ピタゴラス数をなんと　～荒らされたので立て直しました～ [無断転載禁止]©2ch.net

**旭=1000** · 2016/11/02(水) 07:53:23.97

自分で作ったプログラムでa^2+b^2のaが35万以上計算しました。
100万以上に向けて頑張りたいと思いますので
応援お願いいたします。
プログラムにバグがあった場合抜けている数があると思うので
その点には留意いたしたいと思う次第であります。

**Mr.Moto** · 2018/09/27(木) 10:38:12.95

>>272
こっちが正確な値です。どーも失礼いたしましたー

1 : (m = 5, n = 12) {119, 120, 169}:1.9834027
2 : (m = 27, n = 64) {3367, 3456, 4825}:1.9491584
3 : (m = 32, n = 75) {4601, 4800, 6649}:1.9188021
4 : (m = 54, n = 125) {12709, 13500, 18541}:1.8862479
5 : (m = 4, n = 9) {65, 72, 97}:1.8150077
6 : (m = 9, n = 20) {319, 360, 481}:1.7851928
7 : (m = 25, n = 54) {2291, 2700, 3541}:1.7199837
8 : (m = 15, n = 32) {799, 960, 1249}:1.6927094
9 : (m = 64, n = 135) {14129, 17280, 22321}:1.6685523
10 : (m = 12, n = 25) {481, 600, 769}:1.6426694
11 : (m = 40, n = 81) {4961, 6480, 8161}:1.5861225
12 : (m = 1, n = 2) {3, 4, 5}:1.5625
13 : (m = 81, n = 160) {19039, 25920, 32161}:1.5395334
14 : (m = 64, n = 125) {11529, 16000, 19721}:1.5192103
15 : (m = 25, n = 48) {1679, 2400, 2929}:1.4894168
16 : (m = 8, n = 15) {161, 240, 289}:1.4500173
17 : (m = 27, n = 50) {1771, 2700, 3229}:1.4302388
18 : (m = 2, n = 7) {28, 45, 53}:1.3871605
19 : (m = 9, n = 16) {175, 288, 337}:1.369225
20 : (m = 72, n = 125) {10441, 18000, 20809}:1.3364645

**Mr.Moto** · 2018/09/27(木) 15:48:05.56

このスレの >>116 以降にチョッカイを出していたのだが、
いちおう >>273 までで役割は果たしたと思う
（>>1 も、たぶん >>267 あたりの時点で、やり尽くした感が
あると思う）ので、あと 700 エントリくらいは、適当に埋めちゃう
ことにする。
そんなわけで、次スレに関しては、雑談の一部として
議論してもらって、なんかしらテーマがあったら
別途立てていただきたいと思うが、その点に関しては
「>>1 氏はどう思う？」とお伺いを立てておきたいが、
まぁオレが立てたスレでもないんで、
オレが口を出すような話でもない。

とりあえず、プリンプトン３２２に関しては、いわゆる
ピタゴラス数に関する議論の出発点としての
歴史的な意味があるので、雑談っぽく埋めてゆきたいと
思っている。たぶん連投になっちゃうだろうけど
（質問等に関しては、「流れをぶった切ってしまって申し訳ない」
みたいな配慮はしなくていい。そもそもが「荒らされたんで立て直した」
みたいなスレでもあるし。だよな？ >>1）

つーコトで、よろしく。苦情等があれば（つーか、>>1 氏に
してみれば、途中からオレが脱線してるんで、不本意な部分は
あると思うので、そこは言ってもらえるとありがたい）、
適宜書き込んでほしい。

