >>294
想像したよりは大きなかったです
がっくり バシク氏のψ関数はバシク行列を応用して強化されてるんだろうが、
バシク行列を使ってバシク行列を評価するという事態に陥ってるんじゃなかろうか 自分で作ってみた
X : 0個以上の0以上の整数
Y : 0個以上の0
a,b,n,m : 0以上の整数
a#b＝b個のa
ゑn〔〕＝ゑn〔0〕
ゑn〔X,a+1,0＝〕ゑn〔X,a#2〕
ゑn〔X,a+1,b+1〕＝ゑn〔X,a,ゑn〔X,a+1,b〕〕
ゑn〔X,a+1,0,Y,b〕＝ゑn〔X,a,b,Y,b〕
ゑn+1〔Y,a〕＝ゑn〔a#a〕
ゑ0〔Y,a〕＝2*a
ゑY:n〔X〕＝ゑn〔n#(X)〕
ゑX:n+1:0〔X〕＝ゑX:n:n ここからXの代わりにZも使う
ゑZ:n+1:0〔X〕＝ゑZ:n:n〔X〕
ゑZ:n+1:m+1〔X〕＝ゑZ:n:(ゑZ:n+1:m〔X〕)〔X〕
ゑZ:n+1:0:Y:m〔X〕＝ゑZ:n:m:Y:m〔X〕
f0〔a〕＝(ゑ＾a)a#a(〔a#a〕#a)
f(b+1)〔a〕＝(fb)＾a〔a〕
ここでf関数の〔〕の中も多変数にして
f＾9〔9#9〕 をゑゑ数とする θ(α,β)
αをパラメータとしてβを強化する (β≥Ωのときも)
θ(0,b) = ω^b
θ(0,b+c) = b*c
θ(0,b*c) = b^c
残りは後で 多変数のアッカーマン関数を再考
2変数アッカーマン関数
f(0,a)=a+1
f(b+1,0)=f(b,1)
f(b+1,a+1)=f(b,f(b+1,a))
3変数アッカーマン関数
f(0,0,a)=a+1
f(0,b+1,0)=f(0,b,1)
f(b+1,0,0)=f(b,1,1)
f(0,b+1,a+1)=f(0,b,f(0,b+1,a))
f(b+1,0,a+1)=f(b,f(b+1,0,a),f(b+1,0,a))
f(c+1,b+1,0)=f(c,f(c+1,b,1),f(c+1,b,1))
f(c+1,b+1,a+1)=f(c,f(c+1,b,f(c+1,b+1,a)),f(c+1,b,f(c+1,b+1,a))) 4変数アッカーマン関数
f(0,0,0,a)=a+1
f(0,0,b+1,0)=f(0,0,b,1)
f(0,b+1,0,0)=f(0,b,1,1)
f(b+1,0,0,0)=f(b,1,1,1)
f(0,0,b+1,a+1)=f(0,0,b,f(0,0,b+1,a))
f(0,b+1,0,a+1)=f(0,b,f(0,b+1,0,a),f(0,b+1,0,a))
f(b+1,0,0,a+1)=f(b,f(b+1,0,0,a),f(b+1,0,0,a),f(b+1,0,0,a))
f(0,c+1,b+1,0)=f(0,c,f(0,c+1,b,1),f(0,c+1,b,1))
f(c+1,0,b+1,0)=f(c,f(c+1,0,b,1),f(c+1,0,b,1),f(c+1,0,b,1))
f(c+1,b+1,0,0)=f(c,f(c+1,b,1,1),f(c+1,b,1,1),f(c+1,b,1,1))
f(0,c+1,b+1,a+1)=f(0,c,f(0,c+1,b,f(0,c+1,b+1,a)),f(0,c+1,b,f(0,c+1,b+1,a)))
f(c+1,0,b+1,a+1)=f(c,f(c+1,0,b,f(c+1,0,b+1,a)),f(c+1,0,b,f(c+1,0,b+1,a)),f(c+1,0,b,f(c+1,0,b+1,a)))
f(c+1,b+1,0,a+1)=f(c,f(c+1,b,f(c+1,b+1,0,a),f(c+1,b+1,0,a)),f(c+1,b,f(c+1,b+1,0,a),f(c+1,b+1,0,a)),f(c+1,b,f(c+1,b+1,0,a),f(c+1,b+1,0,a)))
f(d+1,c+1,b+1,0)=f(d,f(d+1,c,f(d+1,c+1,b,1)),f(d+1,c,f(d+1,c+1,b,1)),f(d+1,c,f(d+1,c+1,b,1)))
f(d+1,c+1,b+1,a+1)=f(d,f(d+1,c,f(d+1,c+1,b,f(d+1,c+1,b+1,a))),f(d+1,c,f(d+1,c+1,b,f(d+1,c+1,b+1,a))),f(d+1,c,f(d+1,c+1,b,f(d+1,c+1,b+1,a)))) 再考した多変数アッカーマン関数の定義の省略方法を思いつかなかったので挫折
>>274を参考に多変数アッカーマン関数を定義
X : 0個以上の0以上の整数
a,b,n : 0以上の整数
a#b : b個のa
f(0#n,a)=a+1
f(X,b+1,0#(n+1))=f(X,b,1#(n+1))
f(X,b+1,0#n,a+1)=f(X,b,f(X,b+1,0#n,a)#(n+1)) f(0#n,a)=a+1 はもっと強くできると思います
f(0#n,a)＝f(a#n)
f(a)＝a+1 みたいな >>304
こんな感じにしてみた
X : 0個以上の0以上の整数
a,b,n : 0以上の整数
a#b : b個のa
f(a)=a+1
f(0#(n+1),a)=f(a#(n+1))
f(X,b+1,0#(n+1))=f(X,b,1#(n+1))
f(X,b+1,0#n,a+1)=f(X,b,f(X,b+1,0#n,a)#(n+1)) 今思いついたけど
#の記号をa#b#cと並べたら
c×b個のaとできるね
そしてa#a#a#…n個…#aをa##nと表現して
a##nは、a↑n個のaと表現できて
a##a##a##…n個…##aをa###nと表現すれば
a###nは、a↑↑n個のaと表現できるね 多変数アッカーマンの拡張やろうとしたら駄目だったので定義だけ書いておく
X : 0個以上の0以上の'(後述)で区切られた整数
a,b,n,m : 0以上の整数
a(#0)b : 「,」で区切られたaがb個
a(#(n+1))b : 「#n」で区切られたaがb個
' : 「,」もしくは「#n」 オンプ関数を次のように定義する
a(♪0)＝Ack(a,a,a(a回)a)
a(♪b+1)＝a((♪b)＾a)
そして
a(♪♪0)＝a(♪a)
a(♪♪b+1)＝a((♪♪b)＾a)
同様に、♪がいくつあっても
a(♪(c個)♪0)＝a(♪(c-1個)♪a)
a(♪(c個)♪b)＝a((♪(c個)♪(b-1))＾a)
そして、ここで縦に無限に広がるテープを考える。その表の一番前の所に1と書く。テープの二番目からは、前にある数をxとして、
x(♪(x個)♪x)
で、できた数を書く。実際に計算すると一番前は1で、1(♪1)＝2なので、二番目の数は2となる。三番目の数は、
2(♪♪2)＝2(♪♪1)(♪♪1)＝(省略、、)＝Ack(7,7,7,7,7,7,7)(♪1)(♪♪0)(♪♪1) という事になるので、もう巨大な数となる。
さらに巨大にするために、テープを表に拡張させる。ここで、:(横,縦) という表記を用いる事にする。
一番左の行は、前述テープと同じで、二行目からは、まず:(a,1)に1を書き、
:(a,b)＝:(a-1,:(a,a-1)♪) とする。
そうした時の、:(9(♪9),9(♪9)) >>309
a(♪0)はアッカーマンを繰り返しているからω+1
a(♪b+1)＝a((♪b)＾a)は^がべき乗ならあまり意味がない
おそらく十分大きなaに対して (a+1)(♪0) >> a(♪…(a個)…♪a)
後半のテープに書くやつは前の演算を繰り返す操作だから
数字が1増えてω+2
二次元テープのやつはどうなんだろ
内部のアッカーマンとの絡みがないので急激には増えない
アッカーマン的操作なのでωは追加されそう
なのでω2+2+αぐらいな気がする
ω3はいかない気がする べき乗というか、繰り返し
a(♪b+1)＝a((♪b)＾a)＝a(♪b)(♪ｂ)(♪ｂ)(♪ｂ)･･･a回･･･(♪b) X : 0個以上の非負整数
a,b,c,d : 非負整数
m#n : m個のn
A(X,0,0)=1
A(0,b)=b+1
A(X,a+1,0)=A(X,a,1)
A(X,a+1,b+1)=A(X,a,A(X,a+1,b))
A(X,d+1,c#0,0,b)=A(X,d,(c+2)#b)
多次元空間の表を使った手順の計算がやり易そうな多変数アッカーマン関数 そういえば多重リストアッカーマンってまだ厳密に定義されてないんだっけ？
もしかしてε０はペアノ算術超えてるから数式では書き表せないとかいう落ちがあるんだろうか？ ２重リストアッカーマンの解説読んでみたけど
基本的なアイディアはヒドラと同じなのかな？
じゃあヒドラをパクれば多重リストアッカーマンも厳密に定義できるかな？ Alist1(X) 関数は二重リストと同じ
Alist2(0,a)＝Alist1([a#a]#a) つまりaがa個入った[]がa個、さらにそれをリストにして、、、っていうのを考えてみた 1段階でどのくらい強化されるのがちょうどいいんだろうね ωとかを使う、｢ものさし｣の急増加関数の自分版を定義してみた。
n,m:0以上の非負整数
$:ω以上の順序数
$[n]:$の収束列のn番目
Z:0個以上の0以上の非負整数または順序数
f(n)＝n+1
f(Z,0)＝f(Z)
f(Z,n,m+1)＝f＾f(Z,n)(Z,n,m)
f(n,Z,$)＝f(n,Z,$[f(n,Z)])
f($,Z)＝f($[10],Z)
f(n,Z,m+1)＝f＾(n,Z)(n,Z,m) 訂正
f(n)＝n+10
f(Z,0)＝f(Z)
f($,Z,n)＝f($[n],Z,n)
f(n,Z,$)＝f(n,Z,$[f(n,Z)])
f($,Z,$)＝f($[10],Z,$)
f(n,Z,m+1)＝f^f(n,Z,m)(n,Z,m)
f(ω,ω,ω)＝f(10,ω,ω)＝f(10,ω,f(10,ω))＝f(10,ω,f(10,f(10)))＝f(10,ω,f(10,20)).... このスレも将来は巨大数探索スレッド{3,3,3,3}とか表記されるようになるのか >>320
巨大数探索スレッド({3,3,3,3}/2+10＾72+4↑↑↑↑5)とかなったら暗記できなさそう {3,3,3,3}/2+10＾72+4↑↑↑↑5とか切の良い番号ならいいが
切が悪いと表記するのにどうやってもものすごい文字数が必要になる。 そりゃあ4↑↑↑5個のユニークな数を表現しようとしたら4↑↑↑5パターンのユニークな表現を使わざるを得ないから仕方がない。むしろ一番圧縮率が良い表現方法がベタの2進数だし 単純にm種n文字でm^nパターンの数を表現できるということになふぁないか ω：最初の極限順序数
a,b,n：0以上の整数または順序数
X：0個以上の0以上の整数または順序数
a#b：b個のa
a#b+1=a#(b+1)
A()=ω
A(0#n+1)=ω^A(0#n)
A(a+1)=A(0#A(a))
A(0#n+1,a+1)=A(A(0#n+1,a)#n+1)
A(X,b+1,0#n+1)=A(X,b,ω#n+1)
A(X,b+1,0#n,a+1)=A(X,b,A(X,b+1,0#n,a)#n+1)
A(0#ω)=ε_0になるように定義した 以下計算例
A()=ω
A(0)=ω^ω
A(1)=A(0#A(0))=A(0#ω^ω)
A(2)=A(0#A(1))=A(0#A(0#ω^ω))
A(0,0)=ω^ω^ω
A(0,1)=A(A(0,0))=A(ω^ω^ω)
A(0,2)=A(A(0,1))=A(A(ω^ω^ω))
A(1,0)=A(0,ω)
A(1,1)=A(0,A(1,0))=A(0,A(0,ω))
A(1,2)=A(0,A(1,1))=A(0,A(0,A(0,ω)))
A(2,0)=A(1,ω)
A(2,1)=A(1,A(2,0))=A(1,A(1,ω))
A(2,2)=A(1,A(2,1))=A(1,A(1,A(1,ω)))
A(0,0,0)=ω^ω^ω^ω
A(0,0,1)=A(A(0,0,0),A(0,0,0))=A(ω^ω^ω^ω,ω^ω^ω^ω)
A(0,0,2)=A(A(0,0,1),A(0,0,1))=A(A(ω^ω^ω^ω,ω^ω^ω^ω),A(ω^ω^ω^ω,ω^ω^ω^ω))
