ピタゴラス数をなんと　～荒らされたので立て直しました～ [無断転載禁止]©2ch.net

**旭=1000** · 2016/11/02(水) 07:53:23.97

自分で作ったプログラムでa^2+b^2のaが35万以上計算しました。
100万以上に向けて頑張りたいと思いますので
応援お願いいたします。
プログラムにバグがあった場合抜けている数があると思うので
その点には留意いたしたいと思う次第であります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/22(土) 16:04:25.19

>>240
ヘヴィサイド同様に、適切な証明を書かないとrejectされます
それが数学の流儀ですので、自分はすごい結果を出しているのに～
と言っても通りません

数学でも新規性が高くはなくても掲載する雑誌はあります
あなたが馴染めないのは自由ですが論文掲載までの手続きは変わりません

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/22(土) 16:47:54.51

>>241
>>215

**M.B.** · 2018/09/22(土) 16:57:18.48

>>241
つーか、数学における「行列の積」っていうのが、
ソフト屋における「配列の積」っていうのと
ちょっと違う、っていう問題があるのよね。
内積（スカラー積）と外積（ベクトル積）という
概念上の差があるのは分かるんだけど、
プログラマの頭にあるのは、「一次元配列と
二次元配列の積っていうのは、どうイメージしたらいいのか？」
っていう話なのよ。
{x, y, z}・{x', y', z'} ＝ x*x' + y*y' + z*z'
みたいな頭があるんで、「縦ベクトルと横ベクトル」みたいな
イメージとかとは、ちょっと違う頭で考えてんですよね。

**Maria** · 2018/09/22(土) 19:32:41.02

>>239 による批判があったので、真面目にお応えしたいと思います。

とりあえず、
v_{p, q} ＝ { (q^2 - p^2) / 2, p * q, (p^2 + q^2) / 2 }
（p, q は、互いに素な奇数。ただし 0 < p < q）
と、
w_{m, n} ＝ { n^2 - m^2, m * n, m^2 + n^2}
（m, n は、偶奇が異なる互いに素な自然数であり、0 < m < n）
というところから始めましょう。
このあたり、ツッコミがございましたら歓迎いたします m(_ _)m

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/22(土) 19:49:07.38

早々にごめんなさい m(_ _)m

v_(p, q) ＝ { (q^2 - p^2) / 2, p * q, (p^2 + q^2) / 2 }
（p, q は、互いに素な奇数。ただし 0 < p < q）
と、
w_(m, n) ＝ { n^2 - m^2, m * n, m^2 + n^2}
ですね。

で、
v_(1, 3) = {4, 3, 5}
かつ
w_(1, 2) = {3, 4, 5}
であり、
「ピタゴラス数について、偶数項=偶数項、（最大ではない）
奇数項＝奇数項、斜辺（あるいは対角線）項 = 斜辺項」あるいは
任意の自然数 n について「偶数項=偶数項 × n、奇数項＝奇数項 ×、
斜辺項 = 斜辺項 × n」が成り立つときに、合同（≡）であるとする。

したがって、
v_(1, 3) ≡ w_(1, 2) ≡ {4, 3, 5} ≡ {3, 4, 5} ≡ {45. 60, 90}
である。

**Maria** · 2018/09/22(土) 19:54:38.80

プログラマ的にいうと、
「a ≡ b」は、「equals(a, b) == true」であり、
「{3, 4, 5} = {4, 3, 5}」は、
「({3, 4, 5} == {4, 3, 5}) != true」だということです。

**Mr.Moto** · 2018/09/22(土) 21:13:52.56

選手交代。
で、ここからが面白いんだ。
１）v_{p, q} ＝ { (q^2 - p^2) / 2, p * q, (p^2 + q^2) / 2 }
（p, q は、互いに素な奇数。ただし 0 < p < q）
２）w_{m, n} ＝ { n^2 - m^2, m * n, m^2 + n^2}
（m, n は、偶奇が異なる互いに素な自然数であり、0 < m < n）
という関数の、逆関数を考えよう。
{x, y, z} が原始ピタゴラス数だったら、(p, q) も (m, n) も
一意に（自然数として）求まるんだが、
{x, y, z} が「原始ピタゴラス数ではない、一般のピタゴラス数」
である場合、(p, q) や (m, n) は、自然数に落ちない！！！

これは、一度自分で計算して確かめてみることをお奨めする。

つまり、V_(p, q) および W_(m, n) を（「引数が自然数である」
という条件を保ったまま）「原始ピタゴラス数ではない、
一般のピタゴラス数」に拡張しようと思うと、引数を一個増やさないと
いけない。つまり、V_(s, p, q) または W_(s, m, n) で表さないと
いけない。
これが、プリンプトン３２２の１１番と１５番が “原始” ピタゴラス数に
なっていない理由につながっていたりする。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/23(日) 02:18:55.23

おそらく、>>127　に大きな勘違いがあるのが見えます。

>> 脱帽します。私は、Barning と Hall の業績を知ったうえで、
>> その逆問題（任意の原始ピタゴラス数を、{3, 4, 5}と
>> U, D, A の積で表すアルゴリズムを求める）が未解決
>> だというのを知り、それを連分数によって解決してから、
>> 図形的な解法を思いつきました。

とありますが、「任意の原始ピタゴラス数を、{3,4,5}とU,D,Aの積で表すアルゴリズムを求める問題」
は簡単に解決しています。「解決」と書きましたが、問題設定と同時に解かれるような問題で、
「解決」という言葉は、不適当と感じるような内容です。
私の一番最初の投稿 >>119 のプログラムの中に、原始ピタゴラス数を与えると、「番号」を返す
関数がありますが、それが、具体的な手順を与えるプログラムになります。
UDAが書かれていないじゃないかというかもしれませんが、「番号」にその情報が詰め込まれています。
番号は三分木構造の住所を表す指標となっています。住所が分かれば、(3,4,5)と、どのような経路を経て
あるいは、長男、次男、三男の誰を通して、あるいは、U,D,Aのどれを適用して、その原始ピタゴラス数
と繋がっているか、一意に決定されます。具体的な手法は　>>208　に記してあります。

「逆問題」が、ここで書かれている内容であれば、未解決であるはずがありません。そう仰っていた方が間違っている
のかもしれませんし、未解決としている部分を勘違いされているかもしれません。整理を望みます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/23(日) 08:52:50.57

>>119は　a^2+b^=c^2下での恒等式　(-a-2b+2c)^2 + (-2a-b+2c)^2 = (-2a-2b+3c)^2を利用した
原始ピタゴラス数に関する各種プログラムでしたが、今回は

p/q　→　p/(2p+q) , q/(-p+2q) , q/(p+2q)

という変換が、有理数生成法として完全系であることを利用したプログラムとなっています。
多くの場面で前回のものを流用し、サンプルなどは同じ物を使っていますが、エンジンは別物です。
前回のエンジンは、事実上UDA行列の利用と同じで、原始ピタゴラス数の三数を媒介しているのですが、
今回媒介しているのは、有理数p/qで、整数二つです。

http://codepad.org/W400rZjo

4種類の内容をまとめて走らせています。
・p,qを小さい方から変化させ、pq値、ピタゴラス数、番号を表示
・番号順にpq値、ピタゴラス数を表示
・与えられたピタゴラス数に対し、pq値、番号を表示
・与えられた番号に対し、pq値、ピタゴラス数を表示