Mb · 2018/09/27(木) 15:53:51.53

とりあえず、
ID:6r9Vk7wm 氏と
ID:Z3ZHtaSh 氏には、
非常に感謝している。
ありがとう m(_ _)m

学術 · 2018/09/27(木) 19:14:00.42

これ面白いね。計算が間違う方が面白いんじゃないの、数学の癖というモノが
反比例の高次関数だから。

学術 · 2018/09/27(木) 19:17:30.88

左利きの数学者のつぶれ方って面白いよ。数字は右利き用だから、迫害され、
才気も届くことはない。

**Mr.Moto** · 2018/09/27(木) 19:39:51.31

ところで、>>271 の件なんだが、
> 11 : (p = 1, q = 3) {3, 4, 5}:1.5625
つーのは、倍率を M として、
「11 : (p = 1, q = 3:m = 1, n = 2:M=15) {45, 60, 75}:
[(対角線の二乗 / 長辺の二乗)の六〇進数による表記](≒1.5625):
[長辺 / 短辺の比の値（この場合は ≒1.33）];
みたいに表しときゃいいのかね？
「授業で使うんなら、そっちの方が便利」っちゅー気がするんだが。

式としちゃあ、V_(p, q) と W_(m, n) でいいとは思うんだが、
エウクレイデスとプラーマグプタだと思うと、
E(p, q) と P(m, n) というのが粋っちゃあ粋だと思うんだが。

**Mr.Moto** · 2018/09/27(木) 19:49:42.37

>>202
申し訳ない。
> 互いに素な奇数 0 ＜ s ＜ t を用いて
はちゃんと読んでいるんだが、
いろいろ試行錯誤する過程で
なんとなく p と q を使っていたので、
>>278 では、それを踏襲しただけだ。
「尊重しない」といった意味合いはないので、
気に障られたら勘弁していただきたい m(_ _)m

Mb · 2018/09/27(木) 19:53:36.72

>>277
> 左利きの数学者のつぶれ方
久留島喜内 (wwwww

**Mr.Moto** · 2018/09/27(木) 20:42:21.09

てなワケで、
１）E(p, q) ＝ { (q^2 - p^2) / 2, p * q, (p^2 + q^2) / 2 }
（p, q は、互いに素な奇数。ただし 0 < p < q）
２）P(m, n) ＝ { n^2 - m^2, 2 * m * n, m^2 + n^2}
（m, n は、偶奇が異なる互いに素な自然数であり、0 < m < n）
という話になるのだが、困ったことに、こう定義すると、
E(p, q) ＝ {偶数項, 奇数項, 斜辺(=対角線。奇数)}
P(m, n) ＝ {奇数項, 偶数項, 斜辺(=対角線。奇数)}
という、いやらしいコトになる。古代メソポタミア的な
気分でいうと、
{短辺, 長辺, 対角線}
みたいな形にまとめたい気がするのだが、そうなると
{p, q} および {m, n} について「どういう条件で
『偶数辺 < 奇数辺』あるいは『奇数辺 < 偶数辺』が
成り立つか」っていう話になるので、これがまた
そこそこ面倒臭い（つーか、高校生でも解るような
簡単な話なんだが）コトになるので、これはこれで
授業に使えるネタではあると思う。

**Maria** · 2018/09/28(金) 08:41:52.32

うちのマヌケでズボラな同僚が、いろいろと
お騒がせして申し訳ございません m(_ _)m
プリンプトン３２２の範囲が「４５°から３０°の
間」（1 < AR < √3）なのか「1 < AR < φ」なのかに
ついては {175, 288, 337} という反例が出たのでいいとして、
使われた公式が P(m, n) なのか E(p, q) なのかに
ついては決着がついていませんでした。
ところが、>>273 の #14 をごらんください。
{11529, 16000, 19721} という値があって、これは、
(m = 64, n = 125) に相当します。となると、「0 < n < 125」
という条件を考えると、#13 と #14 が消えて、プリンプトン３２２の
表の値に近づきます。ですが、それをやってしまうと、#4 の
{12709, 13500, 18541} (m = 15, n = 125) も落ちてしまい、
「プリンプトン３２２は、１４行でなければならない」ことに
なってしまいます。
以上、結果報告でございました。