A(0,1,0)=A(0,0,ω)
A(0,1,1)=A(0,0,A(0,1,0))=A(0,0,A(0,0,ω))
A(0,1,2)=A(0,0,A(0,1,1))=A(0,0,A(0,0,A(0,0,ω)))
A(0,2,0)=A(0,1,ω)
A(0,2,1)=A(0,1,A(0,2,0))=A(0,1,A(0,1,ω))
A(0,2,2)=A(0,1,A(0,2,1))=A(0,1,A(0,1,A(0,1,ω)))
A(1,0,0)=A(0,ω,ω)
A(1,0,1)=A(0,A(1,0,0),A(1,0,0))=A(0,A(0,ω,ω),A(0,ω,ω))
A(1,0,2)=A(0,A(1,0,1),A(1,0,1))=A(0,A(0,A(0,ω,ω),A(0,ω,ω)),A(0,A(0,ω,ω),A(0,ω,ω)))
A(1,1,0)=A(1,0,ω)
A(1,1,1)=A(1,0,A(1,1,0))=A(1,0,A(1,0,ω))
A(1,1,2)=A(1,0,A(1,1,1))=A(1,0,A(1,0,A(1,0,ω)))
A(1,2,0)=A(1,1,ω) >>330じゃないけど a##b＝a#a#a#･･･(b回)、K0＝ω→3→2、Kn＝A(0##K(n-1)) というのを定義したとき
A(0,ω)＝A(A(0,ω-1))＝A(A(A(0,ω-2))＝A＾ω(0,1)＝A＾ω(K0)＝A＾(ω-1)(K1)＝A＾(ω-2)(K2)＝Kω
となりそう。ちなみに K0<ε0<K1<<A(0,ω) A(0#ω)=ε_0
A(0#ω+1)=ω^ε_0
A(0#ω+2)=ω^ω^ε_0
A(0#ω+ω)=A(0#ω×2)=ε_0^ε_0
A(0#ω×2+1)=ω^ε_0^ε_0
A(0#ω×2+2)=ω^ω^ε_0^ε_0
A(0#ω×2+ω)=A(0#ω×3)=ε_0^ε_0^ε_0
A(0#ω×4)=ε_0^ε_0^ε_0^ε_0
A(0#ω×ω)=A(0#ω^2)=ε_1
A(0#ω^2+1)=ω^ε_1
A(0#ω^2+2)=ω^ω^ε_1
A(0#ω^2+ω)=ε_0^ε_1
A(0#ω^2+ω×2)=ε_0^ε_0^ε_1
A(0#ω^2+ω×ω)=A(0#ω^2×2)=ε_1^ε_1
A(0#ω^2×3)=ε_1^ε_1^ε_1
A(0#ω^2×4)=ε_1^ε_1^ε_1^ε_1
A(0#ω^2×ω)=A(0#ω^3)=ε_2
A(0#ω^4)=ε_3
A(0#ω^5)=ε_4
A(0#ω^ω)=ε_ω
A(1)=A(0#ω^ω)=ε_ω A(2)=A(0#A(1))=A(0#A(0#ω^ω))=A(0#ε_ω) ＞ A(0#ε_0^ω^2)=Γ_0 フィッシュの巨大数論を読んで、ご本人のなかではすでに解決してるかも
ラヨ関数は1階の集合論を対角化して得られる関数であり、1階の集合論は1階の述語論理で
記述される。
ラヨ命名する論理式によってある変数a_0はある自然数nに決定される。
1階の述語論理の完全性により、ラヨ命名する論理式の元でa_0=nが真であること
、nでない自然数mについてa_0=mが偽であることがそれぞれ証明可能である。
要するにラヨ命名する論理式が理論的な公理の役割を果たしている。
1階述語論理の完全性が重要でZFCとかフォン・ノイマン宇宙の対角化とかいうのは
あまり重要でないような
いっそのこと証明不可能レベルなんだとふっきれて、証明できないけれどある自然数を決定している
論理式が存在すると言ってしまうのもありだと思う。
ビッゲドンは真理述語が定義不能だからこそ形式的に真理述語を導入することで
強力な表現を可能としているし、さらに階層を高くしていくことでもうくぁｗせｄｒｆｔｇ
なんだろう
階層を高くしていくことで Hardyっぽいの
a, n: 自然数
X: 0個以上の自然数
Y: 0個以上の0
Rule 0. 表記ルール
0-1: (X1(0)X2) = (X1,X2)
0-2: (X1(X2)(X2)X3) = (X1(X2)0(X2)X3)
0-3: (Y(X1)X2) = (X2)
