小学校のかけ算順序問題×14 [無断転載禁止]©2ch.net
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> ＡＢＣＤの並べ替えを考える時、あくまで、(ひとつ分)×(いくつ)の形にするなら、（（１×２）×３）×４とでもなるのでしょう。
これって何をひとつ分、いくつ分にしているかだけの問題だよね。[ABCD]という4つのものがあります。
ひとつを選ぶと残りは3つですね。例えばAを選んだら、[BCD]。その3つ分に対して、A〜Dと4つずつあるわけです。
↑4つずつが、
[A]→[BCD]┓
[B]→[ACD]┣3つ分ある
[C]→[ABD]┃
[D]→[ABC]┛
……[???]に対して、さらに1つ選ぶのも同様にできて、1つになるまでの繰り返しになる。
もしこれが「無理な考え方だ」と思えるなら、1×2×3×4が(ひとつ分)×(いくつ分)の形と思うことにも無理がある。
なぜか。まずA〜Dから2つ選ぶ場合を考えてみよう。最初に4つの選択肢があり、次に3つの選択肢になるね。
これは4×3の平面アレイ図で描ける。3つまで選ぶとどうか。立体アレイ図にするしかない。
幸い3つ目まで選べば残りは1つなんで立体アレイ図でかけ算として理解することができる。
でも、A〜Eと1つ増えたらどうか。4次元アレイ図になるよね。もう視覚的に理解するのは不可能になる。
(ひとつ分)×(いくつ分)なんざ、アレイ図までの概念だ。そして2項演算の情報までしか対応できない。
自然数が小数、分数となるなら面積図だな。3項の乗法だと立体的になる。自然数だろうが小数だろうが、ね。
順列みたいに多項の乗法（と除法の組み合わせ）ともなると、もう代数的に仕組みを考えるしかない。
そんなものに、乗法入門の(ひとつ分)×(いくつ分)をいつまでも適用しようってのがね、愚かなわけだ。
似非自由派らしいよね、教えるための便宜的方法を、適用限界を超えて用いて非難するのってさｗ (ひとつ分)×(いくつ分)は日常場面でやたら使えるけど、常に乗法がそれで完結する訳ではないからな。 >>795
単位がついている時は順序はどうでもよく、
助数詞のときは4×3×2×1という順序があると言ってる@sekibunnteisuuはアホですよね。
彼は矛盾を指摘する取り巻き連中が全くいないのも困ったものですよね。
ま、彼の取り巻きも変な連中ばかりですからしょうがないですかね。 単位を分かってないバカがまた現れたか。
速度も距離もキロだから同じと考えてるのが。
順列の2段目移行は条件付きだから
単位は条件で割ってやらないといけない。
4通りの中の1通りに付き3通り
その中の1通りに付き2通り
その中の1通りに付き1通り
となると4x3x2x1の3と2と1は無単位だ。 >>799
それで結局、4x3x2x1に順序はあるの？それとも順序は自由でいいの？ >>800
もちろん計算順序は自由。
順列組み合わせの計算に使われる階乗の計算式をΣで表現すると
1からnまで小さい方から掛け合わせて行く形になる。
それで良いのである。 >>733
一個500円のところを今ならなんと600円で二個買えちゃいます、みたいな宣伝 3.94+5.14=9.1
インド式とかゴースト式とか
計算の仕方の順序は様々なんですけど >>801
ＡＢＣＤの並べ替えを考える時、4x3x2x1とせずに1x2x3x4とやる奴はバカだろ。 10人から4人選んで並べる並べ方は、どう考えても10×9×8×7だよな。
これを7×8×9×10とかく生徒がいたら、「順序はどうでもいいよ」と言うのかな？
それはおかしな教育だね。 答えさえ合ってればいいなら×1は要らないよね
まぁ有ったらダメってこともないけど 5×4×3×2×1を
(5×2)×(4×3)×1と計算できないのが
ゆとりなんだな >>809
一旦5×4×3×2×1と書いた後には色々な計算方法があると思う。
(5×4)×(3×2)×1とか(5×2)×(4×3)×1とかね。
でも最初から1×2×3×4×5とかくのはおかしいし、順序はどうでもいいと言うのもおかしい。 階乗はn!=Π[k=1…n]kだろ？
それって5!=1×2×3×4×5ってことじゃん。
5×4×3×2×1では逆。 >>812
まず階乗の公式ありきでしか考えられない硬直化した人だな。
なぜn人を並べる並べ方がn!になるかを基本に戻って考えてみたらどうかな？
あなたの考え方は本末転倒だな。
こういう硬直化した人はこまったものだ。 >>813
それって、５！と書く前に一旦
５×４×３×２×１と書かないて
順番が違うからバツって意見？
それも何だかなあ >>814
15人から4人選んで並べる並べ方を聞かれたとき、
あなたはどういう式を立てるのかな？ 弋彡´"￣￣'彳｀z;:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ
| ｀!::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::!