手抜き感満載なのはご了承ください。

**Mr.Moto** · 2018/09/23(日) 09:28:41.44

>>248
任意の原始ピタゴラス数があったとして、
それに U^(-1) ・ A^(-1) ・ D^(-1) をそれぞれ
掛けて、そのうち意味のあるものが「親」にあたるので、
e に到達するまでその操作を繰り返せばいい。
そういう意味では、そもそも「逆問題」というものは
存在しない、とも言えます。
で、細矢治夫先生が、『トポロジカル・インデックス』の中で、
Barning=Hall の定理の「大きな泣き所」としているのが、
この「試行錯誤が必要」という点でした。
「試行錯誤ではなく、アルゴリズムの形で、ストレートに解けないか？」
という問題意識があり、「そういう方法があるはずだ」という予想が
ありました。ところが、「行列」という視点で問題に取り組むと
なかなか面倒臭いことになる。
それを、「互いに素であり、相異なる自然数の組」からなる
空間に移動し、そこから {1, 2} あるいは {1, 3} へ移動する
ルートを探すという方法だと、「大きい方から小さい方を二回
引いて、絶対値を取る」だけでルートが見つかってしまう。
で、「大きい方から小さい方を引く」という操作は、「ユークリッドの
アルゴリズム」として知られているものです。現在は「互除法」と
呼ばれ、「大きい方を小さい方で割った余りを求める」と捉えられて
いますが、ユークリッド自身の記述によれば、「互減法」とも
いうべきものです。
ですから、「未解決問題を解いた」というより、「素朴な証明を
提出した」くらいの話になるでしょうか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/23(日) 09:44:11.88

試行錯誤は必要ありません。

>>119の三つ目のプログラムをご覧ください。
q[0]=- p[0]-2*p[1]+2*p[2];
q[1]=-2*p[0]- p[1]+2*p[2];
q[2]=-2*p[0]-2*p[1]+3*p[2];
if(q[0]<0){
q[0]=-q[0];
if(q[1]<0){q[1]=-q[1];r=1;}else{r=-1;}
}else{
if(q[1]<0){q[1]=-q[1];r=0;}else{return 0;}
}
return 3*g(q)+r;
と書きました。q[0]の正負、q[1]の正負で、rの値を　-1,0,1　と変化させています。
これが将に、長男、次男、三男の見極めなんです。

これは、(-a-2b+2c)^2 + (-2a-b+2c)^2 = (-2a-2b+3c)^2　を利用して新しい
ピタゴラス数を生成させる際、a→-a　という置き換えを使ったか、
b→-bを使ったか、両方の符号反転を使ったかに対応します。

**Maria** · 2018/09/23(日) 09:44:51.49

>>250
で、ここに至る過程で、「 q / p を連分数展開したらどうなるか？」と
思いついて、「U・D・A というのは、そのときのどういう操作に
対応しているのか？」を考えて、そこに 2 が出てくるということに
気づきました。奇数＋偶数＝奇数、偶数＋偶数＝偶数ですから、
「互いに素で相異なる二数に対して、『大きいほうから小さい方を二回引く』
という操作を行なっても、『互いに素である』という性質は保存され、
『ともに奇数』『偶奇が異なる』という性質も保存される」という
ことになります。
問題は、q - 2p がマイナスの場合です。このとき、「長方形から
正方形をふたつ取り去ったときに、面積がマイナスになってしまう」
ということになるわけですが、それも図形的に解釈できました。
「じゃあ、その逆操作は？」ということになり、「それは三通りある」
ので、U ・ D ・ A と比較してみると、それぞれが対応していることが
わかりました。
「意外に気づかんもんだなぁ」と思ったんですが、しつこいようですが
プリンプトン３２２は五十年以上未解読で、いろんな人があーだこうと、
みんなそっちへ行っちゃうということは、あるんだなぁ、と。
それで、「こういう面白い話があるんですよ」と、お知らせしようと
思いました。

**Maria** · 2018/09/23(日) 10:00:45.29

プリンプトン３２２は、古代バビロニアの数学粘土板です。
おおむね三千八百年前、ハンムラビ王の治世のころに
作成されました。文書のスタイルとしては、当時の
公文書のスタイルで書かれていて、書かれている文字については、
室井和男先生が解読されています。詳しくは、中村滋『数学の花束』を
どうぞ。読んだことないけど。
で、そこには１５個のピタゴラス数が記されています。

**Maria** · 2018/09/23(日) 10:08:30.72

この１５個の数値に関しては諸説あるんですが、
現時点ではエレノア・ロブソンという人（あたし、
会ったことないけど、この人嫌い）の説です。
「プリンプトン３２２は、初期見習いのための
計算の課題である」というものです。
これとは別のマイナーな説ですが、「これは
三角関数表である」というのがあります。
オットー・ノイゲバウアー先生と室井和男さんが
この説を支持しています。
すなわち、
・三角関数なので、直角三角形（あるいは、単位円上の
有理点）の表である。
・公式としては W_(m, n) を使った。
・範囲としては、４５° から３０° まで。
・だいたい一度ごとに、計算するときに便利な値を
選んだら、この１５個になった。
ということです。けっこう説得力がありますね。

**Maria** · 2018/09/23(日) 10:13:37.33

ところが、W_(m, n) を使って原始ピタゴラス数を
計算すると、うまくこの１５個が出てこないんですよ。
「なんか、これ違うんじゃない？」と思ってよく見ると、
短辺と長辺の比が、1.0 と 1.618 の間に入ってるんですよね。
「これ、三角関数じゃなくて、長方形なんじゃない？」と。
つまり、「正方形と黄金長方形の間にある、縦横と対角線の
長さが、自然数の比で表現できる長方形の表」なんではないかと。
ところが、それにしても m, n の値が半端なのが気に入らない。

**Maria** · 2018/09/23(日) 10:18:19.87

そんでもって、「これは公式が違うんじゃない？」と
思っていろいろ調べているうちに、V_(p, q) の式に
辿り着きました。そこで計算してみると、
まぁ、なんということでしょう。
正方形と黄金長方形の間にある、q < 180 のときの
V_(p, q) で表される１５個の長方形が、プリンプトン
３２２に記されている 15 個の数と、一致するでは
ありませんか！

**Maria** · 2018/09/23(日) 10:24:50.25

ただ、ここで喜ぶのはまだ早い。４５° から３０° というと、
1.0 から √３まで、ということになりますよね？　だったら、
その範囲でも１５個になるかもしれません。で、計算してみたところ、
1.618 と 1.7320508 の間に、一個、解があるではありませんか。
あの連中（もはや古代バビロニア神殿の書記たちは他人ではありません。
心の友です）が、これを見逃すわけがない。やっぱり黄金比だ！

謎はあと二つ。
１）#11 は 15 倍、#15 は 2 倍されていて、原始ピタゴラス数になっていない。
２）粘土板の向かって左端が削られている。
なぜでしょうか？というものです。

**Maria** · 2018/09/23(日) 10:28:40.20

ここから先は、あたしたちの妄想です。
#11 の長辺には、60 という数字が出てきます。で、
60 には、1, 2, 3, 4, 5, 6 が約数として出てきます。
そこで、#15 に着目すると、その面積に
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 が出てくるんです！
うん、キミらはそういうのが好きなんだね？　わかるわかる。