Rule 1. 終了ルール: (Y)[n] = n
Rule 2. 破滅ルール
2-0: (X)+1[n] = (X)[n+1]
2-1: (X)[n] = (next_n(X))[n]
2-2: next_n(X,a+1) = (X,a)+1
2-3: next_n(X,a+1,0,Z) = (X,a,n,Z)
2-4: next_n(X1,a+1(X2)Z) = (X1,a(X2)1{"(next_n(X2))" * n})
(1(1))[3]
= (0(1)1(0)(0)(0))[3] = (1(0)0(0)0(0)0)[3] = (1,0,0,0)[3]
= (3,0,0)[3] = (2,3,0)[3] = (2,2,3)[3] = (2,2,0)[6] = (2,1,0)[12] = (2,0,0)[24] = (1,24,0)[24] = (1,0,0)[2^24*24] = (2^24*24,0)[2^24*24]
= 2^(2^24*24)*2^24*24 = 2^(2^24*24+24)*24 ≒ 10^121210694*6.895
(1,0)[n] = (0,n)[n] = (n)[n] = f_2(n)
(1,0,0)[n] = (n,0)[n] = f_3(n)
(1(1))[n] = (0(1)1,0,0,...)[n] = (1,0,0,...)[n] = f_ω(n)
(1,0(1))[n] = (n(1))[n] = f_ω+1(n)
(1(1)(1))[n] = f_ω2(n)
(1(2))[n] = f_ω^2(n)
(1(1,0))[n] = f_ω^ω(n)
(1(1,1))[n] = f_ω^(ω+1)(n)
(1(2,0))[n] = f_ω^(ω2)(n)
(1(1,0,0))[n] = f_ω^ω^2(n)
(1(1(1)))[n] = f_ω^ω^ω(n)
(1(1(1(1))))[n] = f_ω^ω^ω^ω(n)
たぶん。
リスト部分だけ取り出すと順序数のリスト表記として使える >>335
ZFCやらがあまり重要でないことはないが、最低限自然数に関する公理を事前に準備しておけば
それだけで十分ということか。強力な公理を準備しておけばそれだけ命名する文字数も短くてすむようになるが、
Rayo(n+a)程度の効果にしかならないし、可能性を狭めかねない。
ところでフォン・ノイマン宇宙の対角化というのはラヨ自信の言葉なんだろうか? 順序数崩壊関数をある程度理解してこねこねできるようになったのでこんな関数を作った
θ(0) = 1
θ(1) = ω
θ(ω) = ω^ω
θ(Ω) = ε_0
θ(ε_(Ω+1)) = ψ_0(ψ_1(0))
θ(1,0) = Ω
θ(1,1) = Ω*ω
θ(1,Ω) = Ω*ω^Ω = Ω*Ω = Ω^2
θ(1,Ω^2) = Ω*ω^Ω^2 = Ω*(ω^(Ω*Ω)) = Ω*(ω^Ω)^Ω = Ω*Ω^Ω = Ω^Ω
θ(1,Ω_2) = ε_(Ω+1)
θ(2,0) = Ω_2
θ(Ω,0) = Ω_Ω
θ(Ω_Ω,0) = Ω_Ω_Ω
θ(I,0) = ψ_I(0)
θ(1,0,0) = I
θ(1,1,0) = I_2
θ(1,I,0) = I_I
θ(1,I_I,0) = I_I_I
θ(2,0,0) = χ(1,0)
θ(1,0,0,0) = M
θ(K,0,0,0) = Ξ(K,0)
θ(1,0,0,0,0) = K
こんな関数
多変数のいいところはどれだけでかい順序数を入れてもいいところだよね、とか言いつつ
計算があってるか怪しいし本当に定義できるかどうかも怪しいあやしーた関数
あやしーた関数で定義できないほど大きい巨大基数を仮に∞と置いて順序数崩壊関数的に使える
逆に定義を変えてθ(1,0)=ω_1^CK, θ(1,0,0)=I^CK, ...みたいにして∞=Ωにもできそう
θ(Ω) = ω_1^CK
θ(Ω^2) = I^CK
θ(Ω^3) = M^CK
θ(Ω^4) = K^CK
θ(Ω^ω) = ?
θ(Ω^Ω) = ??
θ(Ω^Ω^Ω) = ???
θ(1,0) = Ω
θ(1,Ω) = Ω^2
θ(1,Ω*2) = Ω^3
θ(1,0,0) = I ビジービーバー関数のそれぞれの値は、任意の推論が妥当かどうかを判断するアルゴリズムが
存在しないほど高度な、健全かつ無矛盾な論証体系で求めることができる（かもしれない）。
そんなもの本当に発見出来たらゲーデルの不完全性定理を計算可能な理論全体で克服できて
ZFCの無矛盾性やらが健全かつ無矛盾に証明できたりするし、そういう言語を対角化することで
現代の論理では根本から及ばないほど強力な関数が出来上がったりする。
フィールズ賞受賞レベル ラヨ数<BIG FOOT<Little Biggedon<ふぃっしゅ数バージョン7<Big Biggedon
かな。定義不可能な関数を導入した方が効率が良さそうだし、それでふぃっしゅ数バージョン8的なものを作りたい。
でももしかしたらDeedlit氏が既に何か作ってるのかもしれない。 どうやら(省略に無理あるけど)
魚4<ラヨ数<魚7<BIGFOOT<リトルビッケドン<サスクワッチ(ビッグビッケドン)
となるみたいですよ リトルビッゲドンについて初歩的な勘違いをしていた。
話変わるけど、oodle theory はウードル論理と訳したほうがいいんじゃなかろうか。
意味ではなく形式を定義するものだから。 logicじゃなくてtheoryだからFirst Order Set Theoryにあわせてウードル論で良さげか
ある言語で記述される理論の総称と考えればただ単に形式を定義したものでもないし >>341
Deedlitは去年の暮れにFOFTという理論を使ってBIG FOFTという巨大数を作っててそれがBig Biggedonが出るまでは長らく一位だったよ
http://googology.wikia.com/wiki/User_blog:Deedlit11/My_humble_extension_of_FOOT?useskin=oasis
比較に関しては
FOFT の func^0_0 = FOOT の Ord
FOFT^1_0 = FOOT
FOFT^1_0 = Little Biggedon の言語 {∈,T} < FOFT^2_0
なので
BB<F4<Rayo<F7<FOOT<Little Biggedon<FOFT<Big Biggedon ミスりました
FOFT^1_0 = FOOT
FOFT^1_1 = Little Biggedon の言語 {∈,T}
<FOFT^2_0
の間違い 可算個の字母集合で記述されるすべての有限の文字列の集合とすべての自然数から自然数への写像
の集合は同じ濃度を持つ。
可算個の字母集合からなる有限の文字列で任意の自然数から自然数への写像を定義すること
はできない。
証明は高校生の宿題にしよう kを非可算な基数とし、
濃度がkより小さい字母集合で記述されるすべての長さがkよりも短い文字列の集合
と、すべての自然数から自然数への写像の集合は同じ濃度を持つ。
が成り立たないとき、kは弱コンパクト基数 変なこと言ってしまったがこれ弱コンパクト基数でもなんでもないわ ↗m(0#n+1)＝n+1
↗0(X[n変数],b+1)＝↗0(X[n変数],b)↑↑↑(n+1)
↗m+1(X[n変数],b+1)＝↗m(↗m+1(X[n変数],b)#n+1)
↗m(X,a+1,0#n+1)＝↗m(X,a,↗m(X,0#n+1,a+1),0#n)
T(n)＝↗n(n#n)とした時の T＾1301(1301) なんかこういうの、無数に考えられてるけど、テキスト入れたら「はい、80点！」みたいに大きさ出てくるようにならないかな。
「はい、それは<f_θ(Ω_ε_ω+1)(0)！」でもいいし >>352
多分計算不能だろう。
テキストに制限をいれたらいけるかもだが。 いや、だいたいの大きさの見積もりをする話で。
みんなやってるじゃん。>>30 みたいな感じで。
2chに書き込めるってことは1024文字以内で見積もれてるわけで。 どう見積もるかにもよる。
計算可能であれば全部<ω^CKですませてもいいんだし ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