' 八:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::!
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}ﾐr､ f三三ﾆ＝ ヽ:::::::::::::::/ r≠ヽ::::::::::::::!
ヽ_ ! :. ＿＿ ',:::::::::/ 夕了! i:::::::::::ﾉ
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/: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :.＼ 「順序は自由でなければならない」というドグマに固執するあまり
逆に不自然な考え方を固持しようとしているのは滑稽だよね。 >>815
１５Ｐ４は１５！／(１５−４)！だから、
１５！のとこで同じ問題が現れるな。 >>817
逆だろう
意味のある順序は一通りだと主張するが故に
Nの階乗N!をΠ_{i=1,N}Nでは表せなくなるという喜劇を
順序固定派の君が>>813,>>815でピエロとして演じているわけだ
N! は 1×2×・・・×(N-1)×N でも N×(N-1)×・・・×2×1 でも
どちらでも良いんだよ
その時々の文脈に応じて考えやすいほうを使えば良い
その自由度が掛け算にはある、というのが順序自由派の主張であり
森先生の様な大数学者が心から愛し数学を発展させる原動力となってきた
数学の持つ自由さの最も初歩的な一端でもあるのだ
小学校の算数は数学という秩序がありながら豊かで自由なや豊かな世界への文字通りの第一歩なのだよ
その自由で豊かな数学の世界への入門を人為的に歪めようとする輩は一種の知的、否、痴的テロリストだ
君のような掛け算順序固定派は一種のカルト教団であり、その信徒としての痴的テロリストに過ぎない
だから部外者から見れば気が狂ってるとしか思えない可笑しな教義を平気で他人に強要し
本物の武装テロリストが平気で将来ある筈の子供達を人間爆弾として使用する様に児童に対して平気で痴的に抑圧するのだ >>818
相変わらず公式を持ち出さないと解けない硬直人間だな。
15人から4人選んで並べる並べ方は、小学生でもできるぜ。
勿論１５Ｐ４なんて使わずに15×14×13×12と言う自然な考え方を用いてだ。
>>819
抽象化されたN! なら、 1×2×・・・×(N-1)×N でも N×(N-1)×・・・×2×1 でも
どちらでも良いは、
あなたは15人から4人選んで並べる並べ方を聞かれたとき、
あなたはどういう式を立てるのかな？
順序自由派は公式を使う方法しかないようだな。
おまえらこそがカルト教団だよ。 ID:4vt3+qg/は教師にいじめられたトラウマでもあるんだろうな。
可哀想に。 >>820
君の場合は掛け算の順番まで固定しないと解けない訳だが（爆笑 >>819
いやいや、教条主義者が算数を歪めているのではなく、
そもそも算数自体が教条主義的であって
数学とは全く異なる氏素性のものなのだよ。
算数は、リテラシーi.e.読み書き算盤の一部なのだから、
「先生が言ったとおりの作業をしなさい」というのが
その本体。むしろ自分では考えないことが推奨される。
数学との関連性は、扱う対象が似ているという副次的なもの。
数学という秩序がありながら自由で豊かな世界へ向かうには、
初等的にせよ高等的にせよ、数学の気風を知って入門する
必要があり、それは算数とは真逆の世界なのだ。
とりあえず小学生は、指導者であると同時に採点者である
先生に従っておきなさい。算数は算数でしかないのだから、
考えても始まらない。考える自由が欲しかったら、大人になって
数学を学べばいい。高校まで進めば、数学教師も理系だから、
あまり無茶な服従は要求しなくなる。自由は我慢の後にある。 >>823
一口に我慢と言ってもする意味のある（学ぶもののある）我慢とする意味のない（学ぶもののない無価値な）我慢とがあるって知らないの？
我慢と言えば何でも正当化できると思ったら大きな間違い
我慢が有意義か無価値かを区別せず他人に我慢の一言で強いる君みたいな人間は単なるサディストかサイコパス
掛け算の順番固定など無価値な我慢、まあ君みたいな石頭には必要なのかも知れないがほとんどの子供には無価値な我慢
君みたいな愚かで頭の悪い人間を救うためにすべての児童に我慢させるなど論外だね