**Mr.Moto** · 2018/09/28(金) 08:52:32.76

>>282
うっかり「久留島喜内」でググッたら、
「オイラーの φ 関数」とかいう
「互いに素な自然数の個数」みたいなのに
引っかかってびっくりした。

**Maria** · 2018/09/28(金) 12:30:52.32

>>288
おまえ煩（うるさ）いんだよ。
「左利き」に「酒呑み」っていう意味があって、
久留島喜内が「日本三大算法家」の一人で、
酒好きで、詰将棋作家として有名とか、
そのあたりは丁寧にコメしとけよっ！
うちの評判を落とすじゃないかっ！

ただでさえ他スレで評判落としてるんだからほんとにもぅ …

学術 · 2018/09/28(金) 13:36:49.89

それでも参考程度だよ。その雰囲気、のその人。左脳の数学脳より、物理も合わないし、古典力学
古典数術　じゃないけど、かなりレアものを絞って、あとは多読多解に合わせないとなあ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/28(金) 14:59:35.50

>>285
すまんが、どのエントリに対してコメしているのか
判別しやすいように、アンカーをつけるように
心掛けてはいただけまいか。

「どう対応したらいいんだろう？」ってな話があって、
所内が騒然としているので。

学術 · 2018/09/28(金) 16:48:56.85

特定の誰かにレスするのは古い世代で、不特定の人に、ある分量ずつとか仕わけて
書いていることが多い。流れを読んで、次にまた変化してつながるように。
かといって全員ほど欲張ってはいないけど。

Mb · 2018/09/28(金) 17:11:39.05

>>287
すまんが、うちらは自閉なんで、
空気が読めないんだ。

ひょっとしたら、これは “いじめ” なのか？　“いじめ” なんだな？
数学板で、そういうことをやるような卑劣な輩がいるのか？
あぁ、そうですか。いいじゃないですか。結構ですよ。
ネット社会っていうのは、そういうもんなんですね？
じゃあ、そんなものは世の中から無くなってしまえばいい。
荒らすよ？　荒らしちゃいますよ。ええ、荒らしてやろうじゃないですか。
（読み筋は、『子供たちを責めないで』）

…… てなワケで、そのあたりは配慮してくれんか。頼む。m(_ _)m
なんかしら、このスレは、真面目な方も覗いてくださっている
らしいので。

学術 · 2018/09/28(金) 19:52:51.77

嫁檄空気嫁。

議論がヒートアップするのは新しい、発見が近いからで、
いじめではないと思うけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/28(金) 20:28:34.29

>>289
> 嫁檄空気嫁。
つーか、「おれらは空気読めないからアンカーを
つけてくれ」と言っているんだが？
建設的な議論をしようぜ。なぁ？

学術 · 2018/09/28(金) 20:35:15.51

レス　ビアン　じゃないから　アンカーいらないじゃん。

学術 · 2018/09/28(金) 20:36:06.64

数学頭脳体も昨日借りたけど女性は尊敬してる。

学術 · 2018/09/28(金) 20:55:14.07

建設的は現実逃避で荒れる方が難易度レベルは上さ。
アスペだけが障害じゃないし障害を言い訳にするのは醜いよ。
障害王でもめざすか？

**Mr.Moto** · 2018/09/28(金) 21:13:54.12

>>291 >>292 >>293
申し訳ないんだが、
あんた統合失調相の強い疑いがある。
クスリが合ってない可能性が
かなり高いので、お医者さんに相談することを
お奨めする。

まぁ、おれらも他人事じゃねぇんだけどさ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/29(土) 00:41:13.32

>>237
＞まあ話を聞いていると、学術論文にまとめる訓練を受けてないから
＞敷居が高いと思ってるような気がする
＞論文を書くマニュアル作業を身につけるのも指導者がいないと難しい

