ピタゴラス数をなんと 〜荒らされたので立て直しました〜 [無断転載禁止]©2ch.net
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自分で作ったプログラムでa^2+b^2のaが35万以上計算しました。 100万以上に向けて頑張りたいと思いますので 応援お願いいたします。 プログラムにバグがあった場合抜けている数があると思うので その点には留意いたしたいと思う次第であります。 クヌス先生が一九七〇年に『古代バビロニアの算法』なんていう 論文を書いていたというのは知らなかった ……。 >>118-123 原始…に限らなければ (m,n) や (p,q) と1対1の対応が可能かも。 もしそうなら、カントル流でナンバリング可能か。 原始…に限ると、原始と非原始の個数をカウントする必要が出てきて、面倒なことにならぬか。 一般の場合は、自由に与えた二数(r,s)に対し、a=|r^2-s^2|、b=2r*s、c=r^2+s^2なんかを使って、 ピタゴラス数を定めればよい(だけ?)ので、あとは、(r,s)に対するナンバリングのルールの設定だけですよね。 この方法に準じ、原始に限る場合は、二数が互いに素である必要があります。面倒そう、と思うのは自然だ と思います。しかし、それは、(r^2-s^2)^2+(2r*s)^2=(r^2+s^2)^2 の公式を使おうとするからです。 全ての原始ピタゴラス数は、ある三分木構造に埋め込むことができることが知られています。 三分木の各ノードをナンバリングすれば、原始ピタゴラス数をナンバリングしたことになります。 あるいは、有理数と原始ピタゴラス数は一対一(※)に対応可能であることを利用し、 有理数のナンバリングに沿うような形で、原始ピタゴラス数をナンバリングすることもできます。 ※:原始ピタゴラス数(a,b,c)と(b,a,c)を別物として扱うことで、区間(0,1)の有理数と一対一に対応 このスレッドには、大きく2種類の原始ピタゴラス数をナンバリングするプログラムをアップしてあります。 一つは三分木への埋め込みを利用する方法で、もう一つはファレイ分数を利用する方法です。 番号から原始ピタゴラス数への変換、及び、逆変換をlog(n)オーダーの計算量で実現できることを示しています。 (それぞれ、>>119 と >>156 からいけます。) >>原始…に限ると、原始と非原始の個数をカウントする必要が出てきて、面倒なことにならぬか。 私も当初、ファレイ分数の方は、φ関数の様な物を用意する必要があるかと思いましたが、 発想の転換で必要とせずにプログラミングできました。 「ペル方程式」 2aa - bb = 1, をみたす (a,b) について (2aa)^2 + (bb)^2 = 2(2aa)(bb) + (2aa-bb)^2 = (2ab)^2 + 1^2, (a/b)^2 + (b/2a)^2 = 1^2 + 1/(2ab)^2, 例えば 50^2 + 49^2 = 70^2 + 1^2 = 65^2 + 26^2, (5/7)^2 + (7/10)^2 = 1^2 + (1/70)^2 > 1, 〔三平方の定理〕 自然数Nが三個の平方数の和で表されるための必要十分条件は n≧0, k≧0, a∈{1,2,3,5,6} により N = (4^n)(8k+a) と表わされることである。 必要性は容易に示せる。 十分性はルジャンドル(1798)によって証明されたが、二次形式に関する議論を要し、複雑である。 Melvyn B. Nathanson, "Additive number theory : the classical bases", GTM 164, Springer-Verlag, New York, Tokyo, (1996) の第1章を参照。 >>269 √2 = 1 + 1/{2 + 1/[2 + 1/(2 + ・・・・)]} = 1 + [2,2,2,2,2,・・・・], 白銀数 1 + √2 = 2 + [2,2,2,2,・・・・], 黄金数 φ = (1+√5)/2 = 1 + 1/{1 + 1/[1 + 1/(1 + ・・・・)]} = 1 + [1,1,1,1,1,・・・・・] >>270 √3 = 1 + 1/{1 + 1/[2 + 1/(1 + 1/(2 + ・・・))]} = 1 + [1,2,1,2,1,2,・・・・] 〔三平方の定理〕 自然数Nが三個の平方数の和で表されない条件は n≧0, k≧0 により N = (4^n)(8k+7) と表わされることである。 〔補題3〕 a) 直角三角形の三辺が自然数のとき、その面積は平方数でない。 b) 2つの4乗数の差は平方数でない。 (x^4 - y^4 = zz は自然数解をもたない。) c) 3つの平方数が等差数列をなしているとき、公差eは平方数でない。 (d-e, d, d+e; e) が4つとも平方数にはならない。 a) → b) x^4 - y^4 = zz に自然数解があったとすると、 (x^4-y^4, 2(xx)(yy), x^4+y^4) が直角三角形の三辺となり しかも面積は (xyz)^2 で平方数となり、 a) に矛盾する。 