**Maria** · 2018/09/23(日) 10:35:54.74

じゃあ、最後の謎です。
プリンプトン３２２は、最初 1;φ で作られていたんだと思います。
「なんかダサくね？」「そもそも、長すぎて割れやすそうだめ」
「だったら、削っちまっていいんじゃね？　小数点のトコしか
使ってねぇから、無視できるべ」「んだな。」
ということで、1 ： √2 にしちゃたんです。
「ほーら、カッコいいっぺ」「ちょうど、パスポートサイズだなや」
「SONY のハンディカムだなや」「まだ売ってねぇだよ（ｗｗｗｗｗ」
となると、削られてしまった数値の役割はなんでしょう？
そう、「整列キー」だったんですね。
つまり、プリンプトン３２２の正体は、「古代バビロニアの算額」
（あるいは、その試作品）だったんです。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/23(日) 10:45:22.32

>>250
申し訳ありませんが石版については興味が無く、>>251に続く内容になります。

「これこれの行列を使えば、新しいピタゴラス数を作ることができる」という
ことに気づいた人たちの中には、いくつかの原始ピタゴラス数の組み合わせだけで
UDA行列に到達した方々がいるようです。
そのような内容の文献あるいはサイトを見たことがありますから。

確かにそのような経緯でUDA行列に到達したならば、>>251で書いたような事には
気づかなく、試行錯誤が必要と考えるかもしれません。

が、私は、導入部分が、(-a-2b+2c)^2 + (-2a-b+2c)^2 = (-2a-2b+3c)^2　であること。
a単独、b単独、a,b両方の符号反転により生成される恒等式が、UDA行列と同内容になる事等を
>>120等で説明を与えているし、>>119ではプログラムで具体的に示してもいます。
逆変換すれば、負になるものが現れ、それを見極めれば、UDAのどの変換に相当するか
見極められるというのは、全く自明で、「解決」が必要なものに等ならないのです。

あなたは、これらに触れていたはずです。ならば、あなたは「逆問題」など、すでに解決済み
だということに気づくべきだったのではありませんか？
「逆問題」など無い、あるいは、解決済みと言うことでよろしいですね。

**Maria** · 2018/09/23(日) 11:11:52.03

>>260
> 「逆問題」など無い、あるいは、解決済みと言うことでよろしいですね。
そういう解釈で結構だと思います (^_^)
> あなたは、これらに触れていたはずです。ならば、
> あなたは「逆問題」など、すでに解決済みだということに
> 気づくべきだったのではありませんか？
あえて無視した、と解釈していただいても宜しいかと (^_^)
この問題について問題提起をされた細矢先生は、有機化合物の
構造決定と検索の方面で有名な方でして、「図式化による直観的な
把握」というものを重視していらっしゃいました。
現在、高校数学の新課程において行列は教えられていませんので、
これは「大学生以上でないと理解できない」ということになって
しまうんですが、大学の教養課程では「高校数学の復習」以上の
ことはなかなかできない（そもそも、高校数学は受験数学に
偏りがちであり、就職組はそもそも数学なんかやる気がない）ので、
そのあたりは何とかしたい、と思いました。
いわゆる「ベルトラン予想」に対するチェビシェフによる証明は
ガンマ関数を使った高度なものでしたが、のちにポール・エルデーシュが
高校生のときに初等的な証明を与えました。一松信先生は、エルデーシュによる
初等的な証明をさらに解きほぐしたものを発表しました。
大学生のときに「ベルヌイの定理」が理解できなくて悩んでいたのですが、
航空業界から離れてから「なんだ、要するにエネルギー保存則じゃないか」
と気づいたこともあって、「証明はすべからく簡明でありたい」と
思っています m(_ _)m

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/23(日) 12:03:54.49

＞そういう解釈で結構だと思います (^_^)

＞あえて無視した、と解釈していただいても宜しいかと (^_^)

こりゃあダメだな、研究発表の何かがわかってない
「知られている証明の別照明を与えた」と最初からいえば良かったのに
ま、何言ってものらりくらりかわすだけ
Webで書くなら勝手にすればいいが「数学会は俺の研究を評価しない」とか言うなよ

Mb · 2018/09/23(日) 13:17:38.96

×「知られている証明の別照明を与えた」と最初からいえば良かったのに
〇「現在知られている証明とは違う、別証明を与えた」と最初からいえば
良かったかもしれないが、それは後付けの理由になってしまう。
それは「いわゆる “数学者”」に受け入れられないかもしれない、
と後から思ったんだけど、みたいな話を延々としても不毛だと思うんで、
「アイゼンシュタイン三角形」とか、「ヘロンの公式って、
内接円で考えるのはいいんだけど、数論的には別の切り口が
あるんじゃねぇ？」みたいな話に、教育的には
持ってゆきたいんだが。

**Maria** · 2018/09/23(日) 13:34:26.66

>>261
> ま、何言ってものらりくらりかわすだけ
「真向正面から、ぶっ潰す」っていうスタイルがお好みなら、
ちょっと表（しかるべき学会とか）に出ていらっしゃって
下さらない？　お呼びいただけたら参上しますわよん ♡

> Webで書くなら勝手にすればいいが「数学会は俺の研究を
> 評価しない」とか言うなよ
Web には書いてございます（笑）。
（NG ワードに引っかかっちゃったんで、
『プリンプトン３２２ BackLog』でググってください）
数学会はどうかともかく、日本ソフトウェア科学会の自然言語処理の
分科会は、うちらの研究を正しく評価してくださいませんでした
（それで所長が社会的ひきこもりになっちゃったんだよ！）。
このあたり、日本語の形態素解析システムに関する、いろいろ薄らぐらい
話があるんで、自分からは言いませんが、「説明しろ！」というのなら、
いろいろ言っちゃうぞ？
よろしければ、
『日本語処理技術者の憂鬱』
https://medaka.5ch.net/test/read.cgi/prog/1537503146/
へどうぞ。

Mb · 2018/09/23(日) 14:00:44.52

>>260
> 石版については興味が無く
キリスト原理主義者の前でそれ言うと、
殺されかねないから用心したほうがいい。
「十戒」を記したのもタブレットだし、
「陶板」も「粘土板」もタブレットだ。

「かれこれ四千年前から、数学というものが
存在し、それが現在に至るまで連綿として続いている」
ということに対する敬意は、表明しておいたほうがいいぞ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/23(日) 14:13:51.49

天下り的にUDA行列を与えられ、これらをピタゴラス数に掛けていけば、
いくらでもピタゴラス数ができるよと教わっただけの人に対し、
てきとうな原始ピタゴラス数を示して、これが最後に掛けられたのが、U行列なのか、
D行列なのか、A行列なのかの見極めろと問えば、窮するのも仕方ないかもしれない。

その時、ピタゴラス数を、pq変換し、q<2pなのか、2p<q<3pなのか、3p<qなのかで
判断可能だというのは、立派な視点を与えたと思います。
（それぞれ、正方形二つを除いたとき、面積が負、長短辺入替、長短辺維持に対応）

しかし、UDA行列の実態は、(-a-2b+2c)^2 + (-2a-b+2c)^2 = (-2a-2b+3c)^2　の
符号反転変換だと知っている人に取ってみれば、全く自明な問いで、なぜ、困ってるの？
というレベルの問いなのです。

兎に角、解決したということで、一安心です。
それよりも、1/2、および、1/3　からスタートする有理数変換、
p/q　→　p/(2p+q) , q/(-p+2q) , q/(p+2q)
が、有理数生成法として、完全系（重複することなく、全てを表現可能）を成している
という事は私にとっては新鮮でした。
よく考えれば、全ての原始ピタゴラス数が三分木構造に埋め込まれているということの
焼き直しに過ぎないのですが、面白い知識を得た気がしてます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/23(日) 14:35:43.75

>>265
申し訳ありませんが、私が>>260にて「石版」と書いたのは、
>>252　の後半から　>>259まで続く　一連の　プリンプトン322　のお話です。
石版ではなく、粘土板だったようです。申し訳ありません。
しかし、あるいは、だからといって、意図的な曲解や、脱線はおやめください。

**Maria** · 2018/09/23(日) 15:06:55.21

>>267
べつに、お気になさらずに。
いわゆる「十字架」も、本来は「スタウロス（杭）」
でして、「『十字架』という訳語は間違いだ！」という
意見もあります。
英語では、「ステーク」て、競馬のレースで「ステークス」と
いうのは、そこに由来しています。
むしろ、四千年以上の昔から「タブレット」として
利用されていたものが、現代においてスマートフォンとして
実現され利用されていることを、寿（ことほ）ぎたいと
思います。

つーワケで、スマホはパスポートサイズにしてくんねぇかなぁ？
と思うんだけど、どうかね。
あと、いわゆるタブレットは、A4 サイズとか B5 サイズあたりに
してくれるといいと思うんだけど、じゃあ、縦横のドット数は
（当然、自然数だわな？）どうすんのよ、っていう話はあると思うん
だけど、「じゃあ、あんたはどう思うのよ」っていう話は、この
スレの話題として、あっていいと思う。
B4 サイズのタブレットって、正直しんどいと思うんだけど、
キーボードやマウスと WiFi でつながってりゃいいのかなぁ？
と思うと、他の人の意見も聞きたいと思う。

**Mr.Moto** · 2018/09/23(日) 15:20:02.14

古代バビロンの粘土板、YBC7289 に√２の値が詳しく
記されていた、っていう話はあるんだが、
それを具体的にどうやって計算したのか、っていう話は
とりあえず現代において解明されていないんだよ。
古代バビロニアでは、「開平法」というものが、おそらく
知られていなかったらしくて、現在「バビロニアの開平法」と
呼ばれているものは、「割り算を行なって、除数と商の平均値を
求める」の繰り返しだと云われている。
「いや、『あらゆる数の平方根』を求めるアルゴリズムは
知られていなかったけど、白銀比とか黄金比については、連分数
との関連で、知られていたんじゃねーの？」と、おれらは考えている。
そのあたり、「どう思う？」っていうのは、いろんな人の意見を
聞いてみたいと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/24(月) 20:51:46.14

唐突だが、√３の連分数展開って、どうなるんだ？
プリンプトン３２２の上限値が√３だったとしたら、
連分数できれいに表されるはずだと思うんだが。

**Mr.Moto** · 2018/09/27(木) 10:16:23.84

スレ違いではあるが、ピタゴラス数関連ということで
ご容赦願いたい。
プリンプトン３２２の計算を、コンピュータで
やりなおした結果がこれ。
0 < p < q < 180
長辺 / 短辺の比 AR は、1 < AR < φ。

1 : (p = 7, q = 17) {119, 120, 169}:1.9834027
2 : (p = 37, q = 91) {3367, 3456, 4825}:1.9491584
3 : (p = 43, q = 107) {4601, 4800, 6649}:1.9188021
4 : (p = 71, q = 179) {12709, 13500, 18541}:1.8862479
5 : (p = 5, q = 13) {65, 72, 97}:1.8150077
6 : (p = 11, q = 29) {319, 360, 481}:1.7851928
7 : (p = 29, q = 79) {2291, 2700, 3541}:1.7199837
8 : (p = 17, q = 47) {799, 960, 1249}:1.6927094
9 : (p = 13, q = 37) {481, 600, 769}:1.6426694
10 : (p = 41, q = 121) {4961, 6480, 8161}:1.5861225
11 : (p = 1, q = 3) {3, 4, 5}:1.5625
12 : (p = 23, q = 73) {1679, 2400, 2929}:1.4894168
13 : (p = 7, q = 23) {161, 240, 289}:1.4500173
14 : (p = 23, q = 77) {1771, 2700, 3229}:1.4302388
15 : (p = 5, q = 9) {28, 45, 53}:1.3871605

**Mr.Moto** · 2018/09/27(木) 10:22:54.56

同じことを別の式で計算すると、
こうなる。
0 < m < n < 180
長辺 / 短辺の比 AR は、1 < AR < √3。

1 : (m = 5, n = 12) {119, 120, 85}:0.5017361
2 : (m = 27, n = 64) {3367, 3456, 2457}:0.5054321
3 : (m = 32, n = 75) {4601, 4800, 3424}:0.50884444
4 : (m = 54, n = 125) {12709, 13500, 9666}:0.512656
5 : (m = 4, n = 9) {65, 72, 52}:0.52160496
6 : (m = 9, n = 20) {319, 360, 261}:0.525625
7 : (m = 25, n = 54) {2291, 2700, 1975}:0.5350652
8 : (m = 15, n = 32) {799, 960, 705}:0.53930664
9 : (m = 64, n = 135) {14129, 17280, 12736}:0.5432236
10 : (m = 12, n = 25) {481, 600, 444}:0.5476
11 : (m = 40, n = 81) {4961, 6480, 4840}:0.5578799
12 : (m = 1, n = 2) {3, 4, 3}:0.5625
13 : (m = 81, n = 160) {19039, 25920, 19521}:0.56719726
14 : (m = 64, n = 125) {11529, 16000, 12096}:0.571536
15 : (m = 25, n = 48) {1679, 2400, 1825}:0.5782335
16 : (m = 8, n = 15) {161, 240, 184}:0.5877778
17 : (m = 27, n = 50) {1771, 2700, 2079}:0.5929
18 : (m = 2, n = 7) {28, 45, 18}:0.16
19 : (m = 9, n = 16) {175, 288, 225}:0.61035156
20 : (m = 72, n = 125) {10441, 18000, 14184}:0.620944

あぁ、すっきりした。んじゃ。
……と思ったら、最後の比のところが違ってるな。まあいいか。
このスレの住民なら、意味するところはわかるだろ。
そのうち気が向いたら、プログラム直してまた書いとくし。

**Mr.Moto** · 2018/09/27(木) 10:38:12.95

>>272
こっちが正確な値です。どーも失礼いたしましたー

1 : (m = 5, n = 12) {119, 120, 169}:1.9834027
2 : (m = 27, n = 64) {3367, 3456, 4825}:1.9491584
3 : (m = 32, n = 75) {4601, 4800, 6649}:1.9188021
4 : (m = 54, n = 125) {12709, 13500, 18541}:1.8862479
5 : (m = 4, n = 9) {65, 72, 97}:1.8150077
6 : (m = 9, n = 20) {319, 360, 481}:1.7851928
7 : (m = 25, n = 54) {2291, 2700, 3541}:1.7199837
8 : (m = 15, n = 32) {799, 960, 1249}:1.6927094
9 : (m = 64, n = 135) {14129, 17280, 22321}:1.6685523
10 : (m = 12, n = 25) {481, 600, 769}:1.6426694
11 : (m = 40, n = 81) {4961, 6480, 8161}:1.5861225
12 : (m = 1, n = 2) {3, 4, 5}:1.5625
13 : (m = 81, n = 160) {19039, 25920, 32161}:1.5395334
14 : (m = 64, n = 125) {11529, 16000, 19721}:1.5192103
15 : (m = 25, n = 48) {1679, 2400, 2929}:1.4894168
16 : (m = 8, n = 15) {161, 240, 289}:1.4500173
17 : (m = 27, n = 50) {1771, 2700, 3229}:1.4302388
18 : (m = 2, n = 7) {28, 45, 53}:1.3871605
19 : (m = 9, n = 16) {175, 288, 337}:1.369225
20 : (m = 72, n = 125) {10441, 18000, 20809}:1.3364645

**Mr.Moto** · 2018/09/27(木) 15:48:05.56

このスレの >>116 以降にチョッカイを出していたのだが、
いちおう >>273 までで役割は果たしたと思う
（>>1 も、たぶん >>267 あたりの時点で、やり尽くした感が
あると思う）ので、あと 700 エントリくらいは、適当に埋めちゃう
ことにする。
そんなわけで、次スレに関しては、雑談の一部として
議論してもらって、なんかしらテーマがあったら
別途立てていただきたいと思うが、その点に関しては
「>>1 氏はどう思う？」とお伺いを立てておきたいが、
まぁオレが立てたスレでもないんで、
オレが口を出すような話でもない。

とりあえず、プリンプトン３２２に関しては、いわゆる
ピタゴラス数に関する議論の出発点としての
歴史的な意味があるので、雑談っぽく埋めてゆきたいと
思っている。たぶん連投になっちゃうだろうけど
（質問等に関しては、「流れをぶった切ってしまって申し訳ない」
みたいな配慮はしなくていい。そもそもが「荒らされたんで立て直した」
みたいなスレでもあるし。だよな？ >>1）

つーコトで、よろしく。苦情等があれば（つーか、>>1 氏に
してみれば、途中からオレが脱線してるんで、不本意な部分は
あると思うので、そこは言ってもらえるとありがたい）、
適宜書き込んでほしい。

Mb · 2018/09/27(木) 15:53:51.53

とりあえず、
ID:6r9Vk7wm 氏と
ID:Z3ZHtaSh 氏には、
非常に感謝している。
ありがとう m(_ _)m

学術 · 2018/09/27(木) 19:14:00.42

これ面白いね。計算が間違う方が面白いんじゃないの、数学の癖というモノが
反比例の高次関数だから。

学術 · 2018/09/27(木) 19:17:30.88

左利きの数学者のつぶれ方って面白いよ。数字は右利き用だから、迫害され、
才気も届くことはない。

**Mr.Moto** · 2018/09/27(木) 19:39:51.31

ところで、>>271 の件なんだが、
> 11 : (p = 1, q = 3) {3, 4, 5}:1.5625
つーのは、倍率を M として、
「11 : (p = 1, q = 3:m = 1, n = 2:M=15) {45, 60, 75}:
[(対角線の二乗 / 長辺の二乗)の六〇進数による表記](≒1.5625):
[長辺 / 短辺の比の値（この場合は ≒1.33）];
みたいに表しときゃいいのかね？
「授業で使うんなら、そっちの方が便利」っちゅー気がするんだが。

式としちゃあ、V_(p, q) と W_(m, n) でいいとは思うんだが、
エウクレイデスとプラーマグプタだと思うと、
E(p, q) と P(m, n) というのが粋っちゃあ粋だと思うんだが。

**Mr.Moto** · 2018/09/27(木) 19:49:42.37

>>202
申し訳ない。
> 互いに素な奇数 0 ＜ s ＜ t を用いて
はちゃんと読んでいるんだが、
いろいろ試行錯誤する過程で
なんとなく p と q を使っていたので、
>>278 では、それを踏襲しただけだ。
「尊重しない」といった意味合いはないので、
気に障られたら勘弁していただきたい m(_ _)m

Mb · 2018/09/27(木) 19:53:36.72

>>277
> 左利きの数学者のつぶれ方
久留島喜内 (wwwww

**Mr.Moto** · 2018/09/27(木) 20:42:21.09

てなワケで、
１）E(p, q) ＝ { (q^2 - p^2) / 2, p * q, (p^2 + q^2) / 2 }
（p, q は、互いに素な奇数。ただし 0 < p < q）
２）P(m, n) ＝ { n^2 - m^2, 2 * m * n, m^2 + n^2}
（m, n は、偶奇が異なる互いに素な自然数であり、0 < m < n）
という話になるのだが、困ったことに、こう定義すると、
E(p, q) ＝ {偶数項, 奇数項, 斜辺(=対角線。奇数)}
P(m, n) ＝ {奇数項, 偶数項, 斜辺(=対角線。奇数)}
という、いやらしいコトになる。古代メソポタミア的な
気分でいうと、
{短辺, 長辺, 対角線}
みたいな形にまとめたい気がするのだが、そうなると
{p, q} および {m, n} について「どういう条件で
『偶数辺 < 奇数辺』あるいは『奇数辺 < 偶数辺』が
成り立つか」っていう話になるので、これがまた
そこそこ面倒臭い（つーか、高校生でも解るような
簡単な話なんだが）コトになるので、これはこれで
授業に使えるネタではあると思う。

**Maria** · 2018/09/28(金) 08:41:52.32

うちのマヌケでズボラな同僚が、いろいろと
お騒がせして申し訳ございません m(_ _)m
プリンプトン３２２の範囲が「４５°から３０°の
間」（1 < AR < √3）なのか「1 < AR < φ」なのかに
ついては {175, 288, 337} という反例が出たのでいいとして、
使われた公式が P(m, n) なのか E(p, q) なのかに
ついては決着がついていませんでした。
ところが、>>273 の #14 をごらんください。
{11529, 16000, 19721} という値があって、これは、
(m = 64, n = 125) に相当します。となると、「0 < n < 125」
という条件を考えると、#13 と #14 が消えて、プリンプトン３２２の
表の値に近づきます。ですが、それをやってしまうと、#4 の
{12709, 13500, 18541} (m = 15, n = 125) も落ちてしまい、
「プリンプトン３２２は、１４行でなければならない」ことに
なってしまいます。
以上、結果報告でございました。

**Mr.Moto** · 2018/09/28(金) 08:52:32.76

>>282
うっかり「久留島喜内」でググッたら、
「オイラーの φ 関数」とかいう
「互いに素な自然数の個数」みたいなのに
引っかかってびっくりした。

**Maria** · 2018/09/28(金) 12:30:52.32

>>288
おまえ煩（うるさ）いんだよ。
「左利き」に「酒呑み」っていう意味があって、
久留島喜内が「日本三大算法家」の一人で、
酒好きで、詰将棋作家として有名とか、
そのあたりは丁寧にコメしとけよっ！
うちの評判を落とすじゃないかっ！

ただでさえ他スレで評判落としてるんだからほんとにもぅ …

学術 · 2018/09/28(金) 13:36:49.89

それでも参考程度だよ。その雰囲気、のその人。左脳の数学脳より、物理も合わないし、古典力学
古典数術　じゃないけど、かなりレアものを絞って、あとは多読多解に合わせないとなあ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/28(金) 14:59:35.50

>>285
すまんが、どのエントリに対してコメしているのか
判別しやすいように、アンカーをつけるように
心掛けてはいただけまいか。

「どう対応したらいいんだろう？」ってな話があって、
所内が騒然としているので。

学術 · 2018/09/28(金) 16:48:56.85

特定の誰かにレスするのは古い世代で、不特定の人に、ある分量ずつとか仕わけて
書いていることが多い。流れを読んで、次にまた変化してつながるように。
かといって全員ほど欲張ってはいないけど。

Mb · 2018/09/28(金) 17:11:39.05

>>287
すまんが、うちらは自閉なんで、
空気が読めないんだ。

ひょっとしたら、これは “いじめ” なのか？　“いじめ” なんだな？
数学板で、そういうことをやるような卑劣な輩がいるのか？
あぁ、そうですか。いいじゃないですか。結構ですよ。
ネット社会っていうのは、そういうもんなんですね？
じゃあ、そんなものは世の中から無くなってしまえばいい。
荒らすよ？　荒らしちゃいますよ。ええ、荒らしてやろうじゃないですか。
（読み筋は、『子供たちを責めないで』）

…… てなワケで、そのあたりは配慮してくれんか。頼む。m(_ _)m
なんかしら、このスレは、真面目な方も覗いてくださっている
らしいので。

学術 · 2018/09/28(金) 19:52:51.77

嫁檄空気嫁。

議論がヒートアップするのは新しい、発見が近いからで、
いじめではないと思うけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/28(金) 20:28:34.29

>>289
> 嫁檄空気嫁。
つーか、「おれらは空気読めないからアンカーを
つけてくれ」と言っているんだが？
建設的な議論をしようぜ。なぁ？

学術 · 2018/09/28(金) 20:35:15.51

レス　ビアン　じゃないから　アンカーいらないじゃん。

学術 · 2018/09/28(金) 20:36:06.64

数学頭脳体も昨日借りたけど女性は尊敬してる。

学術 · 2018/09/28(金) 20:55:14.07

建設的は現実逃避で荒れる方が難易度レベルは上さ。
アスペだけが障害じゃないし障害を言い訳にするのは醜いよ。
障害王でもめざすか？

**Mr.Moto** · 2018/09/28(金) 21:13:54.12

>>291 >>292 >>293
申し訳ないんだが、
あんた統合失調相の強い疑いがある。
クスリが合ってない可能性が
かなり高いので、お医者さんに相談することを
お奨めする。

まぁ、おれらも他人事じゃねぇんだけどさ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/29(土) 00:41:13.32

>>237
＞まあ話を聞いていると、学術論文にまとめる訓練を受けてないから
＞敷居が高いと思ってるような気がする
＞論文を書くマニュアル作業を身につけるのも指導者がいないと難しい

自然科学の基礎研究に『学力』『経済力』は不要。その動かぬ証拠はこうだ！

ガウク大統領は、次のように強調しているー
「１９４５年５月８日、我々は解放された。我々を解放したのは、ソ連の諸民族の代表者達だったが、そればかりではない。
それゆえ、我々は、感謝と尊敬の念を示さなくてはならない。戦後ドイツが、ベルリンの壁により長い間分断されたという
事実でさえも、そうした気持ちに影響を与えるべきではない。一部の観測筋は疑っているようだが、私には、
ロシアにもロシア人に対しても問題はない。」
http://jp.sputniknews.com/europe/20150502/284616.html

ドイツ人が泣いて感謝するロシアの自然科学能力は、こうして養われたものである！

我らがネステロフは、全てのギアボックスを簡単に直してしまったよ。ある時、
イギリス人の技術者がネステロフのところに来て、「あなたはどこの大学で技術を学んだのですか？」
と聞いたことがある。ネステロフのやつは「コルホーズ大学さ」なんて答えておったな。
http://www.geocities.co.jp/SilkRoad/5870/loza1.html

学術 · 2018/09/29(土) 07:18:59.57

はあ
相談してみるわ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/29(土) 11:29:49.47

経済学や経営学版にたまれよ。物理数学なんてロリコンセクハラ気味さ。
やりすぎると　。理系に痛手も生物はしっかりしているけど、医学看護歯学薬学
は将来的に別個の板にするべきと思うＧ。

学術 · 2018/09/29(土) 11:30:11.06

↑自筆。

学術 · 2018/09/29(土) 11:30:35.43

理系の板でも。

学術 · 2018/09/29(土) 12:39:10.31

数学科は苦手で数学を詰めてやっているんだろうな。多学科の方が流ちょうな気がする。
数字数式扱っても。そういう志望動機の方がいいよ。できる奴はみんな数学をクリア
していったさ。

学術 · 2018/09/29(土) 12:39:59.74

経営管理とかあるし、数学単独で、一人歩きするのは危険が伴うと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/29(土) 13:43:59.90

>>297
おまいら応用数学とかで、なんぼでも潰しが利くだろ？
ぶっちゃけ、応用数学系のリテラシー不足してんじゃねぇか？
線形計画法とかゲーム理論とか、そういう方面に
ちゃんと目配りしてるか？
おれなんかバリバリの工学系（町工場のオヤジなんだよ）なのに
（コンピュータという道具があるから、なんとかなってんだけどさ）
数論とかに踏み込んでんだぞ？
おれがメソポタミアの数学に惹かれるっつーのは、
そういう「実用に寄り添いつつ、『数学的な興味』のほうにも
魅せられる」っつー、アンビバレント（二律背反）な心性があると
思ってるんだよ。
おまいら、真面目に、本気で話してみ？

学術 · 2018/09/29(土) 14:51:58.73

工学数学か。なるほどねえ。数学は早熟ではないのか？中ランといううわさがあるし。
だけど、応用数学、それはあたりまえのことだがな、数論と接点があるのはいいことだわ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/29(土) 15:19:13.79

>>303
いや、言っとくけで、マジで統合失調症を疑ったほうがいいぞ？
知人に統合失調症を患（わずら）っているひとはいて、「精神病院で
ドクター論文書いて、ついでに嫁までゲットしました。
あっはっはっはっはー」つー例も見たからいいんだけどさ、
>>294 は正直マジだから。

> 工学数学か。なるほどねえ。数学は早熟ではないのか？
> 中ランといううわさがあるし。
> だけど、応用数学、それはあたりまえのことだがな、
> 数論と接点があるのはいいことだわ。
というのも、「工学数学」ではなく「工業数学」（線形代数とか、
制禦工学とかに関連するフーリエ変換とかラプラス変換とか）に絡めて
ちゃんと説明する努力をしたほうがいいと思うんだが、どうだ。

学術 · 2018/09/29(土) 18:15:26.53

なんか知ってることが多くて興味ないよ。僕は文系数学だから、何かの足しになると思って覗いてるけど、数式に反応しない民族まで巻き込んで序列を付けたり、
給料を計算したりして優越するのはよくないんじゃないの？

ムハンマドの宗教書は好きだけど、数学なんてこき使われるだけだろ？
ドクタークラスならなおさら。自分は文学とか心理学とか化学とか
民俗神話の博士の方さ。

精神病院は殆んど卒業してて、クリニックすすめられてるさ。訪問看護院にね。
入院での悲惨な境遇や、影響からの相当頻度の人の死隔離拘束の現実も追体験して、二度と過ちが起きないように
数学・理系を使うのも悪くないねえ。

学術 · 2018/09/29(土) 18:18:15.07

線型は所見だけど、ゲーム理論自体は、乗り越えるというより
僕は文系だから、謎解きのようなものをしているときもあったけどな。
ま嫁がいるなら易しくしてやれよ。
別に数学なんて何時から初めていつ辞めてもいいだろう。数学を専門や
カリキュラムで学んだものは、他人のために数学を使っている奴がほとんどだよ。
他人の幸せを望む。いいことだろ。

学術 · 2018/09/29(土) 18:27:28.60

https://www.youtube.com/watch?time_continue=7&;v=GGBm9gTY2NU

**１３２人目の素数さん** · 2018/09/30(日) 16:23:41.42

>>307
ごめん。オレらはサンフランシスコみたいな、北のほうは
体質に合わないんだ。
サンディエゴあたり（特に、オールドタウンは住みたいと思う）の、
もう、太陽の光の色が違うような場所
（サングラスは手放せないけどな）のほうが、
体質に合ってる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/10/02(火) 10:03:26.45

クヌス先生が一九七〇年に『古代バビロニアの算法』なんていう
論文を書いていたというのは知らなかった ……。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/09(金) 08:45:21.93

>>118-123

原始…に限らなければ (m,n) や (p,q) と１対１の対応が可能かも。
もしそうなら、カントル流でナンバリング可能か。

原始…に限ると、原始と非原始の個数をカウントする必要が出てきて、面倒なことにならぬか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/09(金) 18:52:36.76

一般の場合は、自由に与えた二数(r,s)に対し、a=|r^2-s^2|、b=2r*s、c=r^2+s^2なんかを使って、
ピタゴラス数を定めればよい（だけ？）ので、あとは、(r,s)に対するナンバリングのルールの設定だけですよね。

この方法に準じ、原始に限る場合は、二数が互いに素である必要があります。面倒そう、と思うのは自然だ
と思います。しかし、それは、(r^2-s^2)^2+(2r*s)^2=(r^2+s^2)^2　の公式を使おうとするからです。

全ての原始ピタゴラス数は、ある三分木構造に埋め込むことができることが知られています。
三分木の各ノードをナンバリングすれば、原始ピタゴラス数をナンバリングしたことになります。
あるいは、有理数と原始ピタゴラス数は一対一(※)に対応可能であることを利用し、
有理数のナンバリングに沿うような形で、原始ピタゴラス数をナンバリングすることもできます。
※：原始ピタゴラス数(a,b,c)と(b,a,c)を別物として扱うことで、区間(0,1)の有理数と一対一に対応

このスレッドには、大きく2種類の原始ピタゴラス数をナンバリングするプログラムをアップしてあります。
一つは三分木への埋め込みを利用する方法で、もう一つはファレイ分数を利用する方法です。
番号から原始ピタゴラス数への変換、及び、逆変換をlog(n)オーダーの計算量で実現できることを示しています。
（それぞれ、>>119　と　>>156　からいけます。）

>>原始…に限ると、原始と非原始の個数をカウントする必要が出てきて、面倒なことにならぬか。
私も当初、ファレイ分数の方は、φ関数の様な物を用意する必要があるかと思いましたが、
発想の転換で必要とせずにプログラミングできました。

**１３２人目の素数さん** · 2018/11/22(木) 18:01:56.62

「ペル方程式」
　2aa - bb = 1,
をみたす (a,b) について
(2aa)^2 + (bb)^2 = 2(2aa)(bb) + (2aa-bb)^2 = (2ab)^2 + 1^2,

(a/b)^2 + (b/2a)^2 = 1^2 + 1/(2ab)^2,

例えば
50^2 + 49^2 = 70^2 + 1^2 = 65^2 + 26^2,

(5/7)^2 + (7/10)^2 = 1^2 + (1/70)^2 > 1,

**１３２人目の素数さん** · 2019/09/24(火) 07:52:41.87

〔三平方の定理〕
自然数Nが三個の平方数の和で表されるための必要十分条件は
　n≧0, k≧0, a∈{1,2,3,5,6} により　N = (4^n)(8k+a) と表わされることである。

必要性は容易に示せる。
十分性はルジャンドル(1798)によって証明されたが、二次形式に関する議論を要し、複雑である。
Melvyn B. Nathanson, "Additive number theory : the classical bases", GTM 164, Springer-Verlag, New York, Tokyo, (1996)
の第1章を参照。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/27(水) 03:24:23.71

>>269

√2　=　1 + 1/{2 + 1/[2 + 1/(2 + ････)]}　=　1 + [2,2,2,2,2,････],

白銀数　1 + √2 = 2 + [2,2,2,2,････],

黄金数　φ = (1+√5)/2 = 1 + 1/{1 + 1/[1 + 1/(1 + ････)]} = 1 + [1,1,1,1,1,･････]

>>270

√3　=　1 + 1/{1 + 1/[2 + 1/(1 + 1/(2 + ･･･))]}　=　1 + [1,2,1,2,1,2,････]

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/27(水) 14:55:50.87

〔三平方の定理〕
自然数Nが三個の平方数の和で表されない条件は
　n≧0, k≧0 により　N = (4^n)(8k+7) と表わされることである。

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/27(水) 15:30:54.31

〔補題3〕
a) 直角三角形の三辺が自然数のとき、その面積は平方数でない。
b) 2つの4乗数の差は平方数でない。
　(x^4 - y^4 = zz　は自然数解をもたない。)
c) 3つの平方数が等差数列をなしているとき、公差eは平方数でない。
　(d-e, d, d+e; e) が4つとも平方数にはならない。

a) → b)
　x^4 - y^4 = zz に自然数解があったとすると、
(x^4-y^4, 2(xx)(yy), x^4+y^4) が直角三角形の三辺となり
しかも面積は (xyz)^2 で平方数となり、 a) に矛盾する。

a) ⇔ c)

栗原将人:「フェルマーとワイルスと」
　　数理科学 (サイエンス社), No.374, p.46-51 (1994/Aug)

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/27(水) 16:13:58.32

a)
(a,b,c) を直角三角形の三辺、aa+bb=cc とする。
a,b は互いに素としてよい。aを奇数、bを偶数とすると
　a = dd - ee,　b = 2de,
と書ける。従って ab/2 = de(d+e)(d-e),
a,b は互いに素だから (d-e,d,d+e; e) も互いに素。

ここで、 (a,b,c) は面積 ab/2 が平方数である直角三角形
のうち最小のものと仮定する。
(d-e,d,d+e; e) は4つとも平方数で
　d-e = ii, d = ff, d+e = hh; e = gg,
(f,g,h,i は互いに素な自然数)
と書ける。
　(h+i)(h-i) = hh - ii = 2e = 2gg　から
h+i,h-i の一方が平方数で、他方は平方数の2倍である。
h+i,h-i が共に偶数だから
　h = jj + 2kk,　i = |jj - 2kk|　　(j,kは自然数)
と書ける。
　f^2 = d = (hh+ii)/2 = (jj)^2 + (2kk)^2,
となる。従って (jj,2kk,f) が直角三角形の三辺となり
その面積は (jk)^2 で平方数となる。
つまり、(a,b,c) より小さな直角三角形で同じ条件を
みたすものが存在することになる。
しかしこれは (a,b,c) の最小性と矛盾する。　(終)

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/27(水) 17:11:21.97

b)　省略

x^4 ＋ y^4 = zz　が自然数解をもたないことが次にある。

A.O.ゲルフォント：「方程式の整数解」　東京図書数学新書5 (1960)
　　銀林浩：訳

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/27(水) 17:16:58.25

c)
　(d-e,d,d+e; e) は4つとも平方数である組のうち、
最小のものと仮定する。
(d-e,d,d+e; e) = (ii, ff, hh; gg)
　(f,g,h,i は互いに素な自然数)
と書ける。
　(h+i)(h-i) = hh - ii = 2e = 2gg　から
h+i,h-i のうち一方が平方数で他方が平方数の2倍である。
(h+i,h-iが共に偶数だから)
　h = jj + 2kk,　i = |jj - 2kk|,
　(j,k は自互いに素な自然数)
と書ける。
　ff = d = (hh+ii)/2 = (jj)^2 + (2kk)^2,
となる。従って (jj,2kk,f) が直角三角形の三辺となる。
　jj = DD-EE,　kk = DE,　f = DD+EE
　(D,E は互いに素な自然数)
と書ける。その面積は
　DE(D+E)(D-E) = (jk)^2 = (平方数),
　(D-E,D,D+E; E) は4つとも平方数である。
つまり (d-e,d,d+e; e) より小さな4つ組で
同じ条件をみたすものが存在することになる。
しかしこれは (d-e,d,d+e; e) の最小性と矛盾する。(終)

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/28(木) 02:52:06.52

>>316

d)　1以外の三角数は4乗数でない。
　( n(n+1)/2 = m^4 は m≧2 なる整数解を持たない。)

n(n+1)/2 >1 が4乗数であれば n, n+1 のうち一方が4乗数で他方が4乗数の2倍。
∴　x^4 - 2y^4 = ±1　に整数解 (x,y) がないことに帰着する。

e)　yy = x^3 - x　(楕円曲線) は y≠0 なる有理点 (x,y) を持たない。
　(証明略)

**１３２人目の素数さん** · 2019/11/28(木) 04:33:24.53

>>318
〔補題〕
x^4 + y^4 = zz　は xyz≠0 となる自然解 (x,y,z) をもたない。

(略証)
題意をみたす (x,y,z) のうち、zが最小のものをとる。
x,y,z は互いに素であるとしてよい。
xを奇数、ｙを偶数とすれば
　xx = aa - bb,　yy = 2ab,　z = aa + bb,
　(aは奇数、bは偶数、互いに素な自然数)
をみたす整数 a, b が存在する。
2abは平方数だから、aは平方数、bは平方数の2倍
　a = ZZ,　2b = ss,
また、xx=aa-bb から
　x = mm - nn,　b = 2mn,　a = mm + nn,
　(m,nは互いに素な自然数で、偶数と奇数)
をみたす整数 m, n が存在する。
　mn = b/2 = (s/2)^2,
となり　m, n は互いに素だから
　m = XX,　n = YY,
　(X,Yは互いに素な自然数)
∴　X^4 + Y^4 = nn + mm = a = ZZ,
となる。ところが
　z = aa + bb > aa = Z^4,
だから
　0 < Z = √a < z^(1/4)　　(z>1)
つまり (x,y,z) より小さな (X,Y,Z) で
同じ条件をみたすものが存在することになる。
しかしこれは (x,y,z) の最小性と矛盾する。(終)

A.O.ゲルフォント「方程式の整数解」東京図書数学新書5 (1960)
　p.71～74

日高 · 2019/12/01(日) 08:52:40.81

ピタゴラス数は、
y^2=2x+1のyに任意の有理数を代入すれば、求めることが出来ます。

2021/02/05(金) 17:53:35.50

491色川高志「井口千明の金属バット集団殴打撲殺を熱望します」2018/10/18(木) 18:33:15.90ID:78662J73
龍神連合五代目総長・井口千明（葛飾区青戸6－２３－１９）の挑発
井口千明「糞関東連合文句があったらいつでも俺様を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 糞関東連合の見立・石元・伊藤リオンの糞野郎どもは
龍神連合四代目総長の俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!　糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」(挑戦状)

492盗聴盗撮犯罪者色川高志（青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３2021/02/03(水) 13:53:22.55ID:QtP78E4Z
●青戸六丁目被害者住民一同「盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父の逮捕を要請します」
長木親父＆長木よしあき（盗聴盗撮犯罪者の高添沼田ハゲエロ老義父を逮捕に追い込む会＆被害者の会会長）住所＝東京都葛飾区青戸6－23－20
●盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父
高添沼田ハゲエロ老義父の住所＝東京都葛飾区青戸6－26－６
【通報先】亀有警察署＝東京都葛飾区新宿4ー22ー19　℡０３ー３６０７ー０１１０

盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父の盗聴盗撮つきまとい嫌がらせ犯罪者／愛人変態メス豚家畜清水婆婆（青戸6－23－19）の
五十路後半強制脱糞
http://img.erogazou-pinkline.com/img/2169/scatology_anal_injection-2169-027.jpg

アナル挿入食糞愛好家で息子の嫁で自慰行為をしている高添沼田ハゲエロ老義父によりバスタブで清水婆婆の巨尻の肛門にシャワーのキャップをはずしてずっぽり挿入。
そして、大量浣腸。勢い良く噴出！腸内洗浄状態です。
http://101.dtiblog.com/b/bodytk9690/file/kan01.jpg

浣腸器と異なりどくどくと直腸内に注入され清水婆婆は激しくあえぎます

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/05(金) 19:23:13.31

>>322
y=1

日高 · 2021/02/16(火) 18:20:46.64

>324
>>322
y=1

訂正します。
ピタゴラス数は、
y^2=2x+1に、y>1の有理数を代入して、xを求めれば得られます。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/01(月) 13:04:29.18

　a = 5√2 - 4√3,
　b = 3√3 - 5,
　c = 3√2 - 4,
とおくと
　3a + 4b - 5c = 0,

∴　a^2 + b^2 - c^2 = (-2a -b +2c)^2 + (c-a)(3a+4b-5c)
　　= (-2a -b +2c)^2
　　= (-3 -4√2 +5√3)^2
　　= {2/(147 + 104√2 + 85√3 + 60√6)}^2
　　≒ (1/294)^2,

∴　a：b：c　≒　3：4：5,

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/01(月) 15:47:00.05

aa + bb = cc = 65^2　をみたす自然数 (a, b) の組を求めよ。

(略解)
　a = k(mm - nn),　b = k(2mn),　c = k(mm+nn),
　k>0,　m > n > 0,
とおく。
(k,m,n; a,b) = (1,8,1; 63,16)　(5,3,2; 25,60)　(1,7,4; 33,56)　(13,2,1; 39,52)

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/02(火) 10:52:04.08

　d = 5√3 - 4√2 = 3.00340
　e = 4√3 + 5√2 = 13.99927
とおくと
　dd + ee = (5^2+4^2)(3+2) = 41･5 = 205,
　√2 ＝(-4d+5e)/41,
　√3 = (5d+4e)/41,

ここで d≒3, e≒14 とすれば
　√2 ≒ 58/41 = 1.41463
　√3 ≒ 71/41 = 1.73171

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/03(水) 02:30:21.76

　a = 5√2 - 4√3 = 1.00005207 / 7,
　d = -4√2 + 5√3 = 3.003399788
より
　dd - aa = (5^2-4^2)(3-2) = 9,
　√2 = (5a+4d)/9,
　√3 = (4a+5d)/9,

ここで a ≒ 1/7, d≒3 とすれば
　√2 ≒ 89/63 = 1.41270
　√3 ≒ 109/63 = 1.73016

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/08(日) 19:29:25.07

三平方の定理「最古の応用例」
3700年前ごろの古バビロニア (現在のイラク) の遺跡から見つかった粘土板に、
数学の「三平方の定理」を使った正確な直角三角形が描かれていたことが分かった。

http://www.asahi.com/articles/ASP876HGDP86ULBJ009.html
　2021/Aug/08　08:00

てことは「ピタゴラスの定理」ぢゃなかったのか