能力別学級にして君みたいな融通の利かない愚鈍な石頭だけ集めて掛け算の順番を決めて教えれば宜しい
そういうレベルの強制が必要なほど愚鈍で石頭の子供は全児童の中で極く一部だよ
君のような極く一部の愚鈍な子を救済するために他の全ての圧倒的多数の子供に犠牲を強いるのは社会にとっては重大な損失だ >>824
実際は逆なんだけどｗ
実際に小２の集団に接してみろよ。リアルに驚くよ。こんな程度なのかって。 >>824
日本でだけ反核運動してる左翼みたいだなwww
掛け算の順序固定が気に入らないならまず米国や英国へ言ってくれよ 抽象的な記号操作の考えが可能となる年齢は15才から20才頃なので、小学生に
数学的な問題を理解させることは生物学的に困難といえます。
それを理解した上で能力ある人材を見つけ出す環境が整っていればよいのですが
給食費すら払えない家庭環境が生じている現在、優先されるべきは能力別
指導ではなく別なのではないのかとも思います。
子供には遊びを通じた体験が良いでしょう。数独やパズルや算数カードゲームの
ようなものから、算数計算に関わる使い方を機械を使って解くという発想を経験させる
ことも大切ですから電卓やコンピュータに触れることを第一に考える授業もよく、
そして見た目でわかりやすい幾何学や立体など扱い、そこから帰結する代数計算
などを学ぶことも良いでしょう。古いですがそろばんも良いと思います。
我慢という表現は適切とは思えませんが、簡単な計算をさせてそれを繰り返して覚える
という行為は大切と思います。
ただある年齢以上になって自由な発想を抑圧すると数学的才能は伸びないと思います。
そういう意味では受験目的の数学は本来の数学ではないということは本当だと思います。
この根本的問題は教育制度の改善が必要となるでしょう。
戦前の旧制高校などの教育制度を歪めた結果が現在の教育制度なのですから。 >>822
15人から4人選んで並べる並べ方を15×14×13×12として解くと
「掛け算の順番まで固定しないと解けない」と言ってるのは
順序自由のカルトの侵された考えだね。
順序自由派のほうが、実は洗脳されているようだね。 >>827
＞抽象的な記号操作の考えが可能となる年齢は15才から20才頃
アホかい。数学に適する年齢は、17歳をピークに7歳から25歳まで。
15歳まで禁止してて、どうするの？ 特殊な学者はどうでもいいんだよ。
パンピーの教育については
小学校2年までは国語算数の基礎の徹底した詰め込みと
息抜きの理科、道徳と一体化した形での社会、これでいい。
算数は四則演算の計算能力を徹底して叩き込む。
文章問題は基礎的な国語力が身についた後でいい。 算数でなく体育の話をしているのかな？
しかも、精神論を中心に。
筋トレもいいが、たまに頭も使ってみないと
馬鹿になるぞ。 スポーツをする前にはしっかりと準備運動をしましょう 卒業まで筋トレしかさせなかったら、
退部者が大量に出ない？ お前、結果出したけど、筋トレ以外のことしたから
減点な！と 「15人から4人選んで並べる並べ方(以下Pと略記する)」は
「15人から4人選んだときの並べる並べ方(以下Qと略記する)」を省略した表現と解釈出来る。
並べられる側から見るとQは
「15人から4人選んだときの並べられる並ベ方(以下Rと略記する)」という解釈になる。
第三者からすると、RはQをいい換えたに過ぎない。RはPをいい換えたに過ぎない。
PをQと解釈すると、確かに並べる側から見て 15×14×13×12 と式を立てるのが自然である。
その一方で、PをRと解釈すると、並べられる側から見て (15-4)+1＝12 人が余って
並べされないことになるから、並べられる側の人を数が小さい方から数えて行き
12×13×14×15 と式を立てるのが自然である。
第三者的には 15×14×13×12 と 12×13×14×15 は同じ式になるわな。
(15-0)×(15-1)×(15-2)×(15-3) か {(15-4)+1}×{(15-4)+2}×{((15-4)+3}×{(15-4)+4}
の2つならどっちでもいいわな。15×14×13×12 か 12×13×14×15 ならどっちでもいいわな。
第三者的には、問題文に出て来る代物が能動的か受動的か
という双対関係があるだけの話で、数学としてはどっちでもいい。
RをPのように省略した表現は「15人から4人選んだ並べられる並ベ方」とでもなるのだろう。 5皿ある。3こずつ林檎がのっている。で5×3は駄目!?
も、結局問題文に出て来る数える(数えられる)代物が能動的か受動的か
という双対関係があるだけの話で、数学としてはどっちでもいい。
…個の「個」は助数詞で物理量ではないし、数学的には単なる言葉遊び。 >>837 並べられる側から見て (15-4)+1＝12 人が余って
余るのは11人だけどな。どこから12という数が来る？お前、頭が不自由か？ >>839
>>837の「(15-4)+1＝12 人」は「15-4＝11 人」の間違いだ。
こんな間違いはすぐに気付いた。 >>837 並べられる側の人を数が小さい方から数えて行き12×13×14×15 と式を立てるのが自然である。
全然自然ではなく、無理があるな。
答えから逆に意味づけしようとしているだけ。
合理性が全くない。 >>837
12×13×14×15の最初の数の12は、どこから来る数なのか？ >>841-842
>>837に
>並べられる側から見て 15-4＝11 人が余って並べされないことになるから、
>並べられる側の人を数が小さい方から数えて行き
>12×13×14×15 と式を立てるのが自然である。
と書いてあるだろ。
並べられる側から見て 15-4＝11 人が余って並べされないことになる
ということは、並べられる側の人からすると、並べられた側から見て
並べられた人を数えるとき小さい方から (15-4)+1＝12 からはじめて
大きくして行って15まで数を増やすように
{(15-4)+1}×{(15-4)+2}×{((15-4)+3}×{(15-4)+4} 人
と数えて行くことになる。15×14×13×12 (人) という式の立て方も、
並べる側から見た式の立て方だから、正確には
(15-0)×(15-1)×(15-2)×(15-3) (人) と式を立てるのが正しい。 >>841-842
>>843の下から3、4行目では
>{(15-4)+1}×{(15-4)+2}×{((15-4)+3}×{(15-4)+4} 人
>と「式を立てる」ことになる。
だな。 >>843 並べられた人を数えるとき小さい方から (15-4)+1＝12 からはじめて大きくして行って15まで数を増やすように
言ってることが支離滅裂だな。
積の法則も無視して、無理やり12×13×14×15を作ろうとしているにすぎない。
数学的合理性は全くない。ただの辻褄あわせを強引にやってるだけ。 >>841-842
>>843の「15-4＝11 人が余って並べされないことになる」も
「15-4＝11 人が余って並べられないことになる」だな。
文章として変だな。 >>847
文章というよりも、お前自体が完全におかしい。 >>845-846、>>848
物理か組合せ論的な考え方が出来ないと、並べられる、並べられるとかの
能動的か受動的かの双対関係に基づくような考え方は分からんだろうな。
何いっているか趣旨は分かんだろう。 >>845-846、>>848
>>849の「並べられる、並べられる」は「並べる、並べられる」の間違いだな。 >>849 物理か組合せ論的な考え方
物理も組合せ論的な考え方も関係ないな。
並べる、並べられる、もカウントの仕方は同じ。
双対関係では全くない。
お前の言ってることは、ただの錯乱。 >>851
物理では、何を基準にして考えるかに細心の気を払うことは日常茶飯事である。
組合せ論も、数え上げて行くことについては細心の気を払う。
物理的考え方か組合せ論的な考え方が出来れば、趣旨は分かる筈である。 算数おじさんじゃないかな？
強権不快に「こう教えてます」を
正当化するために、いろいろやるから
話が長い。もってまわった、というかねえ。 >>807
10人から2人選んで並べる並べ方を樹形図で描くと
それぞれ1個あたり枝が9本ある点が10個になって9*10
多分そんなストーリー >>838
結果的に数学的には整数の交換則が成りっているからこその発言だなｗ
小学生低学年にはそれがなりたつかわからんし >>856
それを教えるのが、教育じゃないんかね。
生徒が「九九表って対称だよね」と思いながら
小学生故に証明の手段を持たないとき、
放置するってのはどんなもんかな？ >>857
あなたは証明できるんですね？
どうやって掛け算の可換性を証明するんですか？ >>857
乗法の交換則なんて大学の数学科だって証明しないで公理で扱うだろｗ
分配則の成立を仮定すれば直ぐに証明できるけど、何やら分配則に押しやっている感じ。 >>860
証明できます
分配法則も交換法則の仮定も必要とせずに 証明っぽい体裁のものが書けるか
「自明」の一語で終わるかは、
有理数の乗法をどう定義した文脈での
証明かしだいだな。
好きにやっていいなら、公理にしとく
ほうの定義が好きだが、
公理にしろペアノ式にしろペアノもどきにしろ
小学生に証明を教えようというのは賛成できない。
必要なのは、「よく気づいたね」と言って
天下りに交換法則を認めてやることだ。
有理数とはどんな性質をもつ系かを
きちんと教えてあげること。 >>863
その通りですが、交換法則が成り立つからといって掛け算に順番はないことにはならないですよね >>863
それは天下り的じゃないよね。
子供に気づかせるのは重要で、まあそこで成り立ったことは確認するって事で、
更に多数回の計算による確認を省略するんだけどね。
でも、スレの本質とは別に「交換則のしっかりとした証明」が提示されたらそれはそれで良いと思うから
聞いているわけだが。 >>865
それを言うなら、本人が気づいているものを
まだ授業で「確認」していないといって
規制するのはオカシイだろ。一貫してる？ >>866
一人が気づいても、全員のモノにならんとダメなんじゃないの？
クラスが一人だけの田舎の学校ならそういう授業もあり得るかも知れないけどさ。
また、教師はえこひいきできんし、誰がどこまで「気づいているか」ってのを一々把握しなきゃ
ならんとしたらとてつもない労力だと思わないのかい？ >>866
立式は式自体の意味が大事なんですよ
証明問題解くのに全部自明、で終わらせたらダメですよね
立式にそういう意味を求められている以上、掛け算が一つ分×いくつ分と定義されている以上、どっちでも答えは同じだからどっちでもいいんだ、はダメなんです >>860
>乗法の交換則なんて大学の数学科だって証明しないで公理で扱うだろｗ
大学の講義で扱う範囲にも限界があるし、講義なんてあてにならん。
習わないなら、自分で勉強するんだよ。それが正しい学習の態度だ。
昔は講義でも扱っていたそうだけどな。 >>869
>昔は講義でも扱っていたそうだけどな。
分配則あたりを公理にするって手法でしょ？多分。
まあ、乗法の素朴な定義が分配則そのものだという話もあるが、実数の場合はどうなんだろうね。 >>870
ペアノの公理で自然数を定義して、自然数の組みで整数を定義して、整数の組みで有理数を定義して、有理数の集合で実数を定義する
こういう風に段階を踏んでいけばちゃんと証明することは可能です
数の構成とかでググればすぐ出て来ます >>871
あったあった。懐かしいね。
ざっと見ると確かに余分な公理はない気がするなあ。ありがとう。 >>870
教育学部の数学科の事情は知らないが、
昔は理学部の数学科では実数の場合も講義で扱っていた。 >>873
いや、知らなかったから聞いたのだし、それを参考にして実際にざっと見て、感謝の意を伝えたのだが…
ただ、本当に「ざっと見た」だけだからなｗ 高木貞治も算術ではかけ算の順序を説いているから
掛け算の順序はあるんだよ。 出典のない
>高木貞治も算術ではかけ算の順序を説いている
という根拠に欠ける文と、Wikipediaの
>2014年、志村五郎は、『数学をいかに教えるか』のなかで掛け算の順序の章に
>4ページをさき、「結局どちらでもよいのにどちらが正しいかを考えさせるのは
>余計なあるいは無駄なことを考えさせているわけである」と指摘し、
>そんなことはやめるべきであると論じた[46]。
という文とでは、後者の方が信憑性はあるな。
出典を出さず、根拠に欠けることに基づいて
誰それが何某はあるといっているから何某はある
というような判断は、論理的思考でもなく科学的思考でもない。
高木貞治がかけ算の順序を説いているかどうかは大抵の人は知らないだろう。 国民栄誉賞までもらったが、国籍は台湾だよ。
本人も、日本の野球人だと言ってたけど。 最近は「順序こそが大切だ」みたいな書き込みが散見してるように見えるな・・ 長方形の縦と横のように乗数と被乗数の区別がつきにくいものもあるが
明確に乗数と被乗数の区別がつく場合もある。
その場合は乗数と被乗数の区別をつけるために
敢えて順序をつけようということ。
ある程度掛け算がわかってしまえば順序はどうでもよいが、
小学校低学年では乗数と被乗数の区別をつけさせる必要がある。
小学生では乗数と被乗数の区別がついていない子は、いくらでもいるだろう。
そういう子に安直に丸をつけるのは、いかがなものか。 >>882-883
掛け算順序は、掛け算の導入期にはシカタナイ部分もあり、
先生ばかりを責められはしないのだが、教える便宜優先で
それが掛け算の定義であるとか、順序を遵守しない生徒は
掛け算の意味が解っていないとか、荒唐無稽な話が多すぎる。
そういう部分が、算数教育のどうにも好きになれない所だ。
小学生の場合、答案に自分の考えを記述できない国語力の
生徒があることは、残念であるにしても仕方のないことで、
採点者は、説明なくだらだら書きっぱなしにされた数式から
生徒の考えを推定しなければならない。そこの便宜のために
式を見れば考えが判るような式の書き方を算数固有に設定して
それを守った場合にのみ解っているとみなすというやり方は、
先生にとって効率的合理的だ。ただ、それが主に算数指導者の
利益のために恣意的に設定されたルールであるということは、
ある程度理解の進んだ生徒の目には明らかなことなので、
信頼を失ったり嫌悪感を持たれたりする可能性は大きい。
この話題で騒いでいるのは、そういう所から
子供のころの教育不信を引きずっている連中でしょう？
つまらないことだが、正しい評価ではあるよね。 >>884
そうだね。
便宜的なものであるというのは否めないし、固定さえすれば良いと考えるとか止めて欲しいよね。 式を書かせるのではなく、考え方を書かせるようにするばいい
そうすれば、2×3だの3×2だの式だけ書いてるようなのはどちらも減点どころか容赦なくﾊﾞﾂにできるからな そのためのネックは、国語力の貧困だ。
子供の論理的な思考力は１５歳からとか
全てを諦めて放棄するとこから始まってる
文章力の教育で、何を答案に書かせようというのか。 考え方を書かせるのも悪くはないだろうけど、割としっかりめに書かせないとダメかも。
例えば問題文のコピペの如く5皿に3個ずつだから5×3(又は3×5)という回答案をどう評価するか・・ 考えを書かせても、結局は何らかのひな形に落とし込む形に低学年はせざるを得ないから、
ここにいる多くの人が嫌うだろう、暗記教育に陥ってしまうのは必定だよｗ
しかも、算数の授業なのに国のの書き方のような授業に。 >>888
それだと0点だね
5皿に3個ずつをどのように認識したのかを表現しなくちゃダメだよ 考え方を見て採点した結果同じ式でも○×が違ってくると、うちの子が×なのはおかしいと暴れ出すモンペ対策で仕事にならないんだろうなw 学校内で行うテストは返却しなけりゃ解決だな
到達度とか知りたかったら外部模試を受けさせればいいね テストだけでなく、授業もプロの教育産業に外注すれば、
教師も生徒も幸せになる。問題はコストか、、、 そうなっても、今の授業の流れは順序固定で変わらないかと 教師がプロじゃないなら誰がプロなんですか？
教員採用試験にも合格できない塾講師様とかですか？ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