a) ⇔ c) 栗原将人:「フェルマーとワイルスと」 数理科学 (サイエンス社), No.374, p.46-51 (1994/Aug) a) (a,b,c) を直角三角形の三辺、aa+bb=cc とする。 a,b は互いに素としてよい。aを奇数、bを偶数とすると a = dd - ee, b = 2de, と書ける。従って ab/2 = de(d+e)(d-e), a,b は互いに素だから (d-e,d,d+e; e) も互いに素。 ここで、 (a,b,c) は面積 ab/2 が平方数である直角三角形 のうち最小のものと仮定する。 (d-e,d,d+e; e) は4つとも平方数で d-e = ii, d = ff, d+e = hh; e = gg, (f,g,h,i は互いに素な自然数) と書ける。 (h+i)(h-i) = hh - ii = 2e = 2gg から h+i,h-i の一方が平方数で、他方は平方数の2倍である。 h+i,h-i が共に偶数だから h = jj + 2kk, i = |jj - 2kk| (j,kは自然数) と書ける。 f^2 = d = (hh+ii)/2 = (jj)^2 + (2kk)^2, となる。従って (jj,2kk,f) が直角三角形の三辺となり その面積は (jk)^2 で平方数となる。 つまり、(a,b,c) より小さな直角三角形で同じ条件を みたすものが存在することになる。 しかしこれは (a,b,c) の最小性と矛盾する。 (終) b) 省略 x^4 + y^4 = zz が自然数解をもたないことが次にある。 A.O.ゲルフォント:「方程式の整数解」 東京図書 数学新書5 (1960) 銀林 浩:訳 c) (d-e,d,d+e; e) は4つとも平方数である組のうち、 最小のものと仮定する。 (d-e,d,d+e; e) = (ii, ff, hh; gg) (f,g,h,i は互いに素な自然数) と書ける。 (h+i)(h-i) = hh - ii = 2e = 2gg から h+i,h-i のうち一方が平方数で他方が平方数の2倍である。 (h+i,h-iが共に偶数だから) h = jj + 2kk, i = |jj - 2kk|, (j,k は自互いに素な自然数) と書ける。 ff = d = (hh+ii)/2 = (jj)^2 + (2kk)^2, となる。従って (jj,2kk,f) が直角三角形の三辺となる。 jj = DD-EE, kk = DE, f = DD+EE (D,E は互いに素な自然数) と書ける。その面積は DE(D+E)(D-E) = (jk)^2 = (平方数), (D-E,D,D+E; E) は4つとも平方数である。 つまり (d-e,d,d+e; e) より小さな4つ組で 同じ条件をみたすものが存在することになる。 しかしこれは (d-e,d,d+e; e) の最小性と矛盾する。(終) >>316 d) 1以外の三角数は4乗数でない。 ( n(n+1)/2 = m^4 は m≧2 なる整数解を持たない。) n(n+1)/2 >1 が4乗数であれば n, n+1 のうち一方が4乗数で他方が4乗数の2倍。 ∴ x^4 - 2y^4 = ±1 に整数解 (x,y) がないことに帰着する。 e) yy = x^3 - x (楕円曲線) は y≠0 なる有理点 (x,y) を持たない。 (証明略) >>318 〔補題〕 x^4 + y^4 = zz は xyz≠0 となる自然解 (x,y,z) をもたない。 (略証) 題意をみたす (x,y,z) のうち、zが最小のものをとる。 x,y,z は互いに素であるとしてよい。 xを奇数、yを偶数とすれば xx = aa - bb, yy = 2ab, z = aa + bb, (aは奇数、bは偶数、互いに素な自然数) をみたす整数 a, b が存在する。 2abは平方数だから、aは平方数、bは平方数の2倍 a = ZZ, 2b = ss, また、xx=aa-bb から x = mm - nn, b = 2mn, a = mm + nn, (m,nは互いに素な自然数で、偶数と奇数) をみたす整数 m, n が存在する。 mn = b/2 = (s/2)^2, となり m, n は互いに素だから m = XX, n = YY, (X,Yは互いに素な自然数) ∴ X^4 + Y^4 = nn + mm = a = ZZ, となる。ところが z = aa + bb > aa = Z^4, だから 0 < Z = √a < z^(1/4) (z>1) つまり (x,y,z) より小さな (X,Y,Z) で 同じ条件をみたすものが存在することになる。 しかしこれは (x,y,z) の最小性と矛盾する。(終) A.O.ゲルフォント 「方程式の整数解」 東京図書 数学新書5 (1960) p.71〜74 ピタゴラス数は、 y^2=2x+1のyに任意の有理数を代入すれば、求めることが出来ます。 