自然科学の基礎研究に『学力』『経済力』は不要。その動かぬ証拠はこうだ！

ガウク大統領は、次のように強調しているー
「１９４５年５月８日、我々は解放された。我々を解放したのは、ソ連の諸民族の代表者達だったが、そればかりではない。
それゆえ、我々は、感謝と尊敬の念を示さなくてはならない。戦後ドイツが、ベルリンの壁により長い間分断されたという
事実でさえも、そうした気持ちに影響を与えるべきではない。一部の観測筋は疑っているようだが、私には、
ロシアにもロシア人に対しても問題はない。」
http://jp.sputniknews.com/europe/20150502/284616.html

ドイツ人が泣いて感謝するロシアの自然科学能力は、こうして養われたものである！

我らがネステロフは、全てのギアボックスを簡単に直してしまったよ。ある時、
イギリス人の技術者がネステロフのところに来て、「あなたはどこの大学で技術を学んだのですか？」
と聞いたことがある。ネステロフのやつは「コルホーズ大学さ」なんて答えておったな。
http://www.geocities.co.jp/SilkRoad/5870/loza1.html

学術 · 2018/09/29(土) 07:18:59.57

はあ
相談してみるわ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/29(土) 11:29:49.47

経済学や経営学版にたまれよ。物理数学なんてロリコンセクハラ気味さ。
やりすぎると　。理系に痛手も生物はしっかりしているけど、医学看護歯学薬学
は将来的に別個の板にするべきと思うＧ。

学術 · 2018/09/29(土) 11:30:11.06

↑自筆。

学術 · 2018/09/29(土) 11:30:35.43

理系の板でも。

学術 · 2018/09/29(土) 12:39:10.31

数学科は苦手で数学を詰めてやっているんだろうな。多学科の方が流ちょうな気がする。
数字数式扱っても。そういう志望動機の方がいいよ。できる奴はみんな数学をクリア
していったさ。

学術 · 2018/09/29(土) 12:39:59.74

経営管理とかあるし、数学単独で、一人歩きするのは危険が伴うと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/29(土) 13:43:59.90

>>297
おまいら応用数学とかで、なんぼでも潰しが利くだろ？
ぶっちゃけ、応用数学系のリテラシー不足してんじゃねぇか？
線形計画法とかゲーム理論とか、そういう方面に
ちゃんと目配りしてるか？
おれなんかバリバリの工学系（町工場のオヤジなんだよ）なのに
（コンピュータという道具があるから、なんとかなってんだけどさ）
数論とかに踏み込んでんだぞ？
おれがメソポタミアの数学に惹かれるっつーのは、
そういう「実用に寄り添いつつ、『数学的な興味』のほうにも
魅せられる」っつー、アンビバレント（二律背反）な心性があると
思ってるんだよ。
おまいら、真面目に、本気で話してみ？

学術 · 2018/09/29(土) 14:51:58.73

工学数学か。なるほどねえ。数学は早熟ではないのか？中ランといううわさがあるし。
だけど、応用数学、それはあたりまえのことだがな、数論と接点があるのはいいことだわ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/29(土) 15:19:13.79

>>303
いや、言っとくけで、マジで統合失調症を疑ったほうがいいぞ？
知人に統合失調症を患（わずら）っているひとはいて、「精神病院で
ドクター論文書いて、ついでに嫁までゲットしました。
あっはっはっはっはー」つー例も見たからいいんだけどさ、
>>294 は正直マジだから。

> 工学数学か。なるほどねえ。数学は早熟ではないのか？
> 中ランといううわさがあるし。
> だけど、応用数学、それはあたりまえのことだがな、
> 数論と接点があるのはいいことだわ。
というのも、「工学数学」ではなく「工業数学」（線形代数とか、
制禦工学とかに関連するフーリエ変換とかラプラス変換とか）に絡めて
ちゃんと説明する努力をしたほうがいいと思うんだが、どうだ。

学術 · 2018/09/29(土) 18:15:26.53

なんか知ってることが多くて興味ないよ。僕は文系数学だから、何かの足しになると思って覗いてるけど、数式に反応しない民族まで巻き込んで序列を付けたり、
給料を計算したりして優越するのはよくないんじゃないの？

ムハンマドの宗教書は好きだけど、数学なんてこき使われるだけだろ？
ドクタークラスならなおさら。自分は文学とか心理学とか化学とか
民俗神話の博士の方さ。

精神病院は殆んど卒業してて、クリニックすすめられてるさ。訪問看護院にね。
入院での悲惨な境遇や、影響からの相当頻度の人の死隔離拘束の現実も追体験して、二度と過ちが起きないように
数学・理系を使うのも悪くないねえ。

学術 · 2018/09/29(土) 18:18:15.07

線型は所見だけど、ゲーム理論自体は、乗り越えるというより
僕は文系だから、謎解きのようなものをしているときもあったけどな。
ま嫁がいるなら易しくしてやれよ。
別に数学なんて何時から初めていつ辞めてもいいだろう。数学を専門や
カリキュラムで学んだものは、他人のために数学を使っている奴がほとんどだよ。
他人の幸せを望む。いいことだろ。

学術 · 2018/09/29(土) 18:27:28.60

https://www.youtube.com/watch?time_continue=7&;v=GGBm9gTY2NU

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 16:23:41.42

>>307
ごめん。オレらはサンフランシスコみたいな、北のほうは
体質に合わないんだ。
サンディエゴあたり（特に、オールドタウンは住みたいと思う）の、
もう、太陽の光の色が違うような場所
（サングラスは手放せないけどな）のほうが、
体質に合ってる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 10:03:26.45

クヌス先生が一九七〇年に『古代バビロニアの算法』なんていう
論文を書いていたというのは知らなかった ……。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/09(金) 08:45:21.93

>>118-123

原始…に限らなければ (m,n) や (p,q) と１対１の対応が可能かも。
もしそうなら、カントル流でナンバリング可能か。

原始…に限ると、原始と非原始の個数をカウントする必要が出てきて、面倒なことにならぬか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/09(金) 18:52:36.76

一般の場合は、自由に与えた二数(r,s)に対し、a=|r^2-s^2|、b=2r*s、c=r^2+s^2なんかを使って、
ピタゴラス数を定めればよい（だけ？）ので、あとは、(r,s)に対するナンバリングのルールの設定だけですよね。

この方法に準じ、原始に限る場合は、二数が互いに素である必要があります。面倒そう、と思うのは自然だ
と思います。しかし、それは、(r^2-s^2)^2+(2r*s)^2=(r^2+s^2)^2　の公式を使おうとするからです。

全ての原始ピタゴラス数は、ある三分木構造に埋め込むことができることが知られています。
三分木の各ノードをナンバリングすれば、原始ピタゴラス数をナンバリングしたことになります。
あるいは、有理数と原始ピタゴラス数は一対一(※)に対応可能であることを利用し、
有理数のナンバリングに沿うような形で、原始ピタゴラス数をナンバリングすることもできます。
※：原始ピタゴラス数(a,b,c)と(b,a,c)を別物として扱うことで、区間(0,1)の有理数と一対一に対応

このスレッドには、大きく2種類の原始ピタゴラス数をナンバリングするプログラムをアップしてあります。
一つは三分木への埋め込みを利用する方法で、もう一つはファレイ分数を利用する方法です。
番号から原始ピタゴラス数への変換、及び、逆変換をlog(n)オーダーの計算量で実現できることを示しています。
（それぞれ、>>119　と　>>156　からいけます。）

>>原始…に限ると、原始と非原始の個数をカウントする必要が出てきて、面倒なことにならぬか。
私も当初、ファレイ分数の方は、φ関数の様な物を用意する必要があるかと思いましたが、
発想の転換で必要とせずにプログラミングできました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/22(木) 18:01:56.62

「ペル方程式」
　2aa - bb = 1,
をみたす (a,b) について
(2aa)^2 + (bb)^2 = 2(2aa)(bb) + (2aa-bb)^2 = (2ab)^2 + 1^2,

(a/b)^2 + (b/2a)^2 = 1^2 + 1/(2ab)^2,

例えば
50^2 + 49^2 = 70^2 + 1^2 = 65^2 + 26^2,

(5/7)^2 + (7/10)^2 = 1^2 + (1/70)^2 > 1,

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/24(火) 07:52:41.87

〔三平方の定理〕
自然数Nが三個の平方数の和で表されるための必要十分条件は
　n≧0, k≧0, a∈{1,2,3,5,6} により　N = (4^n)(8k+a) と表わされることである。

必要性は容易に示せる。
十分性はルジャンドル(1798)によって証明されたが、二次形式に関する議論を要し、複雑である。
Melvyn B. Nathanson, "Additive number theory : the classical bases", GTM 164, Springer-Verlag, New York, Tokyo, (1996)
の第1章を参照。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/27(水) 03:24:23.71

>>269

√2　=　1 + 1/{2 + 1/[2 + 1/(2 + ････)]}　=　1 + [2,2,2,2,2,････],

白銀数　1 + √2 = 2 + [2,2,2,2,････],

黄金数　φ = (1+√5)/2 = 1 + 1/{1 + 1/[1 + 1/(1 + ････)]} = 1 + [1,1,1,1,1,･････]

>>270

√3　=　1 + 1/{1 + 1/[2 + 1/(1 + 1/(2 + ･･･))]}　=　1 + [1,2,1,2,1,2,････]

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/27(水) 14:55:50.87

〔三平方の定理〕
自然数Nが三個の平方数の和で表されない条件は
　n≧0, k≧0 により　N = (4^n)(8k+7) と表わされることである。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/27(水) 15:30:54.31

〔補題3〕
a) 直角三角形の三辺が自然数のとき、その面積は平方数でない。
b) 2つの4乗数の差は平方数でない。
　(x^4 - y^4 = zz　は自然数解をもたない。)
c) 3つの平方数が等差数列をなしているとき、公差eは平方数でない。
　(d-e, d, d+e; e) が4つとも平方数にはならない。

a) → b)
　x^4 - y^4 = zz に自然数解があったとすると、
(x^4-y^4, 2(xx)(yy), x^4+y^4) が直角三角形の三辺となり
しかも面積は (xyz)^2 で平方数となり、 a) に矛盾する。

a) ⇔ c)

栗原将人:「フェルマーとワイルスと」
　　数理科学 (サイエンス社), No.374, p.46-51 (1994/Aug)

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/27(水) 16:13:58.32

a)
(a,b,c) を直角三角形の三辺、aa+bb=cc とする。
a,b は互いに素としてよい。aを奇数、bを偶数とすると
　a = dd - ee,　b = 2de,
と書ける。従って ab/2 = de(d+e)(d-e),
a,b は互いに素だから (d-e,d,d+e; e) も互いに素。

ここで、 (a,b,c) は面積 ab/2 が平方数である直角三角形
のうち最小のものと仮定する。
(d-e,d,d+e; e) は4つとも平方数で
　d-e = ii, d = ff, d+e = hh; e = gg,
(f,g,h,i は互いに素な自然数)
と書ける。
　(h+i)(h-i) = hh - ii = 2e = 2gg　から
h+i,h-i の一方が平方数で、他方は平方数の2倍である。
h+i,h-i が共に偶数だから
　h = jj + 2kk,　i = |jj - 2kk|　　(j,kは自然数)
と書ける。
　f^2 = d = (hh+ii)/2 = (jj)^2 + (2kk)^2,
となる。従って (jj,2kk,f) が直角三角形の三辺となり
その面積は (jk)^2 で平方数となる。
つまり、(a,b,c) より小さな直角三角形で同じ条件を
みたすものが存在することになる。
しかしこれは (a,b,c) の最小性と矛盾する。　(終)

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/27(水) 17:11:21.97

b)　省略

x^4 ＋ y^4 = zz　が自然数解をもたないことが次にある。

A.O.ゲルフォント：「方程式の整数解」　東京図書数学新書5 (1960)
　　銀林浩：訳

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/27(水) 17:16:58.25

c)
　(d-e,d,d+e; e) は4つとも平方数である組のうち、
最小のものと仮定する。
(d-e,d,d+e; e) = (ii, ff, hh; gg)
　(f,g,h,i は互いに素な自然数)
と書ける。
　(h+i)(h-i) = hh - ii = 2e = 2gg　から
h+i,h-i のうち一方が平方数で他方が平方数の2倍である。
(h+i,h-iが共に偶数だから)
　h = jj + 2kk,　i = |jj - 2kk|,
　(j,k は自互いに素な自然数)
と書ける。
　ff = d = (hh+ii)/2 = (jj)^2 + (2kk)^2,
となる。従って (jj,2kk,f) が直角三角形の三辺となる。
　jj = DD-EE,　kk = DE,　f = DD+EE
　(D,E は互いに素な自然数)
と書ける。その面積は
　DE(D+E)(D-E) = (jk)^2 = (平方数),
　(D-E,D,D+E; E) は4つとも平方数である。
つまり (d-e,d,d+e; e) より小さな4つ組で
同じ条件をみたすものが存在することになる。
しかしこれは (d-e,d,d+e; e) の最小性と矛盾する。(終)

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/28(木) 02:52:06.52

>>316

d)　1以外の三角数は4乗数でない。
　( n(n+1)/2 = m^4 は m≧2 なる整数解を持たない。)

n(n+1)/2 >1 が4乗数であれば n, n+1 のうち一方が4乗数で他方が4乗数の2倍。
∴　x^4 - 2y^4 = ±1　に整数解 (x,y) がないことに帰着する。

e)　yy = x^3 - x　(楕円曲線) は y≠0 なる有理点 (x,y) を持たない。
　(証明略)

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/28(木) 04:33:24.53

>>318
〔補題〕
x^4 + y^4 = zz　は xyz≠0 となる自然解 (x,y,z) をもたない。

(略証)
題意をみたす (x,y,z) のうち、zが最小のものをとる。
x,y,z は互いに素であるとしてよい。
xを奇数、ｙを偶数とすれば
　xx = aa - bb,　yy = 2ab,　z = aa + bb,
　(aは奇数、bは偶数、互いに素な自然数)
をみたす整数 a, b が存在する。
2abは平方数だから、aは平方数、bは平方数の2倍
　a = ZZ,　2b = ss,
また、xx=aa-bb から
　x = mm - nn,　b = 2mn,　a = mm + nn,
　(m,nは互いに素な自然数で、偶数と奇数)
をみたす整数 m, n が存在する。
　mn = b/2 = (s/2)^2,
となり　m, n は互いに素だから
　m = XX,　n = YY,
　(X,Yは互いに素な自然数)
∴　X^4 + Y^4 = nn + mm = a = ZZ,
となる。ところが
　z = aa + bb > aa = Z^4,
だから
　0 < Z = √a < z^(1/4)　　(z>1)
つまり (x,y,z) より小さな (X,Y,Z) で
同じ条件をみたすものが存在することになる。
しかしこれは (x,y,z) の最小性と矛盾する。(終)

A.O.ゲルフォント「方程式の整数解」東京図書数学新書5 (1960)
　p.71～74

日高 · 2019/12/01(日) 08:52:40.81

ピタゴラス数は、
y^2=2x+1のyに任意の有理数を代入すれば、求めることが出来ます。

2021/02/05(金) 17:53:35.50

491色川高志「井口千明の金属バット集団殴打撲殺を熱望します」2018/10/18(木) 18:33:15.90ID:78662J73
龍神連合五代目総長・井口千明（葛飾区青戸6－２３－１９）の挑発
井口千明「糞関東連合文句があったらいつでも俺様を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 糞関東連合の見立・石元・伊藤リオンの糞野郎どもは
龍神連合四代目総長の俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!　糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」(挑戦状)

492盗聴盗撮犯罪者色川高志（青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３2021/02/03(水) 13:53:22.55ID:QtP78E4Z
●青戸六丁目被害者住民一同「盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父の逮捕を要請します」
長木親父＆長木よしあき（盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父を逮捕に追い込む会＆被害者の会会長）住所＝東京都葛飾区青戸6－23－20
●盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父
高添沼田ハゲエロ老義父の住所＝東京都葛飾区青戸6－26－６
【通報先】亀有警察署＝東京都葛飾区新宿4ー22ー19　℡０３ー３６０７ー０１１０

盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父の盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／愛人変態メス豚家畜清水婆婆（青戸6－23－19）の
五十路後半強制脱糞
http://img.erogazou-pinkline.com/img/2169/scatology_anal_injection-2169-027.jpg

アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父によりバスタブで清水婆婆の巨尻の肛門にシャワーのキャップをはずしてずっぽり挿入。
そして、大量浣腸。勢い良く噴出！腸内洗浄状態です。
http://101.dtiblog.com/b/bodytk9690/file/kan01.jpg

浣腸器と異なりどくどくと直腸内に注入され清水婆婆は激しくあえぎます

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/05(金) 19:23:13.31

>>322
y=1

日高 · 2021/02/16(火) 18:20:46.64

>324
>>322
y=1

訂正します。
ピタゴラス数は、
y^2=2x+1に、y>1の有理数を代入して、xを求めれば得られます。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/01(月) 13:04:29.18

　a = 5√2 - 4√3,
　b = 3√3 - 5,
　c = 3√2 - 4,
とおくと
　3a + 4b - 5c = 0,

∴　a^2 + b^2 - c^2 = (-2a -b +2c)^2 + (c-a)(3a+4b-5c)
　　= (-2a -b +2c)^2
　　= (-3 -4√2 +5√3)^2
　　= {2/(147 + 104√2 + 85√3 + 60√6)}^2
　　≒ (1/294)^2,

∴　a：b：c　≒　3：4：5,

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/01(月) 15:47:00.05

aa + bb = cc = 65^2　をみたす自然数 (a, b) の組を求めよ。

(略解)
　a = k(mm - nn),　b = k(2mn),　c = k(mm+nn),
　k>0,　m > n > 0,
とおく。
(k,m,n; a,b) = (1,8,1; 63,16)　(5,3,2; 25,60)　(1,7,4; 33,56)　(13,2,1; 39,52)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 10:52:04.08

　d = 5√3 - 4√2 = 3.00340
　e = 4√3 + 5√2 = 13.99927
とおくと
　dd + ee = (5^2+4^2)(3+2) = 41･5 = 205,
　√2 ＝(-4d+5e)/41,
　√3 = (5d+4e)/41,

ここで d≒3, e≒14 とすれば
　√2 ≒ 58/41 = 1.41463
　√3 ≒ 71/41 = 1.73171

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/03(水) 02:30:21.76

　a = 5√2 - 4√3 = 1.00005207 / 7,
　d = -4√2 + 5√3 = 3.003399788
より
　dd - aa = (5^2-4^2)(3-2) = 9,
　√2 = (5a+4d)/9,
　√3 = (4a+5d)/9,

ここで a ≒ 1/7, d≒3 とすれば
　√2 ≒ 89/63 = 1.41270
　√3 ≒ 109/63 = 1.73016

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/08(日) 19:29:25.07

三平方の定理「最古の応用例」
3700年前ごろの古バビロニア (現在のイラク) の遺跡から見つかった粘土板に、
数学の「三平方の定理」を使った正確な直角三角形が描かれていたことが分かった。

http://www.asahi.com/articles/ASP876HGDP86ULBJ009.html
　2021/Aug/08　08:00

てことは「ピタゴラスの定理」ぢゃなかったのか