491色川高志「井口千明の金属バット集団殴打撲殺を熱望します」2018/10/18(木) 18:33:15.90ID:78662J73 龍神連合五代目総長・井口千明(葛飾区青戸6−23−19)の挑発 井口千明「糞関東連合文句があったらいつでも俺様を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 糞関東連合の見立・石元・伊藤リオンの糞野郎どもは 龍神連合四代目総長の俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!! 糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」(挑戦状) 492盗聴盗撮犯罪者色川高志(青戸6−23−21ハイツニュー青戸1032021/02/03(水) 13:53:22.55ID:QtP78E4Z ●青戸六丁目被害者住民一同「盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父の逮捕を要請します」 長木親父&長木よしあき(盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父を逮捕に追い込む会&被害者の会会長)住所=東京都葛飾区青戸6−23−20 ●盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者/アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父 高添沼田ハゲエロ老義父の住所=東京都葛飾区青戸6−26−6 【通報先】亀有警察署=東京都葛飾区新宿4ー22ー19 рO3ー3607ー0110 盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者/アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父の盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者/愛人変態メス豚家畜清水婆婆(青戸6−23−19)の 五十路後半強制脱糞 http://img.erogazou-pinkline.com/img/2169/scatology_anal_injection-2169-027.jpg アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父によりバスタブで清水婆婆の巨尻の肛門にシャワーのキャップをはずしてずっぽり挿入。 そして、大量浣腸。 勢い良く噴出!腸内洗浄状態です。 http://101.dtiblog.com/b/bodytk9690/file/kan01.jpg 浣腸器と異なりどくどくと直腸内に注入され清水婆婆は激しくあえぎます >324 >>322 y=1 訂正します。 ピタゴラス数は、 y^2=2x+1に、y>1の有理数を代入して、xを求めれば得られます。 a = 5√2 - 4√3, b = 3√3 - 5, c = 3√2 - 4, とおくと 3a + 4b - 5c = 0, ∴ a^2 + b^2 - c^2 = (-2a -b +2c)^2 + (c-a)(3a+4b-5c) = (-2a -b +2c)^2 = (-3 -4√2 +5√3)^2 = {2/(147 + 104√2 + 85√3 + 60√6)}^2 ≒ (1/294)^2, ∴ a:b:c ≒ 3:4:5, aa + bb = cc = 65^2 をみたす自然数 (a, b) の組を求めよ。 (略解) a = k(mm - nn), b = k(2mn), c = k(mm+nn), k>0, m > n > 0, とおく。 (k,m,n; a,b) = (1,8,1; 63,16) (5,3,2; 25,60) (1,7,4; 33,56) (13,2,1; 39,52) d = 5√3 - 4√2 = 3.00340 e = 4√3 + 5√2 = 13.99927 とおくと dd + ee = (5^2+4^2)(3+2) = 41・5 = 205, √2 =(-4d+5e)/41, √3 = (5d+4e)/41, ここで d≒3, e≒14 とすれば √2 ≒ 58/41 = 1.41463 √3 ≒ 71/41 = 1.73171 a = 5√2 - 4√3 = 1.00005207 / 7, d = -4√2 + 5√3 = 3.003399788 より dd - aa = (5^2-4^2)(3-2) = 9, √2 = (5a+4d)/9, √3 = (4a+5d)/9, ここで a ≒ 1/7, d≒3 とすれば √2 ≒ 89/63 = 1.41270 √3 ≒ 109/63 = 1.73016 三平方の定理「最古の応用例」 3700年前ごろの古バビロニア (現在のイラク) の遺跡から見つかった粘土板に、 数学の「三平方の定理」を使った正確な直角三角形が描かれていたことが分かった。 http://www.asahi.com/articles/ASP876HGDP86ULBJ009.html 2021/Aug/08 08:00 てことは「ピタゴラスの定理」ぢゃなかったのか ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.5 2024/06/08 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる